2020-2021學(xué)年遼寧省沈陽市高一上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題

20202021學(xué)年遼寧省沈陽市高一上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題一、單選題1．已知全集，集合，，則（）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)補(bǔ)集定義求出，再根據(jù)交集定義即可求出.【詳解】，，，，.故選：A.2．某單位共有名職工，其中不到歲的有人，歲的有人，歲及以上的有人，現(xiàn)用分層抽樣的方法，從中抽出名職工了解他們的健康情況．如果已知歲的職工抽取了人，則歲及以上的職工抽取的人數(shù)為（）A． B． C． D．【答案】A【分析】計算抽樣比例，求出不到35歲的應(yīng)抽取人數(shù)，再求50歲及以上的應(yīng)抽取人數(shù).【詳解】計算抽樣比例為，所以不到35歲的應(yīng)抽取(人，所以50歲及以上的應(yīng)抽取(人.故選：.3．設(shè)，則“”是“”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【分析】解不等式，用集合的包含關(guān)系判斷.【詳解】解：由，解得，記集合A=(∞，1)，B=(∞，0)∵B?A∴“”是“”的必要不充分條件．故選：B．【點睛】結(jié)論點睛：有關(guān)充要條件類問題的判斷，一般可根據(jù)如下規(guī)則判斷：(1)若是的必要不充分條件，則對應(yīng)集合是對應(yīng)集合的真子集；(2)若是的充分不必要條件，則對應(yīng)集合是對應(yīng)集合的真子集；(3)若是的充分必要條件，則對應(yīng)集合與對應(yīng)集合相等；(4)若是的既不充分又不必要條件，對應(yīng)集合與對應(yīng)集合互不包含．4．2020年12月4日，中國科學(xué)技術(shù)大學(xué)宣布該校潘建偉等人成功構(gòu)建個光子的量子計算原型機(jī)“九章”．據(jù)介紹，將這臺量子原型機(jī)命名為“九章”，是為了紀(jì)念中國古代的數(shù)學(xué)專著《九章算術(shù)》．在該書的《方程》一章中有如下一題：“今有上禾二秉，中禾三秉，下禾四秉，實皆不滿斗．上取中，中取下，下取上，各一秉，而實滿斗．問上中下禾實一秉各幾何？”其譯文如下：“今有上等稻禾束，中等稻禾束，下等稻禾束，各等稻禾總數(shù)都不足斗．如果將束上等稻禾加上束中等稻禾，或者將束中等稻禾加上束下等稻禾，或者將束下等稻禾加上束上等稻禾，則剛好都滿斗．問每束上、中、下等的稻禾各多少斗？”現(xiàn)請你求出題中的束上等稻禾是多少斗？（）A． B． C． D．【答案】D【分析】設(shè)出未知數(shù)，根據(jù)題意列出方程即可解出.【詳解】設(shè)束上等稻禾是斗，束中等稻禾是斗，束下等稻禾是斗，則由題可得，解得，所以束上等稻禾是斗.故選：D.5．在中，，，若點滿足，則（）A． B． C． D．【答案】C【分析】由題可得，進(jìn)一步化簡可得.【詳解】，，.故選：C.6．設(shè)，，，則的大小關(guān)系為（）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可判斷.【詳解】，，，，.故選：D.7．已知實數(shù)，，且，則的最小值為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】由題可得，則由展開利用基本不等式可求.【詳解】，，且，則，，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，故的最小值為.故選：C.8．已知函數(shù)（其中為自然對數(shù)的底數(shù)，…），若實數(shù)滿足，則（）A． B． C． D．【答案】B【分析】化簡得到，得到，進(jìn)而得到，即可求解.【詳解】由題意，函數(shù)，可得，可得，即，因為，所以.故選：B.9．下列命題中錯誤的是（）A．若，則 B．若，則C．若，，則 D．若，，則【答案】A【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)即可依次判斷每個選項的正誤.【詳解】對A，若，若，則，故A錯誤，符合題意；對B，若，由，可得，故B正確，不符合題意；對C，若，，則，則，故C正確，不符合題意；對D，若，，則，則，即，則，故D正確，不符合題意.故選：A.二、多選題10．在某次高中學(xué)科競賽中，名考生的參賽成績統(tǒng)計如圖所示，分以下視為不及格，若同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間中點值為代表，則下列說法中正確的是（）A．考生成績在的人數(shù)最多B．考生成績在對應(yīng)的頻率為C．不及格的考生人數(shù)為D．考生成績的平均分約為【答案】AD【分析】根據(jù)頻率分布直方圖，以及頻率，平均分的公式即得．【詳解】由成績統(tǒng)計圖可知，考生成績在內(nèi)的小矩形最高，所以頻率最大，對應(yīng)人數(shù)最多，故A正確；考生成績在對應(yīng)的頻率為，故B錯誤；不及格的考生人數(shù)為人，故C錯誤；考生成績的平均分為：故D正確．故選：AD11．已知函數(shù)有兩個零點，分別為，則下列結(jié)論正確的是（）A． B．C． D．【答案】ACD【分析】將問題先化為有兩個根，問題即轉(zhuǎn)化為與的有兩個不同交點的問題，畫出圖象即可求解.【詳解】函數(shù)有兩個零點，即有兩個根，問題即轉(zhuǎn)化為與的有兩個不同交點．做出函數(shù)的圖象如圖所示，由題意兩交點橫坐標(biāo)分別為，，①若有兩個交點，則，D對；②當(dāng)時，令，得，故，A對；③易知，整理得：，C對；④由③得，所以，B錯.故選：ACD.【點睛】關(guān)鍵點點睛：將零點問題轉(zhuǎn)化為兩函數(shù)圖象交點問題，通過圖象得到滿足的關(guān)系是解題的關(guān)鍵.12．若關(guān)于的方程的解集中只含有一個元素，則滿足條件的實數(shù)可以為（）A． B． C． D．【答案】BCD【分析】顯然時，原方程只有一個實根1；當(dāng)時，將原方程轉(zhuǎn)化為整式方程，只需要方程①有一個非零且不等于1的實根即可，結(jié)合判別式即可判斷．【詳解】易知，當(dāng)時，方程只有一個根1，滿足題意；當(dāng)時，原方程可化為，即①方程只有一個非零實數(shù)根即可．對于方程①，顯然，即只有一個非零且不等于1的實根，所以，解得．另將代入方程①得，此時另一根為2，結(jié)合題意，當(dāng)時，原方程只有一個根2．故選：BCD【點睛】關(guān)鍵點睛：解答本題的關(guān)鍵在于把分式方程的根的問題轉(zhuǎn)化為整式方程的根的問題，再轉(zhuǎn)化為二次方程的根的問題求解.三、填空題13．計算的結(jié)果是_____________．【答案】.【分析】根據(jù)對數(shù)的運算公式，即可求解.【詳解】根據(jù)對數(shù)的運算公式，可得.故答案為：.14．設(shè)為三個隨機(jī)事件，若與互斥，與對立，且，，則_____________．【答案】【分析】由與對立可求出，再由與互斥，可得求解.【詳解】與對立，，與互斥，.故答案為：.15．已知函數(shù)則不等式的解集是_____________．【答案】【分析】分和0的大小關(guān)系分別代入對應(yīng)的解析式即可求解結(jié)論.【詳解】∵函數(shù)，∴當(dāng)，即時，，故；當(dāng)，即時，，故；∴不等式的解集是：.故答案為：.16．給定函數(shù)y＝f(x)，設(shè)集合A＝{x|y＝f(x)}，B＝{y|y＝f(x)}．若對于?x∈A，?y∈B，使得x+y＝0成立，則稱函數(shù)f(x)具有性質(zhì)P．給出下列三個函數(shù)：①；②；③y＝lgx．其中，具有性質(zhì)P的函數(shù)的序號是_____．【答案】①③【分析】A即為函數(shù)的定義域，B即為函數(shù)的值域，求出每個函數(shù)的定義域及值域，直接判斷即可．【詳解】對①，A＝(﹣∞，0)∪(0，+∞)，B＝(﹣∞，0)∪(0，+∞)，顯然對于?x∈A，?y∈B，使得x+y＝0成立，即具有性質(zhì)P；對②，A＝R，B＝(0，+∞)，當(dāng)x＞0時，不存在y∈B，使得x+y＝0成立，即不具有性質(zhì)P；對③，A＝(0，+∞)，B＝R，顯然對于?x∈A，?y∈B，使得x+y＝0成立，即具有性質(zhì)P；故答案為：①③．【點睛】本題以新定義為載體，旨在考查函數(shù)的定義域及值域，屬于基礎(chǔ)題．四、解答題17．設(shè)為平面直角坐標(biāo)系中的四點，且，，．（1）若，求點的坐標(biāo)及；（2）設(shè)向量，，若與平行，求實數(shù)的值．【答案】（1），；（2）【分析】（1）設(shè)，寫出的坐標(biāo)，利用列式求解點的坐標(biāo)，再寫出的坐標(biāo)；（2）用坐標(biāo)表示出與，再根據(jù)平行條件的坐標(biāo)公式列式求解.【詳解】（1）設(shè)，因為，，，所以，得，則；（2）由題意，，，所以，，因為與平行，所以，解得.18．已知全集，集合，．（1）當(dāng)時，求；（2）如果，求實數(shù)的取值范圍．【答案】（1）或；（2）（∞，2）.【分析】先解出集合A（1）時，求出B,再求和；（2）把轉(zhuǎn)化為，分和進(jìn)行討論.【詳解】（1）當(dāng)時，，∴∴或.（2）∵，∴.當(dāng)時，有，解得：；當(dāng)時，因為，只需，解得：；綜上：,故實數(shù)的取值范圍（∞，2）.【點睛】（1）集合的交并補(bǔ)運算：①離散型的數(shù)集用韋恩圖；②連續(xù)型的數(shù)集用數(shù)軸；（2）由求參數(shù)的范圍容易漏掉的情況．19．中學(xué)階段是學(xué)生身體發(fā)育重要的階段，長時間熬夜學(xué)習(xí)嚴(yán)重影響學(xué)生的身體健康．某校為了解甲、乙兩個班的學(xué)生每周熬夜學(xué)習(xí)的總時長（單位：小時)，從這兩個班中各隨機(jī)抽取名同學(xué)進(jìn)行調(diào)查，將他們最近一周熬夜學(xué)習(xí)的總時長作為樣本數(shù)據(jù)，如下表所示．如果學(xué)生一周熬夜學(xué)習(xí)的總時長超過小時，則稱為“過度熬夜”．甲班乙班（1）分別計算出甲、乙兩班樣本的平均值；（2）為了解學(xué)生過度熬夜的原因，從甲、乙兩班符合“過度熬夜”的樣本數(shù)據(jù)中，抽取個數(shù)據(jù)，求抽到的數(shù)據(jù)來自于同一個班級的概率；（3）從甲班的樣本數(shù)據(jù)中有放回地抽取個數(shù)據(jù)，求恰有個數(shù)據(jù)為“過度熬夜”的概率．【答案】（1），；（2）；（3）【分析】（1）利用平均數(shù)公式代入求解；（2）由題意得甲班和乙班各有“過度熬夜”的人數(shù)為，計算得基本事件總數(shù)和個數(shù)據(jù)來自于同一個班級的基本事件的個數(shù)，然后利用古典概型的公式代入計算取個數(shù)據(jù)來自于同一個班級的概率；（3）甲班共有個數(shù)據(jù)，其中“過度熬夜”的數(shù)據(jù)有個，計算得基本事件總數(shù)和恰有個數(shù)據(jù)為“過度熬夜”的基本事件的個數(shù)，利用古典概型的公式代入計算恰有個數(shù)據(jù)為“過度熬夜”的概率.【詳解】（1）甲的平均值：；乙的平均值：；（2）由題意，甲班和乙班各有“過度熬夜”的人數(shù)為，抽取個數(shù)據(jù)，基本事件的總數(shù)為個，抽到來自同一個班級的基本事件的個數(shù)為，則抽取個數(shù)據(jù)來自于同一個班級的概率為；（3）甲班共有個數(shù)據(jù)，其中“過度熬夜”的數(shù)據(jù)有個，從甲班的樣本數(shù)據(jù)中有放回地抽取個數(shù)據(jù)，基本事件的總數(shù)為個，恰有個數(shù)據(jù)為“過度熬夜”包含的基本事件的個數(shù)為個，則恰有個數(shù)據(jù)為“過度熬夜”的概率為.20．已知函數(shù)()．（1）求在區(qū)間上的最小值；（2）設(shè)函數(shù)，用定義證明：在上是減函數(shù)．【答案】（1）；（2）證明見解析.【分析】（1）由已知得函數(shù)的對稱軸，開口向上，分別討論，，三種情況求得最小值；（2）利用函數(shù)單調(diào)性的定義可得證．【詳解】（1）因為的對稱軸，開口向上，當(dāng)，即時，；當(dāng)，即時，；當(dāng)，即時，，所以；（2），設(shè)，則，，所以，所以，所以在上是減函數(shù)．【點睛】方法點睛：利用定義判斷函數(shù)單調(diào)性的步驟：1、在區(qū)間D上，任取，令；2、作差；3、對的結(jié)果進(jìn)行變形處理；4、確定符號的正負(fù)；5、得出結(jié)論．21．近來，國內(nèi)多個城市紛紛加碼布局“夜經(jīng)濟(jì)”，以滿足不同層次的多元消費，并拉動就業(yè)、帶動創(chuàng)業(yè)，進(jìn)而提升區(qū)域經(jīng)濟(jì)發(fā)展活力．某夜市的一位工藝品售賣者，通過對每天銷售情況的調(diào)查發(fā)現(xiàn)：該工藝品在過去的一個月內(nèi)(以天計)，每件的銷售價格(單位：元)與時間(單位：天)的函數(shù)關(guān)系近似滿足(為常數(shù)，且)，日銷售量(單位：件)與時間(單位：天)的部分?jǐn)?shù)據(jù)如下表所示：已知第天的日銷售收入為元．（1）求的值；（2）給出以下四個函數(shù)模型：①；②；③；④．請你根據(jù)上表中的數(shù)據(jù)，從中選擇你認(rèn)為最合適的一種函數(shù)模型來描述日銷售量與時間的變化關(guān)系，并求出該函數(shù)的解析式；（3）設(shè)該工藝品的日銷售收入為(單位：元)，求的最小值．【答案】（1）；（2）；（3）.【分析】（1）根據(jù)第10天的日銷售收入，得到，即可求解；（2）由數(shù)據(jù)知先增后減，選擇②，由對稱性求得實數(shù)的值，再利用進(jìn)而列出方程組，求得的值，從而求得函數(shù)的解析式；（3）根據(jù)（2）求得的解析式，然后利用基本不等式和函數(shù)的單調(diào)性分別求得各段的最小值，比較得到結(jié)論.【詳解】（1）因為第10天的日銷售收入為505元，所以，即，解得.（2）由表格中的數(shù)據(jù)知，當(dāng)時間變換時，先增后減，函數(shù)模型：①；③；④都是單調(diào)函數(shù)，所以選擇模型②：，由，可得，解得，由，解得，所以日銷售量與時間的變化的關(guān)系式為.（3）由（2）知，所以，即，當(dāng)時，由基本不等式，可得，當(dāng)且僅當(dāng)時，即時等號成立，當(dāng)時，為減函數(shù)，所以函數(shù)的最小值為，綜上可得，當(dāng)時，函數(shù)取得最小值.【點睛】求解所給函數(shù)模型解決實際問題的關(guān)注點：1、認(rèn)清所給函數(shù)模型，弄清哪些量為待定系數(shù)；2、根據(jù)已知利用待定系數(shù)法，列出方程，確定函數(shù)模型中的待定系數(shù)；3、結(jié)合函數(shù)的基本形式，利用函數(shù)模型求解實際問題，22．已知函數(shù)是偶函數(shù)（其中為自然對數(shù)的底數(shù)，…）．（1）求的值；（2）若方程在區(qū)間上有實數(shù)根，求實數(shù)的取值范圍．【答案】（1）；（2）【分析】（1）由