江西省上饒市石門(mén)街中學(xué)高三數(shù)學(xué)理知識(shí)點(diǎn)試題含解析

江西省上饒市石門(mén)街中學(xué)高三數(shù)學(xué)理知識(shí)點(diǎn)試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.設(shè)△ABC的三內(nèi)角A、B、C成等差數(shù)列，sinA、sinB、sinC成等比數(shù)列，則這個(gè)三角形的形狀是（

）

A.直角三角形

B.鈍角三角形

C.等腰直角三角形

D.等邊三角形參考答案：D2.函數(shù)f（x）=，g（x）=x2?f（x﹣1），則函數(shù)g（x）的遞減區(qū)間是（）A．[0，+∞） B．[0，1） C．（﹣∞，1） D．（﹣1，1）參考答案：B考點(diǎn)： 分段函數(shù)的應(yīng)用；函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明．專(zhuān)題： 函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．分析： 由題意可得g（x）=x2?f（x﹣1）=，結(jié)合二次函數(shù)分別研究各段的單調(diào)性可得．解答： 解：∵f（x）=，∴f（x﹣1）=，∴g（x）=x2?f（x﹣1）=，當(dāng)x＞1時(shí)，y=x2單調(diào)遞增，當(dāng)x＜0時(shí)，y=﹣x2單調(diào)遞增，只有當(dāng)0≤x＜1時(shí)，y=﹣x2單調(diào)遞減．故選：B．點(diǎn)評(píng)： 本題考查分段函數(shù)的單調(diào)性，涉及復(fù)合函數(shù)和二次函數(shù)的單調(diào)性，屬中檔題．3.已知滿(mǎn)足，則的最大值等于A．

B．

C．

D．

參考答案：C4.中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線(xiàn)，一條漸近線(xiàn)方程是，則雙曲線(xiàn)的離心率是（

）A.

B.

C.

D.2參考答案：D5.設(shè)函數(shù)Ｒ）滿(mǎn)足，則的值是（A）3 （B）2 （C）1 （D）0參考答案：D6.

如圖所示，程序框圖（算法流程圖）的輸出結(jié)果是

（A）

（B）（C）

（D）參考答案：D7.四個(gè)小動(dòng)物換座位，開(kāi)始是鼠、猴、兔、貓分別坐1、2、3、4號(hào)位上（如圖），第一次前后排動(dòng)物互換座位，第二次左右列動(dòng)物互換座位，…這樣交替進(jìn)行下去，那么第2014次互換座位后，小兔坐在第（

）號(hào)座位上

A.1

B.2

C.3

D.4參考答案：B略8.已知數(shù)列{}是等比數(shù)列，且a2＝2，a5＝，則a1a2＋a2a3＋…＋＝

A．16（1－）B．16（1－）

C．（1－）D．（1－）參考答案：C略9.定義運(yùn)算，若函數(shù)在上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)的取值范圍是A． B． C． D．參考答案：D10.下列命題是真命題的是（）A．?φ∈R，函數(shù)f（x）=sin（2x+φ）都不是偶函數(shù)B．?α，β∈R，使cos（α+β）=cosα+cosβC．向量=（2，1），=（﹣1，0），則在方向上的投影為2D．“|x|≤1”是“x≤1”的既不充分又不必要條件參考答案：B【考點(diǎn)】命題的真假判斷與應(yīng)用．【分析】舉出反例φ=，可判斷A；舉出正例α=，β=﹣，可判斷B；求出向量的投影，可判斷C；根據(jù)充要條件的定義，可判斷D．【解答】解：當(dāng)φ=時(shí)，函數(shù)f（x）=sin（2x+φ）=cos2x是偶函數(shù)，故A為假命題；?α=，β=﹣∈R，使cos（α+β）=cosα+cosβ=1，故B為真命題；向量=（2，1），=（﹣1，0），則在方向上的投影為﹣2，故C為假命題；“|x|≤1”?“﹣1≤x≤1”是“x≤1”的充分不必要條件，故D為假命題，故選：B【點(diǎn)評(píng)】本題以命題的真假判斷與應(yīng)用為載體，考查奇數(shù)的奇偶性，特稱(chēng)命題，向量的投影，充要條件等知識(shí)點(diǎn)，難度中檔．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.記等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若S6＝，則{an}的公比為

參考答案：-112.已知函數(shù)f（x）=4lnx+ax2﹣6x+b（a，b為常數(shù)），且x=2為f（x）的一個(gè)極值點(diǎn)，則a的值為

．參考答案：1【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值．【專(zhuān)題】函數(shù)思想；綜合法；導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用．【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，得到f′（2）=0，解出即可．【解答】解：函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞），∵f′（x）=+2ax﹣6，x=2為f（x）的一個(gè)極值點(diǎn)，∴f'（2）=2+4a﹣6=0，∴a=1，故答案為：1．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了函數(shù)的極值的意義，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，是一道基礎(chǔ)題．13.設(shè)，則二項(xiàng)式展開(kāi)式中含項(xiàng)的系數(shù)是

．參考答案：-19214.在(ax–)8的展開(kāi)式中含x2項(xiàng)的系數(shù)為70，則實(shí)數(shù)a的值是_________.參考答案：±115.關(guān)于、的二元線(xiàn)性方程組的增廣矩陣經(jīng)過(guò)變換，最后得到的矩陣為，則二階行列式=

.參考答案：由增廣矩陣可知是方程組的解，所以解得，所以行列式為。16.設(shè)a=（sinx+cosx）dx，則二項(xiàng)式（a﹣）6的展開(kāi)式的常數(shù)項(xiàng)是

．參考答案：﹣160考點(diǎn)：二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)；定積分．專(zhuān)題：導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用；二項(xiàng)式定理．分析：求定積分求得a的值，然后寫(xiě)出二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)，由x得指數(shù)為0求得r值，代入通項(xiàng)求得常數(shù)項(xiàng)．解答： 解：a=（sinx+cosx）dx==2．∴（a﹣）6=．其通項(xiàng)==．由3﹣r=0，得r=3．∴二項(xiàng)式（a﹣）6的展開(kāi)式的常數(shù)項(xiàng)是．故答案為：﹣160．點(diǎn)評(píng)：本題考查了定積分，考查了二項(xiàng)式定理，關(guān)鍵是熟練掌握二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)，是基礎(chǔ)題．17.已知直線(xiàn)l過(guò)拋物線(xiàn)C的焦點(diǎn)，且與C的對(duì)稱(chēng)軸垂直，l與C交于A、B兩點(diǎn)，，P為C的準(zhǔn)線(xiàn)l上一點(diǎn)，則的面積為

．參考答案：36不妨設(shè)拋物線(xiàn)方程為，，，∴準(zhǔn)線(xiàn)方程為，到直線(xiàn)的距離為6，∴.

三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.如圖，在四面體P﹣ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥BC．（Ⅰ）在四面體各表面所成的二面角中，指出所有的直二面角，并說(shuō)明理由；（Ⅱ）若PA=AB=1，AC=2，求四面體各表面所成角的二面角中，最小角的余弦值．參考答案：【考點(diǎn)】二面角的平面角及求法；平面與平面垂直的判定．【分析】（Ⅰ）由PA⊥平面ABC，得到二面角P﹣AC﹣B，P﹣AB﹣C都是直二面角，再推導(dǎo)出BC⊥平面PAB，得到A﹣PB﹣C是直二面角．（Ⅱ）以A為頂點(diǎn)，AC，AP所在直線(xiàn)為y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出四面體各表面所成角的二面角中，最小角的余弦值．【解答】解：（Ⅰ）∵PA⊥PA⊥平面ABC，∴二面角P﹣AC﹣B，P﹣AB﹣C都是直二面角，由PA⊥平面ABC，得PA⊥BC，又AB⊥BC，PA∩AB=A，∴BC⊥平面PAB，∴A﹣PB﹣C是直二面角．（Ⅱ）由BC⊥平面PAB，得二面角P﹣BC﹣A的平面角為∠PBA=45°，由PA⊥平面ABC得二面角B﹣PA﹣C的平面角為∠BAC=60°，以A為頂點(diǎn)，AC，AP所在直線(xiàn)為y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則P（0，0，1），B（，，0），C（0，2，0），=（，，﹣1），=（0，2，﹣1），設(shè)平面PBC的法向量=（x，y，z），則，取y=1，得=（），平面PAC的法向量=（1，0，0），cos＜＞===，∴四面體各表面所成角的二面角中，最小角的余弦值為．19.已知函數(shù)f（x）=x3﹣x﹣．（I）求函數(shù)y=f（x）的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)；（Ⅱ）令g（x）=+lnx，若函數(shù)y=g（x）在（0，）內(nèi)有極值，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，對(duì)任意t∈（1，+∞），s∈（0，1），求證：g（t）﹣g（s）＞e+2﹣．參考答案：考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問(wèn)題中的應(yīng)用．專(zhuān)題：綜合題；導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用．分析：（Ⅰ）易知x=0是y=f（x）的零點(diǎn)，從而x＞0時(shí)，f（x）=x（x2﹣1﹣），設(shè)φ（x）=，利用導(dǎo)數(shù)及零點(diǎn)判定定理可求函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)；（Ⅱ）化簡(jiǎn)得g（x）=lnx+，其定義域是（0，1）∪（1，+∞），求導(dǎo)得g'（x）=，令h（x）=x2﹣（2+a）x+1，則問(wèn)題轉(zhuǎn)化為h（x）=0有兩個(gè)不同的根x1，x2，從而△=（2+a）2﹣4＞0，且一根在（0，）內(nèi)，不妨設(shè)0＜x1＜，再由x1x2=1，得0＜x1＜＜e＜x2，根據(jù)零點(diǎn)判定定理可知只需h（）＜0，由此可求a的范圍；（Ⅲ）由（Ⅱ）可求y=g（x）在（1，+∞）內(nèi)的最小值為g（x2），y=g（x）在（0，1）內(nèi)的最大值為g（x1），由（Ⅱ）同時(shí)可知x1+x2=2+a，x1x2=1，，x2∈（e，+∞），故g（t）﹣g（s）≥g（x2）﹣g（x1）=lnx2+﹣==（x2＞e），令k（x）=lnx2+x﹣=2lnx+x﹣，利用導(dǎo)數(shù)可判斷k（x）在（e，+∞）內(nèi)單調(diào)遞增，從而有k（x）＞k（e），整理可得結(jié)論；解答：解：（Ⅰ）∵f（0）=0，∴x=0是y=f（x）的一個(gè)零點(diǎn)，當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）=x（x2﹣1﹣），設(shè)φ（x）=，φ'（x）=2x+＞0，∴φ（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增．又φ（1）=﹣1＜0，φ（2）=3﹣＞0，故φ（x）在（1，2）內(nèi)有唯一零點(diǎn)，因此y=f（x）在（0，+∞）內(nèi)有且僅有2個(gè)零點(diǎn)；（Ⅱ）g（x）=+lnx=+lnx=lnx+，其定義域是（0，1）∪（1，+∞），則g'（x）===，設(shè)h（x）=x2﹣（2+a）x+1，要使函數(shù)y=g（x）在（0，）內(nèi)有極值，則h（x）=0有兩個(gè)不同的根x1，x2，∴△=（2+a）2﹣4＞0，得a＞0或a＜﹣4，且一根在（0，）內(nèi)，不妨設(shè)0＜x1＜，又x1x2=1，∴0＜x1＜＜e＜x2，由于h（0）=1，則只需h（）＜0，即+1＜0，解得a＞e+﹣2；（Ⅲ）由（Ⅱ）可知，當(dāng)x∈（1，x2）時(shí)，g'（x）＜0，g（x）遞減，x∈（x2，+∞）時(shí)，g'（x）＞0，g（x）遞增，故y=g（x）在（1，+∞）內(nèi)的最小值為g（x2），即t∈（1，+∞）時(shí)，g（t）≥g（x2），又當(dāng)x∈（0，x1）時(shí)，g'（x）＞0，g（x）單調(diào)遞增，x∈（x1，1）時(shí)，g'（x）＜0，g（x）單調(diào)遞減，故y=g（x）在（0，1）內(nèi)的最大值為g（x1），即對(duì)任意s∈（0，1），g（s）≤g（x1），由（Ⅱ）可知x1+x2=2+a，x1x2=1，，x2∈（e，+∞），因此，g（t）﹣g（s）≥g（x2）﹣g（x1）=lnx2+﹣==（x2＞e），設(shè)k（x）=lnx2+x﹣=2lnx+x﹣，k'（x）=+1+＞0，∴k（x）在（e，+∞）內(nèi)單調(diào)遞增，故k（x）＞k（e）=2+e﹣，即g（t）﹣g（s）＞e+2﹣．點(diǎn)評(píng)：本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點(diǎn)、極值、最值，考查轉(zhuǎn)化思想，考查學(xué)生綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)分析解決問(wèn)題的能力，綜合性強(qiáng)，能力要求比較高．20.已知函數(shù)（a為常數(shù)）是R上的奇函數(shù)，函數(shù)是區(qū)間[-1，1]上的減函數(shù).

（1）求的值；

（2）若上恒成立，求的取值范圍；

（3）討論關(guān)于的方程的根的個(gè)數(shù).參考答案：解：（1）是奇函數(shù)，,,故a=0.

（2）由（1）知：，上單調(diào)遞減，,在[-1，1]上恒成立，.

（其中）恒成立，令，則恒成立，

（3）由令當(dāng)時(shí)，上為增函數(shù)；當(dāng)時(shí)，上為減函數(shù)；當(dāng)而

方程無(wú)解；當(dāng)時(shí)，方程有一個(gè)根；當(dāng)即時(shí)，方程有兩個(gè)根.

21.（本小題滿(mǎn)分12分）已知等差數(shù)列{an}滿(mǎn)足a2=0，a6+a8=-10（I）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；（II）求數(shù)列{an·3n-1}的前n項(xiàng)和．參考答案：（I）設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，由已知條件可得解得故數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=2-n

………………5分

（II）設(shè)數(shù)列{an·3n-1}的前n項(xiàng)和為Sn，即

Sn=1·30+0·31-1·32-···+(3-n)3n-1+(2-n)3n3Sn=

1·31+0·32-1·33-···+(3-n)3n+(2-n)3n+1所以2Sn=30+31+32-···+3n-1+(2-n)3n所以Sn=綜上，數(shù)列{an·3n-1}……………