湖北省黃石市3年2020-2022年中考數(shù)學試卷真題分類匯編-03解答題

湖北省黃石市3年（2020-2022）中考數(shù)學試卷真題分類匯編-03

解答題

一.分式的化簡求值（共3小題）

2

1.（2022?黃石）先化簡，再求值：（1+/_）+§更9一,從-3,-1,2中選擇合適的

a+1a+1

〃的值代入求值.

12_iL

2.（2021?黃石）先化簡，再求值：（1-工）小三二L其中。=迎-1.

aa

2

3.（2020?黃石）先化簡，再求值：3+2爐.一上,其中x=5.

x2-lx-1

二元一次方程組的應(yīng)用（共2小題）

4.（2021?黃石）我國傳統(tǒng)數(shù)學名著《九章算術(shù)》記載：“今有雞兔同籠，上有三十五頭，下

有九十四足，問雞兔各幾何？”譯文：有若干只雞與兔在同一個籠子里，從上面數(shù)有35

個頭，從下面數(shù)有94只腳，問籠中各有幾只雞和兔？根據(jù)以上譯文，回答以下問題：

（1）籠中雞、兔各有多少只？

（2）若還是94只腳，但不知道頭多少個，籠中雞兔至少30只且不超過40只.雞每只

值80元，兔每只值60元，問這籠雞兔最多值多少元？最少值多少元？

5.（2020?黃石）我國傳統(tǒng)數(shù)學名著《九章算術(shù)》記載：“今有牛五、羊二，直金十九兩；牛

二、羊五，直金十六兩.問牛、羊各直金幾何？”譯文：“假設(shè)有5頭牛、2只羊，值19

兩銀子；2頭牛、5只羊，值16兩銀子.問每頭牛、每只羊分別值銀子多少兩？”根據(jù)

以上譯文，提出以下兩個問題：

（1）求每頭牛、每只羊各值多少兩銀子？

（2）若某商人準備用19兩銀子買牛和羊（要求既有牛也有羊，且銀兩須全部用完），請

問商人有幾種購買方法？列出所有的可能.

三.根與系數(shù)的關(guān)系（共3小題）

6.（2022?黃石）閱讀材料，解答問題：

材料1

為了解方程（/）2-137+36=0,如果我們把/看作一個整體，然后設(shè)y=/,則原方

程可化為丁-13尹36=0,經(jīng)過運算，原方程的解為也2=±2,冷4=±3.我們把以上

這種解決問題的方法通常叫做換元法.

材料2

已知實數(shù)膽，"滿足，"2-機-]=0,"2_〃_]=0,且膽彳〃，顯然機，”是方程f-X-l

=0的兩個不相等的實數(shù)根，由韋達定理可知m+〃=l,，〃〃=-1.

根據(jù)上述材料，解決以下問題：

(1)直接應(yīng)用：

方程x4-57+6=0的解為；

(2)間接應(yīng)用：

已知實數(shù)4,b滿足：2a4-7/+1=0,2乂-7■+1=0且。#6,求。4+/的值；

(3)拓展應(yīng)用：

已知實數(shù)尤，y滿足：-+^-=7,"2_”=7且〃>0,求二二一+〃2的值.

14nm2m4

7.(2021?黃石)已知關(guān)于x的一元二次方程7+2，內(nèi)+，〃2+加=0有實數(shù)根.

(1)求，"的取值范圍；

(2)若該方程的兩個實數(shù)根分別為M、在，且X/+X22=12,求加的值.

8.(2020?黃石)已知：關(guān)于x的一元二次方程/+Q-2=0有兩個實數(shù)根.

(1)求〃?的取值范圍；

(2)設(shè)方程的兩根為為、物且滿足(加-％2)2-17=0,求，〃的值.

四.反比例函數(shù)綜合題(共1小題)

9.(2020?黃石)如圖，反比例函數(shù)y=KJW0)的圖象與正比例函數(shù)y=2r的圖象相交于

x

A(1,“)、8兩點，點C在第四象限，81?〃》輒

(1)求”的值；

(2)以48、8c為邊作菱形A8CD,求。點坐標.

五.二次函數(shù)的應(yīng)用(共1小題)

10.（2022?黃石）某校為配合疫情防控需要，每星期組織學生進行核酸抽樣檢測；防疫部門

為了解學生錯峰進入操場進行核酸檢測情況,調(diào)查了某天上午學生進入操場的累計人數(shù)y

（單位：人）與時間x（單位：分鐘）的變化情況，發(fā)現(xiàn)其變化規(guī)律符合函數(shù)關(guān)系式：y

2

ax+bX+c(0<x<8)(數(shù)據(jù)如表

640,(8<x<10)

時間x（分鐘）0123???88<xW10

累計人數(shù)y0150280390???640640

（人）

（1）求a,b,c的值；

（2）如果學生一進入操場就開始排隊進行核酸檢測，檢測點有4個，每個檢測點每分鐘

檢測5人，求排隊人數(shù)的最大值（排隊人數(shù)=累計人數(shù)-已檢測人數(shù)）；

（3）在（2）的條件下，全部學生都完成核酸檢測需要多少時間？如果要在不超過20分

鐘讓全部學生完成核酸檢測，從一開始就應(yīng)該至少增加幾個檢測點？

六.二次函數(shù)綜合題（共3小題）

11.（2022?黃石）如圖，拋物線y=-&2+&+4與坐標軸分別交于A,B,C三點，P是第

33

一象限內(nèi)拋物線上的一點且橫坐標為m.

（DA,B,C三點的坐標為,,.

（2）連接AP,交線段于點。，

①當CP與x軸平行時，求&的值；

DA

②當CP與x軸不平行時，求電的最大值；

DA

（3）連接CP,是否存在點P,使得/BCO+2/PCB=90°,若存在，求，"的值，若不

存在，請說明理由.

12.(2021?黃石)拋物線-2Zw+6(aWO)與y軸相交于點C(0,-3),且拋物線的

對稱軸為x=3,。為對稱軸與x軸的交點.

(1)求拋物線的解析式；

(2)在x軸上方且平行于x軸的直線與拋物線從左到右依次交于E、F兩點，若乙DEF

是等腰直角三角形，求的面積：

(3)若P(3,是對稱軸上一定點，。是拋物線上的動點，求PQ的最小值(用含t

的代數(shù)式表示).

13.(2020?黃石)在平面直角坐標系中，拋物線y=2k的頂點為N.

(1)若此拋物線過點A(-3,1),求拋物線的解析式；

(2)在(1)的條件下，若拋物線與y軸交于點B,連接AB,C為拋物線上一點，且位

于線段AB的上方，過C作CO垂直x軸于點。，CD交AB于點E,若CE=ED,求點C

坐標；

(3)已知點M(2-生巨，0),且無論々取何值，拋物線都經(jīng)過定點H,當NMHN=60°

3

時，求拋物線的解析式.

MOx

備■用圖

七.全等三角形的判定與性質(zhì)(共3小題)

14.(2022?黃石)如圖，在△ABC和△AOE中，AB^AC,AD=AE,NBAC=/￡>AE=90°,

且點。在線段8c上，連CE.

(1)求證：△ABO絲ZiACE；

(2)若NE4C=60°,求NCE￡>的度數(shù).

15.(2021?黃石)如圖，。是△ABC的邊上一點，CF//AB,DF交AC于E點,DE=

EF.

(1)求證：△ADE9XCFE；

(2)若A8=5,CF=4,求BO的長.

16.(2020?黃石)如圖，AB=AE,AB//DE,NDAB=70°,ZE=40°.

(1)求ND4E的度數(shù)；

(2)若NB=30°,求證：AD^BC.

D

C.

八.圓的綜合題(共3小題)

17.(2022?黃石)如圖CD是。0直徑，A是。0上異于C,。的一點，點8是。C延長線

上一點，連AB、AC、AD,且

(1)求證：直線A8是。。的切線；

(2)若8c=2OC,求tan/AOB的值；

(3)在(2)的條件下，作/C4O的平分線AP交。。于P,交CD于E,連PC、PD,

若AB=2在,求AE\4P的值.

18.(2021?黃石)如圖，PA.P8是。。的切線，4、8是切點，AC是。0的直徑，連接0P,

交。。于點。，交A8于點E.

(1)求證：BC//OP-,

(2)若E恰好是0。的中點，且四邊形OAPB的面積是16M，求陰影部分的面積；

(3)若sin/BAC=_l,且49=2如，求切線用的長.

3

19.(2020?黃石)如圖，在RtZ\ABC中，ZC=90°,AO平分N8AC交8c于點O,。為

A8上一點，經(jīng)過點A、。的。0分別交AB、AC于點E、F.

(1)求證：8c是。。的切線；

(2)若BE=8,sinB=-",求。。的半徑；

13

(3)求證：AD2=AB,AF.

九.解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問題（共1小題）

20.（2020?黃石）如圖，是某小區(qū)的甲、乙兩棟住宅樓，小麗站在甲棟樓房A3的樓頂，測

量對面的乙棟樓房CD的高度.己知甲棟樓房AB與乙棟樓房CD的水平距離AC=18j§

米，小麗在甲棟樓房頂部8點，測得乙棟樓房頂部。點的仰角是30°,底部C點的俯角

是45°,求乙棟樓房CD的高度（結(jié)果保留根號）.

D

呂5

呂

□0

呂□

呂□

□

口□

一十.列表法與樹狀圖法（共3小題）

21.（2022?黃石）某中學為了解學生每學期“誦讀經(jīng)典”的情況，在全校范圍內(nèi)隨機抽查了

部分學生上一學期閱讀量，學校將閱讀量分成優(yōu)秀、良好、較好、一般四個等級，繪制

如下統(tǒng)計表：

等級一般較好良好優(yōu)秀

閱讀量/本3456

頻數(shù)12a144

頻率0.240.40bC

請根據(jù)統(tǒng)計表中提供的信息，解答下列問題：

（1）本次調(diào)查一共隨機抽取了名學生；表中，b=

（2）求所抽查學生閱讀量的眾數(shù)和平均數(shù)；

（3）樣本數(shù)據(jù)中優(yōu)秀等級學生有4人，其中僅有1名男生.現(xiàn)從中任選派2名學生去參

加讀書分享會，請用樹狀圖法或列表法求所選2名同學中有男生的概率.

22.（2021?黃石）黃石是國家歷史文化名城，素有“青銅故里、礦冶之都”的盛名.區(qū)域內(nèi)

礦冶文化旅游點有：A.銅綠山古銅礦遺址，B.黃石國家礦山公園，C.湖北水泥遺址

博物館，D黃石園博園、礦博園.我市八年級某班計劃暑假期間到以上四個地方開展研

學旅游，學生分成四個小組，根據(jù)報名情況繪制了兩幅不完整的統(tǒng)計圖.

請根據(jù)圖中信息，解答下列問題：

（1）全班報名參加研學旅游活動的學生共有人,扇形統(tǒng)計圖中A部分所對應(yīng)的

扇形圓心角是：

（2）補全條形統(tǒng)計圖；

（3）該班語文、數(shù)學兩位學科老師也報名參加了本次研學旅游活動，他們隨機加入A、

B兩個小組中，求兩位老師在同一個小組的概率.

23.（2020?黃石）我市將面向全市中小學開展“經(jīng)典誦讀”比賽.某中學要從2名男生2

名女生共4名學生中選派2名學生參賽.

（1）請列舉所有可能出現(xiàn)的選派結(jié)果；

（2）求選派的2名學生中，恰好為1名男生1名女生的概率.

湖北省黃石市3年（2020-2022）中考數(shù)學試卷真題分類匯編-03

解答題

參考答案與試題解析

一.分式的化簡求值（共3小題）

2

1.（2022?黃石）先化簡，再求值：（1+_2_）+a+6a+9,從-3,-1,2中選擇合適的

a+1a+1

。的值代入求值.

2

【解答】解：原式=三3■+—+3）

a+1a+1

=a+3.a+1

a+1（a+3）2

=1:

a+3

由分式有意義的條件可知：a不能取-1,-3,

故67=2,

原式=1

2^3

=2

?'

2.（2021?黃石）先化簡，再求值：（1-工）+三二1其中〃=我-1.

aa

121

【解答】解：（1-」）小三二L

aa

_a-l______a______

a（a+1）（a-l）

=1

M，

當a=V3-1時，原式=廠1----=亞_.

V3-1+13

2

3.（2020?黃石）先化簡，再求值：三二紅工-上，其中x=5.

(X+1)2

【解答】解:原式=

(x+1)(x-1)X-1

=x+1.X

X-1X-1

=1

X-1

當x=5時，原式=_1.

4

二.二元一次方程組的應(yīng)用（共2小題）

4.（2021?黃石）我國傳統(tǒng)數(shù)學名著《九章算術(shù)》記載：“今有雞兔同籠，上有三十五頭，下

有九十四足，問雞兔各幾何？”譯文：有若干只雞與兔在同一個籠子里，從上面數(shù)有35

個頭，從下面數(shù)有94只腳，問籠中各有幾只雞和兔？根據(jù)以上譯文，回答以下問題:

（1）籠中雞、兔各有多少只？

（2）若還是94只腳，但不知道頭多少個，籠中雞兔至少30只且不超過40只.雞每只

值80元，兔每只值60元，問這籠雞兔最多值多少元？最少值多少元?

【解答】解：（1）設(shè)籠中雞有x只，兔有y只,

x+y=35

依題意得:

2x+4y=94

x=23

解得:

7=12

答：籠中雞有23只，兔有12只.

（2）設(shè)籠中雞有〃?只，則兔有典Z型只,

4

94-2m

>30

依題意得：

94-2m

<40

解得：13W，〃W33.

設(shè)這籠雞兔共值W元，則w=80w+60X94-2m=50ffl+1410.

4

V50>0,

隨m的增大而增大，

.?.當〃?=13時，w取得最小值，最小值=50X13+1410=2060；

當機=33時，卬取得最大值，最大值=50X33+1410=3060.

答：這籠雞兔最多值3060元，最少值2060元.

5.（2020?黃石）我國傳統(tǒng)數(shù)學名著《九章算術(shù)》記載：“今有牛五、羊二，直金十九兩；牛

二、羊五，直金十六兩.問牛、羊各直金幾何？”譯文：“假設(shè)有5頭牛、2只羊，值19

兩銀子；2頭牛、5只羊，值16兩銀子.問每頭牛、每只羊分別值銀子多少兩？”根據(jù)

以上譯文，提出以下兩個問題：

（1）求每頭牛、每只羊各值多少兩銀子？

（2）若某商人準備用19兩銀子買牛和羊（要求既有牛也有羊，且銀兩須全部用完），請

問商人有幾種購買方法？列出所有的可能.

【解答】解：（1）設(shè)每頭牛值x兩銀子，每只羊值y兩銀子，

根據(jù)題意得：（5x+2y=19,

（2x+5y=16

解得：［x=3.

Iy=2

答：每頭牛值3兩銀子，每只羊值2兩銀子.

（2）設(shè)購買a頭牛，b只羊，依題意有

3。+2匕=19,

fe=19-3a,

2

:a,b都是正整數(shù)，

二①購買1頭牛，8只羊；

②購買3頭牛，5只羊；

③購買5頭牛，2只羊.

三.根與系數(shù)的關(guān)系（共3小題）

6.（2022?黃石）閱讀材料，解答問題：

材料1

為了解方程（/）2-137+36=0,如果我們把/看作一個整體，然后設(shè)y=/,則原方

程可化為13尹36=0,經(jīng)過運算，原方程的解為xi.2=土2,肛4=土3.我們把以上

這種解決問題的方法通常叫做換元法.

材料2

已知實數(shù)陰，〃滿足-1=0,且,顯然皿，”是方程--X-1

=0的兩個不相等的實數(shù)根，由韋達定理可知機+〃=1,如1=-1.

根據(jù)上述材料，解決以下問題：

（1）直接應(yīng)用：

方程/-5/+6=0的解為XI=后,X2=-亞,X3=E，X4=-E_；

（2）間接應(yīng)用：

已知實數(shù)m6滿足:2〃4-742+1=0,2廬-7廿+1=0且aWb,求―+乂的值;

（3）拓展應(yīng)用：

已知實數(shù)x,y滿足：」-+」^=7,九2-〃=7且〃>0,求」_+〃2的值.

424

1nmm

【解答】解：(1)令y=f,則有y2-5>'+6=0,

(y-2)(y-3)=0,

；.yi=2,"=3,

；./=2或3,

:.X\=?,X2=-近，X3=M，X4=-5/3；

故答案為：XI=&,X2=-&，X3=J§，X4=-V3；

(2)?；arb,

.，.Jw序或J=/,

當//序時，令q2=〃3匕2=".

：.m^n,則2層-7%+l=0,2n2-7n+l=0,

：.m,n是方程2/-7x+l=0的兩個不相等的實數(shù)根，

(7

m4n=-2

；?《，

1

m=7

此時^4+/?4=m2+n2=(〃z+〃)2-2加〃=生■.

4

②當a2=b2(a=-b)時，a2=b2=--,此時^4+/?4=26z4=2(?2)2=.步土”41,

_44

綜上所述，/+方4=至或451

44

⑶令-n=b,則/+。-7=0,廿+0-7=0,

2

m

Vn>0,

即。W。，

2

m

???〃，力是方程7+X-7=0的兩個不相等的實數(shù)根，

.(a+b=-l

1ab=_7

故一i-+M=〃2+/=(a+h)2-2ah=l5.

4

m

7.(2021?黃石)已知關(guān)于x的一元二次方程，^^+川+“=。有實數(shù)根.

(1)求加的取值范圍；

（2）若該方程的兩個實數(shù)根分別為XI、X2,且加2+垃2=12,求加的值.

【解答】解：（1）根據(jù)題意得△=（2A??）~-4（irr+m）20,

解得mW0.

故〃z的取值范圍是“WO；

（2）根據(jù)題意得工］+12=-2/%,x\xi=^+m,

VXI24-X22=（X1+X2）2-2XI#X2=12,

:.（-2m）2-2（扇+M=12,即ni2-m-6=0,

解得，〃l=-2,1712=3（舍去）.

故機的值為-2.

8.（2020?黃石）已知：關(guān)于x的一元二次方程7+Q-2=0有兩個實數(shù)根.

（1）求，"的取值范圍；

（2）設(shè)方程的兩根為劉、物且滿足（X1-X2）2-17=0,求巾的值.

【解答】解：（1）?.?關(guān)于x的一元二次方程/+Q-2=0有兩個實數(shù)根，

△=（在）2-4XlX（-2）=機+820,且相》0,

解得：-20.

（2）..?關(guān)于天的一元二次方程/-2=0有兩個實數(shù)根工|、12，

.\x\+x2=-Vm，x\9x2=-2,

:.（XI-JC2）2-17=（X1+X2）2-4X1*2-17=0,即m+8-17=0,

解得：加=9.

四.反比例函數(shù)綜合題（共1小題）

9.（2020?黃石）如圖，反比例函數(shù)y=K*WO）的圖象與正比例函數(shù)y=2x的圖象相交于

x

A（I,a）、8兩點，點C在第四象限，BC〃x軸.

（I）求］的值;

（2）以A3、3c為邊作菱形A8CZ）,求。點坐標.

【解答】解：(1)?.?點A(1,a)在直線y=2x上，

.,.67=2X1=2,

即點A的坐標為(1,2),

;點A(1,2)是反比例函數(shù)y=K(AWO)的圖象與正比例函數(shù)y=2r圖象的交點，

x

"=1X2=2,

即」的值是2；

(2)由題意得：—=2x,

x

解得：X=1或-1,

經(jīng)檢驗X=1或-1是原方程的解，

：.B(-1,-2),

?.?點A(1,2),

AB=V(1+1)2+(2+2)2=2遙，

,菱形ABCD是以AB、BC為邊,且8C〃x軸，

，AZ)=A8=2遙，

：.D(1+2遙，2).

五.二次函數(shù)的應(yīng)用(共1小題)

10.(2022?黃石)某校為配合疫情防控需要，每星期組織學生進行核酸抽樣檢測；防疫部門

為了解學生錯峰進入操場進行核酸檢測情況，調(diào)查了某天上午學生進入操場的累計人數(shù)y

(單位：人)與時間x(單位：分鐘)的變化情況，發(fā)現(xiàn)其變化規(guī)律符合函數(shù)關(guān)系式：y

=<ax2+bx+c(O<x<8),數(shù)據(jù)如表.

,640,(8<x<10)

時間x(分鐘)0123…88<xW10

累計人數(shù)y0150280390???640640

(人)

(1)求a,b,c的值；

(2)如果學生一進入操場就開始排隊進行核酸檢測，檢測點有4個，每個檢測點每分鐘

檢測5人，求排隊人數(shù)的最大值(排隊人數(shù)=累計人數(shù)-已檢測人數(shù))；

(3)在(2)的條件下，全部學生都完成核酸檢測需要多少時間？如果要在不超過20分

鐘讓全部學生完成核酸檢測，從一開始就應(yīng)該至少增加幾個檢測點？

c=0

【解答】解：(1)由題意，,a+b=150，

4a+2b=280

'a=-10

解得，,b=160；

c=0

(2)設(shè)第x分鐘時的排隊人數(shù)為W,

根據(jù)題意得：W=y-20x,

?f-10x2-140x(04x<8)

640-20x(x>8)

當0WxW8時，

W=-10/+140x=-10(x-7)2+490,

...當x=7時，W及大=490,

當x>8時，W=640-20x,

■:k=-20<0,

隨x的增大而減小，

W<480,

故排隊人數(shù)最多時有490人；

(3)要全部學生都完成體溫檢測，根據(jù)題意得：640-20x=0,

解得：x=32,

所以全部學生都完成體溫檢測要32分鐘；

開始就應(yīng)該至少增加m個檢測點，根據(jù)題意得：

5X20(m+4)2640,

解得：機22.4,

?.?m為整數(shù)，

答：從一開始就應(yīng)該至少增加3個檢測點.

六.二次函數(shù)綜合題(共3小題)

11.(2022?黃石)如圖，拋物線y=與坐標軸分別交于A,B,C三點，P是第

33

一象限內(nèi)拋物線上的一點且橫坐標為m.

(DA,B,C三點的坐標為(-2,0),(3,0),(0,4).

(2)連接AP,交線段8c于點D,

①當CP與x軸平行時，求圓的值；

DA

②當CP與x軸不平行時，求電的最大值；

DA

(3)連接CP,是否存在點P,使得NBCO+2NPCB=90°,若存在，求相的值，若不

存在，請說明理由.

【解答】解：(1)令x=0,則y=4,

：.C(0,4)；

令y=0,則-2/+2X+4=0,

-33

/.x=-2或x=3,

???A(-2,0),B(3,0).

故答案為：(-2,0)；(3,0)；(0,4).

(2)①YC尸〃x軸，C(0,4),

：.P(1,4),

CP=1,AB=5,

；CP〃x軸,

PD=CP=1

DAAB?

直線BC的解析式為：y=-Ar+4.

3

設(shè)點P的橫坐標為m,

則P(機，-Z〃2+2〃?+4),Q(-Xrn,-當p+Z"+4).

332233

,,.PQ=m-(—m1-—m~)=-L/+S",

2222

\'PQ//AB,

:.PD=PQ=~fm*m=」3)2+_9_,

DAAB510240

.?.當機=旦時，F(xiàn)D的最大值為_L.

2DA40

另解：分別過點P,A作y軸的平行線，交直線BC于兩點，仿照以上解法即可求解.

(3)假設(shè)存在點P使得/8CO+2/8CP=90°,即O<%<3.

過點C作C/〃x軸交拋物線于點F,

NMCF=NBCP,

延長C尸交無軸于點M,

：CF〃x軸，

NPCF=/BMC,

：.NBCP=ABMC,

...△CBM為等腰三角形，

,:BC=5,

：.BM=5,0M=8,

：.M(8,0),

直線CM的解析式為：y=-1+4,

2

令-27+2X+4=--Xr+4,

332

解得x=_L或x=0(舍)，

4

存在點尸滿足題意，此時機=工.

4

12.(2021?黃石)拋物線y=a/-2bx+萬QW0)與y軸相交于點C(0,-3),且拋物線的

對稱軸為x=3,。為對稱軸與x軸的交點.

(1)求拋物線的解析式；

(2)在x軸上方且平行于x軸的直線與拋物線從左到右依次交于E、F兩點，若4DEF

是等腰直角三角形，求△￡>￡尸的面積；

(3)若P(3,f)是對稱軸上一定點，Q是拋物線上的動點，求PQ的最小值(用含t

的代數(shù)式表示).

故拋物線的表達式為y=-?+6x-3；

(2)：△￡>￡：/是等腰直角三角形，

故。E=￡>F且/￡?尸=90°,

故設(shè)EF和x軸之間的距離為m,則EF=2m,

故點F(3+m,tn),

則△￡>￡/的面積/加=工x2m?，"=，”2,

22

將點F的坐標代入拋物線表達式得：相=-(加+3)2+6(〃?+3)-3,

解得"7=-3(舍去)或2,

則的面積=m2=生

(3)，?，=-/+6x-3=-(x-3)2+6,

???拋物線y=-/+6x-3的頂點為(3,6).

設(shè)點。的坐標為(p,q)(qW6),

???點。在拋物線y=-?+6x-3上，

:.q=-p2+6p-3

則Pg2=(p-3)2+(q_t)2=p2-6〃+9+/-2tq+F,

將q=-p2+6p-3代入上式得：

PQ2=g2_(2什1)g+p+6.

??,二次項系數(shù)為l>0,

???尸。2有最小值，

當r>JA時，4工+.L>6,

22

...q=6時，PQ2最小，即p。最小.

W36-12「6+?+6=?-⑵+36=(f-6)2,

t-6(t>6)

；.PQ=|L6產(chǎn)，

6-t(當<t<6)

當rW旦時，空LW6,

22

.?W=絲蟲時，P02最小，即PQ最小.

2

;.PQ2=23-4t,

4

：.PQ的最小值為絲也.

2

't-6(t>6)

6-t(f<t<6)

綜上所述PQ的最小值=

、

V23-4t,(t/《1彳1)

13.(2020?黃石)在平面直角坐標系中，拋物線y=-f+fcv-2%的頂點為N.

(1)若此拋物線過點4(-3,1),求拋物線的解析式;

(2)在(1)的條件下，若拋物線與y軸交于點B,連接4B,C為拋物線上一點，且位

于線段AB的上方，過C作CO垂直x軸于點￡>,CD交AB于點E,若CE=ED,求點C

坐標；

(3)已知點“(2-生巨，0),且無論k取何值，拋物線都經(jīng)過定點H,當NMHN=60°

3

時，求拋物線的解析式.

備用圖

【解答】解：(1)把4(-3.1)代入y=-2+kx-2k,

得-9-3A-2k=1.

解得k=-2,

二拋物線的解析式為y=-/-2x+4；

.2

(2)如圖1,設(shè)C(3-於-2f+4),貝ijEG,-r+2),

2

設(shè)直線A8的解析式為y=Ax+6,把4(-3,1),(0,4)代入得到，

「3k+b=l,

Ib=4

解得。=1,

Ib=4

直線AB的解析式為y=x+4,

+2

V￡(r,-f+2)在直線A8上，

2

2

-t--t+2=t+4,

2

解得t\—t2—-2,

：.C(-2,4).

(3)由y=-f+fcr-2%=左(x-2)-x2,

當x-2=0時，x—2,y--4,

,無論k取何值，拋物線都經(jīng)過定點“(2,-4),

二次函數(shù)的頂點N(K,/-2上)，

24

①如圖2中，過點”作軸于/,分別過“，N作y軸，x軸的垂線交于點G,若區(qū)〉

2

2時，則上＞4,

'：M(2-0),H(2,-4),

3

HI=4,

3

4―

：.tanZMHI=—^—=近，

43

AZMH1=30°,

■:NMHN=60°,

：.ZNHI=30°,

即NGN，=30°,

y-2

由圖可知，tanZGNH=^L=—z-------

GNk2,3

~：--2nik+4

4

解得k=4+2我或4（不合題意舍棄）.

②如圖3中，過點”作軸于/,分別過H,N作y軸,x軸的垂線交于點G.

圖3

若K<2,則上<4,

2

同理可得，/MH/=30°,

?；NMHN=60°,

:.NHLHL

i2

即--2人=-4,

4

解得％=4（不符合題意舍棄）.

③若區(qū)=2,則N,〃重合，不符合題意舍棄，

2

綜上所述，拋物線的解析式為y=-/+（4+2百）x-（8+473）.

y

圖i

七.全等三角形的判定與性質(zhì)（共3小題）

14.(2022?黃石)如圖，在△ABC和中，AB=AC,AZ)=AE,NBAC=/￡>AE=90°，

且點。在線段8C上，連CE.

（1）求證：△AB。g△ACE；

(2)若NE4C=60°,求NCEZ)的度數(shù).

【解答】（1）證明：??,/B4C=/D4E=90°,

ABAC-/C4￡>=NDAE-ACAD,即/BAD=ZCAE,

在△AB。和△ACE中，

'AB=AC

<ZBAD=ZCAE>

AD=AE

.".AABD^AACE(SAS)；

(2)解：VAABD^AACE,

/ACE=4ABD,

：△ABC和△ADE都是等腰直角三角形,

.?./ACE=/A8O=/AE￡)=45°,

VZ￡>4C=60°，

：.ZAEC=1800-AACE-ZEAC=180°-45°-60°=75°，

；.NCED=NAEC-NAED=75°-45°=30°.

15.（2021?黃石）如圖，。是△ABC的邊AB上一點，C尸〃AB,。尸交AC于E點，DE=

EF.

(1)求證：△ADE絲△CFE；

(2)若AB=5,CF=4,求80的長.

:.NADF=NF,NA=NECF.

在△4￡>E和△CFE中，

，ZA=ZECF

<NADE=NF，

DE=FE

：./\ADE^ACFE(AAS).

(2)VAADE^ACFE,

：.AD=CF=4.

：.BD^AB-AD=5-4=1.

16.(2020?黃石)如圖，AB=AE,AB//DE,ZDAB=10°,ZE=40°.

(1)求ND4E的度數(shù)；

(2)若NB=30。，求證：AD=BC.

【解答］解(1),：AB//DE,ZE=40°,

：.ZEAB=ZE=40°,

:NDAB=10°,

.../D4E=30°；

(2)證明：在△AOE與△BC4中，

，ZB=ZDAE

■AB=AE，

ZBAC=ZE

絲△BC4(ASA),

：.AD=BC.

八.圓的綜合題(共3小題)

17.(2022?黃石)如圖CQ是。0直徑，A是。。上異于C,。的一點，點8是。C延長線

上一點，連A3、AC.AD,JgLZBAC=ZADB.

(1)求證：直線AB是。0的切線；

(2)若BC=2OC,求tan/AOB的值；

(3)在(2)的條件下，作NCA。的平分線AP交。。于P,交CQ于E,連PC、PD,

若AB=2娓,求的值.

???co是。。的直徑，

.".ZCAD=90°,

：.ZOAC+ZOAD=90a,

又,.Q=0￡>,

：.Z0AD=Z0DA,

又；NBAC=ZADB,

...NBAC+NOAC=90°,

即NBAO=90°,

：.ABLOA,

又???OA為半徑，

直線AB是OO的切線；

(2)解：'：ZBAC^ZADB,NB=NB,

???-A--C-二BC,

ADAB

設(shè)半徑OC=OA=r,

?；BC=2OC,

：.BC=2r,OB=3r,

在RtZ\BAO中，

48=加2_0A2=V(3r)2-r2=2\^r,

在Rt^CAO中，

tanZADC=^=^==^-,

ADBA272r2

；/BAC=NADB,

tanZBAC=tanZADC=2/^.；

2

(3)解：在(2)的條件下，AB=2\^r=2娓,

r=\[3>

：.CD=2-j3,

在RtACAD中，

AC2+AD2=CD2,

AD2

解得AC=2,AD=2&,

：AP平分NCA。，

：.ZCAP=ZEAD,

又,:ZAPC=ZADE,

J.^CAP^EAD,

???ACAP,

AEAD

：.AE-AP=AC'AD=2X2&=4&-

18.（2021?黃石）如圖，PA,PB是OO的切線，A、B是切點，AC是OO的直徑，連接OP,

交。。于點。，交AB于點E.

(1)求證：BC//OP-,

(2)若E恰好是。。的中點，且四邊形OAPB的面積是16?,求陰影部分的面積;

(3)若sinNBAC=2，且49=2百，求切線用的長.

3

【解答】(1)證明：P8是。。的切線,

J.PA=PB,

"：OA=OB,

：.OPA.AB,

是直徑，

AZABC=90Q,

：.BCLAB,

C.BC//OP.

(2)解：\'OE=DE,AB±OD,

：.AO=AD,

"：OA=OD,

：.AD=OA=OD,

.?.△AO。是等邊三角形，

AZAOD=60",

設(shè)OE=m,貝ij機，0A=2m,0P=4m,

,：四邊形OAPB的面積是16如,

.?.2?0/＞乂8=16弧，

2

X4mX2?=16-73，

2

?.m=2或-2(舍棄),

：.0E=2,AB=4\/"^,。4=2加=4,

，俞=俞，

AZAOD=ZBOD=60°,

AZA0B=2ZA0D=120°,

9

s陰=S扇形OAB-S^AOB=120互?4_工*4?X2=J^ZL_4y.

36023

(3)解：在RtZXAOE中，sin/C4B=2L=上，

AO3

??.可以假設(shè)OE=x,則OA=O￡)=3x,DE—2x,AE-,\/oA2-OE2~V(3x)2-x2~

2Mx,

在RtZ\ADE中，AD1=AEi+DE1,

：.(2A/3)2=(2缶)2+⑵)2,

；.x=l或-1(舍棄)，

：.OE=\,0A=3,AE=2如,

是切線，

J.PALOA,

：.ZOAP=90°,

.\ZCAB+ZBAP=90°,ZAPO+ZPAE=90°,

J.ZCAB^ZAPO,

：.s'inZAPE=sinZCAB=X=^L,

3PA

.,.B4=3AE=6&.

19.（2020?黃石）如圖，在RtZVLBC中，/C=90°,AD平分NB4C交3c于點。，。為

AB上一點，經(jīng)過點A、。的。0分別交AB、AC于點E、F.

(1)求證：BC是OO的切線;

(2)若BE=8,sinB=巨，求。。的半徑;

13

(3)求證：AD2=AB*AF.

【解答】解：(1)如圖，連接0￡>,

圖1

則OA=OD,

：.ZODA^ZOAD,

：AO是/BAC的平分線,

：.ZOAD=ZCAD,

：.ZODA=ZCAD,

J.OD//AC,

.,.NOO8=/C=90°,

?.?點。在G)。上，

.??BC是。。的切線；

(2)：/8。0=90°,

.".sinB=-2P-=_QP—=巨,

BOBE-H3D13

：.OD=5,

二。。的半徑為5；

（3）連接E兄

B

尸E=90°=ZACB,

：.EF//BC,

NAEF=NB,

又,：4AEF=ZADF,

：.ZB=ZADF,

又,.,NOAO=NCAQ,

:.△DABSXFAD,

?ADAF

AB=AD）

:.AD2=AB-AF.

九.解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問題（共1小題）

20.（2020?黃石）如圖，是某小區(qū)的甲、乙兩棟住宅樓，小麗站在甲棟樓房A8的樓頂，測

量對面的乙棟樓房CD的高度.已知甲棟樓房AB與乙棟樓房CD的水平距離AC=18M

米，小麗在甲棟樓房頂部8點，測得乙棟樓房頂部。點的仰角是30°,底部C點的俯角

是45°,求乙棟樓房C。的高度（結(jié)果保留根號）.

【解答】解：如圖所示：

由題意得：BE=AC=18愿米，CE=AB,NDBE=30°,ZCBE=45°,

在RtZ\E￡?B中，ZDBE=30°,J^=tan30°,