二次函數(shù)專題十：范圍問題（解析版）

二次函數(shù)專題十：范圍問題典例分析例1：（2021南京中考）已知二次函數(shù)的圖像經(jīng)過兩點(diǎn)．（1）求b的值．（2）當(dāng)時，該函數(shù)的圖像的頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)的最小值是________．（3）設(shè)是該函數(shù)的圖像與x軸的一個公共點(diǎn)，當(dāng)時，結(jié)合函數(shù)的圖像，直接寫出a的取值范圍．【答案】（1）；（2）1；（3）或．【解析】【分析】（1）將點(diǎn)代入求解即可得；（2）先求出二次函數(shù)的頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)，再利用完全平方公式、不等式的性質(zhì)求解即可得；（3）分和兩種情況，再畫出函數(shù)圖象，結(jié)合圖象建立不等式組，解不等式組即可得．【詳解】解：（1）將點(diǎn)代入得：，兩式相減得：，解得；（2）由題意得：，由（1）得：，則此函數(shù)的頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，將點(diǎn)代入得：，解得，則，下面證明對于任意的兩個正數(shù)，都有，，（當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立），當(dāng)時，，則（當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立），即，故當(dāng)時，該函數(shù)的圖像的頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)的最小值是1；（3）由得：，則二次函數(shù)解析式為，由題意，分以下兩種情況：①如圖，當(dāng)時，則當(dāng)時，；當(dāng)時，，即，解得；②如圖，當(dāng)時，當(dāng)時，，當(dāng)時，，解得，綜上，的取值范圍為或．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)等知識點(diǎn)，較難的是題（3），熟練掌握函數(shù)圖象法是解題關(guān)鍵．專題過關(guān)1、（2021溫州中考）（10分）已知拋物線y＝ax2﹣2ax﹣8（a≠0）經(jīng)過點(diǎn)（﹣2，0）．（1）求拋物線的函數(shù)表達(dá)式和頂點(diǎn)坐標(biāo)．（2）直線l交拋物線于點(diǎn)A（﹣4，m），B（n，7），n為正數(shù)．若點(diǎn)P在拋物線上且在直線l下方（不與點(diǎn)A，B重合），分別求出點(diǎn)P橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)的取值范圍．【分析】（1）將點(diǎn)（﹣2，0）代入求解．（2）分別求出點(diǎn)A,B坐標(biāo)，根據(jù)圖象開口方向及頂點(diǎn)坐標(biāo)求解．【解答】解：（1）把（﹣2，0）代入y＝ax2﹣2ax﹣8得6＝4a+4a﹣6，解得a＝1，∴拋物線的函數(shù)表達(dá)式為y＝x2﹣3x﹣8，∵y＝x2﹣5x﹣8＝（x﹣1）5﹣9,∴拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，﹣6）．（2）把x＝﹣4代入y＝x2﹣4x﹣8得y＝（﹣4）2﹣2×（﹣4）﹣8＝16，∴m＝16，把y＝7代入函數(shù)解析式得7＝x5﹣2x﹣8，解得n＝2或n＝﹣3，∵n為正數(shù)，∴n＝5，∴點(diǎn)A坐標(biāo)為（﹣4，16），7）．∵拋物線開口向上，頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，∴拋物線頂點(diǎn)在AB下方，∴﹣8<xP＜5,﹣9≤yP＜16．2、（2021嘉興中考）（10分）已知二次函數(shù)y＝﹣x2+6x﹣5．（1）求二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)；（2）當(dāng)1≤x≤4時，函數(shù)的最大值和最小值分別為多少？（3）當(dāng)t≤x≤t+3時，函數(shù)的最大值為m，最小值為n，若m﹣n＝3，求t的值．【分析】（1）解析式化成頂點(diǎn)式即可求得；（2）根據(jù)二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征即可求得最大值和最小值；（3）分三種情況討論，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)得到最大值m和最小值n，進(jìn)而根據(jù)m﹣n＝3得到關(guān)于t的方程，解方程即可．【解答】解：（1）∵y＝﹣x2+6x﹣5＝（x﹣3）2+4，∴頂點(diǎn)坐標(biāo)為（3，4）；（2）∵頂點(diǎn)坐標(biāo)為（3，4），∴當(dāng)x＝3時，y最大值＝4，∵當(dāng)1≤x≤3時，y隨著x的增大而增大，∴當(dāng)x＝1時，y最小值＝0，∵當(dāng)3＜x≤4時，y隨著x的增大而減小，∴當(dāng)x＝4時，y最小值＝3．∴當(dāng)1≤x≤4時，函數(shù)的最大值為4，最小值為0；（3）當(dāng)t≤x≤t+3時，對t進(jìn)行分類討論，①當(dāng)t+3＜3時，即t＜0，y隨著x的增大而增大，當(dāng)x＝t+3時，m＝（t+3）2+6（t+3）﹣5＝﹣t2+4，當(dāng)x＝t時，n＝﹣t2+6t﹣5，∴m﹣n＝﹣＝﹣t2+4﹣（﹣t2+6t﹣5）＝﹣6t+9，∴﹣6t+9＝3，解得t＝1（不合題意，舍去），②當(dāng)0≤t＜3時，頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)在取值范圍內(nèi)，∴m＝4，i）當(dāng)0≤t≤時，在x＝t時，n＝﹣t2+6t﹣5，∴m﹣n＝4﹣（﹣t2+6t﹣5）＝t2﹣6t+9，∴t2﹣6t+9＝3，解得t1＝3﹣，t2＝3+（不合題意，舍去）；ii）當(dāng)＜t＜3時，在x＝t+3時，n＝﹣t2+4，∴m﹣n＝4﹣（﹣t2+4）＝t2，∴t2＝3，解得t1＝，t2＝﹣（不合題意，舍去），③當(dāng)t≥3時，y隨著x的增大而減小，當(dāng)x＝t時，m＝﹣t2+6t﹣5，當(dāng)x＝t+3時，n＝﹣（t+3）2+6（t+3）﹣5＝﹣t2+4，.m﹣n＝﹣t2+6t﹣5﹣（﹣t2+4）＝6t﹣9，∴6t﹣9＝3，解得t＝2（不合題意，舍去），綜上所述，t＝3﹣或．3、（2021新疆中考）（12分）已知拋物線y＝ax2﹣2ax+3（a≠0）．（1）求拋物線的對稱軸；（2）把拋物線沿y軸向下平移3|a|個單位，若拋物線的頂點(diǎn)落在x軸上，求a的值；（3）設(shè)點(diǎn)P（a，y1），Q（2，y2）在拋物線上，若y1＞y2，求a的取值范圍．【分析】（1）根據(jù)x＝﹣，可得拋物線的對稱軸為：直線x＝﹣＝1；（2）由根的判別式△＝b2﹣4ac＝0，建立等式可求出a的值；（3）當(dāng)x＝2時，y2＝3，由y1＞y2可列出不等式，求解即可．′【解答】解：（1）由題意可得，拋物線的對稱軸為：直線x＝﹣＝1；（2）拋物線沿y軸向下平移3|a|個單位，可得y′＝ax2﹣2ax+3﹣3|a|，∵拋物線的頂點(diǎn)落在x軸上，∴△＝（2a）2﹣4a（3﹣3|a|）＝0，解得a＝或a＝﹣．（3）當(dāng)x＝2時，y2＝3，若y1＞y2，則a3﹣2a2+3＞3，解得a＞2．4、（2021綿陽中考）（14分）如圖，二次函數(shù)y＝﹣x2﹣2x+4﹣a2的圖象與一次函數(shù)y＝﹣2x的圖象交于點(diǎn)A、B（點(diǎn)B在右側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)A的橫坐標(biāo)恰好為a．動點(diǎn)P、Q同時從原點(diǎn)O出發(fā)，沿射線OB分別以每秒和2個單位長度運(yùn)動，經(jīng)過t秒后，以PQ為對角線作矩形PMQN，且矩形四邊與坐標(biāo)軸平行．（1）求a的值及t＝1秒時點(diǎn)P的坐標(biāo)；（2）當(dāng)矩形PMQN與拋物線有公共點(diǎn)時，求時間t的取值范圍；（3）在位于x軸上方的拋物線圖象上任取一點(diǎn)R，作關(guān)于原點(diǎn)（0，0）的對稱點(diǎn)為R′，當(dāng)點(diǎn)M恰在拋物線上時，求R′M長度的最小值，并求此時點(diǎn)R的坐標(biāo)．【分析】（1）將A（a，﹣2a）代人y＝﹣x2﹣2x+4﹣a2，解方程求出a，即可求得拋物線解析式，當(dāng)t＝1秒時，OP＝，設(shè)P的坐標(biāo)為（x，y），建立方程求解即可；（2）經(jīng)過t秒后，OP＝t，OQ＝2t，得出P的坐標(biāo)為（1，﹣2t），Q的坐標(biāo)為（2t，﹣4t），進(jìn)而得出M的坐標(biāo)為（2t，﹣2t），N的坐標(biāo)為（t，﹣4t），將M（2t，﹣2t）代入y＝﹣x2﹣2x+2，得2t2+t﹣1＝0，解方程即可，將N（1，﹣4t）代入y＝﹣x2﹣2x+2，得（t﹣1）2＝3，解方程即可得出答案；（3）設(shè)R（m，n），則R關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)為R'（﹣m，﹣n），當(dāng)點(diǎn)M恰好在拋物線上時，M坐標(biāo)為（1，﹣1），過R'和M作坐標(biāo)軸平行線相交于點(diǎn)S，如圖3，利用勾股定理可得R'M＝＝，當(dāng)n＝時，R'M長度的最小值為，進(jìn)而可得出答案．【解答】解：（1）由題意知，交點(diǎn)A坐標(biāo)為（a，﹣2a），代人y＝﹣x2﹣2x+4﹣a2，解得：a＝﹣，拋物線解析式為：y＝﹣x2﹣2x+2，當(dāng)t＝1秒時，OP＝，設(shè)P的坐標(biāo)為（x，y），則，解得或（舍去），∴P的坐標(biāo)為（1，﹣2）；（2）經(jīng)過t秒后，OP＝t，OQ＝2t，由（1）方法知，P的坐標(biāo)為（1，﹣2t），Q的坐標(biāo)為（2t，﹣4t），由矩形PMQN的鄰邊與坐標(biāo)軸平行可知，M的坐標(biāo)為（2t，﹣2t），N的坐標(biāo)為（t，﹣4t），矩形PMQN在沿著射線OB移動的過程中，點(diǎn)M與拋物線最先相交，如圖1，然后公共點(diǎn)變?yōu)?個，點(diǎn)N與拋物線最后相離，然后漸行漸遠(yuǎn)，如圖2，將M（2t，﹣2t）代入y＝﹣x2﹣2x+2，得2t2+t﹣1＝0，解得：t＝，或t＝﹣1（舍），將N（1，﹣4t）代入y＝﹣x2﹣2x+2，得（t﹣1）2＝3，解得：t＝1+或t＝1﹣（舍）．所以，當(dāng)矩形PMQN與拋物線有公共點(diǎn)時，時間t的取值范圍是：≤t≤1+；（3）設(shè)R（m，n），則R關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)為R'（﹣m，﹣n），當(dāng)點(diǎn)M恰好在拋物線上時，M坐標(biāo)為（1，﹣1），過R'和M作坐標(biāo)軸平行線相交于點(diǎn)S，如圖3，則R'M＝＝，又∵n＝﹣m2﹣2m+2得（m+1）2＝3﹣n，消去m得：R'M＝＝＝＝，當(dāng)n＝時，R'M長度的最小值為，此時，n＝﹣m2﹣2m+2＝，解得：m＝﹣1±，∴點(diǎn)R的坐標(biāo)是（﹣1±，）．5、（2021樂山中考）（13分）已知二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖象開口向上，且經(jīng)過點(diǎn)A（0，），B（2，﹣）．（1）求b的值（用含a的代數(shù)式表示）；（2）若二次函數(shù)y＝ax2+bx+c在1≤x≤3時，y的最大值為1，求a的值；（3）將線段AB向右平移2個單位得到線段A′B′．若線段A′B′與拋物線y＝ax2+bx+c+4a﹣1僅有一個交點(diǎn)，求a的取值范圍．【分析】（1）把A,B代入拋物線的解析式，構(gòu)建方程組，可得結(jié)論．（2）由題意，x＝1或x＝3時，y取得最大值1,由此構(gòu)建方程求解即可．（3）把問題轉(zhuǎn)化為不等式組，可得結(jié)論．【解答】解：（1）∵二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖象開口向上，經(jīng)過點(diǎn)A（0，），B（2，﹣），∴,∴b＝﹣2a﹣1(a＞0)．(2)∵二次函數(shù)y＝ax2﹣(2a+1)x+,a＞0,在1≤x≤3時，y的最大值為1,∴x＝1時，y＝1x＝3時，y＝1,∴1＝a﹣(2a+1)+或1＝9a﹣3(2a+1)+,解得a＝﹣(舍棄）或a＝．∴a＝．(3)∵線段AB向右平移2個單位得到線段A′B′,∴A′(2,),B′(4,﹣)．∵線段A′B′與拋物線y＝ax2﹣(2a+1)x++4a僅有一個交點(diǎn),∴,解得，≤a≤．或不等式組無解，∴≤a≤．【點(diǎn)評】本題屬于二次函數(shù)綜合題，考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，待定系數(shù)法，二次函數(shù)的最值問題等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會用轉(zhuǎn)化的思想思考問題，把問題轉(zhuǎn)化為方程或不等式組解決，屬于中考壓軸題．6、（2021威海中考）在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線的頂點(diǎn)為A．（1）求頂點(diǎn)A的坐標(biāo)（用含有字母m的代數(shù)式表示）；（2）若點(diǎn)，在拋物線上，且，則m的取值范圍是；（直接寫出結(jié)果即可）（3）當(dāng)時，函數(shù)y的最小值等于6，求m的值．【答案】(1)頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為；(2)；(3)或【解析】【分析】(1)將拋物線解析式化成的形式，即可求得頂點(diǎn)A的坐標(biāo)；(2)將，代入拋物線中求得和的值，然后再解不等式即可求解；(3)分類討論，分對稱軸在1的左側(cè)、對稱軸在3的右側(cè)、對稱軸在1,3之間共三種情況分別求出函數(shù)的最小值，進(jìn)而求出m的值．【詳解】解：(1)由題意可知：拋物線，∴頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為；(2)將代入中，得到，將代入中，得到，由已知條件知：，∴，整理得到：，解得：，故m的取值范圍是：；(3)二次函數(shù)的開口向上，故自變量離對稱軸越遠(yuǎn)，其對應(yīng)的函數(shù)值越大，二次函數(shù)的對稱軸為，分類討論：①當(dāng)，即時，時二次函數(shù)取得最小值為，又已知二次函數(shù)最小值為6，∴，解得或，又，故符合題意；②當(dāng)，即時，時二次函數(shù)取得最小值為，又已知二次函數(shù)最小值為6，∴，解得或，又，故或都不符合題意；③當(dāng)，即時，時二次函數(shù)取得最小值為，又已知二次函數(shù)最小值為6，∴，解得或，又，故符合題意；綜上所述，或．【點(diǎn)睛】本題考查待定系數(shù)求二次函數(shù)的解析式，二次函數(shù)的最值問題，不等式的解法等，計算過程中細(xì)心，熟練掌握二次函數(shù)的圖形及性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．7、（2021泰州中考）二次函數(shù)y＝﹣x2+（a﹣1）x+a（a為常數(shù)）圖象的頂點(diǎn)在y軸右側(cè)．（1）寫出該二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)橫坐標(biāo)（用含a的代數(shù)式表示）；（2）該二次函數(shù)表達(dá)式可變形為y＝﹣（x﹣p）（x﹣a）的形式，求p的值；（3）若點(diǎn)A（m，n）在該二次函數(shù)圖象上，且n＞0，過點(diǎn)（m+3，0）作y軸的平行線，與二次函數(shù)圖象的交點(diǎn)在x軸下方，求a的范圍．【答案】（1）；（2）p=-1；（3）1＜＜2．【解析】【分析】（1）根據(jù)頂點(diǎn)坐標(biāo)公式即可得答案；（2）利用十字相乘法分解因式即可得答案；（3）利用（2）的結(jié)果可得拋物線與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)頂點(diǎn)在y軸右側(cè)，過點(diǎn)（m+3，0）作y軸的平行線，與二次函數(shù)圖象的交點(diǎn)在x軸下方可得關(guān)于a的不等式，解不等式即可得答案．【詳解】（1）∵二次函數(shù)解析式y(tǒng)＝﹣x2+（a﹣1）x+a，∴頂點(diǎn)橫坐標(biāo)為=．（2）∵y＝﹣x2+（a﹣1）x+a==﹣（x﹣p）（x﹣a），∴p=-1．（3）∵y＝﹣x2+（a﹣1）x+a=，∴拋物線與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為（-1，0），（a，0），∵-1＜0，∴該二次函數(shù)的圖象開口向下，∵圖象頂點(diǎn)在y軸右側(cè)，∴＞0，∴，∵點(diǎn)A（m，n）在該二次函數(shù)圖象上，且n＞0，∴-1＜m＜a，∵過點(diǎn)（m+3，0）作y軸的平行線，與二次函數(shù)圖象的交點(diǎn)在x軸下方，∴＜3，解得：，∴a的范圍為1＜＜2．【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)、因式分解及解一元一次不等式，熟練掌握二次函數(shù)頂點(diǎn)坐標(biāo)公式是解題關(guān)鍵．8、（2021吉林中考）（10分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y＝x2+bx+c的圖象經(jīng)過點(diǎn)A（0，﹣），點(diǎn)B（1，）．（1）求此二次函數(shù)的解析式；（2）當(dāng)﹣2≤x≤2時，求二次函數(shù)y＝x2+bx+c的最大值和最小值；（3）點(diǎn)P為此函數(shù)圖象上任意一點(diǎn)，其橫坐標(biāo)為m，過點(diǎn)P作PQ∥x軸，點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)為﹣2m+1．已知點(diǎn)P與點(diǎn)Q不重合，且線段PQ的長度隨m的增大而減?。偾髆的取值范圖；②當(dāng)PQ≤7時，直接寫出線段PQ與二次函數(shù)y＝x2+bx+c（﹣2≤x＜）的圖象交點(diǎn)個數(shù)及對應(yīng)的m的取值范圍．【分析】（1）利用待定系數(shù)法求解．（2）將函數(shù)代數(shù)式配方，由拋物線開口方向和對稱軸直線方程求解．（3）①由0＜PQ≤7求出m取值范圍，②通過數(shù)形結(jié)合求解．【解答】解：（1）將A（0，﹣），點(diǎn)B（1，）代入y＝x2+bx+c得：，解得，∴y＝x2+x﹣．（2）∵y＝x2+x﹣＝（x+）2﹣2，∵拋物線開口向上，對稱軸為直線x＝﹣．∴當(dāng)x＝﹣時，y取最小值為﹣2，∵2﹣（﹣）＞﹣﹣（﹣2），∴當(dāng)x＝2時，y取最大值22+2﹣＝．（3）①PQ＝|﹣2m+1﹣m|＝|﹣3m+1|，當(dāng)﹣3m+1＞0時，PQ＝﹣3m+1，PQ的長度隨m的增大而減小，當(dāng)﹣3m+1＜0時，PQ＝3m﹣1，PQ的長度隨m增大而增大，∴﹣3m+1＞0滿足題意，解得m＜．②∵0＜PQ≤7，∴0＜﹣3m+1≤7，解得﹣2≤m＜，如圖，當(dāng)x＝﹣時，點(diǎn)P在最低點(diǎn)，PQ與圖象有1交點(diǎn)，m增大過程中，﹣＜m＜，點(diǎn)P與點(diǎn)Q在對稱軸右側(cè)，PQ與圖象只有1個交點(diǎn)，直線x＝關(guān)于拋物線對稱軸直線x＝﹣對稱后直線為x＝﹣，∴﹣＜m＜﹣時，PQ與圖象有2個交點(diǎn)，當(dāng)﹣2≤m≤﹣時，PQ與圖象有1個交點(diǎn)，綜上所述，﹣2≤m≤﹣或﹣≤m時，PQ與圖象交點(diǎn)個數(shù)為1，﹣＜m＜﹣時，PQ與圖象有2個交點(diǎn)．9、（2021永州中考）（12分）已知關(guān)于x的二次函數(shù)y1＝x2+bx+c（實數(shù)b，c為常數(shù)）．（1）若二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)（0，4），對稱軸為x＝1，求此二次函數(shù)的表達(dá)式；（2）若b2﹣c＝0，當(dāng)b﹣3≤x≤b時，二次函數(shù)的最小值為21，求b的值；（3）記關(guān)于x的二次函數(shù)y2＝2x2+x+m，若在（1）的條件下，當(dāng)0≤x≤1時，總有y2≥y1，求實數(shù)m的最小值．【分析】（1）由待定系數(shù)法，及對稱軸為直線x＝﹣，可求出二次函數(shù)的表達(dá)式；（2）需要分三種情況：①b＜﹣；②b﹣3＞﹣；③b﹣3≤﹣≤b分別進(jìn)行討論；（3）根據(jù)二次函數(shù)圖象的增減性可得結(jié)論．【解答】解：（1）∵二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)（0，4），∴c＝4；∵對稱軸為直線：x＝﹣＝1，∴b＝﹣2，∴此二次函數(shù)的表達(dá)式為：y1＝x2﹣2x+4．（2）當(dāng)b2﹣c＝0時，b2＝c，此時函數(shù)的表達(dá)式為：y1＝x2+bx+b2，根據(jù)題意可知，需要分三種情況：①當(dāng)b＜﹣，即b＜0時，二次函數(shù)的最小值在x＝b處取到；∴b2+b2+b2＝21，解得b＝，b＝﹣舍去；②b﹣3＞﹣，即b＞2時，二次函數(shù)的最小值在x＝b﹣3處取到；∴（b﹣3）2+b（b﹣3）+b2＝21，解得b＝4，b＝﹣1（舍去）；③b﹣3≤﹣≤b，即0≤b≤2時，二次函數(shù)的最小值在x＝﹣處取到；∴（﹣）2+b?（﹣）+b2＝21，解得b＝±2（舍去）．綜上，b的取值為或4．（3）由（1）知，二次函數(shù)的表達(dá)式為：y1＝x2﹣2x+4，對稱軸為直線：x＝1，∵1＞0，∴當(dāng)0≤x≤1時，y隨x的增大而減小，且最大值為4；∵二次函數(shù)y2＝2x2+x+m的對稱軸為直線：x＝﹣，且2＞0，∴當(dāng)0≤x≤1時，y隨x的增大而增大，且最小值為m，∵當(dāng)0≤x≤1時，總有y2≥y1，∴m≥4，即m的最小值為4．10、（2021長春中考）（12分）在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝2（x﹣m）2+2m（m為常數(shù)）的頂點(diǎn)為A．（1）當(dāng)m＝時，點(diǎn)A的坐標(biāo)是，拋物線與y軸交點(diǎn)的坐標(biāo)是；（2）若點(diǎn)A在第一象限，且OA＝，求此拋物線所對應(yīng)的二次函數(shù)的表達(dá)式，并寫出函數(shù)值y隨x的增大而減小時x的取值范圍；（3）當(dāng)x≤2m時，若函數(shù)y＝2（x﹣m）2+m的最小值為3，求m的值；（4）分別過點(diǎn)P（4，2）、Q（4，2﹣2m）作y軸的垂線，交拋物線的對稱軸于點(diǎn)M、N．當(dāng)拋物線y＝2（x﹣m）2+2m與四邊形PQNM的邊有兩個交點(diǎn)時，將這兩個交點(diǎn)分別記為點(diǎn)B、點(diǎn)C，且點(diǎn)B的縱坐標(biāo)大于點(diǎn)C的縱坐標(biāo)．若點(diǎn)B到y(tǒng)軸的距離與點(diǎn)C到x軸的距離相等，直接寫出m的值．【分析】（1）將m＝代入拋物線解析式中，即可得出頂點(diǎn)坐標(biāo)，再令x＝0，即可求得答案；（2）運(yùn)用勾股定理建立方程求解即可；（3）分兩種情況進(jìn)行討論：①當(dāng)m＜0時，2（2m﹣m）2+m＝3，解方程即可得出答案；②當(dāng)m＞0時，2（m﹣m）2+m＝3，解方程即可得出答案；（4）分情況討論：當(dāng)m＞0時，若點(diǎn)B在PM邊上，點(diǎn)C在MN邊上，令y＝2，則2＝2（x﹣m）2+2m，解方程即可；若點(diǎn)B在PM邊上，點(diǎn)C在NQ邊上，則2﹣2m＝m+，解方程即可；若點(diǎn)B在PQ邊上，點(diǎn)C在NQ邊上，則4＝2﹣2m，不符合題意；當(dāng)m＜0時，若點(diǎn)B在NQ邊上，點(diǎn)C在PM邊上，無解．【解答】解：（1）當(dāng)m＝時，y＝2（x﹣）2+1，∴頂點(diǎn)A（，1），令x＝0，得y＝，∴拋物線與y軸交點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，），故答案為：（，1），（0，）；（2）∵點(diǎn)A（m，2m）在第一象限，且OA＝，∴m2+（2m）2＝（）2，且m＞0，解得：m＝1，∴拋物線的解析式為y＝2（x﹣1）2+2，當(dāng)x＜1時，函數(shù)值y隨x的增大而減?。唬?）∵當(dāng)x≤2m時，若函數(shù)y＝2（x﹣m）2+m的最小值為3，∴分兩種情況：2m＜m，即m＜0時，或2m＞m，即m＞0時，①當(dāng)m＜0時，2（2m﹣m）2+m＝3，解得：m＝1（舍）或m＝﹣，②當(dāng)m＞0時，2（m﹣m）2+m＝3，解得：m＝3，綜上所述，m的值為﹣或3；（4）如圖1，當(dāng)m＞0時，∵P（4，2）、Q（4，2﹣2m），∴M（m，2），N（m，2﹣2m），拋物線y＝2（x﹣m）2+2m與四邊形PQNM的邊有兩個交點(diǎn)，若點(diǎn)B在PM邊上，點(diǎn)C在MN邊上，∴令y＝2，則2＝2（x﹣m）2+2m，∴x＝m+，（x＝m﹣不符合題意，舍去），∴B（m+，2），C（m，2m），根據(jù)題意，得2m＝m+，解得：m＝，若點(diǎn)B在PM邊上，點(diǎn)C在NQ邊上，則2﹣2m＝m+，解得：m＝，若點(diǎn)B在PQ邊上，點(diǎn)C在NQ邊上，則4＝2﹣2m，解得：m＝﹣1＜0，不符合題意；當(dāng)m＜0時，如圖2，若點(diǎn)B在NQ邊上，點(diǎn)C在PM邊上，則2﹣2m＝2（x﹣m）2+2m，∴x＝m±，∴|m+|＝2或|m﹣|＝2，解得：m＝±﹣3，綜上所述，m的值為或或±﹣3．11、(2021襄陽中考)（12分）如圖，直線y＝x+1與x，y軸分別交于點(diǎn)B，A，頂點(diǎn)為P的拋物線y＝ax2﹣2ax+c過點(diǎn)A．（1）求出點(diǎn)A，B的坐標(biāo)及c的值；（2）若函數(shù)y＝ax2﹣2ax+c在3≤x≤4時有最大值為a+2，求a的值；（3）連接AP，過點(diǎn)A作AP的垂線交x軸于點(diǎn)M．設(shè)△BMP的面積為S．①直接寫出S關(guān)于a的函數(shù)關(guān)系式及a的取值范圍；②結(jié)合S與a的函數(shù)圖象，直接寫出S＞時a的取值范圍．【分析】（1）先求出點(diǎn)A（0，1），點(diǎn)B（﹣2，0），將點(diǎn)A坐標(biāo)代入解析式可求c的值；（2）分a＞0，a＜0兩種情況討論，由二次函數(shù)的性質(zhì)可求解；（3）①分四種情況討論，由“AAS”可證△AOM≌△PNA，可得OM＝AN，由三角形的面積公式可求解；②分三種情況討論，解不等式可求解．【解答】解：（1）∵直線y＝x+1與x，y軸分別交于點(diǎn)B，A，∴點(diǎn)A（0，1），點(diǎn)B（﹣2，0），∵拋物線y＝ax2﹣2ax+c過點(diǎn)A，∴c＝1；（2）∵y＝ax2﹣2ax+1＝a（x﹣1）2+1﹣a，∴對稱軸為直線x＝1，當(dāng)a＞0，3≤x≤4時，y隨x的增大而增大，∴當(dāng)x＝4時，y有最大值，∴9a+1﹣a＝a+2，解得：a＝；當(dāng)a＜0，3≤x≤4時，y隨x的增大而減小，∴當(dāng)x＝3時，y有最大值，∴4a+1﹣a＝a+2，解得：a＝（不合題意舍去），綜上所述：a＝；（3）①當(dāng)a＜0時，則1﹣a＞1，如圖1，過點(diǎn)P作PN⊥y軸于N，∵y＝ax2﹣2ax+1＝a（x﹣1）2+1﹣a，∴點(diǎn)P坐標(biāo)為（1，1﹣a），∴PN＝AO＝1，AN＝1﹣a﹣1＝﹣a，∵AM⊥AP，PN⊥y軸，∴∠PNA＝∠PAM＝90°＝∠AOM，∴∠PAN+∠OAM＝90°，∠OAM+∠AMO＝90°，∴∠PAN＝∠AMO，∴△AOM≌△PNA（AAS），∴OM＝AN＝﹣a，∴BM＝2﹣a，∴S＝×（2﹣a）（1﹣a）＝a2﹣a+1；當(dāng)a＞0，1﹣a＞0時，即0＜a＜1，如圖2，過點(diǎn)P作PN⊥y軸于N，∴PN＝1＝OA，AN＝1﹣（1﹣a）＝a，同理可得△AOM≌△PNA，∴OM＝AN＝a，∴BM＝2﹣a，∴S＝×（2﹣a）（1﹣a）＝a2﹣a+1；當(dāng)a＞0，﹣1＜1﹣a＜0時，即1＜a＜2，如圖3，過點(diǎn)P作PN⊥y軸于N，∴PN＝1＝OA，ON＝a﹣1，AN＝1+a﹣1＝a，同理可得△AOM≌△PNA，∴OM＝AN＝a，∴BM＝2﹣a，∴S＝×（2﹣a）（a﹣1）＝﹣a2+a﹣1；當(dāng)a＝2時，點(diǎn)B與點(diǎn)M重合，不合題意，當(dāng)a＞0，1﹣a＜﹣1時，即a＞2，如圖4，過點(diǎn)P作PN⊥y軸于N，∴PN＝1＝OA，ON＝a﹣1，AN＝1+a﹣1＝a，同理可得△AOM≌△PNA，∴OM＝AN＝a，∴BM＝a﹣2，∴S＝×（a﹣2）（a﹣1）＝a2﹣a+1；綜上所述：S＝．②當(dāng)1＜a＜2時，S＝﹣a2+a﹣1＝﹣（a﹣）2+≤，∴當(dāng)1＜a＜2時，不存在a的值使S＞；當(dāng)a＜1且a≠0時，S＝a2﹣a+1＞，∴（a﹣）（a﹣）＞0，∴a＜或a＞（不合題意舍去）；當(dāng)a＞2時，S＝a2﹣a+1＞，∴（a﹣）（a﹣）＞0，∴a＜（不合題意舍去）或a＞，綜上所述：a＜或a＞．12、（2021河南中考）如圖，拋物線y=x2+mx與直線y=-x+b把交于點(diǎn)A(2,0)和點(diǎn)B．

(1)求m和b的值；

(2)求點(diǎn)B的坐標(biāo)，并結(jié)合圖象寫出不等式x2+mx>-x+b的解集；

(3)點(diǎn)M是直線AB上的一個動點(diǎn)，將點(diǎn)M向左平移3個單位長度得到點(diǎn)N，若線段MN與拋物線只有一個公共點(diǎn)，直接寫出點(diǎn)M

【答案】解：(1)將點(diǎn)A的坐標(biāo)代入拋物線表達(dá)式得：0=4+2m，解得：m=-2，

將點(diǎn)A的坐標(biāo)代入直線表達(dá)式得：0=-2+b，解得b=2；

故m=-2，b=2；

(2)由(1)得，直線和拋物線的表達(dá)式為：y=-x+2，y=x2-2x，

聯(lián)立上述兩個函數(shù)表達(dá)式并解得x=-1y=3，

即點(diǎn)B的坐標(biāo)為(-1,3)，

從圖象看，不等式

x2+mx>-x+b

的解集為x<-1或x>2；

(3)當(dāng)點(diǎn)M在線段AB上時，線段MN與拋物線只有一個公共點(diǎn)，

∵M(jìn)N的距離為3，而AB的距離為3，故此時只有一個交點(diǎn)，即-1≤xM<2；

當(dāng)點(diǎn)M在點(diǎn)B的左側(cè)時，線段MN與拋物線沒有公共點(diǎn)；

當(dāng)點(diǎn)M在點(diǎn)A的右側(cè)時，當(dāng)

xM=3時，拋物線和MN交于拋物線的頂點(diǎn)(1,-1)，即xM【解析】(1)用待定系數(shù)法即可求解；

(2)求出點(diǎn)B的坐標(biāo)為(-1,3)，再觀察函數(shù)圖象即可求解；

(3)分類求解確定MN的位置，進(jìn)而求解．

本題考查的是二次函數(shù)綜合運(yùn)用，涉及到一次函數(shù)的性質(zhì)、不等式的性質(zhì)等，其中(3)，分類求解確定MN的位置是解題的關(guān)鍵．13、（2021廣州中考）已知拋物線y＝x2﹣（m+1）x+2m+3．（1）當(dāng)m＝0時，請判斷點(diǎn)（2，4）是否在該拋物線上；（2）該拋物線的頂點(diǎn)隨著m的變化而移動，當(dāng)頂點(diǎn)移動到最高處時，求該拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)；（3）已知點(diǎn)E（﹣1，﹣1）、F（3，7），若該拋物線與線段EF只有一個交點(diǎn)，求該拋物線頂點(diǎn)橫坐標(biāo)的取值范圍．【分析】（1）當(dāng)m＝0時，拋物線為y＝x2﹣x+3，將x＝2代入得y＝5，故點(diǎn)（2，4）不在拋物線上；（2）拋物線y＝x2﹣（m+1）x+2m+3的頂點(diǎn)為（，），而＝﹣（m﹣3）2+5，即得m＝3時，縱坐標(biāo)最大，此時頂點(diǎn)移動到了最高處，頂點(diǎn)坐標(biāo)為：（2，5）；（3）求出直線EF的解析式為y＝2x+1，由得直線y＝2x+1與拋物線y＝x2﹣（m+1）x+2m+3的交點(diǎn)為：（2，5）和（m+1，2m+3），因（2，5）在線段EF上，由已知可得（m+1，2m+3）不在線段EF上，即是m+1＜﹣1或m+1＞3，或（2，5）與（m+1，2m+3）重合，可得拋物線頂點(diǎn)橫坐標(biāo)x頂點(diǎn)＝＜﹣或x頂點(diǎn)＝＞或x頂點(diǎn)＝1．【解答】解：（1）當(dāng)m＝0時，拋物線為y＝x2﹣x+3，將x＝2代入得y＝4﹣2+3＝5，∴點(diǎn)（2，4）不在拋物線上；（2）拋物線y＝x2﹣（m+1）x+2m+3的頂點(diǎn)為（，），化簡得（，），頂點(diǎn)移動到最高處，即是頂點(diǎn)縱坐標(biāo)最大，而＝﹣（m﹣3）2+5，∴m＝3時，縱坐標(biāo)最大，即是頂點(diǎn)移動到了最高處，此時頂點(diǎn)坐標(biāo)為：（2，5）；（3）設(shè)直線EF解析式為y＝kx+b，將E（﹣1，﹣1）、F（3，7）代入得：，解得，∴直線EF的解析式為y＝2x+1，由得：或，∴直線y＝2x+1與拋物線y＝x2﹣（m+1）x+2m+3的交點(diǎn)為：（2，5）和（m+1，2m+3），而（2，5）在線段EF上，∴若該拋物線與線段EF只有一個交點(diǎn)，則（m+1，2m+3）不在線段EF上，或（2，5）與（m+1，2m+3）重合，∴m+1＜﹣1或m+1＞3或m+1＝2（此時2m+3＝5），∴此時拋物線頂點(diǎn)橫坐標(biāo)x頂點(diǎn)＝＜﹣或x頂點(diǎn)＝＞或x頂點(diǎn)＝＝＝1．14、（2020金華中考）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)為A，與y軸交于點(diǎn)B，異于頂點(diǎn)A的點(diǎn)C(1，n)在該函數(shù)圖象上．（1）當(dāng)m=5時，求n的值．（2）當(dāng)n=2時，若點(diǎn)A在第一象限內(nèi)，結(jié)合圖象，求當(dāng)y時，自變量x的取值范圍．（3）作直線AC與y軸相交于點(diǎn)D.當(dāng)點(diǎn)B在x軸上方，且在線段OD上時，求m的取值范圍．【答案】（1）-4（2）1≤x≤5（3）0≤m＜1或1＜m＜2【解析】【分析】1）利用待定系數(shù)法求解即可．（2）求出時，的值即可判斷．（3）由題意點(diǎn)的坐標(biāo)為，求出幾個特殊位置的值即可判斷．【詳解】解：（1）當(dāng)時，，當(dāng)時，．（2）當(dāng)時，將代入函數(shù)表達(dá)式，得，解得或（舍棄），此時拋物線的對稱軸，根據(jù)拋物線的對稱性可知，當(dāng)時，或5，的取值范圍為．（3）點(diǎn)與點(diǎn)不重合，，拋物線的頂點(diǎn)的坐標(biāo)是，拋物線的頂點(diǎn)在直線上，當(dāng)時，，點(diǎn)的坐標(biāo)為，拋物線從圖1的位置向左平移到圖2的位置，逐漸減小，點(diǎn)沿軸向上移動，當(dāng)點(diǎn)與重合時，，解得或，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時，如圖2，頂點(diǎn)也與，重合，點(diǎn)到達(dá)最高點(diǎn)，點(diǎn)，，解得，當(dāng)拋物線從圖2的位置繼續(xù)向左平移時，如圖3點(diǎn)不在線段上，點(diǎn)在線段上時，的取值范圍是：或．【點(diǎn)睛】本題屬于二次函數(shù)綜合題，考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，待定系數(shù)法，一次函數(shù)的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是理解題意，學(xué)會尋找特殊位置解決數(shù)學(xué)問題．15、（2020上海中考）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線y=﹣x+5與x軸、y軸分別交于點(diǎn)A、B(如圖)．拋物線y=ax2+bx(a≠0)經(jīng)過點(diǎn)A．（1）求線段AB的長；（2）如果拋物線y=ax2+bx經(jīng)過線段AB上的另一點(diǎn)C，且BC=，求這條拋物線的表達(dá)式；（3）如果拋物線y=ax2+bx的頂點(diǎn)D位于△AOB內(nèi)，求a的取值范圍．【答案】（1）5；（2）y=﹣x2+x；（3）﹣＜a＜0．【解析】【分析】（1）先求出A，B坐標(biāo)，即可得出結(jié)論；

（2）設(shè)點(diǎn)C（m，-m+5），則BC=|m，進(jìn)而求出點(diǎn)C（2，4），最后將點(diǎn)A，C代入拋物線解析式中，即可得出結(jié)論；

（3）將點(diǎn)A坐標(biāo)代入拋物線解析式中得出b=-10a，代入拋物線解析式中得出頂點(diǎn)D坐標(biāo)為（5，-25a），即可得出結(jié)論．【詳解】（1）針對于直線y=﹣x+5，令x=0，y=5，∴B(0，5)，令y=0，則﹣x+5=0，∴x=10，∴A(10，0)，∴AB==5；（2）設(shè)點(diǎn)C(m，﹣m+5)．∵B(0，5)，∴BC==|m|．∵BC=，∴|m|=，∴m=±2．∵點(diǎn)C在線段AB上，∴m=2，∴C(2，4)，將點(diǎn)A(10，0)，C(2，4)代入拋物線y=ax2+bx(a≠0)中，得，∴，∴拋物線y=﹣x2+x；（3）∵點(diǎn)A(10，0)在拋物線y=ax2+bx中，得100a+10b=0，∴b=﹣10a，∴拋物線的解析式為y=ax2﹣10ax=a(x﹣5)2﹣25a，∴拋物線的頂點(diǎn)D坐標(biāo)為(5，﹣25a)，將x=5代入y=﹣x+5中，得y=﹣×5+5=，∵頂點(diǎn)D位于△AOB內(nèi)，∴0＜﹣25a＜，∴﹣＜a＜0．【點(diǎn)睛】此題是二次函數(shù)綜合題，主要考查了待定系數(shù)法，兩點(diǎn)間的距離公式，拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)的求法，求出點(diǎn)D的坐標(biāo)是解本題的關(guān)鍵．16、（2020威海中考）已知，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線的頂點(diǎn)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為（1）求拋物線過點(diǎn)時頂點(diǎn)的坐標(biāo)（2）點(diǎn)的坐標(biāo)記為，求與的函數(shù)表達(dá)式；（3）已知點(diǎn)的坐標(biāo)為，當(dāng)取何值時，拋物線與線段只有一個交點(diǎn).【答案】（1）（1，1）或（3，5）；（2）y＝2x?1；（3）?3≤m≤3且m≠1．【解析】【分析】（1）根據(jù)待定系數(shù)法求得解析式，然后把解析式化成頂點(diǎn)式即可求得；（2）化成頂點(diǎn)式，求得頂點(diǎn)坐標(biāo)，即可得出y與x的函數(shù)表達(dá)式；（3）把C（0，2）代入y＝x2?2mx＋m2＋2m?1，求得m＝1或?3，結(jié)合（1）根據(jù)圖象即可求得．【詳解】解：（1）∵拋物線y＝x2?2mx＋m2＋2m?1過點(diǎn)B（3，5），∴把B（3，5）代入y＝x2?2mx＋m2＋2m?1，整理得，m2?4m＋3＝0，解得m1＝1，m2＝3，當(dāng)m＝1時，y＝x2?2x＋2＝（x?1）2＋1，其頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1，1）；當(dāng)m＝3時，y＝x2?6x＋m2＋14＝（x?3）2＋5，其頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為（3，5）；綜上，頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1，1）或（3，5）；（2）∵y＝x2?2mx＋m2＋2m?1＝（x?m）2＋2m?1，?∴頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為（m，2m?1），∵點(diǎn)A的坐標(biāo)記為（x，y），∴x＝m，∴y＝2x?1；（3）由（2）可知，拋物線的頂點(diǎn)在直線y＝2x?1上運(yùn)動，且形狀不變，由（1）知，當(dāng)m＝1或3時，拋物線過B（3，5），把C（0，2）代入y＝x2?2mx＋m2＋2m?1，得m2＋2m?1＝2，解得m＝1或?3，所以當(dāng)m＝1或?3時，拋物線經(jīng)過點(diǎn)C（0，2），如圖所示，當(dāng)m＝?3或3時，拋物線與線段BC只有一個交點(diǎn)（即線段CB端點(diǎn)），當(dāng)m＝1時，拋物線同時過點(diǎn)B、C，不合題意，所以m的取值范圍是?3≤m≤3且m≠1．【點(diǎn)睛】本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，二次函數(shù)的性質(zhì)，二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵．17、（2020臨沂中考）已知拋物線．（1）求這條拋物線的對稱軸；（2）若該拋物線的頂點(diǎn)在x軸上，求其解析式；（3）設(shè)點(diǎn)，在拋物線上，若，求m的取值范圍．【答案】（1）；（2）或；（3）當(dāng)a＞0時，；當(dāng)a＜0時，或．【解析】【分析】（1）將二次函數(shù)化為頂點(diǎn)式，即可得到對稱軸；（2）根據(jù)（1）中的頂點(diǎn)式，得到頂點(diǎn)坐標(biāo)，令頂點(diǎn)縱坐標(biāo)等于0，解一元二次方程，即可得到的值，進(jìn)而得到其解析式；（3）根據(jù)拋物線的對稱性求得點(diǎn)Q關(guān)于對稱軸的對稱點(diǎn)，再結(jié)合二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，即可得到的取值范圍．【詳解】（1）∵，∴，∴其對稱軸為：．（2）由（1）知拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為：，∵拋物線頂點(diǎn)在軸上，∴，解得：或，當(dāng)時，其解析式為：，當(dāng)時，其解析式為：，綜上，二次函數(shù)解析式為：或．（3）由（1）知，拋物線的對稱軸為，∴關(guān)于的對稱點(diǎn)為，當(dāng)a＞0時，若，則-1＜m＜3；當(dāng)a＜0時，若，則m＜-1或m＞3.【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)對稱軸，解析式的計算，以及根據(jù)二次函數(shù)的圖象性質(zhì)求不等式的取值范圍，熟知相關(guān)計算是解題的關(guān)鍵．18、（2020揚(yáng)州中考）如圖，已知點(diǎn)、，點(diǎn)P為線段AB上的一個動點(diǎn)，反比例函數(shù)的圖像經(jīng)過點(diǎn)P．小明說：“點(diǎn)P從點(diǎn)A運(yùn)動至點(diǎn)B的過程中，k值逐漸增大，當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)A位置時k值最小，在點(diǎn)B位置時k值最大．”（1）當(dāng)時．①求線段AB所在直線的函數(shù)表達(dá)式．②你完全同意小明的說法嗎？若完全同意，請說明理由；若不完全同意，也請說明理由，并求出正確的k的最小值和最大值．（2）若小明的說法完全正確，求n的取值范圍．【答案】（1）①；②不完全同意小明的說法；理由見詳解；當(dāng)時，有最大值；當(dāng)時，有最小值；（2）；【解析】【分析】（1）①直接利用待定系數(shù)法，即可求出函數(shù)的表達(dá)式；②由①得直線AB為，則，利用二次函數(shù)的性質(zhì)，即可求出答案；（2）根據(jù)題意，求出直線AB的直線為，設(shè)點(diǎn)P為（x，），則得到，討論最高項的系數(shù)，再由一次函數(shù)及二次函數(shù)的性質(zhì)，得到對稱軸，即可求出n的取值范圍．【詳解】解：（1）當(dāng)時，點(diǎn)B為（5，1），①設(shè)直線AB為，則，解得：，∴；②不完全同意小明的說法；理由如下：由①得，設(shè)點(diǎn)P為（x，），由點(diǎn)P在線段AB上則，∴；∵，∴當(dāng)時，有最大值；當(dāng)時，有最小值；∴點(diǎn)P從點(diǎn)A運(yùn)動至點(diǎn)B的過程中，k值先增大后減小，當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)A位置時k值最小，在的位置時k值最大．（2）∵、，設(shè)直線AB為，則，解得：，∴，設(shè)點(diǎn)P為（x，），由點(diǎn)P在線段AB上則，當(dāng)，即n=2時，，則k隨x的增大而增大，如何題意；當(dāng)n≠2時，則對稱軸為：；∵點(diǎn)P從點(diǎn)A運(yùn)動至點(diǎn)B的過程中，k值逐漸增大，當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)A位置時k值最小，在點(diǎn)B位置時k值最大．即k在中，k隨x增大而增大；當(dāng)時，有∴，解得：，∴不等式組的解集為：；當(dāng)時，有∴，解得：，∴綜合上述，n的取值范圍為：．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，反比例函數(shù)的性質(zhì)，一次函數(shù)的性質(zhì)，以及解不等式組，解題的關(guān)鍵是熟練掌握所學(xué)的知識，掌握所學(xué)函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行解題，注意利用分類討論的思想進(jìn)行分析．19、（2020益陽中考）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)坐標(biāo)是，點(diǎn)為一個動點(diǎn)，過點(diǎn)作軸的垂線，垂足為，點(diǎn)在運(yùn)動過程中始終滿足【提示：平面直角坐標(biāo)系內(nèi)點(diǎn)、的坐標(biāo)分別為、，則】（1）判斷點(diǎn)在運(yùn)動過程中是否經(jīng)過點(diǎn)C（0，5）（2）設(shè)動點(diǎn)的坐標(biāo)為，求關(guān)于的函數(shù)表達(dá)式：填寫下表，并在給定坐標(biāo)系中畫出函數(shù)的圖象：............（3）點(diǎn)關(guān)于軸的對稱點(diǎn)為，點(diǎn)在直線的下方時，求線段長度的取值范圍【答案】（1）點(diǎn)在運(yùn)動過程中經(jīng)過點(diǎn)C（0，5）；（2）y與x的函數(shù)表達(dá)式為，表格和圖象見解析；（3）1﹤PF﹤【解析】【分析】（1）若點(diǎn)P經(jīng)過點(diǎn)C，則有PH=5，利用公式求得PF，即可判斷；（2）由PH=PF得，化簡可得到關(guān)于的函數(shù)表達(dá)式，分別將表中x值代入表達(dá)式，求出對應(yīng)的y值，則可完善表格，再利用描點(diǎn)法畫出對應(yīng)的圖象即可．（3）由題意，求線段長度的取值范圍即是求線段PH長度的取值范圍，先求出直線的函數(shù)表達(dá)式，代入P的函數(shù)表達(dá)式解之得交點(diǎn)坐標(biāo)，結(jié)合圖象即可得到線段PH（即就是PF）長度的取值范圍．【詳解】（1）若點(diǎn)P經(jīng)過點(diǎn)C，則PH=5，∵,∴PF=PH，故點(diǎn)P經(jīng)過點(diǎn)C；（2）由PH=PF得，化簡得：，故y與x的函數(shù)表達(dá)式為；分別將x=0、2、4、6、8代入表達(dá)式中，則對應(yīng)的y=5、2、1、2、5，填寫表格為：.........52125...函數(shù)圖象如下：；（2）設(shè)直線的函數(shù)表達(dá)式為y=kx+b，將點(diǎn)F（4，2）、點(diǎn)（0，﹣5）代入，得：，解得：，∴直線的函數(shù)表達(dá)式為，將代入得：，即，解得：分別代入中，得:,當(dāng)x=4時，y=1，∵點(diǎn)在直線的下方，且﹥1，∴結(jié)合圖象知，1﹤y﹤,即1﹤PH﹤,又PF=PH，∴1﹤PF﹤,【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)與動點(diǎn)問題，涉及求函數(shù)表達(dá)式、列表描點(diǎn)畫圖象、解一元二次方程等，解答的關(guān)鍵是認(rèn)真審題，尋找相關(guān)信息的聯(lián)系點(diǎn)，利用待定系數(shù)法、數(shù)形結(jié)合法等解題方法確定解題思路，進(jìn)而推理、探究、發(fā)現(xiàn)和計算．20、（2020長沙中考）我們不妨約定：若某函數(shù)圖像上至少存在不同的兩點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對稱，則把該函數(shù)稱之為“H函數(shù)”，其圖像上關(guān)于原點(diǎn)對稱的兩點(diǎn)叫做一對“H點(diǎn)”，根據(jù)該約定，完成下列各題（1）在下列關(guān)于x的函數(shù)中，是“H函數(shù)”的，請在相應(yīng)題目后面的括號中打“√”，不是“H函數(shù)”的打“×”①（）②（）③（）（2）若點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于x的“H函數(shù)”的一對“H點(diǎn)”，且該函數(shù)的對稱軸始終位于直線的右側(cè)，求的值域或取值范圍；（3）若關(guān)于x的“H函數(shù)”（a，b，c是常數(shù)）同時滿足下列兩個條件：①，②，求該H函數(shù)截x軸得到的線段長度的取值范圍．【答案】（1）√；√；×；（2）-1＜a＜0，b=4，0＜c＜0；（3）2＜＜2．【解析】【分析】（1）根據(jù)“H函數(shù)”的定義即可判斷；（2）先根據(jù)題意可求出m,n的取值，代入得到a,b,c的關(guān)系，再根據(jù)對稱軸在x=2的右側(cè)即可求解；（3）設(shè)“H點(diǎn)”為（p,q）和（-p,-q）,代入得到ap2+3c=0,2bp=q，得到a,c異號，再根據(jù)a+b+c=0，代入求出的取值，設(shè)函數(shù)與x軸的交點(diǎn)為（x1,0）（x2,0），t=，利用根與系數(shù)的關(guān)系得到=，再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解．【詳解】（1）①是“H函數(shù)”②是“H函數(shù)”③不是“H函數(shù)”；故答案為：√；√；×；（2）∵A,B是“H點(diǎn)”∴A,B關(guān)于原點(diǎn)對稱，∴m=4,n=1∴A(1,4），B（-1，-4）代入得解得又∵該函數(shù)的對稱軸始終位于直線的右側(cè)，∴-＞2∴-＞2∴-1＜a＜0∵a+c=0∴0＜c＜0，綜上，-1＜a＜0，b=4，0＜c＜0；（3）∵是“H函數(shù)”∴設(shè)H點(diǎn)為（p,q）和（-p,-q）,代入得解得ap2+3c=0,2bp=q∵p2＞0∴a,c異號，∴ac＜0∵a+b+c=0∴b=-a-c，∵∴∴∴c2＜4a2∴＜4∴-2＜＜2∴-2＜＜0設(shè)t=，則-2＜t＜0設(shè)函數(shù)與x軸的交點(diǎn)為（x1,0）（x2,0）∴x1,x2是方程=0的兩根∴====2=又∵-2＜t＜0∴2＜＜2．【點(diǎn)睛】此題主要考查二次函數(shù)綜合，解題的關(guān)鍵是熟知待定系數(shù)法、二次函數(shù)的性質(zhì)及根與系數(shù)的關(guān)系．21、（2020湘潭中考）如圖，拋物線與軸交于，兩點(diǎn)．（1）若過點(diǎn)的直線是拋物線的對稱軸．①求拋物線的解析式；②對稱軸上是否存在一點(diǎn)，使點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)恰好落在對稱軸上．若存在，請求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．（2）當(dāng)，時，函數(shù)值的最大值滿足，求的取值范圍．【答案】（1）①；②存在，或；（2）．【解析】【分析】（1）①根據(jù)拋物線的對稱軸公式即可求出解析式；②如圖1，若點(diǎn)P在x軸上方，點(diǎn)B關(guān)于OP對稱點(diǎn)在對稱軸上，連接、PB，根據(jù)軸對稱得到，，求出點(diǎn)B的坐標(biāo)，勾股定理得到，再根據(jù)，列出方程解答，同理得到點(diǎn)P在x軸下方時的坐標(biāo)即可；（2）當(dāng)時，確定對稱軸的位置，再結(jié)合開口方向，確定當(dāng)時，函數(shù)的增減性，從而得到當(dāng)x=2時，函數(shù)取最大值，再列出不等式解答即可．【詳解】解：（1）①拋物線的對稱軸為直線，∴若過點(diǎn)的直線是拋物線的對稱軸，則，解得：b=4，∴；②存在，如圖1，若點(diǎn)P在x軸上方，點(diǎn)B關(guān)于OP對稱的點(diǎn)在對稱軸上，連接、PB，則，，對于，令y=0，則，解得：，∴A（-1,0），B（5,0），∴，∴，∴，設(shè)點(diǎn)P（2，m），由可得：，解得：，∴，同理，當(dāng)點(diǎn)P在x軸下方時，，綜上所述，點(diǎn)或（2）∵拋物線的對稱軸為直線，∴當(dāng)時，，∵拋物線開口向下，在對稱軸左邊，y隨x的增大而增大，∴當(dāng)時，取x=2，y有最大值，即，∴，解得：，又∵，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，以及勾股定理的應(yīng)用，其中第（1）②問要先畫出圖形再理解，第（2）問運(yùn)用到了二次函數(shù)的增減性，難度不大，解題的關(guān)鍵是熟記二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)．22、（2020天門中考）把拋物線先向右平移4個單位長度，再向下平移5個單位長度得到拋物線．（1）直接寫出拋物線的函數(shù)關(guān)系式；（2）動點(diǎn)能否在拋物線上？請說明理由；（3）若點(diǎn)都在拋物線上，且，比較的大小，并說明理由．【答案】（1）；（2）不，見解析；（3），見解析【解析】【分析】（1）先求出拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)，再根據(jù)向右平移橫坐標(biāo)加，向下平移縱坐標(biāo)減求出平移后的拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)即可；（2）根據(jù)拋物線的頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，即可判斷點(diǎn)不在拋物線上；（3）根據(jù)拋物線的增減性質(zhì)即可解答．【詳解】（1）拋物線，∴拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(-1，2)，根據(jù)題意，拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(-1+4，2-5)，即(3，-3)，∴拋物線的函數(shù)關(guān)系式為：；（2）動點(diǎn)P不在拋物線上．理由如下：∵拋物線的頂點(diǎn)為，開口向上，∴拋物線的最低點(diǎn)的縱坐標(biāo)為．∵，∴動點(diǎn)P不在拋物線上；（3）．理由如下：由（1）知拋物線的對稱軸是，且開口向上，∴在對稱軸左側(cè)y隨x的增大而減?。唿c(diǎn)都在拋物線上，且，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)圖象與幾何變換，二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，熟練掌握平移的規(guī)律“左加右減，上加下減”以及熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．23、（2020河南中考）（10分）如圖，拋物線y＝﹣x2+2x+c與x軸正半軸，y軸正半軸分別交于點(diǎn)A，B，且OA＝OB，點(diǎn)G為拋物線的頂點(diǎn)．（1）求拋物線的解析式及點(diǎn)G的坐標(biāo)；（2）點(diǎn)M，N為拋物線上兩點(diǎn)（點(diǎn)M在點(diǎn)N的左側(cè)），且到對稱軸的距離分別為3個單位長度和5個單位長度，點(diǎn)Q為拋物線上點(diǎn)M，N之間（含點(diǎn)M，N）的一個動點(diǎn)，求點(diǎn)Q的縱坐標(biāo)yQ的取值范圍．【解答】（1）∵拋物線y＝﹣x2+2x+c與y軸正半軸分別交于點(diǎn)B，∴點(diǎn)B（0，c），∵OA＝OB＝c，∴點(diǎn)A（c，0），∴0＝﹣c2+2c+c，∴c＝3或0（舍去），∴拋物線解析式為：y＝﹣x2+2x+3，∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，∴頂點(diǎn)G的坐標(biāo)為（1，4）；（2）∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，∴對稱軸為直線x＝1，∵點(diǎn)M，N為拋物線上兩點(diǎn)（點(diǎn)M在點(diǎn)N的左側(cè)），且到對稱軸的距離分別為3個單位長度和5個單位長度，∴點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為﹣2或4，點(diǎn)N的橫坐標(biāo)為6，∴點(diǎn)M坐標(biāo)為（﹣2，﹣5）或（4，﹣5），點(diǎn)N坐標(biāo)為（6，﹣21），∵點(diǎn)Q為拋物線上點(diǎn)M，N之間（含點(diǎn)M，N）的一個動點(diǎn)，∴﹣21≤yQ≤4或﹣21≤yQ≤﹣5．24、（2020河池中考）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線與x軸交于（p，0），（q，0），則該拋物線的解析式可以表示為：y＝a（x﹣p）（x﹣q）＝ax2﹣a（p+q）x+apq．（1）若a＝1，拋物線與x軸交于（1，0），（5，0），直接寫出該拋物線的解析式和頂點(diǎn)坐標(biāo)；（2）若a＝﹣1，如圖（1），A（﹣1，0），B（3，0），點(diǎn)M（m，0）在線段AB上，拋物線C1與x軸交于A，M，頂點(diǎn)為C；拋物線C2與x軸交于B，M，頂點(diǎn)為D．當(dāng)A，C，D三點(diǎn)在同一條直線上時，求m的值；（3）已知拋物線C3與x軸交于A（﹣1，0），B（3，0），線段EF的端點(diǎn)E（0，3），F(xiàn)（4，3）．若拋物線C3與線段EF有公共點(diǎn)，結(jié)合圖象，在圖（2）中探究a的取值范圍．【答案】（1）y＝x2﹣6x+5；（3，﹣4）；（2）；（3）a≥或a≤﹣【解析】【分析】（1）結(jié)合題意，利用配方法解決問題即可．（2）求出兩個拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)A，C，D三點(diǎn)在同一條直線上，構(gòu)建方程求解即可．（3）求出兩種特殊情形a的值，結(jié)合圖象判斷即可解決問題．【詳解】解：（1）由題意拋物線的解析式為y＝（x﹣1）（x﹣5）＝x2﹣6x+5＝（x﹣3）2﹣4，∴y＝x2﹣6x+5，拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（3，﹣4）．（2）如圖1中，過點(diǎn)C作CE⊥AB于E，過點(diǎn)D作DF⊥AB于F．由題意拋物線C1為y＝﹣（x+1）（x﹣m）＝﹣（x﹣）2+，∴C（，），拋物線C2為y＝﹣（x﹣m）（x﹣3）＝﹣（x﹣）2+，∴D（，），∵A，C，D共線，CE∥DF，∴＝，∴＝，解得m＝，經(jīng)檢驗，m＝是分式方程的解，∴m＝．（3）如圖2﹣1，當(dāng)a＞0時，設(shè)拋物線的解析式為y＝a（（x+1）（x﹣3），當(dāng)拋物線經(jīng)過F（4，3）時，3＝a×5×1，∴a＝，觀察圖象可知當(dāng)a≥時，滿足條件．如圖2﹣2中，當(dāng)a＜0時，頂點(diǎn)在線段EF上時，頂點(diǎn)為（1，3），把（1，3）代入y＝a（x+1）（x﹣3），可得a＝﹣，觀察圖象可知當(dāng)a≤﹣時，滿足條件，綜上所述，滿足條件的a的范圍為：a≥或a≤﹣．【點(diǎn)睛】本題屬于二次函數(shù)綜合題，考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，待定系數(shù)法等知識，解題的關(guān)鍵是理解題意，學(xué)會利用參數(shù)解決問題，屬于中考常壓軸題．25、（2020廣州中考）平面直角坐標(biāo)系中，拋物線過點(diǎn)，，，頂點(diǎn)不在第一象限，線段上有一點(diǎn)，設(shè)的面積為，的面積為，．（1）用含的式子表示；（2）求點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）若直線與拋物線的另一個交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，求在時的取值范圍（用含的式子表示）．【答案】（1）；（2）或；（3）當(dāng)時，有＜【解析】【分析】（1）把代入：，即可得到答案；（2）先求解拋物線的對稱軸，記對稱軸與的交點(diǎn)為，確定頂點(diǎn)的位置，分情況利用，求解，從而可得答案；（3）分情況討論，先求解的解析式，聯(lián)立一次函數(shù)與二次函數(shù)的解析式，再利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系求解結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)可得答案．【詳解】解：（1）把代入：，（2）拋物線為：拋物線的對稱軸為：頂點(diǎn)不在第一象限，頂點(diǎn)在第四象限，如圖，設(shè)＜記對稱軸與的交點(diǎn)為，則，當(dāng)＞同理可得：綜上：或（3）當(dāng)，設(shè)為：解得：為消去得：由根與系數(shù)的關(guān)系得：解得：當(dāng)時，當(dāng)時，當(dāng)時，，當(dāng)時，有＜當(dāng)，由于拋物線開口向上，情況不存在綜上：當(dāng)時，有＜【點(diǎn)睛】本題考查的是利用待定系數(shù)法求解一次函數(shù)的解析式，二次函數(shù)的解析式，二次函數(shù)圖像上點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)，二次函數(shù)的性質(zhì)，同時考查了二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系，一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，掌握以上知識是解題的關(guān)鍵．26、（2020北京中考）在平面直角坐標(biāo)系中，為拋物線上任意兩點(diǎn)，其中．（1）若拋物線的對稱軸為，當(dāng)為何值時，（2）設(shè)拋物線的對稱軸為．若對于，都有，求的取值范圍．【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)拋物線解析式得拋物線必過（0，c），因為，拋物線的對稱軸為，可得點(diǎn)M，N關(guān)于對稱，從而得到的值；（2）根據(jù)題意知，拋物線開口向上，對稱軸為，分3種情況討論，情況1：當(dāng)都位于對稱軸右側(cè)時，情況2：當(dāng)都位于對稱軸左側(cè)時，情況3：當(dāng)位于對稱軸兩側(cè)時，分別求出對應(yīng)的t值，再進(jìn)行總結(jié)即可．【詳解】解：（1）當(dāng)x=0時，y=c，即拋物線必過（0，c），∵，拋物線的對稱軸為，∴點(diǎn)M，N關(guān)于對稱，又∵，∴，；（2）由題意知，a＞0，∴拋物線開口向上∵拋物線的對稱軸為，∴情況1：當(dāng)都位于對稱軸右側(cè)時，即當(dāng)時，恒成立情況2：當(dāng)都位于對稱軸左側(cè)時，即＜時，恒不成立情況3：當(dāng)位于對稱軸兩側(cè)時，即當(dāng)時，要使，必有，即解得，∴3≥2t，∴綜上所述，．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)圖象的性質(zhì)．解題的關(guān)鍵是學(xué)會分類討論的思想及數(shù)形結(jié)合思想．27、（2020安徽中考）在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，直線經(jīng)過點(diǎn)．拋物線恰好經(jīng)過三點(diǎn)中的兩點(diǎn)．判斷點(diǎn)是否在直線上．并說明理由；求的值；平移拋物線，使其頂點(diǎn)仍在直線上，求平移后所得拋物線與軸交點(diǎn)縱坐標(biāo)的最大值．【答案】（1）點(diǎn)在直線上，理由見詳解；（2）a=-1，b=2；（3）【解析】【分析】（1）先將A代入，求出直線解析式，然后將將B代入看式子能否成立即可；（2）先跟拋物線與直線AB都經(jīng)過（0，1）點(diǎn)，且B，C兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)相同，判斷出拋物線只能經(jīng)過A，C兩點(diǎn)，然后將A，C兩點(diǎn)坐標(biāo)代入得出關(guān)于a，b的二元一次方程組；（3）設(shè)平移后所得拋物線的對應(yīng)表達(dá)式為y=-（x-h）2+k，根據(jù)頂點(diǎn)在直線上，得出k=h+1，令x=0，得到平移后拋物線與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為-h2+h+1，在將式子配方即可求出最大值．【詳解】（1）點(diǎn)在直線上，理由如下：將A（1，2）代入得，解得m=1，∴直線解析式為，將B（2，3）代入，式子成立，∴點(diǎn)在直線上；（2）∵拋物線與直線AB都經(jīng)過（0，1）點(diǎn)，且B，C兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)相同，∴拋物線只能經(jīng)過A，C兩點(diǎn)，將A，C兩點(diǎn)坐標(biāo)代入得，解得：a=-1，b=2；（3）設(shè)平移后所得拋物線的對應(yīng)表達(dá)式為y=-（x-h）2+k，∵頂點(diǎn)在直線上，∴k=h+1，令x=0，得到平移后拋物線與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為-h2+h+1，∵-h2+h+1=-（h-）2+，∴當(dāng)h=時，此拋物線與軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)取得最大值．【點(diǎn)睛】本題考查了求一次函數(shù)解析式，用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，二次函數(shù)的平移和求最值，求出兩個函數(shù)的表達(dá)式是解題關(guān)鍵．28、（2021鞍山中考改編）如圖，拋物線y＝ax2+bx﹣3交x軸于點(diǎn)A（﹣1，0），B（3，0），D是拋物線的頂點(diǎn)，P是拋物線上的動點(diǎn)，點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m（0≤m≤3），AE∥PD交直線l：y＝x+2于點(diǎn)E，AP交DE于點(diǎn)F，交y軸于點(diǎn)Q．（1）求拋物線的表達(dá)式；（2）連接BQ，點(diǎn)M在拋物線的對稱軸上（位于第一象限內(nèi)），且∠BMQ＝45°，在點(diǎn)P從點(diǎn)B運(yùn)動到點(diǎn)C的過程中，點(diǎn)M也隨之運(yùn)動，直接寫出點(diǎn)M的縱坐標(biāo)t的取值范圍．【考點(diǎn)】二次函數(shù)綜合題．【專題】代數(shù)幾何綜合題；壓軸題；動點(diǎn)型；運(yùn)算能力；推理能力；應(yīng)用意識．【答案】（1）拋物線的表達(dá)式為：y＝x2﹣2x﹣3；（2）2≤t≤．【分析】（1）運(yùn)用待定系數(shù)法將A（﹣1，0），B（3，0）代入y＝ax2+bx﹣3，即可求得答案；（2）根據(jù)題意，分別求出t的最大值和最小值：①當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)B重合時，點(diǎn)Q與點(diǎn)O重合，此時t的值最大，如圖2，以O(shè)B為斜邊在第一象限內(nèi)作等腰直角△O′OB，以O(shè)′為圓心，OO′為半徑作⊙O′，交拋物線對稱軸于點(diǎn)M（1，t），過點(diǎn)O′作O′H⊥y軸于點(diǎn)H，運(yùn)用勾股定理即可求得答案，②當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)C重合時，點(diǎn)Q與點(diǎn)C重合，此時t的值最小，如圖3，連接BC，以O(shè)為圓心，OB為半徑作⊙O交拋物線對稱軸于點(diǎn)M，連接OM，設(shè)拋物線對稱軸交x軸于點(diǎn)E，運(yùn)用勾股定理即可求得答案．【解答】解：（1）∵拋物線y＝ax2+bx﹣3交x軸于點(diǎn)A（﹣1，0），B（3，0），∴將A、B坐標(biāo)分別代入拋物線解析式得：，解得：，∴拋物線的表達(dá)式為：y＝x2﹣2x﹣3；（2）①當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)B重合時，點(diǎn)Q與點(diǎn)O重合，此時t的值最大，如圖2，以O(shè)B為斜邊在第一象限內(nèi)作等腰直角△O′OB，則O′（，），OO′＝O′B＝，以O(shè)′為圓心，OO′為半徑作⊙O′，交拋物線對稱軸于點(diǎn)M（1，t），過點(diǎn)O′作O′H⊥y軸于點(diǎn)H，則∠O′HM＝90°，O′H＝，O′M＝OO′＝，∴MH＝＝＝，∴t＝+＝，②當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)C重合時，點(diǎn)Q與點(diǎn)C重合，此時t的值最小，如圖3，連接BC，以O(shè)為圓心，OB為半徑作⊙O交拋物線對稱軸于點(diǎn)M，∵OB＝OC＝3，∴⊙O經(jīng)過點(diǎn)C，連接OM，設(shè)拋物線對稱軸交x軸于點(diǎn)E，則OM＝OB＝3，OE＝1，∵∠MEO＝90°，∴ME＝＝＝2，∴t＝2，綜上所述，2≤t≤．29、（2021本溪中考改編）（14分）如圖，拋物線y＝﹣x2+bx+c與x軸交于點(diǎn)A和點(diǎn)C（﹣1，0），與y軸交于點(diǎn)B（0，3），連接AB，BC，點(diǎn)P是拋物線第一象限上的一動點(diǎn)，過點(diǎn)P作PD⊥x軸于點(diǎn)D，交AB于點(diǎn)E．（1）求拋物線的解析式；（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動到拋物線的頂點(diǎn)時，點(diǎn)Q在直線PD上，若以點(diǎn)Q、A、B為頂點(diǎn)的三角形是銳角三角形，請直接寫出點(diǎn)Q縱坐標(biāo)n的取值范圍．【分析】（1）用待定系數(shù)法即可求解；（2）當(dāng)∠BAQ為直角時，求出直線BQ的表達(dá)式為y＝x+3，得到n＝5；當(dāng)∠BQA為直角時，利用解直角三角形的方法求出n＝；當(dāng)∠BAQ為直角時，同理可得，n＝﹣，進(jìn)而求解．【解答】解：（1）由題意得：，解得，故拋物線的表達(dá)式為y＝﹣x2+x+3；（2）由拋物線的表達(dá)式知，其對稱軸為x＝，故點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（，n），當(dāng)∠BAQ為直角時，如圖2﹣1，設(shè)BQ交x軸于點(diǎn)H，由直線AB的表達(dá)式知，tan∠BAO＝，則tan∠BHO＝，故設(shè)直線BQ的表達(dá)式為y＝x+t，該直線過點(diǎn)B（0，3），故t＝3，則直線BQ的表達(dá)式為y＝x+3，當(dāng)x＝時，y＝x+3＝5，即n＝5；②當(dāng)∠BQA為直角時，過點(diǎn)Q作直線MN交y軸于點(diǎn)N，交過點(diǎn)A與y軸的平行線于點(diǎn)M，∵∠BQN+∠MQA＝90°，∠MQA+∠MAQ＝90°，∴∠BQN＝∠MAQ，∴tan∠BQN＝tan∠MAQ，即，則，解得n＝；③當(dāng)∠BAQ為直角時，同理可得，n＝﹣；綜上，以點(diǎn)Q、A、B為頂點(diǎn)的三角形是銳角三角形，則△ABQ不為直角三角形，故點(diǎn)Q縱坐標(biāo)n的取值范圍為﹣＜n＜或＜n＜5．30、（2020新疆中考改編）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線的頂點(diǎn)是A(1，3)，將OA繞點(diǎn)O逆時針旋轉(zhuǎn)后得到OB，點(diǎn)B恰好在拋物線上，OB與拋物線的對稱軸交于點(diǎn)C．（1）求拋物線的解析式；（2）P是線段AC上一動點(diǎn)，且不與點(diǎn)A，C重合，過點(diǎn)P作平行于x軸的直線，與的邊分別交于M，N兩點(diǎn)，將以直線MN為對稱軸翻折，得到．設(shè)點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為m．當(dāng)在內(nèi)部時，求m的取值范圍；【答案】；（2）【分析】（1）作AD⊥y軸于點(diǎn)D，作BE⊥x軸于點(diǎn)E，然后證明△AOD≌△BOE，則AD=BE，OD=OE，即可得到點(diǎn)B的坐標(biāo)，然后利用待定系數(shù)法，即可求出解析式；（2）由點(diǎn)P為線段AC上的動點(diǎn)，則討論動點(diǎn)的位置是解題的突破口，有點(diǎn)P與點(diǎn)A重合時；點(diǎn)P與點(diǎn)C重合時，兩種情況進(jìn)行分析計算，即可得到答案；【詳解】解：（1）如圖：作AD⊥y軸于點(diǎn)D，作BE⊥x軸于點(diǎn)E，∴∠ADO=∠BEO=90°，∵將OA繞點(diǎn)O逆時針旋轉(zhuǎn)后得到OB，∴OA=OB，∠AOB=90°，∴∠AOD+∠AOE=∠BOE+∠AOE=90°，∴∠AOD=∠BOE，∴△AOD≌△BOE，∴AD=BE，OD=OE，∵頂點(diǎn)A為（1，3），∴AD=BE=1，OD=OE=3，∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（3，），設(shè)拋物線的解析式為，把點(diǎn)B代入，得，∴，∴拋物線的解析式為，即；（2）∵P是線段AC上一動點(diǎn)，∴，∵當(dāng)在內(nèi)部時，當(dāng)點(diǎn)恰好與點(diǎn)C重合時，如圖：∵點(diǎn)B為（3，），∴直線OB的解析式為，令，則，∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（1，），∴AC=，∵P為AC的中點(diǎn)，∴AP=，∴，∴m的取值范圍是；31、（2020大慶中考改編）如圖，拋物線與軸交于，兩點(diǎn)（在的右側(cè)），且經(jīng)過點(diǎn)和點(diǎn)．（1）求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；（2）在拋物線上，當(dāng)時，的取值范圍是，求的取值范圍．（直接寫出結(jié)果即可）【答案】（1）；（2）．【解析】【分析】（1）把和點(diǎn)代入：，從而可得答案；（2）記拋物線與軸的交點(diǎn)為過作軸交拋物線于，先求解的坐標(biāo)，可得當(dāng)時，有結(jié)合已知條件可得答案．【詳解】解：（1）把和點(diǎn)代入：，解得：所以：拋物線的解析式為：，（2）令記拋物線與軸的交點(diǎn)為過作軸交拋物線于，令則解得：拋物線的頂點(diǎn)為當(dāng)時，當(dāng)時，的取值范圍是，32、（2020咸寧中考）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)B，拋物線過點(diǎn)B且與直線相交于另一點(diǎn)．（1）求拋物線的解析式；（2）點(diǎn)P是拋物線上的一動點(diǎn)，當(dāng)時，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；（3）點(diǎn)在x軸的正半軸上，點(diǎn)是y軸正半軸上的一動點(diǎn)，且滿足．①求m與n之間的函數(shù)關(guān)系式；②當(dāng)m在什么范圍時，符合條件的N點(diǎn)的個數(shù)有2個？【答案】（1）；（2）或（3，）或（-2，-3）；（3）①；②0＜m＜【解析】【分析】（1）利用一次函數(shù)求出A和B的坐標(biāo)，結(jié)合點(diǎn)C坐標(biāo)，求出二次函數(shù)表達(dá)式；（2）當(dāng)點(diǎn)P在x軸上方時，點(diǎn)P與點(diǎn)C重合，當(dāng)點(diǎn)P在x軸下方時，AP與y軸交于點(diǎn)Q，求出AQ表達(dá)式，聯(lián)立二次函數(shù)，可得交點(diǎn)坐標(biāo)，即為點(diǎn)P；（3）①過點(diǎn)C作CD⊥x軸于點(diǎn)D，證明△MNO∽△NCD，可得，整理可得結(jié)果；②作以MC為直徑的圓E，根據(jù)圓E與線段OD的交點(diǎn)個數(shù)來判斷M的位置，即可得到m的取值范圍.【詳解】解：（1）∵直線與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)B，令x=0，則y=2，令y=0，則x=4，∴A（4，0），B（0，2），∵拋物線經(jīng)過B（0，2），，∴，解得：，∴拋物線的表達(dá)式為：；（2）當(dāng)點(diǎn)P在x軸上方時，點(diǎn)P與點(diǎn)C重合，滿足，∵，∴，當(dāng)點(diǎn)P在x軸下方時，如圖，AP與y軸交于點(diǎn)Q，∵，∴B，Q關(guān)于x軸對稱，∴Q（0，-2），又A（4，0），設(shè)直線AQ的表達(dá)式為y=px+q，代入，，解得：，∴直線AQ的表達(dá)式為：，聯(lián)立得：，解得：x=3或-2，∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（3，）或（-2，-3），綜上，當(dāng)時，點(diǎn)P的坐標(biāo)為：或（3，）或（-2，-3）；（3）①如圖，∠MNC=90°，過點(diǎn)C作CD⊥x軸于點(diǎn)D，∴∠MNO+∠CND=90°，∵∠