2024年屆河北省張家口市普通高中學業(yè)水平選擇性模擬考試數學試題(含答案)

年普通高中學業(yè)水平選擇性模擬考試數學注意事項：1.答卷前，考生務必將自己的姓名?準考證號填寫在答題卡上.2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效.3.考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回.一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.設命題：對任意的等比數列也是等比數列，則命題的否定為（）A.對任意的非等比數列是等比數列B.對任意的等比數列不是等比數列C.存在一個等比數列，使是等比數列D.存在一個等比數列，使不是等比數列2.已知（是虛數單位），則復數的共軛復數（）A.B.C.D.3.已知角的頂點在原點，始邊在軸的正半軸上，終邊經過點，則（）A.B.C.D.4.若函數，且的圖象所過定點恰好在橢圓上，則的最小值為（）A.6B.12C.16D.185.記的內角的對邊分別為，設向量，若，則（）A.B.C.D.6.已知函數在區(qū)間上單調遞減，則函數的解析式可以為（）A.B.C.D.7.已知分別是圓與圓上的動點，若的最大值為12，則的值為（）A.0B.1C.2D.38.已知分別為雙曲線的左?右焦點，過作雙曲線的一條漸近線的垂線，垂足為為坐標原點，若，則雙曲線的離心率為（）A.B.C.D.二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.下列對函數的判斷中，正確的有（）A.函數為奇函數B.函數的最大值為C.函數的最小正周期為D.直線是函數圖象的一條對稱軸10.甲?乙兩名同學分別從四門不同的選修課中隨機選修兩門.設事件“兩門選修課中，甲同學至少選修一門”，事件“乙同學一定不選修”，事件“甲?乙兩人所選選修課至多有一門相同”，事件“甲?乙兩人均選修”，則（）A.B.C.與相互獨立D.與相互獨立11.如圖，在平行六面體中，底面是正方形，為與的交點，則下列條件中能成為“”的必要條件有（）A.四邊形是矩形B.平面平面C.平面平面D.直線所成的角與直線所成的角相等三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.若曲線在點處的切線過原點，則__________.13.已知圓臺的高為3，中截面（過高的中點且垂直于軸的截面）的半徑為3，若中截面將該圓臺的側面分成了面積比為的兩部分，則該圓臺的母線長為__________.14.已知函數的圖象關于點中心對稱，也關于點中心對稱，則的中位數為__________.四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明?證明過程或演算步驟.15.（13分）2024龍年春節(jié)期間哈爾濱旅游火出圈，“小土豆”等更成為流行詞，旅游過節(jié)已成為一種新時尚.某旅行社為了解某市市民的春節(jié)旅游意愿與年齡層次是否有關，從該市隨機抽取了200位市民，通過調查得到如下表格：單位：人市民春節(jié)旅游意愿愿意不愿意青年人8020老年人4060（1）根據小概率值的獨立性檢驗，判斷該市市民的春節(jié)旅游意愿與年齡層次是否有關聯.（2）從樣本中按比例分配選取10人，再隨機從中抽取4人作某項調查，記這4人中青年人愿意出游的人數為，試求的分布列和數學期望.附：，其中.0.10.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.82816.（15分）已知函數.（1）當時，求的單調區(qū)間和極值；（2）求在區(qū)間上的最大值.17.（15分）如圖，在四棱錐中，平面，為的中點.（1）試判斷是否為正三角形，并給出證明；（2）若直線與平面所成角的正弦值為，求平面與平面夾角的余弦值.18.（17分）在平面直角坐標系中，動點在圓上，動點在直線上，過點作垂直于的直線與線段的垂直平分線交于點，且，記的軌跡為曲線.（1）求曲線的方程.（2）若直線與曲線交于兩點，與曲線交于兩點，其中，且同向，直線交于點.（i）證明：點在一條確定的直線上，并求出該直線的方程；（ii）當的面積等于時，試把表示成的函數.19.（17分）如果項數相同的數列滿足，且為奇數時，為偶數時，，其中，那么就稱為“互補交叉數列”，記為的“互補交叉數列對”，為的前項和.（1）若，且，寫出所有滿足條件的“互補交叉數列對".（2）當為“互補交叉數列”時，（i）證明：取最大值時，存在；（ii）當為偶數時，求的最大值.數學參考答案及評分標準一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.D【解析】全稱量詞命題的否定是存在量詞命題，所以存在一個等比數列，使不是等比數列.故選D.2.B【解析】由題意得，所以.故選B.3.A【解析】由題易得，所以.故選A.另：角為第二象限角，，不妨令，則.故選A.4.C【解析】由題意得，函數，且的圖象所過定點為，則，，當且僅當時等號成立.故選C.5.C【解析】由得，由正弦定理得.因為中，所以.又，所以，即.故選C.6.A【解析】內層函數在區(qū)間上單調遞增，所以在區(qū)間上單調遞減.函數在區(qū)間上單調遞減，在區(qū)間上單調遞增，函數在區(qū)間上單調遞增，在區(qū)間上單調遞增.故選A.7.D【解析】由題意知的最大值等于12，則圓與圓相內切，所以.又，所以.故選D.8.B【解析】由題意可得，且，所以在中，由余弦定理得，.因為，所以，平方化簡整理得，.又，所以，即，所以，得，則.故選B.二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.BCD【解析】因為，所以為偶函數，故選項不正確.因為，所以的最大值為，最小正周期為，函數圖象的對稱軸為，故選項B，C，D正確.故選BCD.10.AC【解析】因為，故選項正確，錯誤；因為，所以與相互獨立，與不相互獨立，故選項C正確，錯誤.故選AC.11.ACD【解析】在平行六面體中，由得，四邊形為矩形，選項正確；假設平面平面，因為平面平面，平面，所以平面，因為平面，所以，與四邊形為正方形矛盾，故選項錯誤；由四邊形是正方形，得，因為，所以.又因為，所以平面，又平面，所以平面平面，選項C正確；因為四邊形為矩形，所以，又正方形中，是公共邊，所以，所以，又，所以分別為直線所成的角與直線，所成的角（或其補角），由，知選項正確.故選ACD.三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.【解析】因為，所以，所以在點處的切線方程為.又切線過原點，則，所以.13.5【解析】設圓臺的上?下底面圓的半徑分別為，因為中截面的半徑為3，所以.又中截面將該圓臺的側面分成了面積比為的兩部分，所以，解得，所以.又圓臺的高為3，所以圓臺的母線長為.14.【解析】由的圖象關于點中心對稱，也關于點中心對稱，得，兩式相減得，所以.因為當時，由，得，當時，由，得.又，所以成首項為0?公差為1的等差數列，所以，所以的中位數為.四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明?證明過程或演算步驟.15.解：（1）零假設：該市市民的春節(jié)旅游意愿與年齡層次無關.依題意，得單位：人市民春節(jié)旅游意愿合計愿意不愿意青年人8020100老年人4060100合計12080200所以.根據小概率值的獨立性檢驗，推斷不成立，即該市市民的春節(jié)旅游意愿與年齡層次有關聯，此推斷犯錯誤的概率不大于0.005.（2）從樣本中按比例分配選取10人，則青年人愿意出游?青年人不愿意出游?老年人愿意出游?老年人不愿意出游的人數分別為，再隨機從中抽取4人，青年人愿意出游的人數的所有可能取值為.且，即的分布列為01234所求數學期望為.16.解：（1）當時，，則，解可得（舍去）或.當時，，函數單調遞增，當時，，函數單調遞減，故函數的單調遞增區(qū)間是，單調遞減區(qū)間是，函數的極大值為，沒有極小值.（2）由題意得.若，當時，在區(qū)間上單調遞增，此時的最大值為若，當時，單調遞增，時，單調遞減，此時的最大值為；若，則，當時，單調遞增，時，單調遞減，此時的最大值為；若，則，當時，在區(qū)間上單調遞增，此時的最大值為.綜上，17.解：（1）為正三角形.證明如下：如圖，設，連接.因為為的中點，所以四邊形均為菱形，所以，所以.因為平面平面，所以.因為，所以平面，所以平面.又平面，所以.又易知為的中點，所以.因為平面平面，所以，所以，所以為正三角形.（2）由（1）知平面，所以為直線與平面所成的角，所以，所以，所以.因為均為正三角形，所以，所以，所以.又，所以平面.又，所以以為原點，所在直線分別為軸?軸?軸，建立如圖所示的空間直角坐標系.令，則，所以.設平面的法向量為，則，得令，則，所以平面的一個法向量.由平面，得是平面的一個法向量，所以，所以平面與平面夾角的余弦值為.18.（1）解：由題意得，.設，則，化簡整理得，所以動點的軌跡的方程為.（2）（i）證明：設，聯立整理得，則，得，且，同理.設的中點分別為，則，由題意可知存在實數，使，所以三點共線，即點在定直線上.（ii）解：由（i）得，，同理，設的底邊上的高為，梯形的高為，則由相似比得，解得.所以的面積.又，所以.整理得，所以，即.19.（1）解：，且時，滿足條件的“互補交叉數列對”分別為.（2）（i）證明：若取最大值時，存在，使.由題意知為奇數，不妨設.①若存在為偶數），使得，則讓的值變?yōu)槌跏嫉闹?，讓的值變?yōu)?，這樣所得到的新數列也是“互補交叉數列”