考研數(shù)學(xué)一概率論知識(shí)點(diǎn)概要

本人考研整理的數(shù)學(xué)概率論知識(shí)點(diǎn)，word版，可編輯、添加、打印。祝大家學(xué)有所得。第一章隨機(jī)事件概率隨機(jī)試驗(yàn)：滿足以下三個(gè)條件的試驗(yàn)：（1）可重復(fù)；（2）知道所有可能；（3）結(jié)果不可預(yù)知。樣本點(diǎn)：每一個(gè)可能的結(jié)果叫做一個(gè)樣本點(diǎn)。樣本空間：全體樣本點(diǎn)的集合，記為。隨機(jī)事件：隨機(jī)試驗(yàn)中每一個(gè)可能出現(xiàn)的結(jié)果，叫做隨機(jī)事件。基本事件：試驗(yàn)中不可再分的事件。不可能事件：不可能發(fā)生的事件。必然事件：必定要發(fā)生的事件。復(fù)合事件：由兩個(gè)或兩個(gè)以上的事件構(gòu)成的事件。事件的關(guān)系與運(yùn)算：事件的關(guān)系定義文氏圖：包含關(guān)系：事件B發(fā)生必然導(dǎo)致事件A發(fā)生，則稱事件A包含事件B。事件相等：A=B事件A,B相互包含，就稱事件A,B相等?；コ馐录篈B=不可能同時(shí)發(fā)生的事件對(duì)立事件：若AB=且，稱事件A,B對(duì)立事件。兩者之一必然發(fā)生，但又不可能同時(shí)發(fā)生的事件。事件的并：事件A,B中至少有一個(gè)發(fā)生，稱事件發(fā)生。事件的差：A-B事件A發(fā)生且B不發(fā)生，事件的交：事件A,B同時(shí)發(fā)生，稱事件發(fā)生。概率：事件發(fā)生可能性大小的描述。條件概率：設(shè)A,B是兩個(gè)基本事件，且P(A)>0，則：稱為事件A發(fā)生的條件下事件B發(fā)生的條件概率。事件的獨(dú)立性：如果兩事件A,B滿足：,則稱A與B獨(dú)立。A,B獨(dú)立獨(dú)立和互斥的關(guān)系：時(shí)，獨(dú)立一定不互斥，互斥一定不獨(dú)立。對(duì)于三個(gè)以上的事件：相互獨(dú)立兩兩獨(dú)立，兩兩獨(dú)立退不出相互獨(dú)立。取反運(yùn)算不改變事件的獨(dú)立性：相互獨(dú)立相互獨(dú)立相互獨(dú)立。概率的基本性質(zhì)：非零性：歸一性：：古典概率滿足：（1），試驗(yàn)的樣本空間的元素只有有限個(gè)；（2），每個(gè)樣本點(diǎn)出現(xiàn)的可能性相等：古典概型事件A的計(jì)算公式：n---樣本點(diǎn)數(shù)，k---事件A包含的樣本點(diǎn)數(shù)。幾何概率：隨機(jī)試驗(yàn)E的樣本空間為一個(gè)歐氏空間的一個(gè)區(qū)域，且每個(gè)樣本點(diǎn)出現(xiàn)的可能性相同。計(jì)算公式：加法公式（加奇減偶公式）：對(duì)于任意事件A,B,C有：減法公式：乘法公式：對(duì)事件A,B,且P（A）>0，P(B)>0,有：完備組（分割，劃分）：如果事件組滿足（1），（2），，這樣的事件組成為一個(gè)完備組。全概率公式：設(shè)為一個(gè)完備組，則對(duì)于事件A發(fā)生的概率為：貝葉斯公式：設(shè)為一個(gè)完備組，，,則有：,j=1,2,…,n。事件的運(yùn)算規(guī)則：交換律：結(jié)合律：分配率：德-摩根率：,除獨(dú)立性外，無法從概率關(guān)系推出事件關(guān)系。排列組合知識(shí)：排列：從n個(gè)不同的元素中m個(gè)按特定順序排成一列，稱為從n個(gè)元素中取m個(gè)元素的一個(gè)排列。全排列：將n個(gè)不同元素全部取出的排列。規(guī)定。組合：從n個(gè)不同元素中取m個(gè)元素，排成無序的一組，稱為從n個(gè)元素中取m個(gè)元素的一個(gè)組合，記為：組合的性質(zhì)：第2章一維隨機(jī)變量隨機(jī)變量：定義在樣本空間上的樣本點(diǎn)的實(shí)值函數(shù),隨機(jī)變量一般用大寫字母X表示，其取值用小寫字母x,y,z來表示。離散型隨機(jī)變量的分類：離散型隨機(jī)變量：X的取值為有限個(gè)或無限可列多個(gè)。用分布列來表示。連續(xù)型隨機(jī)變量：X的取值為某區(qū)間上的所有值。用分布函數(shù)來表示。非離散也非連續(xù)：連續(xù)型隨機(jī)變量的概率分布：一維隨機(jī)變量X的分布幾何表示X是一個(gè)隨機(jī)變量，對(duì)于任意實(shí)數(shù)x，稱函數(shù)：，，為X的分布函數(shù)。（完整的F(x)表達(dá)式必須從寫到）隨機(jī)變量X的分布函數(shù)，是滿足下列條件的函數(shù)：，（完整的F(x)表達(dá)式自變量必須從寫到）1,2，，3，F(xiàn)(x)是不減函數(shù)，4，F(xiàn)(x)右續(xù)函，對(duì)于任意點(diǎn)，有：X為離散型X為連續(xù)型概率分布：，分布率：XP性質(zhì)：非負(fù)，歸一，寫離散型隨機(jī)變量的概率分布，先確定X的所有取值，在確定X取特定值時(shí)的概率。如非負(fù)函數(shù)滿足：（）則稱f(x)為X的概率密度函數(shù)，簡(jiǎn)稱密度函數(shù)：1，非負(fù)：歸一：歸一：2，，x為f(x)的連續(xù)點(diǎn)。3，F(xiàn)(x)是連續(xù)函數(shù)。4，對(duì)任意點(diǎn)x,都有P(X=x)=0。5，對(duì)于任意a>b有：可見，對(duì)連續(xù)型隨機(jī)變量，個(gè)別點(diǎn)（甚至有限個(gè)點(diǎn)）的存在與否，不影響區(qū)間上的概率值。重要離散分布：1,0-1分布：設(shè)事件發(fā)生的概率為p。X011-pp2，二項(xiàng)分布：伯努利概型（考研中能建模的唯一概率模型）：試驗(yàn)E只有兩個(gè)結(jié)果和的概型。n重伯努利概型：將伯努利概型獨(dú)立重復(fù)n次，則稱為n重伯努利概型。若P(A)=p,則n次試驗(yàn)中事件A發(fā)生k次的概率為：，稱X服從參數(shù)為的二項(xiàng)分布，記為：。3，泊松分布：定義：對(duì)于常數(shù)，如果隨機(jī)變量X的分布律為：，則稱X服從參數(shù)為的泊松分布，記為：。泊松定理：4，幾何分布：（試驗(yàn)第一次成功發(fā)生在第k次的概率）：，此時(shí)稱X服從幾何分布。5，超幾何分布：產(chǎn)品檢測(cè)，放回抽取和不放回抽取。重要連續(xù)分布：1，均勻分布：X~U(a,b)如果隨機(jī)變量X密度函數(shù)為：，則稱X服從[a,b]上的均勻分布。記作：X~U(a,b)。2，指數(shù)分布：X~E()壽命問題如果隨機(jī)變量X密度函數(shù)為：，則稱X服從參數(shù)為的指數(shù)分布。記作：X~E()。3，正態(tài)分布：如果隨機(jī)變量X密度函數(shù)為：，，稱X服正態(tài)分布。記作：X~N()。特別的，如果密度函數(shù)滿足：，則稱X服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，記為：N~(0,1)若X~N()，令，則，這就是正態(tài)分布的標(biāo)準(zhǔn)化。性質(zhì)：1，；2，；3，若X~N()，則：，隨機(jī)變量函數(shù)的分布：兩個(gè)隨機(jī)變量X,Y,Y=g(X)是X的函數(shù)，已知X，求Y的分布。第3章二維隨機(jī)變量隨機(jī)試驗(yàn)E的樣本空間為,是定義在的兩個(gè)隨機(jī)變量，則隨機(jī)變量（X,Y），叫做二維隨機(jī)變量。二維隨機(jī)變量幾何意義性質(zhì)：,1，非負(fù)、歸一：，對(duì)于任意的x,y，有：2，F(xiàn)(x,y)對(duì)于任意的x,y都是右連續(xù)的，對(duì)于任意點(diǎn)，有：3，F(xiàn)(x)對(duì)x,y分別是不減函數(shù)，且有：（X,Y）為離散型（X,Y）為連續(xù)型（X,Y）的聯(lián)合分布率：，表格形式：概率密度f(x,y)：定義：則稱其位（X,Y）的聯(lián)合密度函數(shù)。性質(zhì)：在（x,y）的連續(xù)點(diǎn)處，2，（哪兒求概率，哪兒求積分）邊緣分布：二維隨機(jī)變量的邊緣分布：邊緣分布函數(shù)：定義：關(guān)于X,有：關(guān)于Y，有：（X,Y）為離散型（X,Y）為連續(xù)型邊緣分布率：設(shè)（X,Y）的聯(lián)合分布率為：對(duì)于X,有：關(guān)于Y,有：此時(shí)：，二維隨機(jī)變量的邊緣分布：邊緣密度函數(shù)：關(guān)于X,有：關(guān)于Y，有：條件分布：二維隨機(jī)變量（X,Y）在Y=y條件下：X,Y為離散型（X,Y）為連續(xù)型（X,Y）在條件下的X的條件分布律：,（X,Y）在條件下的X的條件分布率：（X,Y）在條件下的X的條件分布率：（X,Y）在條件下的X的條件分布率：設(shè)隨機(jī)變量(X,Y)的聯(lián)合分布函數(shù)，邊緣分布函數(shù)分別為,,,若對(duì)于任一x,y,均有：則稱隨機(jī)變量X,Y是相互獨(dú)立的。判斷方法：對(duì)離散型：相互獨(dú)立對(duì)任意在變量表中行與行，列與列稱比例。X,Y為離散型（X,Y）為連續(xù)型如果對(duì)于任意x,y都有：則稱X與Y(相互)獨(dú)立。對(duì)連續(xù)型：相互獨(dú)立拆開是平行于坐標(biāo)軸的矩形如果拆開不是矩形，則兩者一定不獨(dú)立。離散型隨機(jī)變量的聯(lián)合分布率：隨機(jī)變量（x,y）的所有取值為有限對(duì)或無限可列多對(duì)，則稱(x,y)為離散型隨機(jī)變量。分布律：，寫離散型隨機(jī)變量的概率分布，先確定X的所有取值，在確定X取確定值時(shí)的概率。邊緣分布率：關(guān)于X,有：關(guān)于Y,有：此時(shí)：，聯(lián)合分布函數(shù)：對(duì)二維隨機(jī)變量（X,Y），滿足：的函數(shù)稱為X,Y的聯(lián)合分布函數(shù)。聯(lián)合分布函數(shù)的性質(zhì)：非負(fù)性、歸一性：，對(duì)于任意的x,y，有：，F(xiàn)(x,y)對(duì)于任意的x,y都是右連續(xù)的，對(duì)于任意點(diǎn)，有：（3）F(x)對(duì)x,y分別是不減函數(shù)，且有：二維連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度：為聯(lián)合分布函數(shù)，若且滿足：則稱其為（X,Y）的聯(lián)合密度函數(shù)。性質(zhì)：F(x,y)是x,y的連續(xù)函數(shù)。在f(x,y)的連續(xù)點(diǎn)，有：（哪兒求概率，哪兒求積分）二維隨機(jī)變量的邊緣分布：邊緣分布函數(shù)：關(guān)于X,有：關(guān)于Y，有：邊緣分布率可由聯(lián)合分布率求出：邊緣密度函數(shù)：關(guān)于X,有：關(guān)于Y，有：離散型隨機(jī)變量的聯(lián)合分布率：二維隨機(jī)變量的條件分布：離散型隨機(jī)變量的條件分布率：,連續(xù)型隨機(jī)變量的條件密度函數(shù)：二維隨機(jī)變量的獨(dú)立性：如果對(duì)于任意x,y都有：則稱X與Y(相互)獨(dú)立。判斷方法：對(duì)離散型：相互獨(dú)立對(duì)任意在變量表中行與行，列與列稱比例。對(duì)連續(xù)型：相互獨(dú)立拆開是平行于坐標(biāo)軸的矩形。如果拆開不是矩形，則兩者一定不獨(dú)立。重要二維分布：（1），二維均勻分布：密度函數(shù)：，其中S為平面閉區(qū)域D的面積。（2），二維正態(tài)分布：密度函數(shù)：，稱X,Y服正態(tài)分布。記作：,其中。特別的，如果X,Y獨(dú)立，，，此時(shí)密度函數(shù)為：，稱X，Y服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，記為：。性質(zhì)：二維正態(tài)分布中X,Y獨(dú)立。二維正態(tài)分布的邊緣分布為正態(tài)分布，且都和無關(guān)。二維隨機(jī)變量函數(shù)的分布：設(shè)兩個(gè)隨機(jī)變量（X,Y）的分布密度為,則二維隨機(jī)變量函數(shù)的分布為：常用的隨機(jī)變量函數(shù)為：,,數(shù)學(xué)期望平均值反映平均值的大小X為離散型隨機(jī)變量X為連續(xù)型隨機(jī)變量X的分布：隨機(jī)變量函數(shù)Y=f(x)：1，X的密度函數(shù)：2，隨機(jī)變量函數(shù)Y=g(x)：E(X)的性質(zhì)：2，3，4，5，如果X,Y相互獨(dú)立，則：方差標(biāo)準(zhǔn)差反映變量的偏差大小。方差定義：X為離散型：X為連續(xù)型：D(X)的性質(zhì)：1，2，3，4，若X與Y相互獨(dú)立，則：矩X為離散型隨機(jī)變量Y為連續(xù)型隨機(jī)變量X的k階原點(diǎn)矩：X的k階中心矩：X的k階原點(diǎn)矩：X的k階中心矩：協(xié)方差相關(guān)系數(shù)二維隨機(jī)變量的數(shù)字特征：第五章大數(shù)定律中心極限定理切比雪夫不等式：對(duì)隨機(jī)變量X,有,,則對(duì)于任意實(shí)數(shù)，恒有：，大數(shù)定理：切比雪夫大數(shù)定理：設(shè)相互獨(dú)立，且，，則對(duì)于任意正數(shù)，有：則稱序列依概率收斂與a.依概率收斂：設(shè)是一個(gè)隨機(jī)變量序列，a為常數(shù)，若對(duì)于任意正數(shù)，有：伯努利大數(shù)定理：設(shè)是n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中事件A發(fā)生的次數(shù)。是事件A在每次試驗(yàn)中發(fā)生的概率，則對(duì)于任意正數(shù)，有：辛欽大數(shù)定理：設(shè)獨(dú)立同分布，,則對(duì)于任意正數(shù)，有：隸莫弗---拉普拉斯定理：設(shè)隨機(jī)變量，則有：列維---林德伯格定理：設(shè)獨(dú)立同分布，,,則:第6章數(shù)理統(tǒng)計(jì)總體與個(gè)體：研究對(duì)象的全體叫做總體，一般是指某個(gè)可視為隨機(jī)變量X的指標(biāo)，其取值的全體叫做總體。其中的每一個(gè)叫做個(gè)體。樣本：從總體中抽取n個(gè)個(gè)體，這n個(gè)個(gè)體叫總體X的容量為n的樣本。樣本值：抽取的ｎ個(gè)個(gè)體得到的觀測(cè)值。簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本：滿足下列條件的隨機(jī)樣本（１），每個(gè)個(gè)體都和總體Ｘ同分布，（２），任何兩個(gè)個(gè)體之間相互獨(dú)立。統(tǒng)計(jì)量：樣本的數(shù)字特征：樣本均值：樣本方差：樣本標(biāo)準(zhǔn)差：樣本矩：樣本的ｋ階原點(diǎn)矩：樣本的ｋ階中心矩：不管總體服從什么分布，只要均值、方差存在，是來自的一個(gè)樣本，,分別是樣本的均值，樣本方差，則必有：,，分位點(diǎn)（分位數(shù)）：分布：設(shè)總體,為簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，統(tǒng)計(jì)量為：則稱服從自由度是n的分布，記為：t分布：設(shè)，，Ｘ,Ｙ相互獨(dú)立，記為：則稱Ｔ服從的分布是自由度為ｎ的ｔ分布，記作：F分布：設(shè)，，且Ｘ,Ｙ相互獨(dú)立，則稱隨機(jī)變量所服從的分布稱為自由度為（ｍ，ｎ）的Ｆ分布，記作：Ｆ（ｍ，ｎ）．正態(tài)總體：一個(gè)正態(tài)總體：設(shè)來自正態(tài)總體的樣本，則有：兩個(gè)正態(tài)總體：第7章參數(shù)估計(jì)點(diǎn)估計(jì)：設(shè)為來自總體X的樣本，若將樣本的某個(gè)函數(shù)作為總體分布中未知參數(shù)的估計(jì)，則稱為的點(diǎn)估計(jì)量。抽樣后，的值稱為的估計(jì)值。矩估計(jì)法：設(shè)總體X的分布中含有m個(gè)未知參數(shù)，其k階原點(diǎn)矩為：令，則由上述方程所求的解：稱為未知參數(shù)的矩估計(jì)量。最大似然估計(jì)法：設(shè)總體X的概率密度為（若為離散型，則用分布律代替），為未知參數(shù)。記樣本的觀測(cè)值為，則稱：為似然函數(shù)，若有使得：則稱為的最大似然估計(jì)。稱為的最大似然估計(jì)量。估計(jì)的選擇標(biāo)準(zhǔn)：估計(jì)量的無偏性：設(shè)為的估計(jì)量，若,則稱為的無偏估計(jì)。估計(jì)量的有效性：設(shè)均為的無偏估計(jì)，若,則稱比有效。估計(jì)量的一致性：為的估計(jì)量，若對(duì)任意正數(shù)，有：則稱為的一致估計(jì)量。區(qū)間估計(jì)：第8章參數(shù)估計(jì)顯著性檢驗(yàn)的基本思想：為了推斷總體的分布類型或分布中的未知數(shù)，首先對(duì)它們提出一個(gè)假設(shè),然后在為真的條件下，選取恰當(dāng)?shù)慕y(tǒng)計(jì)量來構(gòu)造一個(gè)小概率事件，若一次試驗(yàn)中，小概率事件發(fā)生了，就拒絕的正確性，否則沒有充分理由拒絕，從而接受。假設(shè)檢驗(yàn)的基本步驟：（1）由實(shí)際問題提出原假設(shè)與備選假設(shè)；（2）選取適當(dāng)?shù)慕y(tǒng)計(jì)量，并在為真的條件下確定該統(tǒng)計(jì)量的分布；（3）根據(jù)問題要求確定顯著水平，從而得到拒絕域；（4）有樣本觀測(cè)值計(jì)算統(tǒng)計(jì)量的觀測(cè)值，判斷是否屬于拒絕域，從而對(duì)做出判斷。兩類錯(cuò)誤：第一類錯(cuò)誤（拒真錯(cuò)誤）：當(dāng)本來是正確的，但檢驗(yàn)后作出了拒絕的判斷。第二類錯(cuò)誤（受偽錯(cuò)誤）：當(dāng)本來是錯(cuò)誤的，但檢驗(yàn)后作出了接受的判斷。單個(gè)正態(tài)總體的均值和方差的假設(shè)檢驗(yàn)：兩個(gè)正態(tài)總體的均值和方差的假設(shè)檢驗(yàn)：隨機(jī)變量附表：一維隨機(jī)變量X的分布幾何表示隨機(jī)變量X的分布函數(shù)，是滿足下列條件的函數(shù)：，（完整的F(x)表達(dá)式自變量必須從寫到）1,2，，3，F(xiàn)(x)是不減函數(shù)，4，F(xiàn)(x)右續(xù)函，對(duì)于任意點(diǎn)，有：X為離散型X為連續(xù)型概率分布：，分布率：XP性質(zhì)：非負(fù)，歸一，寫離散型隨機(jī)變量的概率分布，先確定X的所有取值，在確定X取確定值時(shí)的概率。概率密度，1，非負(fù)：歸一：,2，，x為f(x)的連續(xù)點(diǎn)。3，F(xiàn)(x)是連續(xù)函數(shù)。4，對(duì)任意點(diǎn)x,都有P(X=x)=0。5