人教版初二上冊(cè)壓軸題模擬數(shù)學(xué)綜合檢測(cè)試卷解析(一)

人教版初二上冊(cè)壓軸題模擬數(shù)學(xué)綜合檢測(cè)試卷解析（一）1．在平面直角坐標(biāo)系中，A(a，0)，B(0，b)分別是x軸負(fù)半軸和y軸正半軸上一點(diǎn)，點(diǎn)C與點(diǎn)A關(guān)于y軸對(duì)稱，點(diǎn)P是x軸正半軸上C點(diǎn)右側(cè)一動(dòng)點(diǎn)．（1）當(dāng)2a2+4ab+4b2+2a+1＝0時(shí)，求A，B的坐標(biāo)；（2）當(dāng)a+b＝0時(shí)，①如圖1，若D與P關(guān)于y軸對(duì)稱，PE⊥DB并交DB延長(zhǎng)線于E，交AB的延長(zhǎng)線于F，求證：PB＝PF；②如圖2，把射線BP繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45o，交x軸于點(diǎn)Q，當(dāng)CP＝AQ時(shí)，求∠APB的大?。?．（1）模型：如圖1，在中，平分，，，求證：．（2）模型應(yīng)用：如圖2，平分交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，求證：．（3）類比應(yīng)用：如圖3，平分，，，求證：．3．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A(a，0)，B(0，b)，且a，b滿足．（1）直接寫(xiě)出______，______；（2）連接AB，P為內(nèi)一點(diǎn)，．①如圖1，過(guò)點(diǎn)作，且，連接并延長(zhǎng)，交于．求證：；②如圖2，在的延長(zhǎng)線上取點(diǎn)，連接．若，點(diǎn)P(2n，?n)，試求點(diǎn)的坐標(biāo)．4．在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A(a，0)，點(diǎn)B(0，b)，已知a，b滿足．（1）求點(diǎn)A和點(diǎn)B的坐標(biāo)；（2）如圖1，點(diǎn)E為線段OB的中點(diǎn)，連接AE，過(guò)點(diǎn)A在第二象限作，且，連接BF交x軸于點(diǎn)D，求點(diǎn)D和點(diǎn)F的坐標(biāo)；：（3）在（2）的條件下，如圖2，過(guò)點(diǎn)E作交AB于點(diǎn)P，M是EP延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且，連接MO，作，ON交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)N，連接MN，求點(diǎn)N的坐標(biāo)．5．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，A（a，0），B（0，b），且|a+4|+b2﹣86+16＝0．（1）求a，b的值；（2）如圖1，c為y軸負(fù)半軸上一點(diǎn)，連CA，過(guò)點(diǎn)C作CD⊥CA，使CD＝CA，連BD．求證：∠CBD＝45°；（3）如圖2，若有一等腰Rt△BMN，∠BMN＝90°，連AN，取AN中點(diǎn)P，連PM、PO．試探究PM和PO的關(guān)系．6．閱讀理解題：定義：如果一個(gè)數(shù)的平方等于﹣1，記為i2＝﹣1，這個(gè)數(shù)i叫做虛數(shù)單位，把形如a+bi（a，b為實(shí)數(shù)）的數(shù)叫做復(fù)數(shù)，其中a叫這個(gè)復(fù)數(shù)的實(shí)部，b叫做這個(gè)復(fù)數(shù)的虛部，它的加、減、乘、除運(yùn)算與代數(shù)式的運(yùn)算類似．例如：計(jì)算：（2﹣i）+（5+3i）＝（2+5）+（﹣1+3）i＝7+2i；（1+i）×（2﹣i）＝1×2﹣i+2×i﹣i2＝2+（﹣1+2）i+1＝3+i；根據(jù)以上信息，完成下列問(wèn)題：（1）填空：i3＝，i4＝，i+i2+i3+…+i2021＝；（2）計(jì)算：（1+i）×（3﹣4i）﹣（﹣2+3i）（﹣2﹣3i）；（3）已知a+bi＝（a，b為實(shí)數(shù)），求的最小值．7．已知ABC中，∠BAC=60°，以AB和BC為邊向外作等邊ABD和等邊BCE．(1)連接AE、CD，如圖1，求證：AE=CD；(2)若N為CD中點(diǎn)，連接AN，如圖2，求證：CE=2AN(3)若AB⊥BC，延長(zhǎng)AB交DE于M，DB=，如圖3，則BM=_______（直接寫(xiě)出結(jié)果）8．△ABC、△DPC都是等邊三角形．(1)如圖1，求證：AP＝BD；(2)如圖2，點(diǎn)P在△ABC內(nèi)，M為AC的中點(diǎn)，連PM、PA、PB，若PA⊥PM，且PB＝2PM．①求證：BP⊥BD；②判斷PC與PA的數(shù)量關(guān)系并證明．【參考答案】2．（1）；（2）①見(jiàn)解析；②∠APB＝22.5°【分析】（1）利用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)求解即可；（2）①想辦法證明∠PBF＝∠F，可得結(jié)論；②如圖2中，過(guò)點(diǎn)Q作QF⊥QB交PB于F，過(guò)點(diǎn)F作FH⊥x軸解析：（1）；（2）①見(jiàn)解析；②∠APB＝22.5°【分析】（1）利用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)求解即可；（2）①想辦法證明∠PBF＝∠F，可得結(jié)論；②如圖2中，過(guò)點(diǎn)Q作QF⊥QB交PB于F，過(guò)點(diǎn)F作FH⊥x軸于H，可得等腰直角△BQF，證明△FQH≌△QBO（AAS），再證明FQ＝FP即可解決問(wèn)題．【詳解】解：（1）∵2a2+4ab+4b2+2a+1＝0，∴（a+2b）2+（a+1）2＝0，∵（a+2b）2≥0，（a+1）2≥0，∴a+2b＝0，a+1＝0，∴a＝﹣1，b＝，∴A（﹣1，0），B(0，）．（2）①證明：如圖1中，∵a+b＝0，∴a＝﹣b，∴OA＝OB，

又∵∠AOB＝90°，∴∠BAO＝∠ABO＝45°，∵D與P關(guān)于y軸對(duì)稱，∴BD＝BP，∴∠BDP＝∠BPD，設(shè)∠BDP＝∠BPD＝α，則∠PBF＝∠BAP+∠BPA＝45°+α，∵PE⊥DB，∴∠BEF＝90°，∴∠F＝90°﹣∠EBF，又∠EBF＝∠ABD＝∠BAO﹣∠BDP＝45°﹣α，∴∠F＝45°+α，∴∠PBF＝∠F，∴PB＝PF．②解：如圖2中，過(guò)點(diǎn)Q作QF⊥QB交PB于F，過(guò)點(diǎn)F作FH⊥x軸于H．可得等腰直角△BQF，∵∠BOQ＝∠BQF＝∠FHQ＝90°，∴∠BQO+∠FQH＝90°，∠FQH+∠QFH＝90°，∴∠BQO＝∠QFH，∵QB＝QF，∴△FQH≌△QBO（AAS），∴HQ＝OB＝OA，∴HO＝AQ＝PC，∴PH＝OC＝OB＝QH，∴FQ＝FP，又∠BFQ＝45°，∴∠APB＝22.5°．【點(diǎn)睛】本題考查完全平方公式、實(shí)數(shù)的非負(fù)性、全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是綜合運(yùn)用相關(guān)知識(shí)解題．3．（1）證明見(jiàn)解析；（2）證明見(jiàn)解析；（3）證明見(jiàn)解析；【分析】（1）由題意得DE=DF，，，即可得出：=AB：AC；（2）在AB上取點(diǎn)E，使得AE=AC，根據(jù)題意可證△ACD≌△AED，從而解析：（1）證明見(jiàn)解析；（2）證明見(jiàn)解析；（3）證明見(jiàn)解析；【分析】（1）由題意得DE=DF，，，即可得出：=AB：AC；（2）在AB上取點(diǎn)E，使得AE=AC，根據(jù)題意可證△ACD≌△AED，從而可求出，，即可求解；（3）延長(zhǎng)BE至M，使EM=DC，連接AM，根據(jù)題意可證△ADC≌△AEM，故而得出AE為∠BAM的角平分線，即，即可得出答案；【詳解】解：（1）∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DE⊥AC，∴DE=DF，∵，，∴：=AB：AC；（2）如圖，在AB上取點(diǎn)E，使得AE=AC，連接DE又∵AD平分∠CAE，∴∠CAD=∠DAE，在△ACD和△AED中，，∴△ACD≌△AED（SAS），∴CD=DE且∠ADC=∠ADE，∴，∴，∴AB：AC=BD：CD；（3）如圖延長(zhǎng)BE至M，使EM=DC，連接AM，∵∠D+∠AEB=180°，又∵∠AEB+∠AEM=180°，∴∠D=∠AEM，在△ADC與△AEM中，，∴△ADC≌△AEM（SAS），∴∠DAC=∠EAM=∠BAE，AC=AM，∴AE為∠BAM的角平分線，故，∴BE：CD=AB：AC；【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)、以及三角形的面積的應(yīng)用，正確掌握知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵；4．（1）3，；（2）①見(jiàn)解析；②的坐標(biāo)為(，)【分析】（1）先利用冪的乘方和積的乘方化簡(jiǎn)，再利用單項(xiàng)式的性質(zhì)求解即可；（2）①連接AC，過(guò)點(diǎn)B作BN⊥BP，交CP的延長(zhǎng)線于點(diǎn)N，利用SAS證明解析：（1）3，；（2）①見(jiàn)解析；②的坐標(biāo)為(，)【分析】（1）先利用冪的乘方和積的乘方化簡(jiǎn)，再利用單項(xiàng)式的性質(zhì)求解即可；（2）①連接AC，過(guò)點(diǎn)B作BN⊥BP，交CP的延長(zhǎng)線于點(diǎn)N，利用SAS證明△OPB≌△OCA，再證明△BNP為等腰直角三角形，利用AAS證明△ACD≌△BND，即可證明AD=DB；②作出如圖所示的輔助線，證明△BMP為等腰直角三角形，利用AAS證明△PBF≌△MPE，求得E(2n，n)，M(3n?3，n)，證明點(diǎn)M，E關(guān)于y軸對(duì)稱，得到3n?3+2n=0，即可求解．【詳解】（1）∵，∴，∴，，解得：，，故答案為：3，；（2）①連接AC，∵∠COP=∠AOB=90°，∴∠COP-∠AOP=∠AOB-∠AOP，∴，在△OPB和△OCA中，，∴△OPB≌△OCA(SAS)，∴AC=BP，∠OCA=∠OPB=90°，過(guò)點(diǎn)B作BN⊥BP，交CP的延長(zhǎng)線于點(diǎn)N，∵∠COP=90°，OP=OC，∴∠OCP=∠OPC=∠ACP=45°，∵∠OPB=90°，∴∠BPN=45°，∴△BNP為等腰直角三角形，∴∠BPN=∠N=45°，∴BN=BP=AC，在△ACD和△BND中，，∴△ACD≌△BND(AAS)，∴AD=DB；②∵∠AOB=90°，AO=OB，∴△AOB為等腰直角三角形，∴∠OBA=45°，∵∠MBO=∠ABP，∴∠MBO+∠OBP=∠ABP+∠OBP=∠OBA=45°，∴∠MBP=45°，∵OP⊥BP，∴△BMP為等腰直角三角形，∴MP=BP，過(guò)點(diǎn)P作y軸的平行線EF，分別過(guò)M，B作ME⊥EF于E，BF⊥EF于F，EF交x軸于G，ME交y軸于H，連接OE，∴∠MPE+∠EMP=∠MPE+∠FPB=90°，∴∠EMP=∠FPB，在△PBF和△MPE中，，∴△PBF≌△MPE(AAS)，∴BF=EP，PF=ME，∵P(2n，?n)，∴BF=EP=EH=2n，PG=EG=n，PF=ME=3?n，∴MH=ME-EH=3?n?2n=3?3n，∴E(2n，n)，M(3n?3，n)，∴點(diǎn)P，E關(guān)于x軸對(duì)稱，∴OE=OP，∠OEP=∠OPE，同理OM=OE，點(diǎn)M，E關(guān)于y軸對(duì)稱，∴3n?3+2n=0，解得，即點(diǎn)M的坐標(biāo)為(，)．【點(diǎn)睛】本題考查了坐標(biāo)與圖形、全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題，學(xué)會(huì)添加常用輔助線，利用全等三角形的性質(zhì)解決問(wèn)題．5．（1），；（2）D(-1，0)，F(xiàn)(-2，4)；（3）N(-6，2)【分析】（1）結(jié)合題意，根據(jù)絕對(duì)值和乘方的性質(zhì)，得，，通過(guò)求解一元一次方程，得，；結(jié)合坐標(biāo)的性質(zhì)分析，即可得到答案；（2）解析：（1），；（2）D(-1，0)，F(xiàn)(-2，4)；（3）N(-6，2)【分析】（1）結(jié)合題意，根據(jù)絕對(duì)值和乘方的性質(zhì)，得，，通過(guò)求解一元一次方程，得，；結(jié)合坐標(biāo)的性質(zhì)分析，即可得到答案；（2）如圖，過(guò)點(diǎn)F作FH⊥AO于點(diǎn)H，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)，通過(guò)證明，得AH=EO=2，F(xiàn)H=AO=4，從而得OH=2，即可得點(diǎn)F坐標(biāo)；通過(guò)證明，推導(dǎo)得HD=OD=1，即可得到答案；（3）過(guò)點(diǎn)N分別作NQ⊥ON交OM的延長(zhǎng)線于點(diǎn)Q，NG⊥PN交EM的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，再分別過(guò)點(diǎn)Q和點(diǎn)N作QR⊥EG于點(diǎn)R，NS⊥EG于點(diǎn)S，根據(jù)余角和等腰三角形的性質(zhì)，通過(guò)證明等腰和等腰，推導(dǎo)得，再根據(jù)全等三角形的性質(zhì)，通過(guò)證明，得等腰，再通過(guò)證明，得NS=EM=4，MS=OE=2，即可完成求解．【詳解】（1）∵，∴．∵，∴，∴，∴，∴，．（2）如圖，過(guò)點(diǎn)F作FH⊥AO于點(diǎn)H∵AF⊥AE∴∠FHA=∠AOE=90°，∵∴∠AFH=∠EAO又∵AF=AE，在和中∴∴AH=EO=2，F(xiàn)H=AO=4∴OH=AO-AH=2∴F(-2，4)∵OA=BO，∴FH=BO在和中∴∴HD=OD∵∴HD=OD=1∴D(-1，0)∴D(-1，0)，F(xiàn)(-2，4)；（3）如圖，過(guò)點(diǎn)N分別作NQ⊥ON交OM的延長(zhǎng)線于點(diǎn)Q，NG⊥PN交EM的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，再分別過(guò)點(diǎn)Q和點(diǎn)N作QR⊥EG于點(diǎn)R，NS⊥EG于點(diǎn)S∴∴，∴∴∴∴等腰∴NQ=NO，∵NG⊥PN,NS⊥EG∴∴，∴∵，∴∵點(diǎn)E為線段OB的中點(diǎn)∴∴∴∴∴∴∴∴等腰∴NG=NP，∵∴∴∠QNG=∠ONP在和中∴∴∠NGQ=∠NPO，GQ=PO∵，∴PO=PB∴∠POE=∠PBE=45°∴∠NPO=90°∴∠NGQ=90°∴∠QGR=45°.在和中∴．∴QR=OE在和中∴∴QM=OM.∵NQ=NO，∴NM⊥OQ∵∴等腰∴∵∴在和中∴∴NS=EM=4，MS=OE=2∴N(-6，2)．【點(diǎn)睛】本題考查了直角坐標(biāo)系、全等三角形、直角三角形、等腰三角形、絕對(duì)值、乘方的知識(shí)；解題的關(guān)鍵是熟練掌握直角坐標(biāo)系、全等三角形、等腰三角形的性質(zhì)，從而完成求解．6．（1）a＝﹣4，b＝4；（2）見(jiàn)解析；（3）MP＝OP，MP⊥OP，理由見(jiàn)解析【分析】（1）先利用完全平方公式將a和b的式子化成絕對(duì)值與平方數(shù)之和的形式，再利用絕對(duì)值的非負(fù)數(shù)和平方數(shù)的非負(fù)性即可解析：（1）a＝﹣4，b＝4；（2）見(jiàn)解析；（3）MP＝OP，MP⊥OP，理由見(jiàn)解析【分析】（1）先利用完全平方公式將a和b的式子化成絕對(duì)值與平方數(shù)之和的形式，再利用絕對(duì)值的非負(fù)數(shù)和平方數(shù)的非負(fù)性即可；（2）如圖1（見(jiàn)解析），作于E．易證，由三角形全等的性質(zhì)得，再證明是等腰直角三角形即可；（3）如圖2（見(jiàn)解析），延長(zhǎng)MP至Q，使得，連接AQ，OQ，OM，延長(zhǎng)MN交AO于C．證出和，再利用全等三角形的性質(zhì)證明是等腰直角三角形即可.【詳解】（1）由絕對(duì)值的非負(fù)性和平方數(shù)的非負(fù)性得：解得：；（2）如圖1，作于E是等腰直角三角形，；（3）如圖2，延長(zhǎng)MP至Q，使得，連接AQ，OQ，OM，延長(zhǎng)MN交AO于C∴∵在四邊形MCOB中，是等腰直角三角形∴是等腰直角三角形.【點(diǎn)睛】本題考查了絕對(duì)值的非負(fù)數(shù)和平方數(shù)的非負(fù)性、三角形全等的判定定理與性質(zhì)、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握這些定理與性質(zhì)是解題關(guān)鍵.7．（1）﹣i，1，；（2）﹣i﹣6；（3）的最小值為25．【分析】（1）根據(jù)題目所給條件可得i3=i2?i，i4=i2?i2計(jì)算即可得出答案；（2）根據(jù)多項(xiàng)式乘法法則進(jìn)行計(jì)算，及題目所給已知條解析：（1）﹣i，1，；（2）﹣i﹣6；（3）的最小值為25．【分析】（1）根據(jù)題目所給條件可得i3=i2?i，i4=i2?i2計(jì)算即可得出答案；（2）根據(jù)多項(xiàng)式乘法法則進(jìn)行計(jì)算，及題目所給已知條件即可得出答案；（3）根據(jù)題目已知條件，a+bi＝4+3i，求出a、b，即可得出答案．【詳解】（1）i3＝i2?i＝﹣1×i＝﹣i，i4＝i2?i2＝﹣1×（﹣1）＝1，設(shè)S＝i+i2+i3+…+i2021，iS＝i2+i3+…+i2021+i2022，∴（1﹣i）S＝i﹣i2022，∴S＝，故答案為﹣i，1，；（2）（1+i）×（3﹣4i）﹣（﹣2+3i）（﹣2﹣3i）＝3﹣4i+3i﹣4i2﹣（4﹣9i2）＝3﹣i+4﹣4﹣9＝﹣i﹣6；（3）a+bi＝＝＝＝4+3i，∴a＝4，b＝3，∴＝，∴的最小值可以看作點(diǎn)（x，0）到點(diǎn)A（0，4），B（24，3）的最小距離，∵點(diǎn)A（0，4）關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)為A'（0，﹣4），連接A'B即為最短距離，∴A'B＝＝25，∴的最小值為25．【點(diǎn)睛】此題考查了實(shí)數(shù)的運(yùn)算，以及規(guī)律型：數(shù)字的變化類，弄清題中的新定義是解本題的關(guān)鍵．8．(1)見(jiàn)解析(2)見(jiàn)解析(3)【分析】（1）先判斷出∠DBC=∠ABE，進(jìn)而判斷出△DBC≌△ABE，即可得出結(jié)論；（2）先判斷出△ADN≌△FCN，得出CF=AD，∠NCF=∠AN解析：(1)見(jiàn)解析(2)見(jiàn)解析(3)【分析】（1）先判斷出∠DBC=∠ABE，進(jìn)而判斷出△DBC≌△ABE，即可得出結(jié)論；（2）先判斷出△ADN≌△FCN，得出CF=AD，∠NCF=∠AND，進(jìn)而判斷出∠BAC=∠ACF，即可判斷出△ABC≌△CFA，即可得出結(jié)論；（3）先判斷出△ABC≌△HEB(ASA)，得出，，再判斷出△ADM≌△HEM(AAS)，得出AM=HM，即可得出結(jié)論．(1)解：∵△ABD和△BCE是等邊三角形，∴BD=AB，BC=BE，∠ABD=∠CBE=60°，∴∠ABD+∠ABC=∠CBE+∠ABC，∴∠DBC=∠ABE，∴△ABE≌△DBC（SAS），∴AE=CD；(2)解：如圖，延長(zhǎng)AN使NF=AN，連接FC，∵N為CD中點(diǎn)，∴DN=CN，∵∠AND=∠FNC，∴△ADN≌△FCN(SAS)，∴CF=AD，∠NCF=∠AND，∵∠DAB=∠BAC=60°∴∠ACD+∠ADN=60°∴∠ACF=∠ACD+∠NCF=60°，∴∠BAC=∠ACF，∵△ABD是等邊三角形，∴AB=AD，∴AB=CF，∵AC=CA，∴△ABC≌△CFA(SAS)，∴BC=AF，∵△BCE是等邊三角形，∴CE=BC=AF=2AN；(3)解：∵△ABD是等邊三角形，∴，∠BAD=60°，在Rt△ABC中，∠ACB=90°－∠BAC=30°，∴，如圖，過(guò)點(diǎn)E作EH//AD交AM的延長(zhǎng)線于H，∴∠H=∠BAD=60°，∵△BCE是等邊三角形，∴BC=BE，∠CBE=60°，∵∠ABC=90°，∴∠EBH=90°－∠CBE=30°=∠ACB，∴∠BEH=180°－∠EBH－∠H=90°=∠ABC，∴△ABC≌△HEB(ASA)，∴，，∴AD=EH，∵∠AMD=∠HME，∴△ADM≌△HEM(AAS)，∴AM=HM，∴∵，，∴．故答案為：．【點(diǎn)睛】此題是三角形綜合題，主要考查了等邊三角形的性質(zhì)，含30°角的直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，構(gòu)造出全等三角形是解本題的關(guān)鍵．9．(1)證明過(guò)程見(jiàn)解析；(2)①證明過(guò)程見(jiàn)解析；②PC