江西省萍鄉(xiāng)市安源第六學(xué)校高三數(shù)學(xué)理期末試卷含解析

江西省萍鄉(xiāng)市安源第六學(xué)校高三數(shù)學(xué)理期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.已知向量與向量的夾角為，，則（

）A.

B.

C.

D.參考答案：D試題分析：，當然也可數(shù)形結(jié)合考點：向量的模2.已知三棱錐P﹣ABC中，PA=AB=AC=1，PA⊥面ABC，∠BAC=，則三棱錐P﹣ABC的外接球的表面積為（）A．3π B．4π C．5π D．8π參考答案：C【考點】球內(nèi)接多面體．【專題】綜合題；方程思想；綜合法；立體幾何．【分析】求出BC，可得△ABC外接圓的半徑，進而可得三棱錐P﹣ABC的外接球的半徑，即可求出三棱錐P﹣ABC的外接球的表面積．【解答】解：△ABC中，BC==．設(shè)△ABC外接圓的半徑為r，則2r=，∴r=1，∴三棱錐P﹣ABC的外接球的半徑為=，∴三棱錐P﹣ABC的外接球的表面積為=5π．故選：C．【點評】本題考查三棱錐P﹣ABC的外接球的表面積，考查學(xué)生的計算能力，確定三棱錐P﹣ABC的外接球的半徑是關(guān)鍵．3.如圖畫出的是某幾何體的三視圖，則該幾何體的體積為A．16 B．32 C．48 D．60參考答案：A由三視圖可得，該幾何體是一個四棱錐，高為4，底面為上底、下底分別為2,4，高為4的直角梯形，故此四棱錐的體積為。選A。

4.在數(shù)列中，，若數(shù)列為等差數(shù)列，則等于

（

）A．

B．

C．

D．參考答案：B5.若雙曲線上不存在點P使得右焦點F關(guān)于直線OP（O為雙曲線的中心）的對稱點在y軸上,則該雙曲線離心率的取值范圍為

(

）A．

B．

C．

D．參考答案：C這里給出否定形式,直接思考比較困難,按照正難則反,考慮存在點P使得右焦點F關(guān)于直線OP（O為雙曲線的中心）的對稱點在y軸上,因此只要在這個雙曲線上存在點P使得OP斜率為1即可,所以只要漸進線的斜率大于1,也就是離心率大于,求其在大于1的補集;該題通過否定形式考查反證法的思想,又考查數(shù)形結(jié)合、雙曲線的方程及其幾何性質(zhì),是中檔題.6.設(shè)函數(shù)．則在區(qū)間內(nèi)（

）

A．存在唯一的零點,且數(shù)列單調(diào)遞增

B．存在唯一的零點,且數(shù)列單調(diào)遞減

C．存在唯一的零點,且數(shù)列非單調(diào)數(shù)列

D．不存在零點參考答案：A,因為，所以，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增。，，因為，所以，所以函數(shù)在上只有一個零點，選A.7.若直線和曲線的圖象交于，，三點時，曲線在點、點處的切線總是平行的，則過點可作曲線的（

）條切線.A．0

B．1

C.2

D．3參考答案：C8.等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，其中n∈N*，則下列命題錯誤的是（）A．若an＞0，則Sn＞0B．若Sn＞0，則an＞0C．若an＞0，則{Sn}是單調(diào)遞增數(shù)列D．若{Sn}是單調(diào)遞增數(shù)列，則an＞0參考答案：D【考點】數(shù)列的求和．【專題】等差數(shù)列與等比數(shù)列．【分析】由等差數(shù)列的性質(zhì)可得：?n∈N*，an＞0，則Sn＞0，反之也成立．a(chǎn)n＞0，d＞0，則{Sn}是單調(diào)遞增數(shù)列．若{Sn}是單調(diào)遞增數(shù)列，則d＞0，而an＞0不一定成立．即可判斷出正誤．【解答】解：由等差數(shù)列的性質(zhì)可得：?n∈N*，an＞0，則Sn＞0，反之也成立．a(chǎn)n＞0，d＞0，則{Sn}是單調(diào)遞增數(shù)列．因此A，B，C正確．對于D：{Sn}是單調(diào)遞增數(shù)列，則d＞0，而an＞0不一定成立．故選：D．【點評】本題考查了等差數(shù)列的通項公式與前n項和直角的關(guān)系、等差數(shù)列的單調(diào)性，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．9.已知復(fù)數(shù)z=，其中a為整數(shù)，且z在復(fù)平面對應(yīng)的點在第四象限，則a的最大值等于（）A．1 B．2 C．3 D．4參考答案：C【考點】復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運算．【分析】利用復(fù)數(shù)的運算法則、幾何意義即可得出．【解答】解：復(fù)數(shù)z===+i，z在復(fù)平面對應(yīng)的點在第四象限，∴＞0，＜0，解得﹣1＜a＜4，又a為整數(shù)，則a的最大值等于3．故選：C．【點評】本題考查了復(fù)數(shù)的運算法則、幾何意義、不等式的解法，考查了推理能力與計算能力，屬于基礎(chǔ)題．10.設(shè)，，若對于任意，總存在，使得成立，則的取值范圍是（

）(A)

(B)

(C)

(D)參考答案：B二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知函數(shù)f（x）=，若有三個不同的實數(shù)a，b，c，使得f（a）=f（b）=f（c），則a+b+c的取值范圍為

．參考答案：（2π，2016π）考點：分段函數(shù)的應(yīng)用．專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)．分析：如圖所示，不妨設(shè)a＜b＜c，由于f（a）=f（b）=f（c），可得0＜a＜b＜π＜c＜2015π，a+b=π，即可得出．解答： 解：如圖所示，當x∈時，f（x）=sinx．不妨設(shè)a＜b＜c，若滿足f（a）=f（b）=f（c），則0＜a＜b＜π＜c＜2015π，a+b=π，∴2π＜a+b+c＜2016π．∴a+b+c的取值范圍為（2π，2016π）．故答案為：（2π，2016π）．點評：本題考查了三角函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)、函數(shù)圖象的交點，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．12.若定義在區(qū)間上的函數(shù)滿足：對，使得恒成立，則稱函數(shù)在區(qū)間上有界，則下列函數(shù)中有界的是

.①；②；③；④；⑤，其中.參考答案：①④⑤【解析】本題主要考查函數(shù)的性質(zhì).對于①,顯然存在對,使得恒成立,所以①是有界的;對于②,該函數(shù)為奇函數(shù),定義域為,當時,,故不存在,使得恒成立,所以②不是有界的;對于③,由于其值域為,故不存在,使得恒成立,所以③不是有界的;對于④,設(shè),則,故存在對,使得恒成立,所以④是有界的;對于⑤,其中,由于函數(shù)是閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù),故必存在,對,使得恒成立,所以⑤,其中是有界的,故答案為①④⑤.13.若函數(shù)f（x）=（k為常數(shù)）在定義域上為奇函數(shù)，則k的值為

．參考答案：±1【考點】函數(shù)奇偶性的性質(zhì)．【專題】計算題；壓軸題．【分析】由函數(shù)f（x）為在定義域上為奇函數(shù)，則必有f（﹣x）=﹣f（x），然后利用待定系數(shù)法求解．【解答】解：∵函數(shù)f（x）=∴f（﹣x）=﹣f（x）∴∴（k2﹣1）（2x）2=1﹣k2∴（k2﹣1）=0∴k=±1故答案為：±1．【點評】本題主要考查奇偶性的定義的應(yīng)用，要注意判斷和應(yīng)用的區(qū)別，判斷時一定要從兩個方面，一是定義域是否關(guān)于原點對稱，二是模型是否滿足．應(yīng)用時，已經(jīng)知道奇偶性了，則對于定義域中任一變量都滿足模型，做大題時用待定系數(shù)法求參數(shù)，做客觀題時可用特殊值求解．14.已知函數(shù)的反函數(shù)是，則

；

．參考答案：答案：解析：由互反函數(shù)點之間的對稱關(guān)系，取特殊點求解。在上取點，得點

在上，故得；又上有點，則點在

點評：本題主要考察反函數(shù)的概念及其對稱性的應(yīng)用。直接求反函數(shù)也可，較為簡單。易錯點：運算錯誤導(dǎo)致填寫其他錯誤答案。15.已知，，則__________．參考答案：【分析】根據(jù)三角函數(shù)的基本關(guān)系式求得，進而求得，即可求解，得到答案．【詳解】根據(jù)三角函數(shù)的基本關(guān)系式可得，又因為，所以，所以．【點睛】本題主要考查了三角函數(shù)的基本關(guān)系式的化簡、求值，其中解答中合理應(yīng)用三角函數(shù)的基本關(guān)系式，準確運算是解答的關(guān)鍵，著重考查了運算與求解能力，屬于基礎(chǔ)題．16.已知P是拋物線y2=4x上的動點，過P作拋物線準線的垂線，垂足為M、N是圓（x﹣2）2+（y﹣5）2=1上的動點，則|PM|+|PN|的最小值是

．參考答案：﹣1考點：拋物線的簡單性質(zhì)．專題：計算題；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程．分析：先根據(jù)拋物線方程求得焦點坐標，根據(jù)圓的方程求得圓心坐標，根據(jù)拋物線的定義可知P到準線的距離等于點P到焦點的距離，進而問題轉(zhuǎn)化為求點P到點Q的距離與點P到拋物線的焦點距離之和的最小值，根據(jù)圖象可知當P，Q，F(xiàn)三點共線時P到點Q的距離與點P到拋物線的焦點距離之和的最小，為圓心到焦點F的距離減去圓的半徑．解答： 解：拋物線y2=4x的焦點為F（1，0），圓（x﹣2）2+（y﹣5）2=1的圓心為Q（2，5），根據(jù)拋物線的定義可知點P到準線的距離等于點P到焦點的距離，進而推斷出當P，Q，F(xiàn)三點共線時P到點N的距離與點P到拋物線的焦點距離之和的最小為：﹣1=﹣1．故答案為：﹣1．點評：本題主要考查了拋物線的應(yīng)用．考查了學(xué)生轉(zhuǎn)化和化歸，數(shù)形結(jié)合等數(shù)學(xué)思想．17.某企業(yè)三月中旬生產(chǎn)，A、B、C三種產(chǎn)品共3000件，根據(jù)分層抽樣的結(jié)果；企業(yè)統(tǒng)計員制作了如下的統(tǒng)計表格：產(chǎn)品類別ABC產(chǎn)品數(shù)量（件）

1300

樣本容量（件）

130

由于不小心，表格中A、C產(chǎn)品的有關(guān)數(shù)據(jù)已被污染看不清楚，統(tǒng)計員記得A產(chǎn)品的樣本容量比C產(chǎn)品的樣本容量多10，根據(jù)以上信息，可得C的產(chǎn)品數(shù)量是

件。參考答案：800

略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.某商品每件成本9元，售價為30元，每星期賣出432件，如果降低價格，銷售量可以增加，且每星期多賣出的商品件數(shù)與商品單價的降低值（單位：元，）的平方成正比，已知商品單價每降低2元時，一星期多賣出24件。（1）請將一個星期的商品銷售利潤表示成的函數(shù)；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

（2）如何定價才能使一個星期的商品銷售利潤最大，最大值是多少？參考答案：解析：1）設(shè)商品降價元，則多賣的商品數(shù)為，若記商品在一個星期的獲利為，則依題意有，┈4分又由已知條件，，于是有，┈5分w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

所以．┈7分2）根據(jù)1），我們有．┈8分21200↘極小↗極大↘故時，達到極大值．因為，，┈11分所以定價為元能使一個星期的商品銷售利潤最大，最大值為11264元。14分19.已知函數(shù)，其中.（1）若直線為曲線在（0，f（0））處的切線方程，求a，并求f（x）的單調(diào)區(qū)間；（2）當時，恒成立，求a的取值范圍.參考答案：（1）單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為（-1，1）（2）【分析】（1）求導(dǎo)函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義及曲線y=f（x）在點（0，f（0））處切線方程建立方程，即可求得a的值；利用導(dǎo)數(shù)的正負，可得f（x）的單調(diào)區(qū)間.(2)只需最大值處即可.【詳解】（1）.，由題意可得，得.所以，令，得或，令，得，所以f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為（-1，1）（2）.由題意成立，故。又由(1)令得或.當時，，可得f（x）在，（1，2）上遞增，在上遞減，故只需即可.，解得，綜合可得號【點睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義,利用導(dǎo)數(shù)求單調(diào)區(qū)間,最值,難題.20.已知函數(shù)f（x）=ax，g（x）=lnx，其中a∈R，（e≈2.718）．（1）若函數(shù)F（x）=f（x）﹣g（x）有極值1，求a的值；（2）若函數(shù)G（x）=f（sin（x﹣1））﹣g（x）在區(qū)間（0，1）上為減函數(shù)，求a的取值范圍；（3）證明：．參考答案：考點：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值．專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用．分析：（1）F（x）=ax﹣lnx，（x＞0），，對a分類討論，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值即可得出；（2）解法1：由函數(shù)G（x）=f（sin（x﹣1））﹣g（x）=asin（x﹣1）﹣lnx在區(qū)間（0，1）上為減函數(shù)，可得在（0，1）上恒成立在（0，1）上恒成立，設(shè)，利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性極值與最值即可得出；解法2：由函數(shù)G（x）=f（sin（x﹣1））﹣g（x）=asin（x﹣1）﹣lnx在區(qū)間（0，1）上為減函數(shù)，可得對?x∈（0，1），（*）恒成立，由x∈（0，1），可得cos（x﹣1）＞0，對a分類討論：當a≤0時，（*）式顯然成立；當a＞0時，（*）式?在（0，1）上恒成立，設(shè)h（x）=xcos（x﹣1），利用其單調(diào)性即可得出．（3）證法1：由（2）知，當a=1時，G（x）=sin（x﹣1）﹣lnx＞G（1）=0，?sin（x﹣1）＞lnx．對任意的k∈N*有，可得，因此，利用對數(shù)的運算性質(zhì)、“累加求和”即可得出；證法2：利用導(dǎo)數(shù)先證明當時，sinx＜x，由于對任意的k∈N*，，而．可得，利用“累加求和”即可證明．解答： 解：（1）∵F（x）=ax﹣lnx，（x＞0）∴，①若a≤0，則對任意的x∈（0，+∞）都有F'（x）＜0，即函數(shù)F（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞減，函數(shù)F（x）在（0，+∞）上無極值；②若a＞0，由F'（x）=0得，當時，F(xiàn)'（x）＜0；當時，F(xiàn)'（x）＞0，即函數(shù)F（x）在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，∴函數(shù)F（x）在處有極小值，∴=，∴a=1．（2）解法1：∵函數(shù)G（x）=f（sin（x﹣1））﹣g（x）=asin（x﹣1）﹣lnx在區(qū)間（0，1）上為減函數(shù)，且當x∈（0，1）時，cos（x﹣1）＞0，∴在（0，1）上恒成立在（0，1）上恒成立，設(shè)，則，當x∈（0，1）時，sin（x﹣1）＜0，cos（x﹣1）＞0，∴H'（x）＜0在（0，1）上恒成立，即函數(shù)H（x）在（0，1）上單調(diào)遞減，∴當x∈（0，1）時，H（x）＞H（1）=1，∴a≤1．解法2：∵函數(shù)G（x）=f（sin（x﹣1））﹣g（x）=asin（x﹣1）﹣lnx在區(qū)間（0，1）上為減函數(shù)，∴對?x∈（0，1），（*）恒成立，∵x∈（0，1），∴cos（x﹣1）＞0，當a≤0時，（*）式顯然成立；當a＞0時，（*）式?在（0，1）上恒成立，設(shè)h（x）=xcos（x﹣1），易知h（x）在（0，1）上單調(diào)遞增，∴h（x）＜h（1）=1，∴?0＜a≤1，綜上得a∈（﹣∞，1]．（3）證法1：由（2）知，當a=1時，G（x）=sin（x﹣1）﹣lnx＞G（1）=0，?sin（x﹣1）＞lnx，∵對任意的k∈N*有，∴∴，∴=＜ln2，即．證法2：先證明當時，sinx＜x，令p（x）=sinx﹣x，則p'（x）=cosx﹣1＜0對任意的恒成立，∴函數(shù)p（x）在區(qū)間上單調(diào)遞減，∴當時，p（x）＜p（0）=0，∴sinx＜x，∵對任意的k∈N*，而．∴，∴．點評：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值與最值、利用函數(shù)的單調(diào)性證明不等式、“累加求和”，考查了恒成立問題的等價轉(zhuǎn)化方法，考查了分類討論的思想方法，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．21.已知橢圓：=l（a＞b＞0）的一個頂點坐標為B（0，1），若該橢圓的離心率等于．（1）求橢圓的方程．（2）Q是橢圓上位于x軸下方的一點，F(xiàn)1F2分別是橢圓的左、右焦點，直線QF1的傾斜角為，求△QF1F2的面積；（3）以B為直角頂點作橢圓的內(nèi)接等腰直角三角形ABC，判斷這樣的三角形存在嗎？若存在，有幾個？若不存在，請說明理由．參考答案：考點：直線與圓錐曲線的關(guān)系；橢圓的標準方程；橢圓的簡單性質(zhì)．專題：綜合題；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程．分析：（1）易知b=1，由離心率為，得，再由a2=b2+c2可求得a，于是得到橢圓方程；（2）易求直線QF1的方程，與橢圓方程聯(lián)立可求得點Q的坐標，由三角形面積公式得=，代入即可求得答案；（3）假設(shè)這樣的三角形存在，設(shè)AB的方程為y=kx+1（k＞0），則BC的方程為y=﹣x+1，分別于橢圓方程聯(lián)立可求得點A、C的橫坐標，由|AB|=|BC|得點A、C的橫坐標的方程，綜上可得關(guān)于k的方程，解出即可；解答：解：（1）依題意，b=1，因為離心率等于，所以，解