江西省九江市德安東佳中學(xué)高三數(shù)學(xué)理模擬試題含解析

江西省九江市德安東佳中學(xué)高三數(shù)學(xué)理模擬試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.《九章算術(shù)》中的“兩鼠穿墻”問題為“今有垣厚五尺，兩鼠對(duì)穿，大鼠日一尺，小鼠也日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，問何日相逢？”可用如圖所示的程序框圖解決此類問題.現(xiàn)執(zhí)行該程序框圖，輸入的d的值為33，則輸出的i的值為A.4 B.5 C.6 D.7參考答案：C【詳解】，開始執(zhí)行程序框圖，，，，退出循環(huán)，輸出，故選C.2.設(shè)（是虛數(shù)單位），則等于(▲) A．

B．

C．

D．參考答案：D略3.我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》里有一道關(guān)于玉石的問題：“今有玉方一寸，重七兩；石方一寸，重六兩.今有石方三寸，中有玉，并重十一斤（兩）.問玉、石重各幾何？”如圖所示的程序框圖反映了對(duì)此題的一個(gè)求解算法，運(yùn)行該程序框圖，則輸出的，分別為（

）A．90，86

B．94，82

C.98，78

D．102，74參考答案：C4.已知橢圓M，N是坐標(biāo)平面內(nèi)的兩點(diǎn)，且M與C的焦點(diǎn)不重合．若M關(guān)于C的焦點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)分別為A，B，線段MN的中點(diǎn)在C上，則|AN|＋|BN|＝A．4

B．8

C．12

D．16參考答案：【知識(shí)點(diǎn)】橢圓的定義;橢圓的基本性質(zhì)的應(yīng)用.H5【答案解析】B

解析：如圖：MN的中點(diǎn)為Q，易得|QF2|＝|NB|，|QF1|＝|AN|，

∵Q在橢圓C上，∴|QF1|+|QF2|=2a=4，∴|AN|+|BN|=8．故選B．【思路點(diǎn)撥】畫出圖形，利用中點(diǎn)坐標(biāo)以及橢圓的定義，即可求出|AN|+|BN|的值．5.已知橢圓C1：+=1（a＞b＞0）與圓C2：x2+y2=b2，若在橢圓C1上不存在點(diǎn)P，使得由點(diǎn)P所作的圓C2的兩條切線互相垂直，則橢圓C1的離心率的取值范圍是（）A．（0，）B．（0，）C．[，1）D．[，1）參考答案：A考點(diǎn)：橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)．

專題：計(jì)算題；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程．分析：作出簡(jiǎn)圖，則＞，則e=．解答：解：由題意，如圖若在橢圓C1上不存在點(diǎn)P，使得由點(diǎn)P所作的圓C2的兩條切線互相垂直，由∠APO＞45°，即sin∠APO＞sin45°，即＞，則e=，故選A．點(diǎn)評(píng)：本題考查了橢圓的基本性質(zhì)應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．6.利用如圖所示程序框圖在直角坐標(biāo)平面上打印一系列點(diǎn)，則打印

的點(diǎn)落在坐標(biāo)軸上的個(gè)數(shù)是

（

） A．0 B．1 C．2 D．3參考答案：B7.已知函數(shù)的值域?yàn)镽,則k的取值范圍是A．O<k<lB．

C．D．參考答案：C要滿足題意，t=x2-2kx+k要能取到所有正實(shí)數(shù)，拋物線要與x軸有交點(diǎn)，∴△=4k2-4k≥0．解得k≥1或k≤0．故選C．

8.拋物線C：的焦點(diǎn)為F，為C上一點(diǎn)，過點(diǎn)P作其準(zhǔn)線的垂線，垂足為Q，若，則的長(zhǎng)度為A． B． C． D．參考答案：C9.已知x，y滿足不等式組，則的最大值與最小值的比值為(

)A.

B.2

C.

D.參考答案：B因?yàn)閤，y滿足不等式組，作出可行域，然后判定當(dāng)過點(diǎn)（2,2）取得最大，過點(diǎn)（1,1）取得最小，比值為2.

10.若，則該數(shù)列的前2011項(xiàng)的乘積

(

)A．3．

B．-6．

C．．

D．．

參考答案：A略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知復(fù)數(shù)，則

參考答案：略12.如果執(zhí)行上面的框圖，輸入，則輸出的數(shù)S=

.參考答案：13.（文）若平面向量滿足且,則的最大值為

.參考答案：因?yàn)椋?，所以，設(shè)，因?yàn)?，，所以，因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，有最大值，所以的最大值為。14.公元263年左右，我國(guó)數(shù)學(xué)家劉徽發(fā)現(xiàn)當(dāng)圓內(nèi)接多邊形的邊數(shù)無限增加時(shí)，多邊形面積可無限逼近圓的面積，并創(chuàng)立了割圓術(shù)。利用割圓術(shù)劉徽得到了圓周率精確到小數(shù)點(diǎn)后面兩位的近似值3.14，這就是著名的徽率。如圖是利用劉徽的割圓術(shù)設(shè)計(jì)的程序框圖，則輸出的n值為

（參考數(shù)據(jù)：=1.732，）參考答案：24n=6，s=2.598

n=12，s=3

n=24，s=3.1056結(jié)束循環(huán)

輸出n=2415.拋物線有如下光學(xué)性質(zhì)：由其焦點(diǎn)射出的光線經(jīng)拋物線反射后，沿平行于拋物線對(duì)稱軸的方向射出.現(xiàn)有拋物線，如圖一平行于x軸的光線射向拋物線，經(jīng)兩次反射后沿平行x軸方向射出，若兩平行光線間的最小距離為4，則該拋物線的方程為__________．參考答案：【分析】先由題意得到必過拋物線的焦點(diǎn)，設(shè)出直線的方程，聯(lián)立直線與拋物線方程，表示出弦長(zhǎng)，再根據(jù)兩平行線間的最小距離時(shí)，最短，進(jìn)而可得出結(jié)果.【詳解】由拋物線光學(xué)性質(zhì)可得：必過拋物線的焦點(diǎn)，當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)的方程為，，由得：，整理得，所以，，所以；當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，易得；綜上，當(dāng)直線與軸垂直時(shí)，弦長(zhǎng)最短，又因?yàn)閮善叫泄饩€間的最小距離為4，最小時(shí)，兩平行線間的距離最小；因此，所求方程為.故答案為【點(diǎn)睛】本題主要考查直線與拋物線位置關(guān)系，通常需要聯(lián)立直線與拋物線方程，結(jié)合韋達(dá)定理、弦長(zhǎng)公式等求解，屬于?？碱}型.16.已知各項(xiàng)為正數(shù)的等比數(shù)列若存在兩項(xiàng)、使得，則的最小值為

參考答案：17.已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，且滿足，則▲。參考答案：略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（本小題滿分12分）根據(jù)最新修訂的《環(huán)境空氣質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn)》指出空氣質(zhì)量指數(shù)在，各類人群可正常活動(dòng)．某市環(huán)保局在2014年對(duì)該市進(jìn)行了為期一年的空氣質(zhì)量檢測(cè)，得到每天的空氣質(zhì)量指數(shù)，從中隨機(jī)抽取50個(gè)作為樣本進(jìn)行分析報(bào)告，樣本數(shù)據(jù)分組區(qū)間為，，，，，由此得到樣本的空氣質(zhì)量指數(shù)頻率分布直方圖，如圖．（Ⅰ）求的值；并根據(jù)樣本數(shù)據(jù)，試估計(jì)這一年度的空氣質(zhì)量指數(shù)的平均值；（Ⅱ）用這50個(gè)樣本數(shù)據(jù)來估計(jì)全年的總體數(shù)據(jù)，將頻率視為概率．如果空氣質(zhì)量指數(shù)不超過20，就認(rèn)定空氣質(zhì)量為“最優(yōu)等級(jí)”．從這一年的監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)中隨機(jī)抽取2天的數(shù)值，其中達(dá)到“最優(yōu)等級(jí)”的天數(shù)為，求的分布列，并估計(jì)一個(gè)月（30天）中空氣質(zhì)量能達(dá)到“最優(yōu)等級(jí)”的天數(shù)．參考答案：(Ⅰ)25.6；(Ⅱ)18【知識(shí)點(diǎn)】用樣本估計(jì)總體；離散型隨機(jī)變量的分布列及方差I(lǐng)2K6解析：(Ⅰ)由題意，得解得………3分50個(gè)樣本中空氣質(zhì)量指數(shù)的平均值為由樣本估計(jì)總體，可估計(jì)2014年這一年度空氣質(zhì)量指數(shù)的平均值約為25.6

…………6分（Ⅱ）利用樣本估計(jì)總體，該年度空氣質(zhì)量指數(shù)在內(nèi)為“最優(yōu)等級(jí)”，且指數(shù)達(dá)到“最優(yōu)等級(jí)”的概率為0.3，則.的可能取值為0，1，2，的分布列為：012

……8分.(或者)，

…………10分故一個(gè)月（30天）中空氣質(zhì)量能達(dá)到“最優(yōu)等級(jí)”的天數(shù)大約為天.…12分【思路點(diǎn)撥】(Ⅰ)先由題意得a的值，再計(jì)算出平均數(shù)，然后利用樣本估計(jì)總體可得結(jié)果；(Ⅱ)利用樣本估計(jì)總體，該年度空氣質(zhì)量指數(shù)在內(nèi)為“最優(yōu)等級(jí)”，且指數(shù)達(dá)到“最優(yōu)等級(jí)”的概率為0.3，據(jù)此得到分布列和方程即可。19.（本小題滿分12分）已知函數(shù)，其中，。（Ⅰ）若，求函數(shù)的最大值和最小值，并定出相應(yīng)的值。（Ⅱ）ABC的內(nèi)角為A，B，C，設(shè)對(duì)邊分別為，滿足，且，求的值。參考答案：（Ⅰ），，………………6分（Ⅱ），，，，

………………12分20.（本題滿分12分）如圖是某市3月1日至14日的空氣質(zhì)量指數(shù)趨勢(shì)圖．空氣質(zhì)量指數(shù)小于100表示空氣質(zhì)量?jī)?yōu)良，空氣質(zhì)量指數(shù)大于200表示空氣重度污染．某人隨機(jī)選擇3月1日至3月13日中的某一天到達(dá)該市，并停留2天．（Ⅰ）求3月1日到14日空氣質(zhì)量指數(shù)的中位數(shù)；（Ⅱ）求此人到達(dá)當(dāng)日空氣重度污染的概率；（Ⅲ）由圖判斷從哪天開始連續(xù)三天的空氣質(zhì)量指數(shù)方差最大？（結(jié)論不要求證明）參考答案：解：（Ⅰ）由題意知，中位數(shù)為103.5………………4分（Ⅱ）設(shè)Ai表示事件“此人于3月i日到達(dá)該市”（i=1，2，…，13）．根據(jù)題意，，且．設(shè)B為事件“此人到達(dá)當(dāng)日空氣重度污染”，則．∴………………8分（Ⅲ）從3月5日開始連續(xù)三天的空氣質(zhì)量指數(shù)方差最大……12分

21.（12分）已知函數(shù)f（x）=，其中m，n，k∈R．（1）若m=n=k=1，求f（x）的單調(diào)區(qū)間；（2）若n=k=1，且當(dāng)x≥0時(shí)，f（x）≥1總成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；（3）若m＞0，n=0，k=1，若f（x）存在兩個(gè)極值點(diǎn)x1、x2，求證：＜f（x1）+f（x2）＜．參考答案：【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值．【分析】（1）若m=n=k=1，求導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)的正負(fù)，求f（x）的單調(diào)區(qū)間；（2）若n=k=1，且當(dāng)x≥0時(shí)，f（x）≥1總成立，先確定m≥0，在分類討論，確定函數(shù)的最小值，即可求實(shí)數(shù)m的取值范圍；（3）令f′（x）=0，x1+x2=2，x1x2=，再結(jié)合基本不等式，即可證明結(jié)論．【解答】（1）解：m=n=k=1，f′（x）=，∴0＜x＜1，f′（x）＜0，x＜0或x＞1時(shí)，f′（x）＞0，∴函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間是（0，1），單調(diào)增區(qū)間是（﹣∞，0），（1，+∞）；（2）解：若n=k=1，且當(dāng)x≥0時(shí)，f（x）≥1總成立，則m≥0．m=0，f（x）=，f′（x）=≥0，∴f（x）min=f（0）=1；m＞0，f′（x）=，0＜m≤，f（x）min=f（0）=1；m≥，f（x）在[0，]上為減函數(shù)，在[，+∞）上為增函數(shù)，f（x）min＜f（0）=1不成立．綜上所述，0≤m≤；（3）證明：f（x）=，f′（x）=．∵f（x）存在兩個(gè)極值點(diǎn)x1，x2，∴4m2﹣4m＞0，∴m＞1．令f′（x）=0，x1+x2=2，x1x2=，注意到（i=1，2）