廣東省深圳市大學師范學院第二附屬學校高三數學文聯(lián)考試題含解析

廣東省深圳市大學師范學院第二附屬學校高三數學文聯(lián)考試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.已知,且，則（

）A．

B．

C.

D．參考答案：A∵∴∵∴，則.∵∴故選A.

2.若，且函數在處有極值，則的最大值等于A．72

B．144

C．60

D．98參考答案：A3.在四邊形ABCD中，，且·＝0，則四邊形ABCD是

（

）A．菱形

B．矩形

C．直角梯形

D．等腰梯形參考答案：A由可知四邊形ABCD為平行四邊形，又·＝0，所以，即對角線垂直，所以四邊形ABCD是菱形，選A.4.如圖，邊長為1正方形ABCD，射線BP從BA出發(fā)，繞著點B順時針方向旋轉至BC，在旋轉的過程中，記，BP所經過的在正方形ABCD內的區(qū)域（陰影部分）的面積為，則函數的圖像是（

）A. B.C. D.參考答案：D【分析】根據條件列，再根據函數圖象作判斷.【詳解】當時，;當時，;根據正切函數圖象可知選D.【點睛】本題考查函數解析式以及函數圖象，考查基本分析識別能力，屬基本題.5.已知等差數列的前項和為，若且,則當最大時的值是Ks5uA．8 B．4 C.5 D．3參考答案：B6.已知非零向量=a，=b，且BCOA，c為垂足，若，則等于參考答案：B【知識點】平面向量基本定理及向量坐標運算F2由于=λ，根據向量投影的定義，得λ就是向量在向量方向上的投影，即λ=?！舅悸伏c撥】根據一個向量在另一個向量方面上和投影的定義即可得出答案．7.在正方體ABCD-A1B1C1D1中，動點E在棱BB1上，動點F在線段A1C1上，O為底面ABCD的中心，若，則四面體O-AEF的體積(

)A.與x，y都有關 B.與x，y都無關C.與x有關，與y無關 D.與y有關，與x無關參考答案：B【分析】根據等體積法以及錐體體積公式判斷選擇.【詳解】因為VO－AEF＝VE－OAF，所以，考察△AOF的面積和點E到平面AOF的距離的值，因為BB1∥平面ACC1A1，所以，點E到平面AOE的距離為定值，又AO∥A1C1，所以，OA為定值，點F到直線AO的距離也為定值，即△AOF的面積是定值，所以，四面體O-AEF的體積與x，y都無關，選B?！军c睛】本題考查三棱錐的體積、點到平面的距離以及點到直線的距離，考查基本分析判斷能力，屬中檔題.8.“非空集合M不是P的子集”的充要條件是

（

）

A．

B．

C．又

D．參考答案：D9.已知R，R，則

A．4

B．3

C．2

D．1參考答案：A10.如圖，F1、F2分別是雙曲線﹣=1（a＞0，b＞0）的兩個焦點，以坐標原點O為圓心，|OF1|為半徑的圓與該雙曲線左支交于A、B兩點，若△F2AB是等邊三角形，則雙曲線的離心率為（）A． B．2 C．﹣1 D．1+參考答案：D【考點】雙曲線的簡單性質．【分析】連結AF1，根據圓的直徑的性質和等邊三角形的性質，證出△F1AF2是含有30°角的直角三角形，由此得到|F1A|=c且|F2A|=c．再利用雙曲線的定義，得到2a=|F2A|﹣|F1A|=（﹣1）c，即可算出該雙曲線的離心率．【解答】解：連結AF1，∵F1F2是圓O的直徑，∴∠F1AF2=90°，即F1A⊥AF2，又∵△F2AB是等邊三角形，F1F2⊥AB，∴∠AF2F1=∠AF2B=30°，因此，Rt△F1AF2中，|F1F2|=2c，|F1A|=|F1F2|=c，|F2A|=|F1F2|=c．根據雙曲線的定義，得2a=|F2A|﹣|F1A|=（﹣1）c，解得c=（+1）a，∴雙曲線的離心率為e==+1．故選D．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.記集合，構成的平面區(qū)域分別為M，N，現隨機地向M中拋一粒豆子（大小忽略不計），則該豆子落入N中的概率為．參考答案：【考點】幾何概型．【專題】計算題；概率與統(tǒng)計．【分析】平面區(qū)域M、N，分別為圓與直角三角形，面積分別為π，，利用幾何概型的概率公式解之即可．【解答】解：集合構成的平面區(qū)域M、N，分別為圓與直角三角形，面積分別為π，，隨機地向M中拋一粒豆子（大小忽略不計），則該豆子落入N中的概率為=．答案為：．【點評】本題主要考查了幾何概型的概率，確定區(qū)域面積是關鍵，屬于中檔題．12.定義在上的偶函數滿足，且在上是增函數，下面是關于的判斷：①關于點P()對稱

②的圖像關于直線對稱；③在[0，1]上是增函數；

④.其中正確的判斷是_________（把你認為正確的判斷都填上）參考答案：①、②、④略13.已知函數的圖像如圖１所示，則＝

．參考答案：14.的展開式中一次項的系數為,則的系數為

參考答案：3915.利用計算機產生發(fā)生的概率為

.參考答案： 16.某校開展了豐富多彩的校本課程，甲、乙兩班各隨機抽取10名學生的學分，用莖葉圖表示（如圖所示），若，分別表示甲、乙兩班各自10名學生學分的標準差，則

（請?zhí)睢埃肌?，“＝”，“＞”）參考答案：?/p>

略17.在1，2，3，4，5，6，7，8中任取三個不同的數，取到3的概率為

．參考答案：三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知函數f（x）=lnx+(a＞0)．（Ⅰ）若函數f（x）有零點，求實數a的取值范圍；（Ⅱ）證明：當a≥，b＞1時，f（lnb）＞．參考答案：【考點】利用導數求閉區(qū)間上函數的最值；利用導數研究函數的單調性．【分析】（Ⅰ）法一：求出函數f（x）的導數，得到函數的單調區(qū)間，求出f（x）的最小值，從而求出a的范圍即可；法二：求出a=﹣xlnx，令g（x）=﹣xlnx，根據函數的單調性求出g（x）的最大值，從而求出a的范圍即可；（Ⅱ）令h（x）=xlnx+a，通過討論a的范圍，根據函數的單調性證明即可．【解答】解：（Ⅰ）法1：函數的定義域為（0，+∞）．由，得．…因為a＞0，則x∈（0，a）時，f'（x）＜0；x∈（a，+∞）時，f'（x）＞0．所以函數f（x）在（0，a）上單調遞減，在（a，+∞）上單調遞增．…當x=a時，[f（x）]min=lna+1．…當lna+1≤0，即0＜a≤時，又f（1）=ln1+a=a＞0，則函數f（x）有零點．…所以實數a的取值范圍為．…法2：函數的定義域為（0，+∞）．由，得a=﹣xlnx．…令g（x）=﹣xlnx，則g'（x）=﹣（lnx+1）．當時，g'（x）＞0；當時，g'（x）＜0．所以函數g（x）在上單調遞增，在上單調遞減．…故時，函數g（x）取得最大值．…因而函數有零點，則．…所以實數a的取值范圍為．…（Ⅱ）證明：令h（x）=xlnx+a，則h'（x）=lnx+1．當時，h'（x）＜0；當時，h'（x）＞0．所以函數h（x）在上單調遞減，在上單調遞增．當時，．…于是，當a≥時，．①…令φ（x）=xe﹣x，則φ'（x）=e﹣x﹣xe﹣x=e﹣x（1﹣x）．當0＜x＜1時，f'（x）＞0；當x＞1時，f'（x）＜0．所以函數φ（x）在（0，1）上單調遞增，在（1，+∞）上單調遞減．當x=1時，．…于是，當x＞0時，．②…顯然，不等式①、②中的等號不能同時成立．故當x＞0，時，xlnx+a＞xe﹣x．…因為b＞1，所以lnb＞0．所以lnb?ln（lnb）+a＞lnb?e﹣lnb．…所以，即．…19.（本小題滿分14分）在數列與中，，數列的前項和滿足,為與的等比中項，．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求數列與的通項公式；（Ⅲ）設．證明．參考答案：【解】本小題主要考查等差數列的概念、通項公式及前項和公式、等比數列的概念、等比中項、不等式證明、數學歸納等基礎知識，考查運算能力和推理論證能力及分類討論的思想方法．滿分14分（Ⅰ）解：由題設有，，解得．由題設又有，，解得．（Ⅱ）解法一：由題設，，，及，，進一步可得，，，，猜想，，．先證，．當時，，等式成立．當時用數學歸納法證明如下：（1）當時，，等式成立．（2）假設時等式成立，即，．由題設，①的兩邊分別減去②的兩邊，整理得，從而．這就是說，當時等式也成立．根據（1）和（2）可知，等式對任何的成立．綜上所述，等式對任何的都成立．再用數學歸納法證明，．（1）當時，，等式成立．（2）假設當時等式成立，即，那么．這就是說，當時等式也成立．根據（1）和（2）可知，等式對任何的都成立．解法二：由題設①的兩邊分別減去②的兩邊，整理得，．所以，，……，．將以上各式左右兩端分別相乘，得，由（Ⅰ）并化簡得，．止式對也成立．由題設有，所以，即，．令，則，即．由得，．所以，即，．解法三：由題設有，，所以，，……，．將以上各式左右兩端分別相乘，得，化簡得，．由（Ⅰ），上式對也成立．所以，．上式對時也成立．以下同解法二，可得，．（Ⅲ）證明：．當，時，．注意到，故．當，時，．當，時，．當，時，．所以．從而時，有總之，當時有，即．20.（2015?南昌校級二模）已知函數f（x）=|x﹣3|﹣|x﹣a|．（1）當a=2時，解不等式f（x）≤﹣；（2）若存在實數x，使得不等式f（x）≥a成立，求實數a的取值范圍．【考點】絕對值不等式的解法．參考答案：【專題】計算題；函數的性質及應用；不等式的解法及應用．【分析】（1）運用函數的零點分區(qū)間，討論當x≥3時，當x≤2時，當2＜x＜3時，化簡不等式解得，最后求并集即可；（2）由題意知這是一個存在性的問題，須求出不等式左邊的最大值，可運用絕對值不等式的性質可得最大值，再令其大于等于a，即可解出實數a的取值范圍．【解答】解：（1）當a=2時，f（x）=|x﹣3|﹣|x﹣2|，當x≥3時，f（x）≤﹣，即為（x﹣3）﹣（x﹣2）≤﹣，即﹣1成立，則有x≥3；當x≤2時，f（x）≤﹣即為（3﹣x）﹣（2﹣x），即1，解得x∈?；當2＜x＜3時，f（x）≤﹣即為3﹣x﹣（x﹣2）≤﹣，解得，x≥，則有≤x＜3．則原不等式的解集為．【點評】本題考查絕對值不等式，求解本題的關鍵是正確理解題意，區(qū)分存在問題與恒成立問題的區(qū)別，本題是一個存在問題，解決的是有的問題，故取|a﹣3|≥a，即小于等于左邊的最大值即滿足題意，本題是一個易錯題，主要錯誤就是出在把存在問題當成恒成立問題求解，因思維錯誤導致錯誤．21.設，實數滿足，求證：．參考答案：