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第七節(jié)高階偏導(dǎo)數(shù)

高階偏導(dǎo)數(shù)

求混合偏導(dǎo)數(shù)與求導(dǎo)順序無(wú)關(guān)的定理本節(jié)關(guān)鍵概念和理論1多元函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)與一元函數(shù)的情形類似.

一般說(shuō)來(lái),在區(qū)域內(nèi),函數(shù)z=f(x,y)的偏導(dǎo)數(shù)仍是變量x,y

的多元函數(shù),如果偏導(dǎo)數(shù)的二階偏導(dǎo)數(shù).依此類推,可定義多元函數(shù)的更高階的導(dǎo)數(shù).仍可偏導(dǎo),則它們的偏導(dǎo)數(shù)就是原來(lái)函數(shù)高階偏導(dǎo)數(shù)2

一般地,若函數(shù)f(X)的m－1階偏導(dǎo)數(shù)仍可偏導(dǎo),則稱其偏導(dǎo)數(shù)為原來(lái)函數(shù)的m

階偏導(dǎo)數(shù).二階和二階以上的偏導(dǎo)數(shù)均稱為高階偏導(dǎo)數(shù),其中,關(guān)于不同變量的高階導(dǎo)數(shù),稱為混合偏導(dǎo)數(shù).3例例4高階偏導(dǎo)數(shù)還可使用下列記號(hào)二元函數(shù)的二階偏導(dǎo)數(shù)共22=4項(xiàng)5例例6例例7例例8例例共23=8項(xiàng).9求高階導(dǎo)數(shù)與求導(dǎo)順序有關(guān)10例求的二階偏導(dǎo)數(shù).先求一階偏導(dǎo)數(shù)：再求二階偏導(dǎo)數(shù)：例解11例求的二階偏導(dǎo)數(shù).例解二階混合偏導(dǎo)數(shù)：兩個(gè)混合偏導(dǎo)數(shù)相等這里的兩個(gè)混合偏導(dǎo)數(shù)均連續(xù)12例設(shè)求需按定義求函數(shù)在點(diǎn)(0,0)處的偏導(dǎo)數(shù):00不相等例解13定理若的二階混合偏導(dǎo)數(shù)在內(nèi)存在且在點(diǎn)處連續(xù),則必有該定理的結(jié)論可推廣到更高階的混合偏導(dǎo)數(shù)的情形.14引入記號(hào)：在內(nèi)有直到k階的連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),記為時(shí),則在求n階及n階以下的偏導(dǎo)數(shù)時(shí),可大大減少運(yùn)算次數(shù).自變量的個(gè)數(shù)越多,求導(dǎo)與求導(dǎo)順序無(wú)關(guān)的作用越二元函數(shù)的n階偏導(dǎo)數(shù)就有2n項(xiàng),當(dāng)

明顯.15例例解16例例解17例例解18例這是求隱函數(shù)的高階偏導(dǎo)數(shù).例解1920例練練21例利用變量代換將方程化為關(guān)于變

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