高斯小學(xué)奧數(shù)五年級上冊含答案-質(zhì)數(shù)與合數(shù)

第三講質(zhì)數(shù)與合數(shù)

什么是質(zhì)數(shù)？

每一個數(shù)都能寫成若干個數(shù)相乘的形式，考慮到任何一個數(shù)都能寫成若干個1乘以它本

身的形式，所以不考慮1作為乘數(shù)的情況：623-824222,

122634223……這些數(shù)都能拆成若干個不為1的數(shù)相乘的形式，我們把這樣的數(shù)稱為合數(shù).而像2,3,

7這些不能拆成若干個不為1的數(shù)相乘形式的數(shù)，我們稱之為質(zhì)數(shù)?如果說得形象一點，質(zhì)數(shù)就是拆不

開”的數(shù)，合數(shù)就是拆得開的數(shù).

嚴格說來，質(zhì)數(shù)就是只能被1和自身整除的數(shù)：合數(shù)是除了1和它本身之外，還能被其它數(shù)整除的數(shù)

?注意，1既不是質(zhì)數(shù)也不是合數(shù).

我們先來看一個關(guān)于質(zhì)數(shù)的小問題，提高大家對質(zhì)數(shù)的熟悉程度：請寫出所有顛倒個位

十位之后還是質(zhì)數(shù)的兩位質(zhì)數(shù).

______________________________________________________（填寫在橫線上）

相信對100以內(nèi)的質(zhì)數(shù)比較熟悉的同學(xué)，做這個題目會很輕松.質(zhì)數(shù)是我們后面學(xué)習(xí)的

基礎(chǔ)，因此同學(xué)們一定要牢牢記住常見的質(zhì)數(shù).請同學(xué)們在下面的橫線上寫出100以內(nèi)的所

有質(zhì)數(shù)：

同學(xué)們還可以這樣做：從大到小寫出100以內(nèi)的質(zhì)數(shù).如果你能一個不少地寫出來，

明你對100以內(nèi)的質(zhì)數(shù)確實掌握得很牢固了

在100以上還有無窮多個質(zhì)

fVWMMMNMNNMNNMMNMNNMMMNMMMMMMMNMNNMMNNMNHMMMMMW

當(dāng)然，同學(xué)們寫出的這些質(zhì)數(shù)只是質(zhì)數(shù)大軍中的冰山一角.

區(qū)分聯(lián)蝴放觸懶搬抑卸瞰I躥搬次找出對應(yīng)的漢字‘這句話就出來了?

F面是主試委員會為第六屆華杯賽寫的一首詩:

美少年華朋會友，幼長相親同切磋；

杯賽聯(lián)誼歡聲響，念一笑慰來者多；

九天九霄志凌云，九七共慶手相握;

聚起華夏中興力，同唱移山壯麗歌.

自然數(shù)N是一個兩位數(shù)，它是一個質(zhì)數(shù)，而且N的個位數(shù)字與十位數(shù)字都是質(zhì)數(shù)，這樣的自然數(shù)有多

少個?

(1)如果兩個不同的質(zhì)數(shù)相加等于26,那么這兩個質(zhì)數(shù)的乘積可能是多少？請全部寫出.

(2)如果兩個不同的質(zhì)數(shù)相加等于25,那么這兩個質(zhì)數(shù)的乘積可能是多少？請全部寫出.

(3)三個互不相同的質(zhì)數(shù)相加，和為40，這三個質(zhì)數(shù)的乘

積可能是多少？請全部寫出.

相信對100以內(nèi)的質(zhì)數(shù)比較熟悉的同學(xué)，做這個題目會很輕松.質(zhì)數(shù)是我們后面學(xué)習(xí)的

【分析】對于第1問，依次枚舉即可-可知這兩個不同的質(zhì)數(shù)一定都是奇數(shù)?那么后兩問中的質(zhì)數(shù)可以都是奇

數(shù)嗎？

如果三個互不相同的質(zhì)數(shù)相加，和為52,這三個質(zhì)數(shù)可能是多少？

通過前面的學(xué)習(xí)，我們對質(zhì)數(shù)已經(jīng)有了基本了解.下面我們來學(xué)習(xí)這一講中最重要的內(nèi)

容：分解質(zhì)因數(shù)?分解質(zhì)因數(shù)是指把一個數(shù)寫成質(zhì)因數(shù)相乘的形式?如：30235>

1002255■28022257?同學(xué)們請注意：分解式應(yīng)該把質(zhì)因數(shù)按從小到

大的順序?qū)懞?，每個數(shù)分解質(zhì)因數(shù)的形式是唯一的.

分解質(zhì)因數(shù)的方法一般是短除法，如下圖所示，我們將30分解質(zhì)因數(shù)，在計算的過程

中要善用各種特殊數(shù)的整除特性.

能整除

30相除后得

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100在分解質(zhì)因數(shù)時也可以寫成：10025；280在分解質(zhì)因數(shù)時也可以寫成

3

280257?這種寫法更簡潔更方便，其中位于質(zhì)因數(shù)右上角，表示質(zhì)因數(shù)個數(shù)的數(shù)

?0257

叫作指數(shù)，如：

這里280的分解式中5和7的指數(shù)都是1，寫的時候可以省略.

如何確定一個大數(shù)是不是質(zhì)數(shù)呢？我們要判斷197是不是質(zhì)數(shù)，難道需要一一驗算197

以內(nèi)的所有質(zhì)數(shù)嗎？

同學(xué)們不用擔(dān)心，數(shù)學(xué)家們早就為我們準備了簡單的方法，只需要試很少的幾個就能判

斷.例如我們要判斷197是否為質(zhì)數(shù)，只需要驗算15以內(nèi)的質(zhì)數(shù)就足夠了！因為

1515225比197大-類似的，如果我們要判斷2011是不是質(zhì)數(shù)，只需要驗算45以內(nèi)

的質(zhì)數(shù),因為45452025比2011大-有了這個方法，同學(xué)們以后判斷一個大數(shù)是不是

質(zhì)數(shù)就非常方便了.

請把下面的數(shù)分解質(zhì)因數(shù)：

3

(1)360;(2)539;(3)999;(4)10101.

請把下面的數(shù)分解質(zhì)因數(shù)：

「分析」將一個數(shù)分解質(zhì)因數(shù)，可以從最小的質(zhì)數(shù)開始,一個一個去試商，寫成短除的形式.

(1)373;(2)12660.

在整數(shù)問題中，有一類特殊的問題，專求乘積末尾連續(xù)0的個數(shù).解決這類問題的方法同樣是質(zhì)因數(shù)分

解?下面我們來看一個例題.

0?

【分析】乘積的末尾要出現(xiàn)一個0,只需要乘數(shù)中湊出一個10,那么能湊出來幾個10,末尾就有多少個連續(xù)

的0?注意到1025，我們只需要計算這個算式中含有的質(zhì)因數(shù)2和5的個數(shù)就可以了.

算式123L30的計算結(jié)果的末尾有多少個連續(xù)的0?

分解質(zhì)因數(shù)是學(xué)習(xí)數(shù)論問題時非常重要的方法，大家一定要能熟練的將一個數(shù)分解質(zhì)因

數(shù)-這應(yīng)該作為一項基本的能力來培養(yǎng).下面我們來看看如何利用分解質(zhì)因數(shù)來解決實際的

問題.

三個連續(xù)自然數(shù)的乘積等于39270，那么這三個數(shù)的和等于多少？

「分析」39270是三個自然數(shù)的乘積，于是先將39270分解質(zhì)因數(shù)，再對這些質(zhì)因數(shù)進行適

當(dāng)?shù)慕M合，湊出題目中的三個連續(xù)自然數(shù).由于連續(xù)自然數(shù)相互之間比較接近，所以湊的時

候也必須盡量接近.

360與?個三位數(shù)的乘積是完全平方數(shù)，這個三位數(shù)最小是多少?

【分析】完全平方數(shù)是兩個相同數(shù)的乘積，那么分解后它的每個質(zhì)因數(shù)的次數(shù)都是偶數(shù).而

32

360235,它不是一個平方數(shù).它最小再乘上多少，結(jié)果就是平方數(shù)了？

通過上面例題的講解，相信大家能體會到分解質(zhì)因數(shù)的好處.它就像手術(shù)刀?樣，把整數(shù)解剖開來，讓我們把

整數(shù)的組成結(jié)構(gòu)看得一清二楚.很多看似復(fù)雜的問題，如果從分解質(zhì)因數(shù)的角度來看，就會變得非常簡單.

質(zhì)數(shù)有無窮個嗎?1

在正整數(shù)里走得越遠，我們就發(fā)現(xiàn)質(zhì)數(shù)變得越來越稀少.有人可能會問：質(zhì)數(shù)出現(xiàn)頻率

越來越小，它們會不會在某處終止呢？會不會從某個數(shù)開始之后就沒有質(zhì)數(shù)了呢？

早在公元前300年左右，歐幾里得就第一次證明了質(zhì)數(shù)有無窮多個.他用的是如下的反

證法：

設(shè)n代表最后一個質(zhì)數(shù)，那么從2到n的所有質(zhì)數(shù)的積是2357Ln.將這個積加1稱

為k,因為2,3,5,7,11,…，n都不能整除k,所以k必然含有一個更大的質(zhì)因數(shù)！這與n

代表最后一個質(zhì)數(shù)相矛盾！

作業(yè)

1.(1)如果兩個不同的質(zhì)數(shù)相加等于39■那么這兩個質(zhì)數(shù)的乘積是多少？

(2)三個互不相同的質(zhì)數(shù)相加，和為30,這三個質(zhì)數(shù)的乘積是多少？

2.自然數(shù)49，87-101-103-121中，哪些是質(zhì)數(shù)？

3.請把下面的數(shù)分解質(zhì)因數(shù)：

(1)240；(2)1080.

4.三個連續(xù)自然數(shù)的乘積為336，則這三個數(shù)的和是多少？

5.算式123L35的計算結(jié)果的末尾有多少個連續(xù)的0?

第三講質(zhì)數(shù)與合數(shù)

例題1.答案：少年朋友親切聯(lián)歡一九九七相聚中山

詳解：1-56中的質(zhì)數(shù)有2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、

37、41、43、47、53共16個.

例題2.答案：(1)69、133;(2)46;(3)434詳解：(1)26可以拆成3與23

的和，或者7與19的和；(2)25只能拆成2和23的和;(3)三個數(shù)的和是

偶數(shù)，可以是三個偶數(shù)，或者一偶兩奇.考慮到質(zhì)數(shù)中只有2是偶數(shù)，可知

一定是一偶兩奇，且偶數(shù)是2.另外兩個奇數(shù)是7和31.

例題3.答案：(1)36023325；(2)539(4)101017211；(3)9993337；

371337.

例題4.答案：24

詳解：末尾0的個數(shù)與算式結(jié)果所含質(zhì)因數(shù)2和5的個數(shù)有關(guān)，結(jié)果中質(zhì)

因數(shù)的個數(shù)又與乘數(shù)中質(zhì)因數(shù)的個數(shù)有關(guān).因為2的個數(shù)要比5的個數(shù)多,

所以0的個數(shù)等于5的個數(shù).乘數(shù)中5的倍數(shù)有20個,25的倍數(shù)有4個,

所以質(zhì)因數(shù)5的個數(shù)有20424個.末尾有24個連續(xù)的0.

例題5答案：102

詳解：3927023571117.考慮其中最大的質(zhì)因數(shù)17,三個自然數(shù)中一定有

17的倍數(shù).如果是17,那么一定有16或18.這不可能.如果是34,另外

兩個數(shù)是33和35,正好滿足.333435102.

例題6.答案：160

詳解：完全平方數(shù)的每個質(zhì)因數(shù)的次數(shù)一定是偶數(shù).而36023325,至少要再

乘上2510才是一個平方數(shù).題目要求是三位數(shù)，即

3601Q，一」是一個平方數(shù).可知空格上也要填入一個平方數(shù)，最三位數(shù)

小要填16?要乘的三位數(shù)最小是160?

練習(xí)1.答案：23、37、53、73

簡答：一位數(shù)中的質(zhì)數(shù)只有2、3、5、7?而N的個位數(shù)字只能是3和7，

分類枚舉即可?

練習(xí)2.答案：2、3、47