高等數(shù)學(xué)常系數(shù)非齊次線性微分方程教案

PAGEPAGE6時(shí)間月日星期課題§7-8常系數(shù)非齊次線性微分方程教學(xué)目的掌握二階常系數(shù)非齊次線性微分方程當(dāng)為與時(shí)，特解的形式及解法教學(xué)重點(diǎn)當(dāng)為與時(shí)特解形式及解法教學(xué)難點(diǎn)當(dāng)為與時(shí)特解的不同形式。課型專業(yè)基礎(chǔ)課教學(xué)媒體教法選擇講授教學(xué)過(guò)程教法運(yùn)用及板書(shū)要點(diǎn)二階常系數(shù)非齊次線性微分方程的一般形式是y+py+qy=f(x)（1）其中p、q是常數(shù).根據(jù)線性方程解的結(jié)構(gòu)，二階常系數(shù)非齊次線性微分方程的通解是對(duì)應(yīng)的齊次方程的通解y=Y(x)與非齊次方程本身的一個(gè)特解y=y*(x)之和y=Y(x)+y*(x).由于二階常系數(shù)齊次線性微分方程的通解上面已介紹其求解方法，故這里只需討論求二階常系數(shù)非齊次線性微分方程的特解的方法。的形式很多，我們只討論它為兩種特殊形式時(shí)方程的特解的求法。一、型二階常系數(shù)非齊次線性微分方程為，為次多項(xiàng)式?？梢圆孪?方程的特解也應(yīng)具有這種形式.因?yàn)槎囗?xiàng)式與指數(shù)函數(shù)的乘積仍然是多項(xiàng)式與指數(shù)函數(shù)的乘積.因此,設(shè)特解形式為y*=Q(x)elx,將代入方程,得等式Q(x)+(2l+p)Q(x)+(l2+pl+q)Q(x)=Pm(x).此表2學(xué)時(shí)填寫一份，“教學(xué)過(guò)程”不足時(shí)可續(xù)頁(yè)(1)如果l不是特征方程r2+pr+q=0的根,則l2+pl+q0.要使上式成立,Q(x)應(yīng)設(shè)為m次多項(xiàng)式:Qm(x)=b0xm+b1xm-1++bm-1x+bm,通過(guò)比較等式兩邊同次項(xiàng)系數(shù),可確定b0,b1,,bm,并得所求特解y*=Qm(x)elx.(2)如果l是特征方程r2+pr+q=0的單根,則l2+pl+q=0,但2l+p0,要使等式Q(x)+(2l+p)Q(x)+(l2+pl+q)Q(x)=Pm(x).成立,Q(x)應(yīng)設(shè)為m+1次多項(xiàng)式:Q(x)=xQm(x),Qm(x)=b0xm+b1xm-1++bm-1x+bm,通過(guò)比較等式兩邊同次項(xiàng)系數(shù),可確定b0,b1,,bm,并得所求特解y*=xQm(x)elx.二階常系數(shù)非齊次線性微分方程的一般形式是y+py+qy=f(x)（1）其中p、q是常數(shù).根據(jù)線性方程解的結(jié)構(gòu)，二階常系數(shù)非齊次線性微分方程的通解是對(duì)應(yīng)的齊次方程的通解y=Y(x)與非齊次方程本身的一個(gè)特解y=y*(x)之和y=Y(x)+y*(x).由于二階常系數(shù)齊次線性微分方程的通解上面已介紹其求解方法，故這里只需討論求二階常系數(shù)非齊次線性微分方程的特解的方法。的形式很多，本節(jié)我們只討論它為兩種特殊形式時(shí)方程的特解的求法。一、型即，為次多項(xiàng)式。可以猜想,方程的特解也應(yīng)具有這種形式.因?yàn)槎囗?xiàng)式與指數(shù)函數(shù)的乘積仍然是多項(xiàng)式與指數(shù)函數(shù)的乘積.因此,設(shè)特解形式為y*=Q(x)elx,將代入方程,得等式Q(x)+(2l+p)Q(x)+(l2+pl+q)Q(x)=Pm(x).(1)如果l不是特征方程r2+pr+q=0的根,則l2+pl+q0.要使上式成立,Q(x)應(yīng)設(shè)為m次多項(xiàng)式:Qm(x)=b0xm+b1xm-1++bm-1x+bm,通過(guò)比較等式兩邊同次項(xiàng)系數(shù),可確定b0,b1,,bm,并得所求特解y*=Qm(x)elx.(2)如果l是特征方程r2+pr+q=0的單根,則l2+pl+q=0,但2l+p0,要使等式Q(x)+(2l+p)Q(x)+(l2+pl+q)Q(x)=Pm(x).成立,Q(x)應(yīng)設(shè)為m+1次多項(xiàng)式:Q(x)=xQm(x),Qm(x)=b0xm+b1xm-1++bm-1x+bm,通過(guò)比較等式兩邊同次項(xiàng)系數(shù),可確定b0,b1,,bm,并得所求特解y*=xQm(x)elx.(3)如果l是特征方程r2+pr+q=0的二重根,則l2+pl+q=0,2l+p=0,要使等式Q(x)+(2l+p)Q(x)+(l2+pl+q)Q(x)=Pm(x).成立,Q(x)應(yīng)設(shè)為m+2次多項(xiàng)式:Q(x)=x2Qm(x),Qm(x)=b0xm+b1xm-1++bm-1x+bm,通過(guò)比較等式兩邊同次項(xiàng)系數(shù),可確定b0,b1,,bm,并得所求特解y*=x2Qm(x)elx.綜上所述,我們有如下結(jié)論:如果f(x)=Pm(x)elx,則二階常系數(shù)非齊次線性微分方程y+py+qy=f(x)有形如y*=xkQm(x)elx（4）的特解,其中Qm(x)是與Pm(x)同次的多項(xiàng)式,而k按l不是特征方程的根、是特征方程的單根或是特征方程的的重根依次取為0、1或2.上述結(jié)論可以推廣到階常系數(shù)非齊次線性微分方程，這里不再累贅。例1求微分方程y-2y-3y=3x+1的一個(gè)特解.解這是二階常系數(shù)非齊次線性微分方程,且函數(shù)f(x)是Pm(x)elx型(其中Pm(x)=3x+1,l=0).與所給方程對(duì)應(yīng)的齊次方程為y-2y-3y=0,它的特征方程為r2-2r-3=0.由于這里l=0不是特征方程的根,所以應(yīng)設(shè)特解為y*=b0x+b1.把它代入所給方程,得-3b0x-2b0-3b1=3x+1,比較兩端x同次冪的系數(shù),得由此求得b0=-1,.于是求得所給方程的一個(gè)特解為.例2求微分方程y-5y+6y=xe2x的通解.解所給方程是二階常系數(shù)非齊次線性微分方程,且f(x)是Pm(x)elx型(其中Pm(x)=x,l=2).與所給方程對(duì)應(yīng)的齊次方程為y-5y+6y=0,它的特征方程為r2-5r+6=0.特征方程有兩個(gè)實(shí)根r1=2,r2=3.于是所給方程對(duì)應(yīng)的齊次方程的通解為Y=C1e2x+C2e3x.由于l=2是特征方程的單根,所以應(yīng)設(shè)方程的特解為y*=x(b0x+b1)e2x.把它代入所給方程,得-2b0x+2b0-b1=x.比較兩端x同次冪的系數(shù),得由此求得,b1=-1.于是求得所給方程的一個(gè)特解為.從而所給方程的通解為.二、elx[Pl(x)coswx+Pn(x)sinwx]型其中，Pl(x)是l次多項(xiàng)式，Pn(x)是n次多項(xiàng)式，這時(shí)二階常系數(shù)非齊次線性微分方程為y+py+qy=elx[Pl(x)coswx+Pn(x)sinwx]其特解可設(shè)為y*=xkelx[R(1)m(x)coswx+R(2)m(x)sinwx],其中R(1)m(x)、R(2)m(x)是m次多項(xiàng)式,m=max{l,n},而k按l+iw(或l-iw)不是特征方程的根或是特征方程的單根依次取0或1.上述結(jié)論同樣可推廣到階常系數(shù)非齊次線性微分方程。例3求微分方程y+y=xcos2x的一個(gè)特解.解所給方程是二階常系數(shù)非齊次線性微分方程,且f(x)屬于elx[Pl(x)coswx+Pn(x)sinwx]型(其中l(wèi)=0,w=2,Pl(x)=x,Pn(x)=0）.與所給方程對(duì)應(yīng)的齊次方程為y+y=0,它的特征方程為r2+1=0.由于這里l+iw=2i不是特征方程的根,所以應(yīng)設(shè)特解為y*=(ax+b)cos2x+(cx+d)sin2x.把它代入所給方程,得(-3ax-3b+4c)cos2x-(3cx+3d+4a)sin2x=xcos2x.比較兩端同類項(xiàng)的系數(shù),得解出,b=0,c=0,于是求得一個(gè)特解為總之，二階常系數(shù)非齊次線性微分方程特解的形式：自由項(xiàng)的類型特解的形式（為次多項(xiàng)式）其中為與同次的多項(xiàng)式（分別是次和次多項(xiàng)式，其中之一可為零）其中與均為次多項(xiàng)式，，練習(xí)：1、求方程的通解．解特征方程為，其根為，故相應(yīng)的齊次方程的通解為．自由項(xiàng)屬型（），由于是特征方程的根，故可設(shè)原方程的特解為．將其代入原方程得，故特解．因此，原方程的通解為．求方程的通解．解特征方程為，其根為．故相應(yīng)的齊次方程的通解為．自由項(xiàng)屬于型（），由于不是特征方程的根，故可設(shè)原方程的特解為．將其代入原方程得，故特解．因此，原方程的通解為．三應(yīng)用問(wèn)題舉例二階常系數(shù)線性方程是在工程和物理問(wèn)題中常遇到的較重要的一類微分方程。下面我們舉幾個(gè)實(shí)際的例子。例1設(shè)有一個(gè)彈簧,上端固定,下端掛一個(gè)質(zhì)量為m的物體.取x軸鉛直向下,并取物體的平衡位置為坐標(biāo)原點(diǎn).給物體一個(gè)初始速度v010后,物體在平衡位置附近作上下振動(dòng).在振動(dòng)過(guò)程中,物體的位置x是t的函數(shù):x=x(t).設(shè)彈簧的彈性系數(shù)