連續(xù)系統(tǒng)模型的離散化處理方法

連續(xù)系統(tǒng)模型的離散化處理方法

如果要求進行實時仿真，或要求計算工作速度快時，能在一個采用周期內(nèi)完成全部計算任務(wù)，這就需要一些快速計算方法。數(shù)值積分法：將微分方程轉(zhuǎn)換成差分方程，這中間是一步步離散，每一步離散都用到連續(xù)系統(tǒng)的原模型，這樣的速度就慢了。第2頁,共39頁，2024年2月25日，星期天

本章方法：先對連續(xù)模型進行離散化處理，得到一個“等效”的離散化模型，以后每一步計算都在這個離散化模型基礎(chǔ)上進行，原來的模型不再參與計算這種方法，得到了簡化的模型，便于在計算機上求解，且使計算速度加快第3頁,共39頁，2024年2月25日，星期天4.1替換法基本思想：設(shè)法找到S域到Z域的某種映射關(guān)系，將G（S）轉(zhuǎn)換成G（Z），再進行Z的反變換，求得差分方程，據(jù)此便可以快速求解S域到Z域的最基本映射關(guān)系是：Z=eTS（T—采樣周期）如果直接代入G（S）求G（Z）很麻煩，則將Z=eTS作簡化處理第4頁,共39頁，2024年2月25日，星期天一、派德近似公式（PADE）第5頁,共39頁，2024年2月25日，星期天二、簡單替換法當m=0，n=1，x=TS時，e-（-TS）=1+TS即Z=1+TS這是一種簡單替換方法，又稱歐拉映射法。舉例第6頁,共39頁，2024年2月25日，星期天三、雙線性替換法1替換關(guān)系：第7頁,共39頁，2024年2月25日，星期天

2高階系統(tǒng)雙線性替換計算機程序的自動實現(xiàn)3雙線性替換性能評價：穩(wěn)定性精度保持模型的階次不變頻率特性近似G（S）的穩(wěn)定增益不變具有串聯(lián)性高階系統(tǒng)能程序?qū)崿F(xiàn)第8頁,共39頁，2024年2月25日，星期天4.3離散相似法系統(tǒng)仿真離散相似法:將連續(xù)系統(tǒng)的G(S)模型進行離散,得到各環(huán)節(jié)的離散化模型,再對等價的離散化模型進行仿真計算特點:按環(huán)節(jié)進行離散,每計算一個步長,每個環(huán)節(jié)都獨立按輸入計算輸出,非線性環(huán)節(jié)也易包含進去的-

可對含非線性環(huán)節(jié)的連續(xù)系統(tǒng)進行仿真.第9頁,共39頁，2024年2月25日，星期天一、基本思路設(shè)計一個離散系統(tǒng)模型，使其中的信息流與給定的連續(xù)系統(tǒng)中的信息流相似設(shè)一個連續(xù)系統(tǒng)，u（t）-輸入，y（t）-輸出在I/O端人為地加上兩個采樣開關(guān)，信號重構(gòu)器（濾波器）--虛擬重構(gòu)器所能保持和延續(xù)的規(guī)律是不可能與原來的輸入信號u（t）完全一致的第10頁,共39頁，2024年2月25日，星期天

Y（t）的近似能否精確復現(xiàn)y（t）取決于u（t）的近似能否精確地復現(xiàn)u（t）仿真精度主要取決于采樣周期Ts的大小、信號重構(gòu)器的特性兩種形式：傳遞函數(shù)的離散化相似處理—離散傳遞函數(shù)；連續(xù)狀態(tài)方程的離散相似處理—離散化狀態(tài)方程第11頁,共39頁，2024年2月25日，星期天二、Z域離散相似方法1基本方法第12頁,共39頁，2024年2月25日，星期天Z反變換得差分模型第13頁,共39頁，2024年2月25日，星期天主要步驟A畫出連續(xù)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖B加入虛擬采樣開關(guān)，選擇合適的信號重構(gòu)器CG（S）與Gh（S）串聯(lián)，z變換—G（Z）DZ反變換—差分方程E根據(jù)差分方程編制仿真程序第14頁,共39頁，2024年2月25日，星期天2典型環(huán)節(jié)離散相似模型A積分環(huán)節(jié)B一階環(huán)節(jié)C二階環(huán)節(jié)第15頁,共39頁，2024年2月25日，星期天三、時域離散相似法原理1狀態(tài)方程的離散相似法描述

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第17頁,共39頁，2024年2月25日，星期天A當輸入函數(shù)u（KT）在兩采樣點間保持不變時第18頁,共39頁，2024年2月25日，星期天B當輸入函數(shù)u（KT）在兩采樣點間線性變化時（一階保持）第19頁,共39頁，2024年2月25日，星期天

當連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)方程系數(shù)A、B已知時，可求出……此法相比于數(shù)值積分法；只要T不變，三個系數(shù)均不變，可以在仿真前預先計算好，這樣就減少了以后的計算工作量。第20頁,共39頁，2024年2月25日，星期天2典型環(huán)節(jié)的離散狀態(tài)方程A積分環(huán)節(jié)：G（S）=K/S其狀態(tài)方程：X’=Ku

輸出方程：y=x

其中：A=0，B=K第21頁,共39頁，2024年2月25日，星期天積分環(huán)節(jié)的離散狀態(tài)方程和---B比例積分環(huán)節(jié)第22頁,共39頁，2024年2月25日，星期天離散模型C慣性環(huán)節(jié)第23頁,共39頁，2024年2月25日，星期天D超前-滯后環(huán)節(jié)第24頁,共39頁，2024年2月25日，星期天四、采用離散化模型的系統(tǒng)仿真把各個環(huán)節(jié)有機地連接起來。1連接矩陣（面向結(jié)構(gòu)圖）

12354a6---第25頁,共39頁，2024年2月25日，星期天

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連接方程U=wyKU—輸入向量YK—輸出向量W—連接矩陣第28頁,共39頁，2024年2月25日，星期天2仿真計算過程基本計算單元：各環(huán)節(jié)的離散化模型K個環(huán)節(jié)，K個離散狀態(tài)方程，K個輸出方程A根據(jù)狀態(tài)向量初值X（0）以及輸出向量初值Y（0），算出所有環(huán)節(jié)的輸入B由X（0）、U（0）、U’(0)按離散狀態(tài)方程,算出所有的狀態(tài)量由狀態(tài)量、輸入量，按輸出方程算出所有的輸出，到此，完成一步；在此基礎(chǔ)上，進行下一步，一直進行，直到仿真完成。第29頁,共39頁，2024年2月25日，星期天3仿真程序框圖基本思路：各環(huán)節(jié)進行分類編號計算各環(huán)節(jié)離散狀態(tài)方程系數(shù)矩陣依據(jù)各環(huán)節(jié)的連接關(guān)系及外部作用函數(shù)計算各環(huán)節(jié)的輸入函數(shù)u、u’依據(jù)各環(huán)節(jié)的兩個方程計算各環(huán)節(jié)當前一步的狀態(tài)量Xn+1和輸出量Yn+1。第30頁,共39頁，2024年2月25日，星期天

初始化程序識別環(huán)節(jié)類型計算系數(shù)計算每個環(huán)節(jié)的輸入計算各環(huán)節(jié)狀態(tài)量計算各環(huán)節(jié)輸出量打印間隔到否打印Yn+1計算次數(shù)到否結(jié)束NN第31頁,共39頁，2024年2月25日，星期天五、離散相似模型的精度與穩(wěn)定性離散相似模型只能等效于原來的連續(xù)系統(tǒng)其精度受采樣周期和信號重構(gòu)器性能的影響信號重構(gòu)器存在一定程度的幅值減小和相位滯后在離散化后，模型精度變差，可能不穩(wěn)定。第32頁,共39頁，2024年2月25日，星期天1采樣周期對精度的影響香農(nóng)定理：當一個具有有限頻道的連續(xù)信號f（t）進行采樣時，如果采樣頻率大于等于兩倍的f（t）的有效頻譜的最高角頻率，采樣函數(shù)便能無失真地復現(xiàn)原來的連續(xù)信號某一環(huán)節(jié)的輸入信號頻帶取決于前面環(huán)節(jié)的系統(tǒng)響應第33頁,共39頁，2024年2月25日，星期天

選擇Ts時，滿足采樣定理，適當考慮系統(tǒng)的動態(tài)響應，以防降低精度按系統(tǒng)響應時間確定采樣周期，可取Ts=0.1TminTmin—系統(tǒng)中反應最快的那個閉環(huán)子系統(tǒng)的最小時間常數(shù)第34頁,共39頁，2024年2月25日，星期天2信號重構(gòu)器對仿真模型精度的影響加入一個理想濾波器,保留輸入信號主頻段,濾掉附加的頻譜分量,不失真理想濾波器不存在,一般用零階、一階、三角保持器來近似3離散相似模型的穩(wěn)定性穩(wěn)定性不及雙線性替換法，Ts或信號重構(gòu)器選擇不當，離散模型的穩(wěn)定性變差不穩(wěn)定的離散模型是不能用來仿真連續(xù)系統(tǒng)的第35頁,共39頁，2024年2月25日，星期天

六、利用數(shù)字補償器提高離散相似模型的精度和穩(wěn)定性信號重構(gòu)器串聯(lián)一個補償器，來彌補幅值減小、相位滯后作業(yè)：4.24.5第36頁,共39頁，2024年2月25日，星期天

4.6.1X1=1-exp(-t)X2=exp(-t)-1T=0.01X1(n+1)=x1(n)+0.01*x2(n)+0.01+0.00005*(-x1(n)-2*x2(n)-1)X2(n+1)=0.9802*x2(n)-0.0099*(x1(n)+1)-0.0000497*(x2(n)+1)第37頁,共39頁，2024年2月25日，星期天

4.6.2X(t)=1-0.0506exp(-8.925t)-0.9494exp(-0.5375t)cos1.856t-0.5183exp(-0.5375t)sin1.856tf1=x2;f2=x3;f3=-33.33x1-13.33x2-10x3+33.33X=x1T=0.01X1(n+1)=x1(n)+0.01x2(n)+0.00005x3(n)X2(n+1)=0.9993x2(n)+0.0095x3(n)-0.00167x1(n)+0.00167X3(n+1)=0.90416x3(n)-0.1285x2(n)-0.3171x1(n)+0.3171第38頁,共39頁，2024年2月25日，星期天

4.8雙線性和RK4S=2(z-1)/T/(z+1)W(n+1)=w(