2024年八年級數(shù)學(xué)下冊提練第3招根的判別式的常見應(yīng)用習(xí)題

第3招根的判別式的常見應(yīng)用典例剖析

例已知關(guān)于x的方程x2－(2m＋1)x＋m(m＋1)＝0.(1)求證：方程總有兩個不相等的實數(shù)根；證明：∵關(guān)于x的方程x2－(2m＋1)x＋m(m＋1)＝0是一元二次方程，∴b2－4ac＝[－(2m＋1)]2－4m(m＋1)＝1>0.∴方程總有兩個不相等的實數(shù)根．解題秘方：一元二次方程根的判別式的應(yīng)用主要有以下三種情況：1．不解方程，由根的判別式的正負性及是否為0可直接判斷根的情況．2．根據(jù)方程根的情況，結(jié)合根的判別式來確定方程中待定字母的值或取值范圍，若二次項系數(shù)中含有字母，則應(yīng)注意檢驗二次項系數(shù)是否為零．3．應(yīng)用根的判別式證明方程根的情況(有實根、無實根、有兩個不相等的實根、有兩個相等的實根)．典例剖析(2)已知方程的一個根為x＝0，求代數(shù)式(2m－1)2＋

(3＋m)(3－m)＋7m－5的值(要求先化簡再求值)．解：∵x＝0是此方程的一個根，∴把x＝0代入方程中得到m(m＋1)＝0.

∴m＝0或m＝－1.

(2m－1)2＋(3＋m)(3－m)＋7m－5＝4m2－4m＋1＋9－m2＋7m－5＝3m2＋3m＋5，把m＝0代入3m2＋3m＋5得3m2＋3m＋5＝5；把m＝－1代入3m2＋3m＋5得3m2＋3m＋5＝3－3＋5＝5.綜上，(2m－1)2＋(3＋m)(3－m)＋7m－5的值為5.分類訓(xùn)練應(yīng)用利用根的判別式判斷不含字母系數(shù)的方程的根的情況11.判斷下列方程的根的情況：

解：b2－4ac＝0，方程有兩個相等的實數(shù)根；(3)x2＋x＋2＝0.b2－4ac＝－7＜0，方程無實數(shù)根．解：b2－4ac＝20＞0，方程有兩個不相等的實數(shù)根；分類訓(xùn)練2.已知關(guān)于x的一元二次方程x2＋(2m＋1)x＋m－6＝0.應(yīng)用利用根的判別式判斷含字母系數(shù)的方程的根的情況2(1)求證：無論m取何值，此方程總有兩個不相等的實數(shù)根；證明：∵b2－4ac＝(2m＋1)2－4×1×(m－6)＝4m2＋4m＋1－4m＋24＝4m2＋25＞0，∴無論m取何值，此方程總有兩個不相等的實數(shù)根．(2)當(dāng)該方程根的判別式的值最小時，寫出m的值，并求出此時方程的解．解：當(dāng)m＝0時，根的判別式的值最小，把m＝0代入方程，得x2＋x－6＝0，(x＋3)(x－2)＝0，∴x＝－3或x＝2.分類訓(xùn)練3.已知關(guān)于x的方程x2＋mx＋m－3＝0.(1)若該方程的一個根為x＝1，求m的值及該方程的另一根；解：把x＝1代入方程x2＋mx＋m－3＝0，得m＝1，則原方程為x2＋x－2＝0，解得x＝－2或x＝1.因此該方程的另一個根為－2.(2)求證：不論m取何實數(shù)，該方程都有兩個不相等的實數(shù)根．證明：∵b2－4ac＝m2－4(m－3)＝(m－2)2＋8，(m－2)2≥0，∴(m－2)2＋8>0，∴不論m取何實數(shù)，該方程都有兩個不相等的實數(shù)根．應(yīng)用利用根的判別式求待定系數(shù)的取值范圍3分類訓(xùn)練4.D分類訓(xùn)練5.【2023·揚州】關(guān)于x的一元二次方程x2＋2x＋k＝0有兩個不相等的實數(shù)根，則k的取值范圍是________．k<1分類訓(xùn)練6.應(yīng)用利用根的判別式求代數(shù)式的值4【點撥】本題利用根的判別式求得m的值，再將m的值代入代數(shù)式求值即可．分類訓(xùn)練7.已知關(guān)于x的方程x2－(m＋2)x＋(2m－1)＝0.(1)求證：方程總有兩個不相等的實數(shù)根；證明：∵b2－4ac＝[－(m＋2)]2－4×1×(2m－1)＝m2－4m＋8＝(m－2)2＋4>0，∴方程總有兩個不相等的實數(shù)根．應(yīng)用利用根的判別式確定三角形的形狀5(2)若此方程的一個根是1，請求出方程的另一個根，并求出以此兩根為邊長的直角三角形的周長．解：∵此方程的一個根是1，∴12－(m＋2)＋(2m－1)＝0，解得m＝2，∴原方程為x2－4x＋3＝0，解得x1＝1，x2＝3，∴方程的另一個根為x＝3.分類訓(xùn)練8.【2023·杭州拱墅區(qū)期中】已知關(guān)于x的一元二次方程x2－(2k＋1)x＋k2＋k＝0.(1)求證：方程有兩個不相等的實數(shù)根；證明：∵b2－4ac＝[－(2k＋1)]2－4(k2＋k)＝1>0，∴方程有兩個不相等的實數(shù)根．(2)若△ABC的兩邊AB，AC的長是這個方程的兩個實數(shù)根，第三邊BC的長為5.①若k＝3，請判斷△ABC的形狀并說明理由；解：當(dāng)k＝3時，方程為x2－7x＋12＝0，解得x1＝3，x2＝4，不妨令A(yù)B＝3，AC＝4，∵BC＝5，∴AB2＋AC2＝BC2，∴△ABC是直角三角形．②若△ABC是等腰三角形，求k的值．解：∵b2－4ac＝1>0，∴AB≠AC，∴AB，AC兩邊中有一邊長為5.∴x＝5是方程的一個根，∴25－5(2k＋1)＋k2＋k＝0，即k2－9k＋20＝0，解得k1＝4，k2＝5.當(dāng)k＝4時，原方程為x2－9x＋20＝0.∴x1＝4，x2＝5.∴△ABC的三邊長為4，5，5.由三角形的三邊關(guān)系，得邊長為4，5，5能圍成三角形，∴k＝4符合題意．當(dāng)k＝5時，原方程為x2－11x＋30＝0，解得x1＝5，