2024年初二上冊(cè)數(shù)學(xué)期末考試專(zhuān)項(xiàng)復(fù)習(xí)10全等三角形全章復(fù)習(xí)與鞏固（提高）知識(shí)講解

2024年初二上冊(cè)數(shù)學(xué)期末考試專(zhuān)項(xiàng)復(fù)習(xí)全等三角形全章復(fù)習(xí)與鞏固（提高）【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.了解全等三角形的概念和性質(zhì)，能夠準(zhǔn)確地辨認(rèn)全等三角形中的對(duì)應(yīng)元素；2．探索三角形全等的判定方法，能利用三角形全等進(jìn)行證明，掌握綜合法證明的格式；3．會(huì)作角的平分線，了解角的平分線的性質(zhì)，能利用三角形全等證明角的平分線的性質(zhì)，會(huì)利用角的平分線的性質(zhì)進(jìn)行證明.【知識(shí)網(wǎng)絡(luò)】【要點(diǎn)梳理】一般三角形直角三角形判定邊角邊（SAS）角邊角（ASA）角角邊（AAS）邊邊邊（SSS）兩直角邊對(duì)應(yīng)相等一邊一銳角對(duì)應(yīng)相等斜邊、直角邊定理（HL）性質(zhì)對(duì)應(yīng)邊相等，對(duì)應(yīng)角相等（其他對(duì)應(yīng)元素也相等，如對(duì)應(yīng)邊上的高相等）備注判定三角形全等必須有一組對(duì)應(yīng)邊相等要點(diǎn)一、全等三角形的判定與性質(zhì)

要點(diǎn)二、全等三角形的證明思路要點(diǎn)三、角平分線的性質(zhì)1.角的平分線的性質(zhì)定理

角的平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊的距離相等.

2.角的平分線的判定定理

角的內(nèi)部到角的兩邊距離相等的點(diǎn)在角的平分線上.

3.三角形的角平分線三角形角平分線交于一點(diǎn)，且到三邊的距離相等.4.與角平分線有關(guān)的輔助線在角兩邊截取相等的線段，構(gòu)造全等三角形；在角的平分線上取一點(diǎn)向角的兩邊作垂線段.要點(diǎn)四、全等三角形證明方法全等三角形是平面幾何內(nèi)容的基礎(chǔ)，這是因?yàn)槿热切问茄芯刻厥馊切?、四邊形、相似圖形、圓等圖形性質(zhì)的有力工具，是解決與線段、角相關(guān)問(wèn)題的一個(gè)出發(fā)點(diǎn).運(yùn)用全等三角形，可以證明線段相等、線段的和差倍分關(guān)系、角相等、兩直線位置關(guān)系等常見(jiàn)的幾何問(wèn)題.可以適當(dāng)總結(jié)證明方法.1．證明線段相等的方法：(1)證明兩條線段所在的兩個(gè)三角形全等.(2)利用角平分線的性質(zhì)證明角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等.(3)等式性質(zhì).2．證明角相等的方法：(1)利用平行線的性質(zhì)進(jìn)行證明.(2)證明兩個(gè)角所在的兩個(gè)三角形全等.(3)利用角平分線的判定進(jìn)行證明.(4)同角（等角）的余角（補(bǔ)角）相等.(5)對(duì)頂角相等.3．證明兩條線段的位置關(guān)系（平行、垂直）的方法：可通過(guò)證明兩個(gè)三角形全等，得到對(duì)應(yīng)角相等，再利用平行線的判定或垂直定義證明.4．輔助線的添加:(1)作公共邊可構(gòu)造全等三角形；(2)倍長(zhǎng)中線法；(3)作以角平分線為對(duì)稱(chēng)軸的翻折變換全等三角形；(4)利用截長(zhǎng)(或補(bǔ)短)法作旋轉(zhuǎn)變換的全等三角形.5.證明三角形全等的思維方法:（1）直接利用全等三角形判定和證明兩條線段或兩個(gè)角相等，需要我們敏捷、快速地發(fā)現(xiàn)兩條線段和兩個(gè)角所在的兩個(gè)三角形及它們?nèi)鹊臈l件.（2）如果要證明相等的兩條線段或兩個(gè)角所在的三角形全等的條件不充分時(shí)，則應(yīng)根據(jù)圖形的其它性質(zhì)或先證明其他的兩個(gè)三角形全等以補(bǔ)足條件.（3）如果現(xiàn)有圖形中的任何兩個(gè)三角形之間不存在全等關(guān)系，此時(shí)應(yīng)添置輔助線，使之出現(xiàn)全等三角形，通過(guò)構(gòu)造出全等三角形來(lái)研究平面圖形的性質(zhì).【典型例題】類(lèi)型一、巧引輔助線構(gòu)造全等三角形(1)．倍長(zhǎng)中線法 1、已知，如圖，△ABC中，D是BC中點(diǎn)，DE⊥DF,試判斷BE＋CF與EF的大小關(guān)系，并證明你的結(jié)論.【思路點(diǎn)撥】因?yàn)镈是BC的中點(diǎn)，按倍長(zhǎng)中線法，倍長(zhǎng)過(guò)中點(diǎn)的線段DF，使DG＝DF,證明△EDG≌△EDF，△FDC≌△GDB，這樣就把BE、CF與EF線段轉(zhuǎn)化到了△BEG中，利用兩邊之和大于第三邊可證.【答案與解析】BE＋CF＞EF；證明：延長(zhǎng)FD到G，使DG＝DF,連接BG、EG∵D是BC中點(diǎn)∴BD＝CD又∵DE⊥DF在△EDG和△EDF中∴△EDG≌△EDF（SAS）∴EG＝EF在△FDC與△GDB中∴△FDC≌△GDB(SAS)∴CF＝BG∵BG＋BE＞EG∴BE＋CF＞EF【總結(jié)升華】有中點(diǎn)的時(shí)候作輔助線可考慮倍長(zhǎng)中線法（或倍長(zhǎng)過(guò)中點(diǎn)的線段）.舉一反三：【變式】已知：如圖所示，CE、CB分別是△ABC與△ADC的中線，且∠ACB＝∠ABC．求證：CD＝2CE．【答案】證明：延長(zhǎng)CE至F使EF＝CE，連接BF．∵EC為中線，∴AE＝BE．在△AEC與△BEF中，∴△AEC≌△BEF（SAS）．∴AC＝BF，∠A＝∠FBE．（全等三角形對(duì)應(yīng)邊、角相等）又∵∠ACB＝∠ABC，∠DBC＝∠ACB＋∠A，∠FBC＝∠ABC＋∠A．∴AC＝AB，∠DBC＝∠FBC．∴AB＝BF．又∵BC為△ADC的中線，∴AB＝BD．即BF＝BD．在△FCB與△DCB中，∴△FCB≌△DCB（SAS）．∴CF＝CD．即CD＝2CE．(2)．作以角平分線為對(duì)稱(chēng)軸的翻折變換構(gòu)造全等三角形2、如圖，已知∠BAC=90°，AD⊥BC于點(diǎn)D，∠1=∠2，EF∥BC交AC于點(diǎn)F．試說(shuō)明AE=CF．【思路點(diǎn)撥】作EH⊥AB于H，作FG⊥BC于G，根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得EH=ED，再證ED=FG，則EH=FG，通過(guò)證明△AEH≌△CFG即可．【答案與解析】解：作EH⊥AB于H，作FG⊥BC于G，∵∠1=∠2，AD⊥BC，∴EH=ED（角平分線的性質(zhì)）∵EF∥BC，AD⊥BC，F(xiàn)G⊥BC，∴四邊形EFGD是矩形，∴ED=FG，∴EH=FG，∵∠BAD+∠CAD=90°，∠C+∠CAD=90°，∴∠BAD=∠C，又∵∠AHE=∠FGC=90°，∴△AEH≌△CFG（AAS）∴AE=CF．【總結(jié)升華】本題考查了角平分線的性質(zhì)；由角平分線構(gòu)造全等，綜合利用了角平分線的性質(zhì)、同角的余角相等、全等三角形的判定等知識(shí)點(diǎn)．舉一反三：【變式】如圖，AD是的角平分線，H，G分別在AC，AB上，且HD＝BD.(1)求證：∠B與∠AHD互補(bǔ)；(2)若∠B＋2∠DGA＝180°，請(qǐng)?zhí)骄烤€段AG與線段AH、HD之間滿足的等量關(guān)系，并加以證明.【答案】證明：（1）在AB上取一點(diǎn)M,使得AM＝AH,連接DM.∵∠CAD＝∠BAD,AD＝AD,∴△AHD≌△AMD.∴HD＝MD,∠AHD＝∠AMD.∵HD＝DB,∴DB＝MD.∴∠DMB＝∠B.∵∠AMD＋∠DMB＝180,∴∠AHD＋∠B＝180.即∠B與∠AHD互補(bǔ).（2）由（1）∠AHD＝∠AMD,HD＝MD,∠AHD＋∠B＝180.∵∠B＋2∠DGA＝180,∴∠AHD＝2∠DGA.∴∠AMD＝2∠DGM.∵∠AMD＝∠DGM＋∠GDM.∴2∠DGM＝∠DGM＋∠GDM.∴∠DGM＝∠GDM.∴MD＝MG.∴HD＝MG.∵AG＝AM＋MG,∴AG＝AH＋HD.（3）.利用截長(zhǎng)(或補(bǔ)短)法作構(gòu)造全等三角形3、如圖，△ABC中，AB=AC，點(diǎn)P是三角形右外一點(diǎn)，且∠APB=∠ABC．（1）如圖1，若∠BAC=60°，點(diǎn)P恰巧在∠ABC的平分線上，PA=2，求PB的長(zhǎng)；（2）如圖2，若∠BAC=60°，探究PA，PB，PC的數(shù)量關(guān)系，并證明；（3）如圖3，若∠BAC=120°，請(qǐng)直接寫(xiě)出PA，PB，PC的數(shù)量關(guān)系．【思路點(diǎn)撥】（1）AB=AC，∠BAC=60°，證得△ABC是等邊三角形，∠APB=∠ABC，得到∠APB=60°，又點(diǎn)P恰巧在∠ABC的平分線上，得到∠ABP=30°，得到直角三角形，利用直角三角形的性質(zhì)解出結(jié)果．（2）在BP上截取PD，使PD=PA，連結(jié)AD，得到△ADP是等邊三角形，再通過(guò)三角形全等證得結(jié)論．（3）以A為圓心，以AP的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧交BP于D，連接AD，過(guò)點(diǎn)A作AF⊥BP交BP于F，得到等腰三角形，然后通過(guò)三角形全等證得結(jié)論．【答案與解析】解：（1）∵AB=AC，∠BAC=60°，∴△ABC是等邊三角形，∠APB=∠ABC，∴∠APB=60°，又∵點(diǎn)P恰巧在∠ABC的平分線上，∴∠ABP=30°，∴∠PAB=90°，∴BP=2AP，∵AP=2，∴BP=4；（2）結(jié)論：PA+PC=PB．證明：如圖1，在BP上截取PD，使PD=PA，連結(jié)AD，∵∠APB=60°，∴△ADP是等邊三角形，∴∠DAP=60°，∴∠1=∠2，PA=PD，在△ABD與△ACP中，，∴△ABD≌△ACP，∴PC=BD，∴PA+PC=PB；（3）結(jié)論：PA+PC=PB．證明：如圖2，以A為圓心，以AP的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧交BP于D，連接AD，過(guò)點(diǎn)A作AF⊥BP交BP于F，∴AP=AD，∵∠BAC=120°，∴∠ABC=30°，∴∠APB=30°，∴∠DAP=120°，∴∠1=∠2，在△ABD與△ACP中，，∴△ABD≌△ACP，∴BD=PC，∵AF⊥PD，∴PF=AP，∴PD=AP，∴PA+PC=PB．【總結(jié)升華】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，截長(zhǎng)補(bǔ)短作輔助線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．舉一反三：【變式】如圖，AD是△ABC的角平分線，AB＞AC,求證：AB－AC＞BD－DC【答案】證明：在AB上截取AE＝AC,連結(jié)DE∵AD是△ABC的角平分線，∴∠BAD＝∠CAD在△AED與△ACD中∴△AED≌△ADC（SAS）∴DE＝DC在△BED中，BE＞BD－DC即AB－AE＞BD－DC∴AB－AC＞BD－DC（4）.在角的平分線上取一點(diǎn)向角的兩邊作垂線段4、如圖，已知∠BAC=90°，AD⊥BC于點(diǎn)D，∠1=∠2，EF∥BC交AC于點(diǎn)F．試說(shuō)明AE=CF．【思路點(diǎn)撥】作EH⊥AB于H，作FG⊥BC于G，根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得EH=ED，再證ED=FG，則EH=FG，通過(guò)證明△AEH≌△CFG即可．【答案與解析】解：作EH⊥AB于H，作FG⊥BC于G，∵∠1=∠2，AD⊥BC，∴EH=ED（角平分線的性質(zhì)）∵EF∥BC，AD⊥BC，F(xiàn)G⊥BC，∴四邊形EFGD是矩形，∴ED=FG，∴EH=FG，∵∠BAD+∠CAD=90°，∠C+∠CAD=90°，∴∠BAD=∠C，又∵∠AHE=∠FGC=90°，∴△AEH≌△CFG（AAS）∴AE=CF．【總結(jié)升華】本題考查了角平分線的性質(zhì)；已知角平分線，構(gòu)造全等三角形，綜合利用了角平分線的性質(zhì)、同角的余角相等、全等三角形的判定等知識(shí)點(diǎn)．5、如圖所示，在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，D是AC上一點(diǎn)，且AE垂直BD的延長(zhǎng)線于E，，求證：BD是∠ABC的平分線．【答案與解析】證明：延長(zhǎng)AE和BC，交于點(diǎn)F，

∵AC⊥BC，BE⊥AE，∠ADE=∠BDC（對(duì)頂角相等），

∴∠EAD+∠ADE=∠CBD+∠BDC．即∠EAD=∠CBD．

在Rt△ACF和Rt△BCD中．

所以Rt△ACF≌Rt△BCD（ASA）．

則AF=BD（全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等）．

∵AE=BD，∴AE=AF，

即AE=EF．

在Rt△BEA和Rt△BEF中，

則Rt△BEA≌Rt△BEF（SAS）．

所以∠ABE=∠FBE（全等三角形對(duì)應(yīng)角相等），

即BD是∠ABC的平分線．【總結(jié)升華】如果由題目已知無(wú)法直接得到三角形全等，不妨試著添加輔助線構(gòu)造出三角形全等的條件，使問(wèn)題得以解決．平時(shí)練習(xí)中多積累一些輔助線的添加方法.類(lèi)型二、全等三角形動(dòng)態(tài)型問(wèn)題6、在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直線經(jīng)過(guò)頂點(diǎn)C，過(guò)A，B兩點(diǎn)分別作的垂線AE，BF，垂足分別為E，F(xiàn).（1）如圖1當(dāng)直線不與底邊AB相交時(shí)，求證：EF＝AE＋BF.（2）將直線繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使與底邊AB相交于點(diǎn)D，請(qǐng)你探究直線在如下位置時(shí)，EF、AE、BF之間的關(guān)系，①AD＞BD；②AD＝BD；③AD＜BD.【答案與解析】證明：（1）∵AE⊥，BF⊥，∴∠AEC＝∠CFB＝90°，∠1＋∠2＝90°∵∠ACB＝90°，∴∠2＋∠3＝90°∴∠1＝∠3?！咴凇鰽CE和△CBF中，∴△ACE≌△CBF（AAS）∴AE＝CF，CE＝BF∵EF＝CE＋CF，∴EF＝AE＋BF。（2）①EF＝AE－BF，理由如下：∵AE⊥，BF⊥，∴∠AEC＝∠CFB＝90°，∠1＋∠2＝90°∵∠ACB＝90°，∴∠2＋∠3＝90°，∴∠1＝∠3?！咴凇鰽CE和△CBF中∴△ACE≌△CBF（AAS）∴AE＝CF，CE＝BF∵EF＝CF－CE，∴EF＝AE―BF。②EF＝AE―BF③EF＝BF―AE證明同①.【總結(jié)升華】解決動(dòng)態(tài)幾何問(wèn)題時(shí)要善于抓住以下幾點(diǎn)：變化前的結(jié)論及說(shuō)理過(guò)程對(duì)變化后的結(jié)論及說(shuō)理過(guò)程起著至關(guān)重要的作用；圖形在變化過(guò)程中，哪些關(guān)系發(fā)生了變化，哪些關(guān)系沒(méi)有發(fā)生變化；原來(lái)的線段之間、角之間的位置與數(shù)量關(guān)系是否還存在是解題的關(guān)鍵；幾種變化圖形之間，證明思路存在內(nèi)在聯(lián)系，都可模仿與借鑒原有的結(jié)論與過(guò)程，其結(jié)論有時(shí)變化，有時(shí)不發(fā)生變化.舉一反三：【變式】如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)E是線段BG上的動(dòng)點(diǎn)，AE⊥EF，EF交正方形外角∠DCG的平分線CF于點(diǎn)F．【探究展示】（1）如圖1，若點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，證明：∠BAE+∠EFC=∠DCF．（2）如圖2，若點(diǎn)E是BC的上的任意一點(diǎn)（B、C除外），∠BAE+∠EFC=∠DCF是否仍然成立？若成立，請(qǐng)予以證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由．【拓展延伸】（3）如圖3，若點(diǎn)E是BC延長(zhǎng)線（C除外）上的任意一點(diǎn)，求證：AE=EF．【答案】（1）證明：取AB的中點(diǎn)M，連結(jié)EM，如圖1：∵M(jìn)是AB的中點(diǎn)，E是BC的中點(diǎn)，∴在正方形ABCD中，AM=EC，∵CF是∠DCG的平分線，∴∠BCF=135°，∴∠AME=∠ECF=135°，∵∠MAE=∠CEF=45°，在△AME與△ECF中，，∴△AME≌△ECF（SAS），∴∠BAE+∠EFC=∠FCG=∠DCF；（2）證明：取AB上的任意一點(diǎn)使得AM=EC，連結(jié)EM，如圖2：∵AE⊥EF，AB⊥BC，∴∠BAE+∠BEA=90°，∠BEA+∠CEF=90°，∴∠MAE=∠CEF，∵AM=EC，∴在正方形ABCD中，BM=BE，∴∠AME=∠ECF=135°，在△AME與△ECF中，，∴△AME≌△ECF（SAS），∴∠BAE+∠EFC=∠FCG=∠DCF；（3）證明：取AB延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)M使得AM=CE，如圖3：∵AM=CE，AB⊥BC，∴∠AME=45°，∴∠ECF=AME=45°，∵AD∥BE，∴∠DAE=∠BEA，∵M(jìn)A⊥AD，AE⊥EF，∴∠MAE=∠CEF，在△AME與△ECF中，，∴△AME≌△ECF（SAS），∴AE=EF軸對(duì)稱(chēng)與軸對(duì)稱(chēng)圖形--知識(shí)講解（基礎(chǔ)）【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1．通過(guò)具體實(shí)例了解兩個(gè)圖形成軸對(duì)稱(chēng)的概念，能找出對(duì)稱(chēng)軸和對(duì)稱(chēng)點(diǎn)．2．了解兩個(gè)圖形關(guān)于某直線成軸對(duì)稱(chēng)和軸對(duì)稱(chēng)圖形的聯(lián)系與區(qū)別，理解圖形成軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)，會(huì)畫(huà)一些簡(jiǎn)單的關(guān)于某直線對(duì)稱(chēng)的圖形．3．欣賞現(xiàn)實(shí)生活中的軸對(duì)稱(chēng)圖形，體會(huì)軸對(duì)稱(chēng)在現(xiàn)實(shí)生活中的應(yīng)用和文化價(jià)值.4.理解線段的垂直平分線的概念，掌握線段的垂直平分線的性質(zhì)及判定，會(huì)畫(huà)已知線段的垂直平分線，能運(yùn)用線段的垂直平分線的性質(zhì)解決簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)問(wèn)題及實(shí)際問(wèn)題．5．通過(guò)學(xué)習(xí)，體驗(yàn)數(shù)學(xué)的對(duì)稱(chēng)美，激發(fā)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣．【要點(diǎn)梳理】要點(diǎn)一、軸對(duì)稱(chēng)與軸對(duì)稱(chēng)圖形

1.軸對(duì)稱(chēng)的定義把一個(gè)圖形沿著某一條直線翻折，如果它能夠與另一個(gè)圖形重合，那么稱(chēng)這兩個(gè)圖形關(guān)于這條直線對(duì)稱(chēng)，也稱(chēng)這兩個(gè)圖形成軸對(duì)稱(chēng)，這條直線叫做對(duì)稱(chēng)軸.折疊后重合的點(diǎn)是對(duì)應(yīng)點(diǎn)，也叫做對(duì)稱(chēng)點(diǎn).要點(diǎn)詮釋?zhuān)?/p>

軸對(duì)稱(chēng)指的是兩個(gè)圖形的位置關(guān)系，兩個(gè)圖形沿著某條直線對(duì)折后能夠完全重合．成軸對(duì)稱(chēng)的兩個(gè)圖形一定全等.2.軸對(duì)稱(chēng)圖形的定義把一個(gè)圖形沿著某直線折疊，如果直線兩旁的部分能互相重合，那么這個(gè)圖形是軸對(duì)稱(chēng)圖形，這條直線就是對(duì)稱(chēng)軸.要點(diǎn)詮釋?zhuān)?/p>

軸對(duì)稱(chēng)圖形是指一個(gè)圖形，圖形被對(duì)稱(chēng)軸分成的兩部分能夠互相重合．一個(gè)軸對(duì)稱(chēng)圖形的對(duì)稱(chēng)軸不一定只有一條，也可能有兩條或多條，因圖形而定.3.軸對(duì)稱(chēng)與軸對(duì)稱(chēng)圖形的區(qū)別與聯(lián)系軸對(duì)稱(chēng)與軸對(duì)稱(chēng)圖形的區(qū)別主要是：軸對(duì)稱(chēng)是指兩個(gè)圖形，而軸對(duì)稱(chēng)圖形是一個(gè)圖形；軸對(duì)稱(chēng)圖形和軸對(duì)稱(chēng)的關(guān)系非常密切，若把成軸對(duì)稱(chēng)的兩個(gè)圖形看作一個(gè)整體，則這個(gè)整體就是軸對(duì)稱(chēng)圖形；反過(guò)來(lái)，若把軸對(duì)稱(chēng)圖形的對(duì)稱(chēng)軸兩旁的部分看作兩個(gè)圖形，則這兩個(gè)圖形關(guān)于這條直線（原對(duì)稱(chēng)軸）對(duì)稱(chēng).要點(diǎn)二、軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)

軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)：成軸對(duì)稱(chēng)的兩個(gè)圖形中，對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連被對(duì)稱(chēng)軸垂直平分；成軸對(duì)稱(chēng)的兩個(gè)圖形的任何對(duì)應(yīng)部分也成軸對(duì)稱(chēng)；成軸對(duì)稱(chēng)的兩個(gè)圖形全等.要點(diǎn)三、線段的垂直平分線定義：垂直并且平分一條線段的直線，叫做這條線段的垂直平分線，也叫線段的中垂線．【典型例題】類(lèi)型一、判斷軸對(duì)稱(chēng)圖形 1、下面四個(gè)手機(jī)應(yīng)用圖標(biāo)中是軸對(duì)稱(chēng)圖形的是（）A． B． C． D．【思路點(diǎn)撥】我們將圖中的圖形分別沿著某條直線對(duì)折，看看圖形的兩邊能否重合，若重合則是軸對(duì)稱(chēng)圖形，否則就不是.【答案】D；【解析】軸對(duì)稱(chēng)圖形即能找到對(duì)稱(chēng)軸，使對(duì)稱(chēng)軸兩邊的圖形重合.【總結(jié)升華】找對(duì)稱(chēng)軸要注意從不同的角度去觀察，做到不重復(fù)、不遺漏.舉一反三：【變式】下列圖形中，對(duì)稱(chēng)軸最少的對(duì)稱(chēng)圖形是()【答案】A；提示：A一條對(duì)稱(chēng)軸，B四條對(duì)稱(chēng)軸，C五條對(duì)稱(chēng)軸，D三條對(duì)稱(chēng)軸.類(lèi)型二、軸對(duì)稱(chēng)的應(yīng)用2、將一個(gè)正方形紙片依次按圖的方式對(duì)折，然后沿圖中的虛線裁剪，成圖樣式，將紙展開(kāi)鋪平，所得到的圖形是圖中的（）【答案】D；【解析】【總結(jié)升華】只需要根據(jù)對(duì)稱(chēng)軸補(bǔ)全圖形就找能到答案.舉一反三：【變式】將一等腰直角三角形紙片對(duì)折后再對(duì)折，得到如圖所示的圖形，然后將陰影部分剪掉，把剩余部分展開(kāi)后的平面圖形是（）【答案】A；3、如圖，點(diǎn)P在∠AOB內(nèi)，M、N分別是點(diǎn)P關(guān)于AO、BO的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，MN分別交AO，BO于點(diǎn)E、F，若△PEF的周長(zhǎng)等于20cm，求MN的長(zhǎng)．【思路點(diǎn)撥】根據(jù)軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)可得ME=PE，NF=PF，然后求出MN=△PEF的周長(zhǎng)．【答案與解析】解：∵M(jìn)、N分別是點(diǎn)P關(guān)于AO、BO的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，∴ME=PE，NF=PF，∴MN=ME+EF+FN=PE+EF+PF=△PEF的周長(zhǎng)，∵△PEF的周長(zhǎng)等于20cm，∴MN=20cm．【總結(jié)升華】本題考查軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)，對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線與對(duì)稱(chēng)軸的位置關(guān)系是互相垂直，對(duì)應(yīng)點(diǎn)所連的線段被對(duì)稱(chēng)軸垂直平分，對(duì)稱(chēng)軸上的任何一點(diǎn)到兩個(gè)對(duì)應(yīng)點(diǎn)之間的距離相等，對(duì)應(yīng)的角、線段都相等．舉一反三：【變式1】如圖，△ABC中，AB＝BC，△ABC沿DE折疊后，點(diǎn)A落在BC邊上的處，若點(diǎn)D為AB邊的中點(diǎn)，∠A＝70°，求∠BD的度數(shù)．【答案】100°；∵AB＝BC，∴∠A＝∠C＝70°，∠B＝40°又∵ΔABC沿DE折疊后，點(diǎn)A落在BC邊上的處，點(diǎn)D為AB邊的中點(diǎn)，∴BD＝D，∠B＝∠DB＝40°，∴∠BD＝180°－40°－40°＝100°.【變式2】將矩形ABCD沿AE折疊，得到如圖所示圖形.若＝56°,則∠AED的大小是_______.【答案】62°；類(lèi)型三、軸對(duì)稱(chēng)的作圖4、如圖，△ABC和△關(guān)于直線MN對(duì)稱(chēng)，△和△關(guān)于直線EF對(duì)稱(chēng).（1）畫(huà)出直線EF；（2）直線MN與EF相交于點(diǎn)O，試探究∠與直線MN、EF所夾銳角之間的數(shù)量關(guān)系.【答案與解析】（1）如圖；（2）∠＝2；（2）∵△ABC和△關(guān)于直線MN對(duì)稱(chēng)，△和△關(guān)于直線EF對(duì)稱(chēng).∴∠BOM＝∠，∠＝∠，∵∠＋∠＝∴∠＝2【總結(jié)升華】在軸對(duì)稱(chēng)圖形和成軸對(duì)稱(chēng)的兩個(gè)圖形中，對(duì)應(yīng)線段、對(duì)應(yīng)角相等.成軸對(duì)稱(chēng)的兩個(gè)圖形，如果它們的對(duì)應(yīng)線段或延長(zhǎng)線相交，那么交點(diǎn)一定在對(duì)稱(chēng)軸上.舉一反三：【變式】在如圖所示的直角坐標(biāo)系中，每個(gè)小方格都是邊長(zhǎng)為1的正方形，△ABC的頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上，點(diǎn)A的坐標(biāo)是（﹣3，﹣1）．（1）將△ABC沿y軸正方向平移3個(gè)單位得到△A1B1C1，畫(huà)出△A1B1C1，并寫(xiě)出點(diǎn)B1坐標(biāo)；（2）畫(huà)出△A1B1C1關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)的△A2B2C2，并寫(xiě)出點(diǎn)C2的坐標(biāo)．【答案】解：（1）如圖所示：△A1B1C1，即為所求；點(diǎn)B1坐標(biāo)為：（﹣2，﹣1）；（2）如圖所示：△A2B2C2，即為所求，點(diǎn)C2的坐標(biāo)為：（1，1）．．軸對(duì)稱(chēng)與軸對(duì)稱(chēng)圖形--知識(shí)講解（提高）【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1．通過(guò)具體實(shí)例了解兩個(gè)圖形成軸對(duì)稱(chēng)的概念，能找出對(duì)稱(chēng)軸和對(duì)稱(chēng)點(diǎn)．2．了解兩個(gè)圖形關(guān)于某直線成軸對(duì)稱(chēng)和軸對(duì)稱(chēng)圖形的聯(lián)系與區(qū)別，理解圖形成軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)，會(huì)畫(huà)一些簡(jiǎn)單的關(guān)于某直線對(duì)稱(chēng)的圖形．3．欣賞現(xiàn)實(shí)生活中的軸對(duì)稱(chēng)圖形，體會(huì)軸對(duì)稱(chēng)在現(xiàn)實(shí)生活中的應(yīng)用和文化價(jià)值.4.理解線段的垂直平分線的概念，掌握線段的垂直平分線的性質(zhì)及判定，會(huì)畫(huà)已知線段的垂直平分線，能運(yùn)用線段的垂直平分線的性質(zhì)解決簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)問(wèn)題及實(shí)際問(wèn)題．5．通過(guò)學(xué)習(xí)，體驗(yàn)數(shù)學(xué)的對(duì)稱(chēng)美，激發(fā)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣．【要點(diǎn)梳理】要點(diǎn)一、軸對(duì)稱(chēng)與軸對(duì)稱(chēng)圖形

1.軸對(duì)稱(chēng)的定義把一個(gè)圖形沿著某一條直線翻折，如果它能夠與另一個(gè)圖形重合，那么稱(chēng)這兩個(gè)圖形關(guān)于這條直線對(duì)稱(chēng)，也稱(chēng)這兩個(gè)圖形成軸對(duì)稱(chēng)，這條直線叫做對(duì)稱(chēng)軸.折疊后重合的點(diǎn)是對(duì)應(yīng)點(diǎn)，也叫做對(duì)稱(chēng)點(diǎn).要點(diǎn)詮釋?zhuān)?/p>

軸對(duì)稱(chēng)指的是兩個(gè)圖形的位置關(guān)系，兩個(gè)圖形沿著某條直線對(duì)折后能夠完全重合．成軸對(duì)稱(chēng)的兩個(gè)圖形一定全等.2.軸對(duì)稱(chēng)圖形的定義把一個(gè)圖形沿著某直線折疊，如果直線兩旁的部分能互相重合，那么這個(gè)圖形是軸對(duì)稱(chēng)圖形，這條直線就是對(duì)稱(chēng)軸.要點(diǎn)詮釋?zhuān)?/p>

軸對(duì)稱(chēng)圖形是指一個(gè)圖形，圖形被對(duì)稱(chēng)軸分成的兩部分能夠互相重合．一個(gè)軸對(duì)稱(chēng)圖形的對(duì)稱(chēng)軸不一定只有一條，也可能有兩條或多條，因圖形而定.3.軸對(duì)稱(chēng)與軸對(duì)稱(chēng)圖形的區(qū)別與聯(lián)系軸對(duì)稱(chēng)與軸對(duì)稱(chēng)圖形的區(qū)別主要是：軸對(duì)稱(chēng)是指兩個(gè)圖形，而軸對(duì)稱(chēng)圖形是一個(gè)圖形；軸對(duì)稱(chēng)圖形和軸對(duì)稱(chēng)的關(guān)系非常密切，若把成軸對(duì)稱(chēng)的兩個(gè)圖形看作一個(gè)整體，則這個(gè)整體就是軸對(duì)稱(chēng)圖形；反過(guò)來(lái)，若把軸對(duì)稱(chēng)圖形的對(duì)稱(chēng)軸兩旁的部分看作兩個(gè)圖形，則這兩個(gè)圖形關(guān)于這條直線（原對(duì)稱(chēng)軸）對(duì)稱(chēng).要點(diǎn)二、軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)

軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)：成軸對(duì)稱(chēng)的兩個(gè)圖形中，對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連被對(duì)稱(chēng)軸垂直平分；成軸對(duì)稱(chēng)的兩個(gè)圖形的任何對(duì)應(yīng)部分也成軸對(duì)稱(chēng)；成軸對(duì)稱(chēng)的兩個(gè)圖形全等.要點(diǎn)三、線段的垂直平分線定義：垂直并且平分一條線段的直線，叫做這條線段的垂直平分線，也叫線段的中垂線．【典型例題】類(lèi)型一、判斷軸對(duì)稱(chēng)圖形的對(duì)稱(chēng)軸1、觀察下圖中的圖案，問(wèn)這些軸對(duì)稱(chēng)圖形，各有幾條對(duì)稱(chēng)軸?

【思路點(diǎn)撥】對(duì)于一個(gè)圖形的對(duì)稱(chēng)軸一定要按定義全方位地去找或按照定義實(shí)際操作一下，否則就容易造成漏解或找不到對(duì)稱(chēng)軸.

【答案與解析】①有4條對(duì)稱(chēng)軸．②有1條對(duì)稱(chēng)軸．③有2條對(duì)稱(chēng)軸．

【總結(jié)升華】這類(lèi)圖形必須得認(rèn)真觀察、分析每個(gè)圖形的特征，最好能動(dòng)手操作一下．

舉一反三：【變式1】試說(shuō)出下列圖形的對(duì)稱(chēng)軸的條數(shù).

（1）線段；（2）角；（3）平行線（兩條）.【答案】

（1）線段沿著本身所在直線或沿著它的中垂線折疊，兩旁的部分能夠完全重合.故線段有兩條對(duì)稱(chēng)軸；（2）角沿著它的平分線所在直線對(duì)折，兩旁的部分能夠完全重合，故只有一條對(duì)稱(chēng)軸，即角平分線所在直線；（3）兩條平行線，沿著和它們都平行且到它們距離相等的一條直線或沿著和它們都垂直的直線對(duì)折，兩旁的部分能夠重合．而和它們都垂直的直線有無(wú)數(shù)條故它的對(duì)稱(chēng)軸有無(wú)數(shù)條．綜上，線段、角、兩條平行線的對(duì)稱(chēng)軸分別是2條、l條、無(wú)數(shù)條．【變式2】在4×4的正方形網(wǎng)格中，已將圖中的四個(gè)小正方形涂上陰影（如圖），若再?gòu)钠溆嘈≌叫沃腥芜x一個(gè)也涂上陰影，使得整個(gè)陰影部分組成的圖形成軸對(duì)稱(chēng)圖形．那么符合條件的小正方形共有個(gè)．【答案】3．解：如圖所示，有3個(gè)使之成為軸對(duì)稱(chēng)圖形．類(lèi)型二、軸對(duì)稱(chēng)的應(yīng)用2、如圖所示，在正方形中均勻地分布著一些數(shù)字，小明利用軸對(duì)稱(chēng)的思想，用了一種非常巧妙的方法，迅速地將這組數(shù)字和求了出來(lái)，你也