人教版八年級(jí)上學(xué)期壓軸題數(shù)學(xué)質(zhì)量檢測(cè)試卷附答案

人教版八年級(jí)上學(xué)期壓軸題數(shù)學(xué)質(zhì)量檢測(cè)試卷附答案1．已知：AD為△ABC的中線，分別以AB和AC為一邊在△ABC的外部作等腰三角形ABE和等腰三角形ACF，且AE＝AB，AF＝AC，連接EF，∠EAF+∠BAC＝180°．(1)如圖1，若∠ABE＝65°，∠ACF＝75°，求∠BAC的度數(shù)．(2)如圖1，求證：EF＝2AD．(3)如圖2，設(shè)EF交AB于點(diǎn)G，交AC于點(diǎn)R，F(xiàn)C與EB交于點(diǎn)M，若點(diǎn)G為EF中點(diǎn)，且∠BAE＝60°，請(qǐng)?zhí)骄俊螱AF和∠CAF的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．2．在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)是，點(diǎn)B的坐標(biāo)且a，b滿足．（1）求A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）如圖（1），點(diǎn)C為x軸負(fù)半軸一動(dòng)點(diǎn)，，于D，交y軸于點(diǎn)E，求證：平分．（3）如圖（2），點(diǎn)F為的中點(diǎn)，點(diǎn)G為x正半軸點(diǎn)右側(cè)的一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)F作的垂線，交y軸的負(fù)半軸于點(diǎn)H，那么當(dāng)點(diǎn)G的位置不斷變化時(shí)，的值是否發(fā)生變化?若變化，請(qǐng)說明理由；若不變化，請(qǐng)求出相應(yīng)結(jié)果．3．如圖，中，，．（1）如圖1，，，求證：；（2）如圖2，，，請(qǐng)直接用幾何語言寫出、的位置關(guān)系____________；（3）證明（2）中的結(jié)論．4．已知：，．(1)當(dāng)a，b滿足時(shí)，連接AB，如圖1．①求：的值．②點(diǎn)M為線段AB上的一點(diǎn)（點(diǎn)M不與A，B重合，其中BM＞AM），以點(diǎn)M為直角頂點(diǎn)，OM為腰作等腰直角△MON，連接BN，求證：．(2)當(dāng)，，連接AB，若點(diǎn)，過點(diǎn)D作于點(diǎn)E，點(diǎn)B與點(diǎn)C關(guān)于x軸對(duì)稱，點(diǎn)F是線段DE上的一點(diǎn)（點(diǎn)F不與點(diǎn)E，D重合）且滿足，連接AF，試判斷線段AC與AF之間的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．5．如圖1,在平面直角坐標(biāo)系中,,動(dòng)點(diǎn)從原點(diǎn)出發(fā)沿軸正方向以的速度運(yùn)動(dòng),動(dòng)點(diǎn)也同時(shí)從原點(diǎn)出發(fā)在軸上以的速度運(yùn)動(dòng),且滿足關(guān)系式,連接,設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為秒.(1)求的值;(2)當(dāng)為何值時(shí)，(3)如圖2,在第一象限存在點(diǎn),使,求.6．如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，直線AB與軸交于點(diǎn)A、與軸交于點(diǎn)B，且∠ABO＝45°，A（－6，0），直線BC與直線AB關(guān)于軸對(duì)稱.(1)求△ABC的面積；(2)如圖2，D為OA延長線上一動(dòng)點(diǎn)，以BD為直角邊，D為直角頂點(diǎn)，作等腰直角△BDE，求證：AB⊥AE；(3)如圖3，點(diǎn)E是軸正半軸上一點(diǎn)，且∠OAE＝30°，AF平分∠OAE，點(diǎn)M是射線AF上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)N是線段AO上一動(dòng)點(diǎn)，判斷是否存在這樣的點(diǎn)M，N，使OM＋NM的值最??？若存在，請(qǐng)寫出其最小值，并加以說明.7．[背景]角的平分線是常見的幾何模型，利用軸對(duì)稱構(gòu)造三角形全等可解決有關(guān)問題．[問題]在四邊形ABDE中，C是BD邊的中點(diǎn)．(1)如圖1，若AC平分∠BAE，∠ACE＝90°，則線段AE、AB、DE的長度滿足的數(shù)量關(guān)系為______；（直接寫出答案）(2)如圖2，AC平分∠BAE，EC平分∠AED，若∠ACE＝120°，則線段AB、BD、DE、AE的長度滿足怎樣的數(shù)量關(guān)系？寫出結(jié)論并證明；(3)如圖3，若∠ACE＝120°，AB＝4，DE＝9，BD＝12，則AE的最大值是______．（直接寫出答案）8．問題引入：(1)如圖1，在中，點(diǎn)O是和平分線的交點(diǎn)，若，則______（用表示）：如圖2，，，，則______（用表示）；拓展研究：(2)如圖3，，，，猜想度數(shù)（用表示），并說明理由；(3)BO、CO分別是的外角、的n等分線，它們交于點(diǎn)O，，，，請(qǐng)猜想______（直接寫出答案）．【參考答案】2．(1)∠BAC＝50°(2)見解析(3)∠GAF﹣∠CAF＝60°，理由見解析【分析】（1）利用三角形的內(nèi)角和定理求出∠EAB，∠CAF，再根據(jù)∠EAF+∠BAC＝180°構(gòu)建方程即可解解析：(1)∠BAC＝50°(2)見解析(3)∠GAF﹣∠CAF＝60°，理由見解析【分析】（1）利用三角形的內(nèi)角和定理求出∠EAB，∠CAF，再根據(jù)∠EAF+∠BAC＝180°構(gòu)建方程即可解決問題；（2）延長AD至H，使DH＝AD，連接BH，想辦法證明△ABH≌△EAF即可解決問題；（3）結(jié)論：∠GAF﹣∠CAF＝60°．想辦法證明△ACD≌△FAG，推出∠ACD＝∠FAG，再證明∠BCF＝150°即可．(1)解：∵AE＝AB，∴∠AEB＝∠ABE＝65°，∴∠EAB＝50°，∵AC＝AF，∴∠ACF＝∠AFC＝75°，∴∠CAF＝30°，∵∠EAF+∠BAC＝180°，∴∠EAB+2∠ABC+∠FAC＝180°，∴50°+2∠BAC+30°＝180°，∴∠BAC＝50°．(2)證明：證明：如圖，延長AD至點(diǎn)H，使DH=AD，連接BH∵AD是△ABC的中線，∴BD=DC，又∵DH=AD，∠BDH=∠ADC∴△ADC≌△HDB（SAS），∴BH=AC，∠BHD=∠DAC，∴BH=AF，∵∠BHD=∠DAC，∴BH∥AC，∴∠BAC+∠ABH=180°，又∵∠EAF+∠BAC=180°，

∴∠ABH=∠EAF，又∵AB=AE，BH=AF，∴△AEF≌△BAH（SAS），∴EF=AH=2AD，∴EF＝2AD；(3)結(jié)論：∠GAF﹣∠CAF＝60°．理由：由（2）得，AD＝EF，又點(diǎn)G為EF中點(diǎn)，∴EG＝AD，由（2）△AEF≌△BAH，∴∠AEG=∠BAD，在△EAG和△ABD中，，∴△EAG≌△ABD，∴∠EAG＝∠ABC＝60°，AG=BD，∴△AEB是等邊三角形，AG=CD，∴∠ABE＝60°，∴∠CBM＝60°，在△ACD和△FAG中，，∴△ACD≌△FAG，∴∠ACD＝∠FAG，∵AC＝AF，∴∠ACF＝∠AFC，在四邊形ABCF中，∠ABC+∠BCF+∠CFA+∠BAF＝360°，∴60°+2∠BCF＝360°，∴∠BCF＝150°，∴∠BCA+∠ACF＝150°，∴∠GAF+（180°﹣∠CAF）＝150°，∴∠GAF﹣∠CAF＝60°．【點(diǎn)睛】本題考查三角形綜合題、全等三角形的判定和性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題，屬于中考?jí)狠S題．3．（1），；（2）證明見解析；（3）不變化，．【分析】（1）由非負(fù)性可求a，b的值，即可求A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）過點(diǎn)O作于M，于N，根據(jù)全等三角形的判定和性質(zhì)解答即可；（3）由于點(diǎn)F是等解析：（1），；（2）證明見解析；（3）不變化，．【分析】（1）由非負(fù)性可求a，b的值，即可求A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）過點(diǎn)O作于M，于N，根據(jù)全等三角形的判定和性質(zhì)解答即可；（3）由于點(diǎn)F是等腰直角三角形AOB的斜邊的中點(diǎn)，所以連接OF，得出OF=BF．∠BFO=∠GFH，進(jìn)而得出∠OFH=∠BFG，利用等腰直角三角形和全等三角形的判定和性質(zhì)以及三角形面積公式解答即可．【詳解】解：（1）∵∴，∴，即．∴，．（2）如圖，過點(diǎn)O作于M，于N，根據(jù)題意可知．∵，∴，∴．∵，，∴OA＝OB＝6．在和中，，∴．∴，，．∴，∴，∴點(diǎn)O一定在∠CDB的角平分線上，即OD平分∠CDB．（3）如圖，連接OF，∵是等腰直角三角形且點(diǎn)F為AB的中點(diǎn)，∴，，OF平分∠AOB．∴．又∵，∴，∴．∵，∴．又∵，∴．在和中，∴．∴，∴．故不發(fā)生變化，且．【點(diǎn)睛】本題為三角形綜合題，考查非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，角平分線的判定，等腰直角三角形的性質(zhì)和判定、全等三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題，正確添加輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題，屬于中考?jí)狠S題．4．（1）見解析；（2）⊥；（3）見解析【分析】（1）根據(jù)垂直的定義可得∠ADC=∠E=90°，根據(jù)余角的性質(zhì)可得∠ACD=∠BAE，然后根據(jù)AAS即可證得結(jié)論；（2）由于要得出、的位置關(guān)系，結(jié)解析：（1）見解析；（2）⊥；（3）見解析【分析】（1）根據(jù)垂直的定義可得∠ADC=∠E=90°，根據(jù)余角的性質(zhì)可得∠ACD=∠BAE，然后根據(jù)AAS即可證得結(jié)論；（2）由于要得出、的位置關(guān)系，結(jié)合圖形可猜想：⊥；（3）如圖，作CP⊥AC于點(diǎn)C，延長FD交CP于點(diǎn)P，先證明△BAE≌△FCP，可得∠3=∠P，AB=CP，然后證明△ACD≌△PCD，可得∠4=∠P，進(jìn)一步即可推出∠4+∠2=90°，問題得證．【詳解】解：（1）證明：∵，，∴∠ADC=∠E=90°，∠DAC+∠ACD=90°，∵，∴∠DAC+∠BAE=90°，∴∠ACD=∠BAE，在△DAC和△EBA中，∵∠ADC=∠E，∠ACD=∠BAE，AC=AB，∴（AAS）；（2）結(jié)合圖形可得：⊥；故答案為：⊥；（3）證明：如圖，作CP⊥AC于點(diǎn)C，延長FD交CP于點(diǎn)P，∵AF=CE，∴AE=CF，∵，∴∠1=∠2，∵∠BAE=∠FCP=90°，∴△BAE≌△FCP，∴∠3=∠P，AB=CP，∵，，∴∠ABC=∠ACB=45°，∵∠PCP=90°，AB=CP，∴∠FCD=45°，AC=PC，∴∠ACB=∠PCD，∵CD=CD，∴△ACD≌△PCD，∴∠4=∠P，∵∠3=∠P，∴∠3=∠4，∵∠3+∠2=90°，∴∠4+∠2=90°，∴∠AGE=90°，即⊥．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰直角三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)，正確添加輔助線、熟練掌握全等三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．5．(1)10；證明見解析；(2)，，理由見解析；【分析】（1）①利用可求出，，即可求出；②作交AB與點(diǎn)C，交AB與點(diǎn)F，證明，再證明，利用，即可證明；（2）證明，得到，，再利用等量代換證明解析：(1)10；證明見解析；(2)，，理由見解析；【分析】（1）①利用可求出，，即可求出；②作交AB與點(diǎn)C，交AB與點(diǎn)F，證明，再證明，利用，即可證明；（2）證明，得到，，再利用等量代換證明；(1)解：①由圖可知，∵∴，即，∴，，∴；②作交AB與點(diǎn)C，交AB與點(diǎn)F，如圖，∵，，∴，在和中，∴，∴，，，∵，∴，∴，∴，即，∵，∴，∴，∵，∴，即，(2)解：，，理由如下：假設(shè)DE交BC于點(diǎn)G，有已知可知：，，，，∴，∵∴∵，且，∴，在和中，∴，∴，，∵，∴，∴，【點(diǎn)睛】本題考查三角形全等的判定，等量代換，絕對(duì)值非負(fù)性的應(yīng)用，直角坐標(biāo)系中的圖形，（1）的關(guān)鍵是證明，（2）的關(guān)鍵證明．6．（1）；（2）；（3）【分析】（1）把滿足的關(guān)系式轉(zhuǎn)化為非負(fù)數(shù)和的形式即可解答；（2）畫出圖形，動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)方向有兩種情況，分情況根據(jù)列方程解答即可；【詳解】解：（1）（解析：（1）；（2）；（3）【分析】（1）把滿足的關(guān)系式轉(zhuǎn)化為非負(fù)數(shù)和的形式即可解答；（2）畫出圖形，動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)方向有兩種情況，分情況根據(jù)列方程解答即可；【詳解】解：（1）（2）當(dāng)動(dòng)點(diǎn)沿軸正方向運(yùn)動(dòng)時(shí)，如解圖-2-1：

當(dāng)動(dòng)點(diǎn)沿軸負(fù)方向運(yùn)動(dòng)時(shí)，如解圖-2-2：（3）過作，連在與∴，在與中∴，，∴，，∴是等邊三角形，∴，又∵∴∵∴【點(diǎn)睛】本題是三角形綜合題，考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，添加恰當(dāng)輔助線構(gòu)造三角形是本題的關(guān)鍵．7．（1）36；（2）證明見解析；（3）3，理由見解析.【分析】(1)根據(jù)直線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)易得A,C的坐標(biāo)，從而得出AC=12，OB=6，根據(jù)三角形面積公式可求解；(2)過E作EF⊥x軸于點(diǎn)解析：（1）36；（2）證明見解析；（3）3，理由見解析.【分析】(1)根據(jù)直線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)易得A,C的坐標(biāo)，從而得出AC=12，OB=6，根據(jù)三角形面積公式可求解；(2)過E作EF⊥x軸于點(diǎn)F，延長EA交y軸于點(diǎn)H，證△DEF≌△BDO，得出EF＝OD＝AF，有，得出∠BAE＝90°.(3)由已知條件可在線段OA上任取一點(diǎn)N,再在AE作關(guān)于OF的對(duì)稱點(diǎn),當(dāng)點(diǎn)N運(yùn)動(dòng)時(shí)，最短為點(diǎn)O到直線AE的距離.再由，在直角三角形中,即可得解.【詳解】解：（1）由已知條件得：

AC=12，OB=6

∴（2）過E作EF⊥x軸于點(diǎn)F，延長EA交y軸于點(diǎn)H,∵△BDE是等腰直角三角形，∴DE=DB,∠BDE=90°,∴∵∴∴∵EF軸，∴∴DF=BO=AO,EF=OD∴AF=EF∴∴∠BAE＝90°（3）由已知條件可在線段OA上任取一點(diǎn)N,再在AE作關(guān)于OF的對(duì)稱點(diǎn),當(dāng)點(diǎn)N運(yùn)動(dòng)時(shí)，最短為點(diǎn)O到直線AE的距離,即點(diǎn)O到直線AE的垂線段的長，∵，OA=6，∴OM+ON=3【點(diǎn)睛】本題考查的知識(shí)點(diǎn)主要是直角三角形的性質(zhì)及應(yīng)用，軸對(duì)稱在最短路徑問題中的應(yīng)用，弄懂題意，作出合理的輔助線是解題的關(guān)鍵.8．(1)AE=AB+DE(2)AE=AB+DE+BD(3)【分析】（1）在AE上取一點(diǎn)F，使AF=AB，及可以得出△ACB≌△ACF，就可以得出BC=FC，∠ACB=∠ACF，就可以得出△解析：(1)AE=AB+DE(2)AE=AB+DE+BD(3)【分析】（1）在AE上取一點(diǎn)F，使AF=AB，及可以得出△ACB≌△ACF，就可以得出BC=FC，∠ACB=∠ACF，就可以得出△CEF≌△CED．就可以得出結(jié)論；（3）在AE上取點(diǎn)F，使AF=AB，連接CF，在AE上取點(diǎn)G，使EG=ED，連接CG．可以求得CF=CG，△CFG是等邊三角形，就有FG=CG=BD，進(jìn)而得出結(jié)論；（3）作B關(guān)于AC的對(duì)稱點(diǎn)F，D關(guān)于EC的對(duì)稱點(diǎn)G，連接AF，F(xiàn)C，CG，EG，F(xiàn)G．根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短解決問題即可．(1)AE=AB+DE；理由：在AE上取一點(diǎn)F，使AF=AB，∵AC平分∠BAE，∴∠BAC=∠FAC．在△ACB和△ACF中，AB＝∴△ACB≌△ACF（SAS），∴BC=FC，∠ACB=∠ACF．∵C是BD邊的中點(diǎn)．∴BC=CD，∴CF=CD．∵∠ACE=90°，∴∠ACB+∠DCE=90°，∠ACF+∠ECF=90°∴∠ECF=∠ECD．在△CEF和△CED中，，∴△CEF≌△CED（SAS），∴EF=ED．∵AE=AF+EF，∴AE=AB+DE，故答案為：AE=AB+DE；(2)猜想：AE=AB+DE+BD．證明：在AE上取點(diǎn)F，使AF=AB，連接CF，在AE上取點(diǎn)G，使EG=ED，連接CG．∵C是BD邊的中點(diǎn)，∴CB=CD=BD．∵AC平分∠BAE，∴∠BAC=∠FAC．在△ACB和△ACF中，AB＝∴△ACB≌△ACF（SAS），∴CF=CB，∴∠BCA=∠FCA．同理可證：CD=CG，∴∠DCE=∠GCE．∵CB=CD，∴CG=CF∵∠ACE=120°，∴∠BCA+∠DCE=180°-120°=60°．∴∠FCA+∠GCE=60°．∴∠FCG=60°．∴△FGC是等邊三角形．∴FG=FC=BD．∵AE=AF+EG+FG．∴AE=AB+DE