2024年初二上冊數(shù)學(xué)期末考試專項復(fù)習(xí)19勾股定理（提高）知識講解

2024年初二上冊數(shù)學(xué)期末考試專項復(fù)習(xí)勾股定理（提高）【學(xué)習(xí)目標】1．掌握勾股定理的內(nèi)容，了解勾股定理的多種證明方法，體驗數(shù)形結(jié)合的思想；2．能夠運用勾股定理求解三角形中相關(guān)的邊長（只限于常用的數(shù)）；3．通過對勾股定理的探索解決簡單的實際問題，進一步運用方程思想解決問題．【要點梳理】【高清課堂勾股定理知識要點】要點一、勾股定理直角三角形兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方．如果直角三角形的兩直角邊長分別為，斜邊長為，那么．要點詮釋：（1）勾股定理揭示了一個直角三角形三邊之間的數(shù)量關(guān)系．（2）利用勾股定理，當設(shè)定一條直角邊長為未知數(shù)后，根據(jù)題目已知的線段長可以建立方程求解，這樣就將數(shù)與形有機地結(jié)合起來，達到了解決問題的目的．（3）理解勾股定理的一些變式：，，．要點二、勾股定理的證明方法一：將四個全等的直角三角形拼成如圖（1）所示的正方形．圖（1）中，所以．方法二：將四個全等的直角三角形拼成如圖（2）所示的正方形．圖（2）中，所以．方法三：如圖（3）所示，將兩個直角三角形拼成直角梯形．，所以．要點三、勾股定理的作用已知直角三角形的任意兩條邊長，求第三邊；用于解決帶有平方關(guān)系的證明問題；3．與勾股定理有關(guān)的面積計算；4．勾股定理在實際生活中的應(yīng)用．【典型例題】類型一、與勾股定理有關(guān)的證明 1、在△ABC中，AB=AC，D是BC延長線上的點，求證：

【答案與解析】證明：作等腰三角形底邊上的高AE

∵AB=AC，AE⊥BC∴BE=EC,∠AEB=∠AEC=90°∴【總結(jié)升華】解決帶有平方關(guān)系的問題，關(guān)鍵是找出直角三角形，利用勾股定理進行轉(zhuǎn)化，若沒有直角三角形，常常通過作垂線構(gòu)造直角三角形，再利用勾股定理解題．類型二、與勾股定理有關(guān)的線段長2、如圖，在等腰直角三角形ABC中，∠ABC=90°，D為AC邊上中點，過D點作DE丄DF，交AB于E，交BC于F，若AE=4，F(xiàn)C=3，求EF長．【答案與解析】解：連接BD，∵等腰直角三角形ABC中，D為AC邊上中點，∴BD⊥AC（三線合一），BD=CD=AD，∠ABD=45°，∴∠C=45°，∴∠ABD=∠C，又∵DE丄DF，∴∠FDC+∠BDF=∠EDB+∠BDF，∴∠FDC=∠EDB，在△EDB與△FDC中，∵，∴△EDB≌△FDC（ASA），∴BE=FC=3，∴AB=7，則BC=7，∴BF=4，在Rt△EBF中，EF2=BE2+BF2=32+42，∴EF=5．【總結(jié)升華】此題考查的知識點是勾股定理及全等三角形的判定，關(guān)鍵是由已知先證三角形全等，求得BE和BF，再由勾股定理求出EF的長．舉一反三：【變式】（2015春?天津校級期中）如圖，∠C=30°，PA⊥OA于A，PB⊥OB于B，PA=2，PB=11，求OP的長．【答案】解：∵PA⊥OA，∠C=30°，∴PC=2PA=4，∴BC=BP+PC=11+4=15，∵PB⊥OB，∠C=30°，設(shè)OB=x，則OC=2x，在Rt△BOC中，由勾股定理得：x+15=（2x），解得，x=5，即OB=5，∴OP===14．類型三、與勾股定理有關(guān)的面積計算3、（2015?豐臺區(qū)二模）問題背景：在△ABC中，AB，BC，AC三邊的長分別為，3，，求這個三角形的面積．小軍同學(xué)在解答這道題時，先建立了一個正方形網(wǎng)格（每個小正方形的邊長為1），再在網(wǎng)格中畫出格點△ABC（即△ABC三個頂點都在小正方形的頂點處），如圖1所示．這樣不需要求出△ABC的高，借用網(wǎng)格就能計算出它的面積．（1）請你直接寫出△ABC的面積；思維拓展：（2）如果△MNP三邊的長分別為，2，，請利用圖2的正方形網(wǎng)格（每個小正方形的邊長為1）畫出相應(yīng)的格點△MNP，并直接寫出△MNP的面積．【思路點撥】（1）根據(jù)圖形得出S△ABC=S矩形MONC﹣S△CMA﹣S△AOB﹣S△BNC，根據(jù)面積公式求出即可；（2）先畫出符合的三角形，再根據(jù)圖形和面積公式求出即可．【答案與解析】解：（1）△ABC的面積是4.5，理由是：S△ABC=S矩形MONC﹣S△CMA﹣S△AOB﹣S△BNC=4×3﹣×4×1﹣×2×1﹣×3×3=4.5，故答案為：4.5；（2）如圖2的△MNP，S△MNP=S矩形MOAB﹣S△MON﹣S△PAN﹣S△MBP=5×3﹣×5×1﹣×2×4﹣×3×1=7，即△MNP的面積是7．【總結(jié)升華】本題考查了勾股定理和三角形的面積公式的應(yīng)用，解此題的關(guān)鍵是能正確畫出格點三角形，難度不是很大．舉一反三：【變式】如圖是一株美麗的勾股樹，其中所有的四邊形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形A、B、C、D的邊長分別是4、6、3、4，則最大正方形E的面積是（）A．17B．36C．77D．94【答案】C類型四、利用勾股定理解決實際問題4、（2016?貴陽模擬）一架梯子長25米，斜靠在一面墻上，梯子底端離墻7米，（1）這個梯子的頂端距地面有多高？（2）如果梯子的頂端下滑了4米到A′，那么梯子的底端在水平方向滑動了幾米？【思路點撥】（1）利用勾股定理直接得出AB的長即可；（2）利用勾股定理直接得出BC′的長，進而得出答案．【答案與解析】解：（1）由題意得：AC=25米，BC=7米，AB==24（米），答：這個梯子的頂端距地面有24米；（2）由題意得：BA′=20米，BC′==15（米），則：CC′=15﹣7=8（米），答：梯子的底端在水平方向滑動了8米．【總結(jié)升華】此題主要考查了勾股定理的應(yīng)用，熟練利用勾股定理是解題關(guān)鍵．舉一反三：【變式】如圖①，有一個圓柱，它的高等于12，底面半徑等于3，在圓柱的底面A點有一只螞蟻，它想吃到上底面上與A點相對的B點的食物，需要爬行的最短路程是多少?(π取3)【答案】解：如圖②所示，由題意可得：，在Rt△AA′B中，根據(jù)勾股定理得：則AB＝15．所以需要爬行的最短路程是15．勾股定理的逆定理（提高）【學(xué)習(xí)目標】1.理解勾股定理的逆定理，并能與勾股定理相區(qū)別；2.能運用勾股定理的逆定理判斷一個三角形是否是直角三角形；3.理解勾股數(shù)的含義；4.通過探索直角三角形的判定條件的過程，培養(yǎng)動手操作能力和邏輯推理能力.【要點梳理】【高清課堂勾股定理逆定理知識要點】要點一、勾股定理的逆定理如果三角形的三條邊長，滿足，那么這個三角形是直角三角形.要點詮釋：（1）勾股定理的逆定理的作用是判定某一個三角形是否是直角三角形.（2）勾股定理的逆定理是把“數(shù)”轉(zhuǎn)為“形”，是通過計算來判定一個三角形是否為直角三角形.要點二、如何判定一個三角形是否是直角三角形首先確定最大邊（如）.驗證與是否具有相等關(guān)系.若，則△ABC是∠C＝90°的直角三角形；若，則△ABC不是直角三角形.要點詮釋：當時，此三角形為鈍角三角形；當時，此三角形為銳角三角形，其中為三角形的最大邊.要點三、勾股數(shù)滿足不定方程的三個正整數(shù)，稱為勾股數(shù)（又稱為高數(shù)或畢達哥拉斯數(shù)），顯然，以為三邊長的三角形一定是直角三角形.熟悉下列勾股數(shù)，對解題會很有幫助：3、4、5；②5、12、13；③8、15、17；④7、24、25；⑤9、40、41……如果是勾股數(shù)，當為正整數(shù)時，以為三角形的三邊長，此三角形必為直角三角形.要點詮釋：（1）（是自然數(shù)）是直角三角形的三條邊長；（2）（是自然數(shù)）是直角三角形的三條邊長；（3）（是自然數(shù)）是直角三角形的三條邊長；【典型例題】類型一、勾股定理的逆定理1、（2016春?咸豐縣月考）如圖所示，在△ABC中，AB：BC：CA=3：4：5，且周長為36cm，點P從點A開始沿AB邊向B點以每秒1cm的速度移動；點Q從點B沿BC邊向點C以每秒2cm的速度移動，如果同時出發(fā)，則過3秒時，△BPQ的面積為多少cm2.【思路點撥】本題先設(shè)適當?shù)膮?shù)求出三角形的三邊，由勾股定理的逆定理得出三角形為直角三角形．再求出3秒后的BP，BQ的長，利用三角形的面積公式計算求解．【答案與解析】解：設(shè)AB為3xcm，BC為4xcm，AC為5xcm，∵周長為36cm，AB+BC+AC=36cm，∴3x+4x+5x=36，得x=3，∴AB=9cm，BC=12cm，AC=15cm，∵AB2+BC2=AC2，∴△ABC是直角三角形，過3秒時，BP=9﹣3×1=6（cm），BQ=2×3=6（cm），∴S△PBQ=BP?BQ=×（9﹣3）×6=18（cm2）．故過3秒時，△BPQ的面積為18cm2．【總結(jié)升華】本題是道綜合性較強的題，需要學(xué)生把勾股定理的逆定理、三角形的面積公式結(jié)合求解．由勾股定理的逆定理得出三角形為直角三角形，是解題的關(guān)鍵．隱含了整體的數(shù)學(xué)思想和正確運算的能力．2、如圖，點D是△ABC內(nèi)一點，把△ABD繞點B順時針方向旋轉(zhuǎn)60°得到△CBE，若AD=4，BD=3，CD=5．（1）判斷△DEC的形狀，并說明理由；（2）求∠ADB的度數(shù)．【思路點撥】把△ABD繞點B順時針方向旋轉(zhuǎn)60°，注意旋轉(zhuǎn)只是三角形的位置變了，三角形的邊長和角度并沒有變，并且旋轉(zhuǎn)的角度60°，因此出現(xiàn)等邊△BDE，從而才能更有利的判斷三角形的形狀和求∠ADB的度數(shù)．【答案與解析】解：（1）根據(jù)圖形的旋轉(zhuǎn)不變性，AD=EC，BD=BE，又∵∠DBE=∠ABC=60°，∴△ABC和△DBE均為等邊三角形，于是DE=BD=3，EC=AD=4，又∵CD=5，∴DE2+EC2=32+42=52=CD2；故△DEC為直角三角形．（2）∵△DEC為直角三角形，∴∠DEC=90°，又∵△BDE為等邊三角形，∴∠BED=60°，∴∠BEC=90°+60°=150°，即∠ADB=150°．【總結(jié)升華】此題考查了旋轉(zhuǎn)后圖形的不變性、全等三角形的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)、勾股定理的逆定理等知識，綜合性較強，是一道好題．解答（2）時要注意運用（1）的結(jié)論．舉一反三：【變式】如圖所示，在△ABC中，已知∠ACB＝90°，AC＝BC，P是△ABC內(nèi)一點，且PA＝3，PB＝1，PC＝CD＝2，CD⊥CP，求∠BPC的度數(shù)．【答案】解：連接BD．∵CD⊥CP，且CD＝CP＝2，∴△CPD為等腰直角三角形，即∠CPD＝45°．∵∠ACP+∠BCP＝∠BCP+∠BCD＝90°，∴∠ACP＝∠BCD．∵CA＝CB，∴△CAP≌△CBD(SAS)，∴DB＝PA＝3．在Rt△CPD中，．又∵PB＝1，則．∵，∴，∴△DPB為直角三角形，且∠DPB＝90°，∴∠CPB＝∠CPD+∠DPB＝45°+90°＝135°．類型二、勾股定理逆定理的應(yīng)用3、已知a、b、c是△ABC的三邊，且滿足，且a+b+c=12，請你探索△ABC的形狀．【答案與解析】解：令=k．∴a+4=3k，b+3=2k，c+8=4k，∴a=3k﹣4，b=2k﹣3，c=4k﹣8．又∵a+b+c=12，∴（3k﹣4）+（2k﹣3）+（4k﹣8）=12，∴k=3．∴a=5，b=3，c=4．∴△ABC是直角三角形．【總結(jié)升華】此題借用設(shè)比例系數(shù)k的方法，進一步求得三角形的三邊長，根據(jù)勾股定理的逆定理判定三角形的形狀．舉一反三：【變式】（2015春?渝中區(qū)校級月考）△ABC的三邊a、b、c滿足|a+b﹣50|++（c﹣40）2=0．試判斷△ABC的形狀是．【答案】直角三角形．解：∵|a+b﹣50|++（c﹣40）2=0，∴，解得，∵92+402=412，∴△ABC是直角三角形．故答案為直角三角形．4、如圖所示，MN以左為我國領(lǐng)海，以右為公海，上午9時50分我國緝私艇A發(fā)現(xiàn)在其正東方向有一走私艇C并以每小時13海里的速度偷偷向我國領(lǐng)海開來，便立即通知距其5海里，并在MN線上巡邏的緝私艇B密切注意，并告知A和C兩艇的距離是13海里，緝私艇B測得C與其距離為12海里，若走私艇C的速度不變，最早在什么時間進入我國海域？【答案與解析】解：∵，∴△ABC為直角三角形．∴∠ABC＝90°．又BD⊥AC，可設(shè)CD＝，∴①－②得，解得．∴≈0.85(h)＝51(分)．所以走私艇最早在10時41分進入我國領(lǐng)海．【總結(jié)升華】（1）本題用勾股定理作相等關(guān)系列方程解決問題，（2）用勾股定理的逆定理判定直角三角形，為勾股定理的運用提供了條件．勾股定理的逆定理（基礎(chǔ)）【學(xué)習(xí)目標】1.理解勾股定理的逆定理，并能與勾股定理相區(qū)別；2.能運用勾股定理的逆定理判斷一個三角形是否是直角三角形；3.理解勾股數(shù)的含義；4.通過探索直角三角形的判定條件的過程，培養(yǎng)動手操作能力和邏輯推理能力.【要點梳理】【高清課堂勾股定理逆定理知識要點】要點一、勾股定理的逆定理如果三角形的三條邊長，滿足，那么這個三角形是直角三角形.要點詮釋：（1）勾股定理的逆定理的作用是判定某一個三角形是否是直角三角形.（2）勾股定理的逆定理是把“數(shù)”轉(zhuǎn)為“形”，是通過計算來判定一個三角形是否為直角三角形.要點二、如何判定一個三角形是否是直角三角形首先確定最大邊（如）.驗證與是否具有相等關(guān)系.若，則△ABC是∠C＝90°的直角三角形；若，則△ABC不是直角三角形.要點詮釋：當時，此三角形為鈍角三角形；當時，此三角形為銳角三角形，其中為三角形的最大邊.要點三、勾股數(shù)滿足不定方程的三個正整數(shù)，稱為勾股數(shù)（又稱為高數(shù)或畢達哥拉斯數(shù)），顯然，以為三邊長的三角形一定是直角三角形.熟悉下列勾股數(shù)，對解題會很有幫助：3、4、5；②5、12、13；③8、15、17；④7、24、25；⑤9、40、41……如果是勾股數(shù)，當為正整數(shù)時，以為三角形的三邊長，此三角形必為直角三角形.要點詮釋：（1）（是自然數(shù)）是直角三角形的三條邊長；（2）（n≥1，是自然數(shù)）是直角三角形的三條邊長；（3）（是自然數(shù)）是直角三角形的三條邊長；【典型例題】類型一、勾股定理的逆定理 1、判斷由線段組成的三角形是不是直角三角形．（1）＝7，＝24，＝25；（2）＝，＝1，＝；（3），，()；【思路點撥】判斷三條線段能否組成直角三角形，關(guān)鍵是運用勾股定理的逆定理：看較短的兩條線段的平方和是否等于最長線段的平方．若是，則為直角三角形，反之，則不是直角三角形．【答案與解析】解：（1）∵，，∴．∴由線段組成的三角形是直角三角形．（2）∵，，，∴．∴由線段組成的三角形不是直角三角形．（3）∵，∴，．∵，，∴．∴由線段組成的三角形是直角三角形．【總結(jié)升華】解此類題的關(guān)鍵是準確地判斷哪一條邊最大，然后再利用勾股定理的逆定理進行判斷，即首先確定最大邊，然后驗證與是否具有相等關(guān)系，再根據(jù)結(jié)果判斷是否為直角三角形．舉一反三：【變式】（2015春?安陸市期中）發(fā)現(xiàn)下列幾組數(shù)據(jù)能作為三角形的邊：（1）8，15，17；（2）5，12，13；（3）12，15，20；（4）7，24，25．其中能作為直角三角形的三邊長的有（） A.1組 B.2組 C.3組 D.4組【答案】C.解：①∵82+152=172，∴能組成直角三角形；②∵52+122=132，∴能組成直角三角形；③122+152≠202，∴不能組成直角三角形；④72+242=252，∴能組成直角三角形．故選C．2、（2016春?豐城市期末）如圖，已知四邊形ABCD中，∠B＝∠90°，AB＝3，BC＝4，CD＝12，AD＝13，求四邊形ABCD的面積．【思路點撥】由AB＝3，BC＝4，∠B＝90°，應(yīng)想到連接AC，則在Rt△ABC中即可求出△ABC的面積，也可求出線段AC的長．所以在△ACD中，已知AC，AD，CD三邊長，判斷這個三角形的形狀，進而求得這個三角形的面積．【答案與解析】解：連接AC，在△ABC中，因為∠B＝90°，AB＝3，BC＝4，所以，所以AC＝5，在△ACD中，AD＝13，DC＝12，AC＝5，所以，即．所以△ACD是直角三角形，且∠ACD＝90°．所以．【總結(jié)升華】有關(guān)四邊形的問題通常轉(zhuǎn)化為三角形的問題來解，本題是勾股定理及逆定理的綜合考察．類型二、勾股定理逆定理的應(yīng)用3、已知：為的三邊且滿足，試判斷的形狀.【答案與解析】解：∵∴∴，∴△ABC是直角三角形.【總結(jié)升華】此類問題中要判斷的三角形一般都是特殊三角形，一定要善于把題目中已知的條件等式進行變形，從而得到三角形的三邊關(guān)系.對條件等式進行變形常用的方法有配方法，因式分解法等.舉一反三：【變式】請閱讀下列解題過程：已知a、b、c為△ABC的三邊，且滿足a2c2﹣b2c2=a4﹣b4，試判斷△ABC的形狀．解：∵a2c2﹣b2c2=a4﹣b4，第一步∴c2（a2﹣b2）=（a2+b2）（a2﹣b2），第二步∴c2=a2+b2，第三步∴△ABC為直角三角形．第四步問：（1）在上述解題過程中，從哪一步開始出現(xiàn)錯誤：_________；（2）錯誤的原因是：_________；（3）本題正確的結(jié)論是：_________．【答案】解：（1）第三步；（2）方程