復(fù)雜的奧數(shù)行程問題

比較復(fù)雜的行程問題

多人行程例題

多人行程這類問題主要涉及的人數(shù)為3人，主要考察的問題就是求前兩個(gè)人相遇或追及的時(shí)刻，

第三個(gè)人的位置，解題的思路就是把三人問題轉(zhuǎn)化為尋找兩兩人之間的關(guān)系。

例1.甲乙丙三人同時(shí)從東村去西村，甲騎自行車每小時(shí)比乙快12公里，比丙快15公里，甲行

3.5小時(shí)到達(dá)西村后立刻返回。在距西村30公里處和乙相聚，問：丙行了多長時(shí)間和甲相遇？

例2.甲、乙、丙三輛車同時(shí)從A地出發(fā)到B地去，甲、乙兩車的速度分別為60千米/時(shí)和

48千米/時(shí)。有一輛迎面開來的卡車分別在他們出發(fā)后6時(shí)、7時(shí)、8時(shí)先后與甲、乙、丙三輛車相

遇。求丙車的速度。

例3、李華步行以每小時(shí)4千米的速度從學(xué)校出發(fā)到20.4千米外的冬令營報(bào)到。0.5小時(shí)后，

營地老師聞訊前來迎接，每小時(shí)比李華多走1.2千米，又經(jīng)過了1.5小時(shí)，張明從學(xué)校騎車去營地

報(bào)到。結(jié)果3人同時(shí)在途中某地相遇。問：張明每小時(shí)行駛多少千米？

例4：有甲、乙、丙三人同時(shí)同地出發(fā)，繞一個(gè)花圃行走，乙、丙二人同方向行走，甲與乙、丙

相背而行。甲每分鐘走40米，乙每分鐘走38米，丙每分鐘走36米。在途中，甲和乙相遇后3分鐘

和丙相遇。問：這個(gè)花圃的周長是多少米？

例5、AB兩地相距30千米，甲乙丙三人同時(shí)從A到B,而且要求同時(shí)到達(dá)?，F(xiàn)在有兩輛自行車,

但不許帶人，但可以將自行車放在中途某處，后來的人可以接著騎。已知騎自行車的平均速度為每

小時(shí)20千米，甲步行的速度是每小時(shí)5千米，乙和丙每小時(shí)4千米，那么三人需要多少小時(shí)可以同

時(shí)到達(dá)？

例6、有甲、乙、丙三人同時(shí)同地出發(fā)，繞一個(gè)花圃行走，乙、丙二人同方向行走，甲與乙、丙

相背而行。甲每分鐘走40米，乙每分鐘走38米，丙每分鐘走36米。在途中，甲和乙相遇后3分鐘

和丙相遇。問：這個(gè)花圃的周長是多少米？

二次相遇行程問題

答題思路點(diǎn)撥：甲從A地出發(fā)，乙從B地出發(fā)相向而行，兩人在C地相遇，相遇后甲繼續(xù)走到B

地后返回，乙繼續(xù)走到A地后返回，第二次在D地相遇。一般知道AC和AD的距離，主要抓住第二次

相遇時(shí)走的路程是第一次相遇時(shí)走的路程的兩倍。

例1.甲乙兩車同時(shí)從A、B兩地相向而行，在距B地54千米處相遇，它們各自到達(dá)對方車站后

立即返回，在距A地42千米處相遇。請問A、B兩地相距多少千米？

A.120B.100C.90D.80

例2.兩汽車同時(shí)從A、B兩地相向而行，在離A城52千米處相遇，到達(dá)對方城市后立即以原

速沿原路返回，在離A城44千米處相遇。兩城市相距（）千米

A.200B.150C.120D.100

環(huán)形問題：

例3.在一個(gè)圓形跑道上，甲從A點(diǎn)、乙從B點(diǎn)同時(shí)出發(fā)反向而行，8分鐘后兩人相遇，再過6

分鐘甲到B點(diǎn)，又過10分鐘兩人再次相遇，則甲環(huán)行一周需要（）？

A.24分鐘B.26分鐘C.28分鐘D.30分鐘

追及問題的要點(diǎn)及解題技巧

一、多人相遇追及問題的概念及公式

多人相遇追及問題，即在同一直線上，3個(gè)或3個(gè)以上的對象之間的相遇追及問題。

所有行程問題都是圍繞“追及距離=速度差X追及時(shí)間"這一條基本關(guān)系式展開的，由此還可以得

到如下兩條關(guān)系式：

追及時(shí)間=追及距離小速度差速度差=追及距離4■追及時(shí)間

多人相遇與追及問題雖然較復(fù)雜，但只要抓住這兩條公式，逐步表征題目中所涉及的數(shù)量，問題

即可迎刃而解.比如我們遇到的兩大典型行程題相遇問題和追及問題的本質(zhì)也是這三個(gè)量之間的關(guān)系

轉(zhuǎn)化.

二、多次相遇追及問題的解題思路

所有行程問題都是圍繞“路程=速度X時(shí)間”這一條基本關(guān)系式展開的，多人相遇與追及問題雖然

較復(fù)雜，但只栗抓住這個(gè)公式，逐步分析題目中所涉及的數(shù)量，問題即可迎刃而解.

多人多次相遇追及的解題關(guān)鍵

多次相遇追及的解題關(guān)鍵幾個(gè)全程

多人相遇追及的解題關(guān)鍵路程差

復(fù)雜追及問題

例1.一條街上，一個(gè)騎車人和一個(gè)步行人相向而行，騎車人的速度是步行人的3倍，每個(gè)隔10

分鐘有一輛公交車超過一個(gè)行人。每個(gè)隔20分鐘有一輛公交車超過一個(gè)騎車人，如果公交車從始發(fā)

站每隔相同的時(shí)間發(fā)一輛車，那么間隔幾分鐘發(fā)一輛公交車？

A.10B.8C.6D.4

例2.小明在商場的一樓要乘扶梯到二樓。扶梯方向向上，小芳則從二樓到一樓。已知小明的速

度是小芳的2倍。小明用了2分鐘到達(dá)二樓，小芳用了8分鐘到達(dá)一樓。如果我們把一個(gè)箱子放在

一樓的第一個(gè)階梯上問多長時(shí)間可以到達(dá)二樓？

總結(jié)：在多個(gè)行程問題模型存在的時(shí)候。我們利用其速度差，速度和的關(guān)系將未知的變量抵消。

可以很輕松的一步求得結(jié)果！

例1.上午8點(diǎn)8分，小明騎自行車從家里出發(fā)，8分鐘后，爸爸騎摩托車去追他，在離家4

千米的地方追上小明。然后爸爸立即回家，到家后又立即回頭去追小明，再追上小明的時(shí)候，離

家恰好是8千米。問這時(shí)是幾點(diǎn)幾分？

小明戰(zhàn)器遇i

爸爸匚口

一%“8-4“千米

、z<-I一）

圖37-1

例2.A、B兩地間有條公路，甲從A地出發(fā)，步行到B地，乙騎摩托車從B地出發(fā)，不停地往

返于A、B兩地之間，他們同時(shí)出發(fā)，80分鐘后兩人第一次相遇，100分鐘后乙第一次追上甲，問：

當(dāng)甲到達(dá)B地時(shí)，乙追上甲幾次？

環(huán)形跑道較復(fù)雜的行程問題

環(huán)形跑道問題特殊場地行程問題之一。是多人（一般至少兩人）多次相遇或追及的過程，解決

多人、多次相遇與追擊問題的關(guān)鍵是：看我們是否能夠準(zhǔn)確的對題目中所描述的每一個(gè)行程狀態(tài)作出

正確合理的線段圖進(jìn)行分析。

例1.甲、乙兩人同時(shí)從400米的環(huán)形路跑道的一點(diǎn)A背向出發(fā)，8分鐘后兩人第三次相遇。

已知甲每秒鐘比乙每秒鐘多行0.1米，兩人第三次相遇的地點(diǎn)與A點(diǎn)沿跑道上的最短距離是多少米？

A.166米B.176米C.224米D.234米

練習(xí)：

甲、乙兩人從400米的環(huán)形跑道上一點(diǎn)A背向同時(shí)出發(fā)，8分鐘后兩人第五次相遇，已知每秒鐘甲比

乙多走0.1米，那么兩人第五次相遇的地點(diǎn)與點(diǎn)A沿跑道上的最短路程是多少米？

例2.二人沿一周長400米的環(huán)形跑道均速前進(jìn)，甲行一圈4分鐘，乙行一圈7分鐘，他們同時(shí)

同地同向出發(fā)，甲走10圈，改反向出發(fā)，每次甲追上乙或迎面相遇時(shí)二人都要擊掌。問第十五次擊

掌時(shí)，甲走多長時(shí)間乙走多少路程？

例3.乙兩車同時(shí)從同一點(diǎn)出發(fā)，沿周長6千米的圓形跑道以相反的方向行駛。甲車每小時(shí)行駛

65千米，乙車每小時(shí)行駛55千米。一旦兩車迎面相遇，則乙車立刻調(diào)頭；一旦甲車從后面追上乙車,

則甲車立刻調(diào)頭，那么兩車出發(fā)后第11次相遇的地點(diǎn)距離點(diǎn)有多少米？（每一次甲車追上乙車也看

作一次相遇）

鐘面行程問題的要點(diǎn)及解題技巧

一、什么是鐘面行程問題？

鐘面行程問題是研究鐘面上的時(shí)針和分針關(guān)系的問題，常見的有兩種：⑴研究時(shí)針、

分針成一定角度的問題，包括重合、成一條直線、成直角或成一定角度；⑵研究有關(guān)時(shí)間誤差的問題.

在鐘面上每針都沿順時(shí)針方向轉(zhuǎn)動，但因速度不同總是分針追趕時(shí)針，或是分針超越時(shí)

針的局面，因此常見的鐘面問題往往轉(zhuǎn)化為追及問題來解.

二、鐘面問題有哪幾種類型？

第一類是追及問題（注意時(shí)針分針關(guān)系的時(shí)候往往有兩種情況）；

第二類是相遇問題（時(shí)針分針永遠(yuǎn)不會是相遇的關(guān)系，但是當(dāng)時(shí)針分針與某一刻度夾角相等時(shí)，

可以求出路程和）；

第三種就是走不準(zhǔn)問題，這一類問題中最關(guān)鍵的一點(diǎn)：找到表與現(xiàn)實(shí)時(shí)間的比例關(guān)系。

三、鐘面問題有哪些關(guān)鍵問題？

①確定分針與時(shí)針的初始位置；

②確定分針與時(shí)針的路程差；

四、解答鐘面問題有哪些基本方法？

①分格方法：

時(shí)鐘的鐘面圓周被均勻分成60小格，每小格我們稱為1分格。分針每小時(shí)走60分格，

即一周；而時(shí)針只走5分格，故分針每分鐘走1分格，時(shí)針每分鐘走1/12分格。

②度數(shù)方法：

從角度觀點(diǎn)看，鐘面圓周一周是360。，分針每分鐘轉(zhuǎn)360/60度，即6°,時(shí)針每分鐘

轉(zhuǎn)360/12*60度,即1/2度。

奧數(shù)行程：鐘面行程問題的例題一

例1：從5時(shí)整開始，經(jīng)過多長時(shí)間后，時(shí)針與分針第一次成了直線？

例2：從6時(shí)整開始，經(jīng)過多少分鐘后，時(shí)針與分針第一次重合?

例3：在8時(shí)多少分，時(shí)針與分針垂直?

奧數(shù)行程：鐘面行程問題的例題二

例1：從9點(diǎn)整開始，經(jīng)過多少分，在幾點(diǎn)鐘，時(shí)針與分針第一次成直線?

例2：一個(gè)指在九點(diǎn)鐘的時(shí)鐘，分針追上時(shí)針需要多少分鐘?

例3：時(shí)鐘的分針和時(shí)針現(xiàn)在恰好重合，那么經(jīng)過多少分鐘可以成一條直線?

奧數(shù)行程：走走停停的要點(diǎn)及解題技巧

一、行程問題里走走停停的題目應(yīng)該怎么做

1.畫出速度和路程的圖。

2.要學(xué)會讀圖。

3.每一個(gè)加速減速、勻速要分清楚，這有利于你的解題思路。

4.要注意每一個(gè)行程之間的聯(lián)系。

二、學(xué)好行程問題的要訣

行程問題可以說是難度最大的奧數(shù)專題。

類型多：行程分類細(xì)，變化多，工程抓住工作效率和比例關(guān)系，而行程每個(gè)類型重點(diǎn)

不一，因此沒有一個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)可以抓

題目難：理解題目、動態(tài)演繹推理——靜態(tài)知識容易學(xué)，動態(tài)分析需要較高的理解能力、

邏輯分析和概括能力

跨度大：從三年級到六年級都要學(xué)行程——四年的跨度，需要不斷的復(fù)習(xí)鞏固來加深理解、

夯實(shí)基礎(chǔ)

那么想要學(xué)好行程問題，需要掌握哪些要訣呢？

要訣一：大部分題目有規(guī)律可依，要訣是"學(xué)透"基本公式

要訣二：無規(guī)律的題目有"攻略"，一畫（畫圖法）二抓（比例法、方程法）

競賽考試中的行程題涉及到很多中數(shù)學(xué)方法和思想（比如：假設(shè)法、比例、方程）等的熟練

運(yùn)用，而這些方法和思想，都是小學(xué)奧數(shù)中最為經(jīng)典并能考察孩子思維的專項(xiàng)。

奧數(shù)行程：走走停停的例題及答案（一）

例題1：甲乙兩人同時(shí)從一條800環(huán)形跑道同向行駛，甲100米/分，乙80米/分，兩人每跑

200米休息1分鐘，甲需多久第一次追上乙？

例題2：在400米環(huán)形跑道上，A、B兩點(diǎn)的跑道相距200米，甲、乙兩人分別從A、B兩點(diǎn)同

時(shí)出發(fā)，按逆時(shí)針方向跑步，甲每秒跑7米，乙每秒跑5米，他們每人跑100米都停5秒.那么，

甲追上乙需要多少秒？

例3.在400米環(huán)形跑道上，A、B兩點(diǎn)的跑道相距200米，甲、乙兩人分別從A、B兩點(diǎn)同時(shí)

出發(fā)，按逆時(shí)針方向跑步，甲每秒跑7米，乙每秒跑5米，他們每人跑100米都停5秒.那么，甲

追上乙需要多少秒？

奧數(shù)行程：接送問題的例題及答案（一）

例1：如果A、B兩地相距10千米，一個(gè)班有學(xué)生45人，由A地去B地，現(xiàn)在有一輛馬車,

車速是人步行的3倍，馬車每次可以乘坐9人，在A地先將第一批學(xué)生送到B地，其余的學(xué)生同時(shí)

向B地前進(jìn)；車到B地后立即返回，在途中與步行的學(xué)生相遇后，再接9名學(xué)生前往B地，余下的

學(xué)生繼續(xù)向B地前進(jìn)...多次往返后，當(dāng)全體學(xué)生到達(dá)B地時(shí)，馬車共行了多少千米？

例2：某工廠每天早晨都派小汽車接專家上班.有一天，專家為了早些到廠，比平時(shí)提前一小時(shí)

出發(fā)，步行去工廠，走了一段時(shí)間后遇到來接他的汽車，他上車后汽車立即調(diào)頭繼續(xù)前進(jìn)，進(jìn)入工

廠大門時(shí)，他發(fā)現(xiàn)只比平時(shí)早到10分鐘，問專家在路上步行了多長時(shí)間才遇到汽車？（設(shè)人和汽車

都作勻速運(yùn)動，他上車及調(diào)頭時(shí)間不記）

例3：甲乙兩輛汽車分別從A.B兩成出發(fā)，相向而行，甲車和乙車的速度比是5：4,到兩車相

遇時(shí)距離中點(diǎn)48千米，兩城之間的路程是多少千米？甲乙兩輛汽車分別從A.B兩成出發(fā)，相向而行,

甲車和乙車的速度比是5：4,到兩車相遇時(shí)距離中點(diǎn)48千米，兩城之間的路程是多少千米？

小學(xué)數(shù)學(xué)行程：接送問題的例題及答案（二）

例1:有兩個(gè)班的小學(xué)生要到少年宮參加活動，但只有一輛車接送。第一班的學(xué)生做車從學(xué)校出

發(fā)的同時(shí)，第二班學(xué)生開始步行；車到途中某處，讓第一班學(xué)生下車步行，車立刻返回接第二班學(xué)

生上車并直接開往少年宮。學(xué)生步行速度為每小時(shí)4公里，載學(xué)生時(shí)車速每小時(shí)40公里，空車是50

公里/小時(shí)，學(xué)生步行速度是4公里/小時(shí)，要使兩個(gè)班的學(xué)生同時(shí)到達(dá)少年宮，第一班的學(xué)生步行

了全程的幾分之幾？（學(xué)生上下車時(shí)間不計(jì)）

A.1/7；B.1/6；C.3/4；D.2/5；

例2：某工廠每天早晨都派小汽車接專家上班.有一天，專家為了早些到廠，比平時(shí)提前一小時(shí)

出發(fā)，步行去工廠，走了一段時(shí)間后遇到來接他的汽車，他上車后汽車立即調(diào)頭繼續(xù)前進(jìn)，進(jìn)入工

廠大門時(shí)，他發(fā)現(xiàn)只比平時(shí)早到10分鐘，問專家在路上步行了多長時(shí)間才遇到汽車？（設(shè)人和汽車

都作勻速運(yùn)動，他上車及調(diào)頭時(shí)間不記）

例3：甲乙兩輛汽車分別從A.B兩成出發(fā)，相向而行，甲車和乙車的速度比是5：4,到兩車相

遇時(shí)距離中點(diǎn)48千米，兩城之間的路程是多少千米？甲乙兩輛汽車分別從A.B兩成出發(fā)，相向而行,

甲車和乙車的速度比是5：4,到兩車相遇時(shí)距離中點(diǎn)48千米，兩城之間的路程是多少千米？

小學(xué)數(shù)學(xué)行程：發(fā)車問題的要點(diǎn)及解題技巧

一、發(fā)車問題的基本解題思路

空間理解稍顯困難，證明過程對快速解題沒有幫助。一旦掌握了3個(gè)基本公式，一般問題都可以

迎刃而解。

在班車?yán)铩＜戳▎栴}。不用基本公式解決，快速的解法是直接畫時(shí)間-距離圖，再畫上密密麻

麻的交叉線，按要求數(shù)交點(diǎn)個(gè)數(shù)即可完成。如果不畫圖，單憑想象似乎對于像我這樣的一般人兒來說

不容易。

二、對“發(fā)車問題”的化歸與優(yōu)化

“發(fā)車”是一個(gè)有趣的數(shù)學(xué)問題。解決“發(fā)車問題”需栗一定的策略和技巧。本文重點(diǎn)解決這樣

兩個(gè)問題：一是在探索過程中，如何揭示“發(fā)車問題”的實(shí)質(zhì)？二是在建模的過程中，如何選擇最簡

明、最嚴(yán)謹(jǐn)和最易于學(xué)生理解并接受的方法或情景？

為便于敘述，現(xiàn)將“發(fā)車問題”進(jìn)行一般化處理：某人以勻速行走在一條公交車線路上，線路的

起點(diǎn)站和終點(diǎn)站均每隔相等的時(shí)間發(fā)一次車。他發(fā)現(xiàn)從背后每隔a分鐘駛過一輛公交車，而從迎面每

隔b分鐘就有一輛公交車駛來。問：公交車站每隔多少時(shí)間發(fā)一輛車？（假如公交車的速度不變，而

且中間站停車的時(shí)間也忽略不計(jì)。）

1、把“發(fā)車問題”化歸為“和差問題”

因?yàn)檐囌久扛粝嗟鹊臅r(shí)間發(fā)一次車，所以同向的、前后的兩輛公交車間的距離相等。這個(gè)相等的

距離也是公交車在發(fā)車間隔時(shí)間內(nèi)行駛的路程。我們把這個(gè)相等的距離假設(shè)為“1”。

根據(jù)“同向追及”，我們知道：公交車與行人a分鐘所走的路程差是1,即公交車比行人每分鐘

多走1/a,1/a就是公交車與行人的速度差。

根據(jù)“相向相遇”，我們知道：公交車與行人b分鐘所走的路程和是1,即公交車與行人每分鐘

一■共走1/b,1/b就是公交車和行人的速度和。

這樣，我們把“發(fā)車問題”化歸成了“和差問題”。根據(jù)“和差問題”的解法：大數(shù)=（和+差）

?2,小數(shù)=（和-差）?2,可以很容易地求出公交車的速度是（1/a+1/b）三2。又因?yàn)楣卉囋谶@個(gè)

“間隔相等的時(shí)間”內(nèi)行駛的路程是1,所以再用“路程4?速度=時(shí)間”，我們可以求出問題的答案，

即公交車站發(fā)車的間隔時(shí)間是15[（1/a+1/b）+2]=21（1/a+1/b）o

2、把“發(fā)車問題”優(yōu)化為“往返問題”

如果這個(gè)行人在起點(diǎn)站停留m分鐘，恰好發(fā)現(xiàn)車站發(fā)n輛車，那么我們就可以求出車站發(fā)車的間

隔時(shí)間是m+n分鐘。但是，如果行人在這段時(shí)間內(nèi)做個(gè)“往返運(yùn)動”也未嘗不可，那么他的“往返”

決不會影響答案的準(zhǔn)確性。

因?yàn)閺钠瘘c(diǎn)站走到終點(diǎn)站，行人用的時(shí)間不一定被a和b都整除，所以他見到的公交車輛數(shù)也不

一定是整數(shù)。故此，我們不讓他從起點(diǎn)站走到終點(diǎn)站再返回。那么讓他走到哪再立即返回呢？或者說

讓他走多長時(shí)間再立即返回呢？

取a和b的公倍數(shù)（如果是具體的數(shù)據(jù)，最好取最小公倍數(shù)），我們這里取ab。假如剛剛有一輛

公交車在起點(diǎn)站發(fā)出，我們讓行人從起點(diǎn)站開始行走，先走ab分鐘，然后馬上返回；這時(shí)恰好是從

行人背后駛過第b輛車。當(dāng)行人再用ab分鐘回到起點(diǎn)站時(shí)，恰好又是從迎面駛來第a輛車。也就是

說行人返回起點(diǎn)站時(shí)第（a+b）輛公交車正好從車站開出，即起點(diǎn)站2ab分鐘開出了（a+b）輛公交車。

這樣，就相當(dāng)于在2ab分鐘的時(shí)間內(nèi)，行人在起點(diǎn)站原地不動看見車站發(fā)出了（a+b）輛車。于

是我們求出車站發(fā)車的間隔時(shí)間也是2ab;（a+b）=24-（1/a+1/b）。

這樣的往返假設(shè)也許更符合“發(fā)車問題”的情景，更簡明、更嚴(yán)謹(jǐn)，也更易于學(xué)生理解和接受。

如果用具體的時(shí)間代入，則會更加形象，更便于說明問題。

小學(xué)數(shù)學(xué)行程：發(fā)車問題的例題（一）

例1：如果A、B兩地相距10千米，一個(gè)班有學(xué)生45人，由A地去B地，現(xiàn)在有一輛馬車，車

速是人步行的3倍，馬車每次可以乘坐9人，在A地先將第一批學(xué)生送到B地，其余的學(xué)生同時(shí)向

B地前進(jìn)；車到B地后立即返回，在途中與步行的學(xué)生相遇后，再接9名學(xué)生前往B地，余下的學(xué)生

繼續(xù)向B地前進(jìn)多次往返后，當(dāng)全體學(xué)生到達(dá)B地時(shí)，馬車共行了多少千米？

例2：某工廠每天早晨都派小汽車接專家上班.有一天，專家為了早些到廠，比平時(shí)提前一

小時(shí)出發(fā)，步行去工廠，走了一段時(shí)間后遇到來接他的汽車，他上車后汽車立即調(diào)頭繼續(xù)前進(jìn)，進(jìn)

入工廠大門時(shí)，他發(fā)現(xiàn)只比平時(shí)早到10分鐘，問專家在路上步行了多長時(shí)間才遇到汽車？（設(shè)人和

汽車都作勻速運(yùn)動，他上車及調(diào)頭時(shí)間不記）

例3.甲乙兩輛汽車分別從A.B兩成出發(fā)，相向而行，甲車和乙車的速度比是5：4,到兩車相

遇時(shí)距離中點(diǎn)48千米，兩城之間的路程是多少千米？甲乙兩輛汽車分別從A.B兩成出發(fā)，相向而

行，甲車和乙車的速度比是5：4,到兩車相遇時(shí)距離中點(diǎn)48千米，兩城之間的路程是多少千米？

小學(xué)數(shù)學(xué)行程：發(fā)車問題的例題（二）

例1.有兩個(gè)班的小學(xué)生要到少年宮參加活動，但只有一輛車接送。第一班的學(xué)生做車從學(xué)校出

發(fā)的同時(shí)，第二班學(xué)生開始步行；車到途中某處，讓第一班學(xué)生下車步行，車立刻返回接第二班學(xué)

生上車并直接開往少年宮。學(xué)生步行速度為每小時(shí)4公里，載學(xué)生時(shí)車速每小時(shí)40公里，空車是50

公里/小時(shí)，學(xué)生步行速度是4公里/小時(shí)，要使兩個(gè)班的學(xué)生同時(shí)到達(dá)少年宮，第一班的學(xué)生步行

了全程的幾分之幾？（學(xué)生上下車時(shí)間不計(jì)）

A.1/7；B.1/6；C.3/4；D.2/5

例2.某工廠每天早晨都派小汽車接專家上班.有一天，專家為了早些到廠，比平時(shí)提前一小時(shí)

出發(fā)，步行去工廠，走了一段時(shí)間后遇到來接他的汽車，他上車后汽車立即調(diào)頭繼續(xù)前進(jìn)，進(jìn)入工

廠大門時(shí)，他發(fā)現(xiàn)只比平時(shí)早到10分鐘，問專家在路上步行了多長時(shí)間才遇到汽車？（設(shè)人和汽車

都作勻速運(yùn)動，他上車及調(diào)頭時(shí)間不記）

例3.甲乙兩輛汽車分別從A.B兩成出發(fā)，相向而行，甲車和乙車的速度比是5：4,到兩車相

遇時(shí)距離中點(diǎn)48千米，兩城之間的路程是多少千米？甲乙兩輛汽車分別從A.B兩成出發(fā)，相向而行,

甲車和乙車的速度比是5：4,到兩車相遇時(shí)距離中點(diǎn)48千米，兩城之間的路程是多少千米？

小學(xué)數(shù)學(xué)行程：獵狗追兔問題的要點(diǎn)及解題技巧

獵狗追兔問題是行程問題中比較典型的一類題，該類問題除考察追及問題的基本公式外，還

要綜合運(yùn)用比例、份數(shù)等手段解決。解題思想是將兩種動物單位化為統(tǒng)一，然后用路程差除以速度差

得到追及時(shí)間，或者由速度比得出路程比，再引入份數(shù)思想，進(jìn)而解決問題。以下題為例：

【例1】一獵狗正在追趕前方20米遠(yuǎn)兔子，已知狗一跳前進(jìn)3米,而兔子一跳前進(jìn)2.1米，但

狗跳3次的時(shí)間兔子可以跳4次，問獵狗跑多少米能追上兔子？

我們再看下一道題：

【例2］獵狗前面26步遠(yuǎn)有一只野兔,獵狗追之,兔跑8步的時(shí)間狗跑5步，兔跑9步的距離

等于狗跑4步的距離，問:兔跑多少步后被獵狗抓獲?此時(shí)獵狗跑了多少米？

小學(xué)數(shù)學(xué)行程：獵狗追兔問題的例題（一）

例1.獵犬發(fā)現(xiàn)在離它9米遠(yuǎn)的前方有一只奔跑的兔子，立刻追趕，獵犬步子大.它跑5步的

路程，兔子跑9步，但兔子動作快，獵犬跑2步的時(shí)間，兔子跑3步，獵犬至少跑多少米才能追上

兔子？

例2.獵狗發(fā)現(xiàn)離它110米處有一只奔跑的兔子，馬上緊追上去，獵狗跑5步的距離兔子要

跑9步，獵狗跑2步的時(shí)間兔子要跑3步，問獵狗跑多遠(yuǎn)才能追上兔子？

獵狗追兔問題二：

例1.獵狗前面26步遠(yuǎn)的地方有一野兔，獵狗追之。兔跑8步的時(shí)間狗只跑5步，但兔跑9步的

距離僅等于狗跑4步的距離。問兔跑幾步后，被狗抓獲？

例2.獵犬發(fā)現(xiàn)在離它10米的前方有一只奔跑的兔，馬上追.獵犬的步子大，它跑5步等于兔跑

9步，兔子動作快，獵犬2步時(shí)它能跑3步，獵犬至少跑多少米才能追上兔子？

例3.獵人帶狗去打獵。發(fā)現(xiàn)兔子跑出去70米時(shí)，獵狗立即去追兔子。獵狗跑2步的時(shí)間兔子

跑3步，獵狗跑7步的距離兔子跑13步。那么獵狗跑多少米才能追上兔子？

平均速度問題的例題

例1.（2007年4月〃“希望”全國數(shù)學(xué)邀請賽〃四年級2試）趙伯伯為了鍛煉身體，每天步

行3小時(shí)，他先走平路，然后上山，最后又沿原路返回.假設(shè)趙伯伯在平路上每小時(shí)行4千米，上

山每小時(shí)行3千米，下山每小時(shí)行6千米，在每天鍛煉中，他共行走多少千米？

例2.張師傅開汽車從A到B為平地（見下圖），車速是36千米/時(shí)；從B到C為上山路，

車速是28千米/時(shí)；從C到D為下山路，車速是42千米/時(shí).已知下山路是上山路的2倍，從A到

D全程為72千米，張師傅開車從A到D共需要多少時(shí)間？

10個(gè)經(jīng)典又復(fù)雜的行程問題

1、甲、乙兩人分別從相距100米的A、B兩地出發(fā)，相向而行，其中甲的速度是2米每秒,

乙的速度是3米每秒。一只狗從A地出發(fā)，先以6米每秒的速度奔向乙，碰到乙后再掉頭沖向甲,

碰到甲之后再跑向乙，如此反復(fù)，直到甲、乙兩人相遇。問在此過程中狗一共跑了多少米？

2、甲從A地前往B地，乙從B地前往A地，兩人同時(shí)出發(fā)，各自勻速地前進(jìn)，每個(gè)人到

達(dá)目的地后都立即以原速度返回。兩人首次在距離A地700米處相遇，后來又在距離B地400

米處相遇。求A、B兩地間的距離。

3、甲、乙、丙三人百米賽跑，每次都是甲勝乙10米，乙勝丙10米。則甲勝丙多少米?

4、哥哥弟弟百米賽跑，哥哥贏了弟弟1米。第二次，哥哥在起跑線處退后1米與弟弟比賽，那

么誰會獲勝？

5、船在靜水中往返A(chǔ)、B兩地和在流水中往返A(chǔ)、B兩地相比，哪種情況下更快?

6、船在流水中逆水前進(jìn)，途中一個(gè)救生圈不小心掉入水中，一小時(shí)后船員才發(fā)現(xiàn)并調(diào)頭追趕。則

追上救生圈所需的時(shí)間會大于一個(gè)小時(shí)，還是小于一個(gè)小時(shí)，還是等于一個(gè)小時(shí)？

下面這個(gè)問題也很類似：假設(shè)人在傳送帶上的實(shí)際行走速度等于人在平地上的行走速度加上一個(gè)

傳送帶的速度。

7、你需要從機(jī)場的一號航站樓走到二號航站樓。路途分為兩段，一段是平地，一段是自動傳送帶。

假設(shè)你的步行速度是一定的，因而在傳送帶上步行的實(shí)際速度就是你在平地上的速度加上傳送帶的速

度。如果在整個(gè)過程中，你必須花兩秒鐘的時(shí)間停下來做一件事情（比如蹲下來系鞋帶），那么為了

更快到達(dá)目的地，你應(yīng)該把這兩秒鐘的時(shí)間花在哪里更好？

8、假設(shè)你站在甲、乙兩地之間的某個(gè)位置，想乘坐出租車到乙地去。你看見一輛空車遠(yuǎn)遠(yuǎn)地從甲

地駛來，而此時(shí)整條路上并沒有別人與你爭搶空車。我們假定車的行駛速度和人的步行速度都是固定

不變的，并且車速大于人速。為了更快地到達(dá)目的地，你應(yīng)該迎著車走過去，還是順著車的方向往前

走一點(diǎn)？

9、某工廠每天早晨都派小車按時(shí)接總工程師上班。有一天，總工程師為了早些到工廠，比平日提

前一小時(shí)出發(fā)步行去工廠。走了一段時(shí)間后，遇到來接他的小車才上車?yán)^續(xù)前進(jìn)。進(jìn)入工廠大門后，

他發(fā)現(xiàn)只比平時(shí)早到10分鐘?？偣こ處熢诼飞喜叫辛硕嚅L時(shí)間才遇到來接他的汽車？設(shè)人和汽車

都做勻速直線運(yùn)動。

10、有一位隱居在深山老林的哲學(xué)家。一天，他忘記給家里唯一的時(shí)鐘上發(fā)條了。由于他家里沒

有電話、電視、網(wǎng)絡(luò)、收音機(jī)等任何能獲知時(shí)間的設(shè)備，因此他徹底不知道現(xiàn)在的時(shí)間是多少了。

于是，他徒步來到了他朋友家里坐了一會兒，然后又徒步回到自己家中。此時(shí)，他便知道了應(yīng)該怎

樣重新設(shè)定自己的時(shí)鐘。他是怎么做的？

環(huán)形問題練習(xí)

人在環(huán)形路上行走，計(jì)算行程距離常常與環(huán)形路的周長有關(guān).

1小張和小王各以一定速度，在周長為500米的環(huán)形跑道上跑步.小王的速度是180米/分.（1）

小張和小王同時(shí)從同一地點(diǎn)出發(fā)，反向跑步，75秒后兩人第一次相遇，小張的速度是多少米/分？

（2）小張和小王同時(shí)從同一點(diǎn)出發(fā)，同一方向跑步，小張跑多少圈后才能第一次追上小王？

2如圖，A、B是圓的直徑的兩端，小張?jiān)贏點(diǎn)，小王在B點(diǎn)同時(shí)出發(fā)反向行走，他們在C點(diǎn)第

一次相遇，C離A點(diǎn)80米；在D點(diǎn)第二次相遇，D點(diǎn)離B點(diǎn)60米.求這個(gè)圓的周長.

3甲村、乙村相距6千米，小張與小王分別從甲、乙兩村同時(shí)出發(fā)，在兩村之間往返行走（到達(dá)

另一村后就馬上返回）.在出發(fā)后40分鐘兩人第一次相遇.小王到達(dá)甲村后返回，在離甲村2千米的地

方兩人第二次相遇.問小張和小王的速度各是多少？

4小張與小王分別從甲、乙兩村同時(shí)出發(fā)，在兩村之間往返行走（到達(dá)另一村后就馬上返回），他

們在離甲村3.5千米處第一次相遇，在離乙村2千米處第二次相遇.問他們兩人第四次相遇的地點(diǎn)離乙

村多遠(yuǎn)（相遇指迎面相遇）？

5繞湖一周是24千米，小張和小王從湖邊某一地點(diǎn)同時(shí)出發(fā)反向而行.小王以4千米/小時(shí)速度每

走1小時(shí)后休息5分鐘；小張以6千米/小時(shí)速度每走50分鐘后休息10分鐘.問：兩人出發(fā)多少時(shí)間

第一次相遇？

6一個(gè)圓周長90厘米，3個(gè)點(diǎn)把這個(gè)圓周分成三等分，3只爬蟲A,B,C分別在這3個(gè)點(diǎn)上.它

們同時(shí)出發(fā)，按順時(shí)針方向沿著圓周爬行.A的速度是10厘米/秒，B的速度是5厘米/秒，C的速度

是3厘米/秒，3只爬蟲出發(fā)后多少時(shí)間第一次到達(dá)同一位置？

7圖上正方形ABCD是一條環(huán)形公路.已知汽車在AB上的速度是90千米/小時(shí)，在BC上的速

度是120千米/小時(shí)，在CD上的速度是60千米/小時(shí)，在DA上的速度是80千米/小時(shí).從CD上一點(diǎn)

P,同時(shí)反向各發(fā)出一輛汽車，它們將在AB中點(diǎn)相遇.如果從PC中點(diǎn)M,同?

時(shí)反向各發(fā)出一輛汽車，它們將在AB上一點(diǎn)N處相遇.求

cpMD

稍復(fù)雜的行程問題練習(xí)

在這一節(jié)希望讀者逐漸掌握以下兩個(gè)解題技巧：

（1）在行程中能設(shè)置一個(gè)解題需要的點(diǎn)；（2）靈活地運(yùn)用比例.

1、小王的步行速度是4.8千米/小時(shí)，小張的步行速度是5.4千米/小時(shí)，他們兩人從甲地到乙地

去.小李騎自行車的速度是10.8千米/小時(shí)，從乙地到甲地去他們3人同時(shí)出發(fā)，在小張與小李相遇后

5分鐘，小王又與小李相遇.問：小李騎車從乙地到甲地需要多少時(shí)間？

2、小玲和小華姐弟倆正要從公園門口沿馬路向東去某地，而他們的家要從公園門口沿馬路往西.

小華問姐姐：“是先向西回家取了自行車，再騎車向東去，還是直接從公園門口步行向東去快”？姐

姐算了一下說：“如果騎車與步行的速度比是4：1,那么從公園門口到目的地的距離超過2千米時(shí)，

回家取車才合算.”請推算一下，從公園到他們家的距離是多少米？

3、快車和慢車分別從A,B兩地同時(shí)開出，相向而行.經(jīng)過5小時(shí)兩車相遇.已知慢車從B到

A用了12.5小時(shí)，慢車到A停留半小時(shí)后返回.快車到B停留1小時(shí)后返回.問：兩車從第一次相遇

到再相遇共需多少時(shí)間？

4、一只小船從A地到B地往返一次共用2小時(shí).回來時(shí)順?biāo)?，比去時(shí)的速度每小時(shí)多行駛8千

米，因此第二小時(shí)比第一小時(shí)多行駛6千米.求A至B兩地距離.

5、從甲市到乙市有一條公路，它分成三段.在第一段上，汽車速度是每小時(shí)40千米，在第二段

上，汽車速度是每小時(shí)90千米，在第三段上，汽車速度是每小時(shí)50千米.已知第一段公路的長恰好

是第三段的2倍.現(xiàn)有兩輛汽車分別從甲、乙兩市同時(shí)出發(fā)，相向而行.1小時(shí)20分后，在第二段的1/3

處（從甲方到乙方向的1/3處）相遇，那么，甲、乙兩市相距多少千米？

6、一輛車從甲地開往乙地.如果車速提高20%,可以比原定時(shí)間提前一小時(shí)到達(dá)；如果以原速

行駛120千米后，再將速度提高25%,則可提前40分鐘到達(dá).那么甲、乙兩地相距多少千米？

行程問題經(jīng)典練習(xí)

1、甲、乙兩地相距6千米，某人從甲地步行去乙地，前一半時(shí)間平均每分鐘行80米，后一半時(shí)

間平均每分鐘行70米。問他走后一半路程用了多少分鐘？

2、小明從家到學(xué)校有兩條一樣長的路，一條是平路，另一條是一半上坡路、一半下坡路。小明

上學(xué)走兩條路所用的時(shí)間一樣多。已知下坡的速度是平路的1.5倍,那么上坡的速度是平路的多少倍？

3、一只小船從甲地到乙地往返一次共用