線性代數(shù)向量的內(nèi)積

§4.1向量的內(nèi)積一、向量的內(nèi)積及其性質(zhì)二、向量的長度及其性質(zhì)三、正交向量組四、規(guī)范正交基及其求法五、正交矩陣及其性質(zhì)復(fù)習(xí)小結(jié)1線性代數(shù)向量的內(nèi)積5/9/2024§4.1向量的內(nèi)積、長度及正交性前面學(xué)習(xí)了向量的線性運算：加法和數(shù)乘，但未涉及到向量的度量性質(zhì)，如長度、距離等等。從今天開始，我們就來學(xué)習(xí)一下這方面的概念。當(dāng)然學(xué)習(xí)這些概念也是為了進(jìn)一步研究矩陣做準(zhǔn)備的。本節(jié)概述2線性代數(shù)向量的內(nèi)積5/9/2024內(nèi)積:設(shè)有n維向量x

(x1

x2

xn)T

y

(y1

y2

yn)T

令[x

y]

x1y1

x2y2

xnyn

[x

y]稱為向量x與y的內(nèi)積

§4.1向量的內(nèi)積、長度及正交性一、向量的內(nèi)積及其性質(zhì)內(nèi)積是兩個向量之間的一種運算

其結(jié)果是一個實數(shù)

若用矩陣乘法表示

當(dāng)x與y都是列向量時

有[x

y]

xTy

注意：3線性代數(shù)向量的內(nèi)積5/9/2024內(nèi)積的性質(zhì)

設(shè)x

y

z為n維向量

為實數(shù)

則

(1)[x

y]

[y

x]

(2)[

x

y]

[x

y]

(3)[x

y

z]

[x

z]

[y

z]

(4)當(dāng)x

0時

[x

x]

0

當(dāng)x

0時

[x

x]

0

(5)[x

y]2

[x

x][y

y]——施瓦茨不等式

§4.1向量的內(nèi)積、長度及正交性返回4線性代數(shù)向量的內(nèi)積5/9/2024向量的長度：

二、向量的長度及其性質(zhì)

注意：5線性代數(shù)向量的內(nèi)積5/9/2024

設(shè)x

y為n維向量

為實數(shù)

則

(1)非負(fù)性

當(dāng)x

0時

||x||

0

當(dāng)x

0時

||x||

0

(2)齊次性

(3)三角不等式

||x

y||

||x||

||y||

向量長度的性質(zhì)：返回6線性代數(shù)向量的內(nèi)積5/9/2024向量夾角：當(dāng)[x

y]

0時

稱向量x與y正交

顯然

若x

0

則x與任何向量都正交

三、正交向量組向量正交：7線性代數(shù)向量的內(nèi)積5/9/2024Th1:若n維向量a1

a2

ar是一組兩兩正交的非零向量

則a1

a2

ar線性無關(guān)

證明:8線性代數(shù)向量的內(nèi)積5/9/2024例1

已知3維向量空間R3中兩個向量a1

(1

1

1)T

a2

(1

2

1)T

正交

試求一個非零向量a3使a1

a2

a3兩兩正交

解：

設(shè)a3

(x1

x2

x3)T

則a3應(yīng)滿足a1Ta3

0

a2Ta3

0

取a3

(

1

0

1)T即合所求

得基礎(chǔ)解系(

1

0

1)T

即a3應(yīng)滿足齊次線性方程組返回9線性代數(shù)向量的內(nèi)積5/9/2024向量空間V的基:V的最大無關(guān)組就稱為向量空間V的基.向量空間V的維數(shù):V的秩就稱為向量空間V的維數(shù).四、規(guī)范正交基及其求法10線性代數(shù)向量的內(nèi)積5/9/2024向量的坐標(biāo)：如果在向量空間V中取定一個基a1

a2

ar

那么V中任一向量x可唯一地表示為

x

1a1

2a2

rar

數(shù)組

1

2

r

稱為向量x在基a1

a2

ar下的坐標(biāo)

§4.1向量的內(nèi)積、長度及正交性11線性代數(shù)向量的內(nèi)積5/9/2024例2：證明單位坐標(biāo)向量組e1

e2

en是向量空間Rn

的一組基

并且任意向量x(k1

k2

kn)T可表示為

x

k1e1

k2e2

knen

§4.1向量的內(nèi)積、長度及正交性可見一個向量在基e1

e2

en中的坐標(biāo)就是該向量的分量

向量組e1

e2

en叫做Rn中的自然基

12線性代數(shù)向量的內(nèi)積5/9/2024例3：齊次線性方程組的解集S

{x|Ax

0}

是一個向量空間(稱為齊次線性方程組的解空間)

例4：非齊次線性方程組的解集S

{x|Ax

b}

不是向量空間

這是因為當(dāng)S為空集時

S不是向量空間

當(dāng)S非空集時

若

S

則A(2

)

2b

b

知2

S

§4.1向量的內(nèi)積、長度及正交性13線性代數(shù)向量的內(nèi)積5/9/2024規(guī)范正交基:設(shè)n維向量a1

a2

ar是向量空間的一個基

如果a1

a2

ar兩兩正交

且都是單位向量

則稱a1

a2

ar是V的一個規(guī)范正交基

是R4的一個規(guī)范正交基

比如:14線性代數(shù)向量的內(nèi)積5/9/2024向量在規(guī)范正交基下的坐標(biāo) 若e1

e2

er是V的一個規(guī)范正交基

那么V中任一向量a應(yīng)能由e1

e2

er線性表示

并且

a

[a

e1]e1

[a

e2]e2

[a

er]er

事實上

設(shè)a

1e1

2e2

rer

則eiTa

ieiTei

i

即

i

eiTa

[a

ei]15線性代數(shù)向量的內(nèi)積5/9/2024施密特正交化方法設(shè)a1

a2

ar是向量空間V中的一個基

取向量組

容易驗證b1

b2

br兩兩正交。16線性代數(shù)向量的內(nèi)積5/9/2024把b1

b2

br單位化

即得V的一個規(guī)范正交基17線性代數(shù)向量的內(nèi)積5/9/2024例3

已知a1

(1

1

1)T

求一組非零向量a2

a3

使a1

a2

a3 兩兩正交

a2

a3應(yīng)滿足方程a1Tx

0

即x1

x2

x3

0

它的基礎(chǔ)解系為

1

(1

0

1)T

2

(0

1

1)T

把基礎(chǔ)解系正交化

即得所求

亦即取解§4.1向量的內(nèi)積、長度及正交性返回18線性代數(shù)向量的內(nèi)積5/9/2024正交陣:如果n階矩陣A滿足ATA

E(即A

1

AT)

那么稱A為正交矩陣

簡稱正交陣

正交矩陣舉例

§4.1向量的內(nèi)積、長度及正交性五、正交矩陣及其性質(zhì)19線性代數(shù)向量的內(nèi)積5/9/2024正交矩陣的性質(zhì):20線性代數(shù)向量的內(nèi)積5/9/2024正交變換:若P為正交矩陣

則線性變換y

Px稱為正交變換

設(shè)y

Px為正交變換

則有