新人教版九年級(jí)數(shù)學(xué)導(dǎo)學(xué)案(全冊(cè))

第二H■一章二次根式

21.1二次根式

第??課時(shí)

教學(xué)內(nèi)容

二次根式的概念及其運(yùn)用

教學(xué)目標(biāo)

理解二次根式的概念，并利用&（a20）的意義解答具體題目.

提出問題，根據(jù)問題給出概念，應(yīng)用概念解決實(shí)際問題.

教學(xué)重難點(diǎn)關(guān)鍵

1.重點(diǎn)：形如夜（a20）的式子叫做二次根式的概念；

2.難點(diǎn)與關(guān)鍵：利用“、石（a20）”解決具體問題.

教學(xué)過程

一、復(fù)習(xí)引入

（學(xué)生活動(dòng)）請(qǐng)同學(xué)們獨(dú)立完成下列三個(gè)問題：

3

問題1：已知反比例函數(shù)y=—，那么它的圖象在第一象限橫、縱坐標(biāo)相等的點(diǎn)的坐標(biāo)

x

是?

問題2：如圖，在直角三角形ABC中，AC=3,BC=1,ZC=90°,那么AB邊的長(zhǎng)是

問題3：甲射擊6次，各次擊中的環(huán)數(shù)如下：8、7、9、9、7、8,那么甲這次射擊的方

差是S2,那么S=.

老師點(diǎn)評(píng)：

二、探索新知

很明顯百、而、&，都是一些正數(shù)的算術(shù)平方根.像這樣一些正數(shù)的算術(shù)平方根

的式子，我們就把它稱二次根式.因此，一般地，我們把形如夜（a20）的式子叫做二

次根式，“、廠”稱為二次根號(hào).

（學(xué)生活動(dòng)）議一議：

1.-1有算術(shù)平方根嗎？

2.0的算術(shù)平方根是多少？

3.當(dāng)a<0,右有意義嗎？

老師點(diǎn)評(píng):（略）

例1.下列式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式：、匯、6、4（x>0）、

X

Vo>啦、-五、—-—、-Jx+y(x2O,y2O).

x+y

例2.當(dāng)x是多少時(shí)，J3x-1在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義?

三、鞏固練習(xí)

教材P練習(xí)1、2、3.

四、應(yīng)用拓展

例3.當(dāng)x是多少時(shí)，j2x+3+,在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義?

x+1

例4(1)已知產(chǎn)-x+—2+5,求色的值.(答案:2)

y

(2)若疝彳+括=1=0,求az^+bzo。"的值.(答案:()

五、歸納小結(jié)(學(xué)生活動(dòng)，老師點(diǎn)評(píng))

本節(jié)課要掌握：

1.形如、石(aNO)的式子叫做二次根式，“、廠”稱為二次根號(hào).

2.要使二次根式在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，必須滿足被開方數(shù)是非負(fù)數(shù).

六、布置作業(yè)

1.教材P8復(fù)習(xí)鞏固1、綜合應(yīng)用5.

2.選用課時(shí)作業(yè)設(shè)計(jì).

3.課后作業(yè)：《同步訓(xùn)練》

教學(xué)后記：

21.1二次根式(2)

第二課時(shí)

教學(xué)內(nèi)容

1.Ja(a20)是一個(gè)非負(fù)數(shù)；

2.(y[a)2=a(a20).

教學(xué)目標(biāo)

理解八(aNO)是一個(gè)非負(fù)數(shù)和(G)2=a(a20),并利用它們進(jìn)行計(jì)算和化簡(jiǎn).

通過復(fù)習(xí)二次根式的概念，用邏輯推理的方法推出右(a20)是一個(gè)非負(fù)數(shù)，用具體

數(shù)據(jù)結(jié)合算術(shù)平方根的意義導(dǎo)出(G)2=a(a20)；最后運(yùn)用結(jié)論嚴(yán)謹(jǐn)解題.

教學(xué)重難點(diǎn)關(guān)鍵

1.重點(diǎn)：G（a20）是一個(gè)非負(fù)數(shù)；（夜）2=a（a20）及其運(yùn)用.

2.難點(diǎn)、關(guān)鍵：用分類思想的方法導(dǎo)出右（a20）是一個(gè)非負(fù)數(shù)；用探究的方法導(dǎo)

出(yfa)2=a(a20).

教學(xué)過程

一、復(fù)習(xí)引入

（學(xué)生活動(dòng)）口答

1.什么叫二次根式？

2.當(dāng)a>0時(shí)，右叫什么？當(dāng)a<0時(shí)，6有意義嗎？

老師點(diǎn)評(píng)（略）.

二、探究新知

議一議：（學(xué)生分組討論，提問解答）

y/a（a，0）是一個(gè)什么數(shù)呢？

老師點(diǎn)評(píng)：根據(jù)學(xué)生討論和上面的練習(xí)，我們可以得出

（a-0）是一個(gè)非負(fù)數(shù).

做一做：根據(jù)算術(shù)平方根的意義填空：

（V?）2=;（V2）2=;（y/9）2=;（y/3）2=：

（Q）2=-----;（（）2=------；<VO）2=------.

老師點(diǎn)評(píng)："是4的算術(shù)平方根，根據(jù)算術(shù)平方根的意義，也是一個(gè)平方等于4的

非負(fù)數(shù)，因此有（V4）2=4.

同理可得：(72)2=2,(V9)2=9,(百)2=3,(J-)2=-,(J-)2=~,(Vo)

V33V22

2=0,所以

(y/a)2=a(a'O)

例1計(jì)算

1.(E)22.(375)23.(他)24.(―)2

V2V62

三、鞏固練習(xí)

計(jì)算下列各式的值:

（V18）2（、E）2（丑）2（而）2（4、1）2

V34V8

（3⑹2一（5百產(chǎn)

四、應(yīng)用拓展

例2計(jì)算

1.（dx+1）2（x'O）2.（J4~）23.（+2a+1）2

4.(V4x2-12x+9)2

例3在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)分解下列因式：

(1)X2-3(2)X4-4(3)2X2-3

五、歸納小結(jié)

本節(jié)課應(yīng)掌握：

1.4a(a，0)是一個(gè)非負(fù)數(shù);

2.(4a)Ja(a》0);反之:a=(4a)2(a^O).

六、布置作業(yè)

1.教材Pg復(fù)習(xí)鞏固2.(1)、(2)P97.

2.選用課時(shí)作業(yè)設(shè)計(jì).

3.課后作業(yè)：《同步訓(xùn)練》

教學(xué)后記：

1.1二次根式(3)

第三課時(shí)

教學(xué)內(nèi)容

=a(a20)

教學(xué)目標(biāo)

理解必=a(a20)并利用它進(jìn)行計(jì)算和化簡(jiǎn).

通過具體數(shù)據(jù)的解答，探究J/=a(aM),并利用這個(gè)結(jié)論解決具體問題.

教學(xué)重難點(diǎn)關(guān)鍵

1.重點(diǎn)：=a(a20).

2.難點(diǎn)：探究結(jié)論.

3.關(guān)鍵：講清a20時(shí)，后=a才成立.

教學(xué)過程

一、復(fù)習(xí)引入

老師口述并板收上兩節(jié)課的重要內(nèi)容；

1.形如右(aNO)的式子叫做二次根式;

2.4a(a》0)是一個(gè)非負(fù)數(shù):

3.(4a)2=a(a>0).

那么，我們猜想當(dāng)a》0時(shí)，必=2是否也成立呢？下面我們就來探究這個(gè)問題.

二、探究新知

(學(xué)生活動(dòng))填空:

；A/O.012=

；

(老師點(diǎn)評(píng))：根據(jù)算術(shù)平方根的意義,我們可以得到:

V?=2；Vo.Ol2=0.01；123

To37

因此，一般地：=a(a20)

例1化簡(jiǎn)

(1)V9(2)J(-4)2(3)V25⑷7^37

三、鞏固練習(xí)

教材P7練習(xí)2.

四、應(yīng)用拓展

7

例2填空：當(dāng)a20時(shí)，Vo當(dāng)a<0時(shí)，J相=并根據(jù)這一性質(zhì)

回答下列問題.

(1)若必=a,則a可以是什么數(shù)？

(2)若C=-a,則a可以是什么數(shù)？

(3)J/>a,則a可以是什么數(shù)？

五、歸納小結(jié)

本節(jié)課應(yīng)掌握：疹=a(a20)及其運(yùn)用，同時(shí)理解當(dāng)a<0時(shí)，必M一a的應(yīng)用拓

展.

六、布置作業(yè)

1.教材P8習(xí)題21.13、4、6、8.

2.選作課時(shí)作業(yè)設(shè)計(jì).

3.課后作業(yè)：《同步訓(xùn)練》

教學(xué)后記：

21.2二次根式的乘除

第四課時(shí)

教學(xué)內(nèi)容

4a,4b—\[ab(a》0,b20),反之=G,4b(a10,bNO)及其運(yùn)用.

教學(xué)目標(biāo)

理解C,4b=y/ab(a)0,b20),4ab=Va?y/b(a)0,b》0),并利用它們

進(jìn)行計(jì)算和化簡(jiǎn)

由具體數(shù)據(jù)，發(fā)現(xiàn)規(guī)律，導(dǎo)出五?、歷=而(a20,b20)并運(yùn)用它進(jìn)行計(jì)算；

利用逆向思維，得出值=五-4b(a20,b20)并運(yùn)用它進(jìn)行解題和化簡(jiǎn).

教學(xué)重難點(diǎn)關(guān)鍵

重點(diǎn)：y/a?Jh=\fah(a>0,b20),y/ab=y/a,4b(a20,b20)及它們的運(yùn)

用.

難點(diǎn)：發(fā)現(xiàn)規(guī)律，導(dǎo)出,4b—\[ab(a20,b20).

關(guān)鍵：要講清而(a<O,b<O)=4a\^[b,如V(-2)X(-3)=J-(-2)x-(-3)或

V(-2)X(-3)=V5<3=V2x行.

教學(xué)過程

一、復(fù)習(xí)引入

(學(xué)生活動(dòng))請(qǐng)同學(xué)們完成下列各題.

1.填空

(1)V4xV9=,—4x9=；

(2)V16XV25=,-716x25=.

(3)7100x736=，7100x36=

參考上面的結(jié)果，用“＞、＜或="填空.

"X?V4x9,V16XV25716x25,V100X

V367100x36

2.利用計(jì)算器計(jì)算填空

(1)V2X布)\/6,(2)X-\/5VfO,

(3)V5XyfbJ30,(4)y/4Xy/5J20,

(5)幣XV10V70.

老師點(diǎn)評(píng)(糾正學(xué)生練習(xí)中的錯(cuò)誤)

二、探索新知

(學(xué)生活動(dòng))讓3、4個(gè)同學(xué)上臺(tái)總結(jié)規(guī)律.

老師點(diǎn)評(píng)：(1)被開方數(shù)都是正數(shù)；

(2)兩個(gè)二次根式的乘除等于一個(gè)二次根式，并且把這兩個(gè)二次根式中的數(shù)相乘，作

為等號(hào)另邊二次根式中的被開方數(shù).

?般地，對(duì)二次根式的乘法規(guī)定為

＞[a?\Jb=4ab.(a20,b20)

反過來：[=&?&(a30,b20)

例1.計(jì)算

(1)V5XV7(2)XV9(3)y/9XV27(4)￡義指

例2化簡(jiǎn)

(1),9x16(2)716x81(3)V81X100

(4)^9x2y2(5)V54

分析：利用而=JZ?4b(a20,b20)直接化簡(jiǎn)即可.

三、鞏固練習(xí)

(1)計(jì)算(學(xué)生練習(xí)，老師點(diǎn)評(píng))

①屈義瓜②3mx2M③回?

(2)化簡(jiǎn)：V20;V18;V24;V54;dl2a2b2

教材Pu練習(xí)全部

四、應(yīng)用拓展

例3.判斷卜列各式是否正確，不正確的請(qǐng)予以改正:

(1)J(-4)x(-9)=Cx"

(2)J4—xV25=4X./—XV25=4J—xV25=4712=873

V25V25V25

五、歸納小結(jié)

本節(jié)課應(yīng)掌握：(1)4a,\[b—4ab=(a20,bNO),y/ab=yfa?4b(a20,b

，0)及其運(yùn)用.

六、布置作業(yè)

1.課本P”h4,5,6.(1)(2).

2.選用課時(shí)作業(yè)設(shè)計(jì).

3.課后作業(yè)：《同步訓(xùn)練》

教學(xué)后記：

21.2二次根式的乘除

第五課時(shí)

教學(xué)內(nèi)容

4a_lala_4a

(a，0,b>0),反過來(a>0,b>0)及利用它們進(jìn)行計(jì)算和化簡(jiǎn).

Tb\'b

教學(xué)目標(biāo)

理解條=舊(a'O,b>0)和機(jī)=3(a'O,b>0)及利用它們進(jìn)行運(yùn)算.

利用具體數(shù)據(jù)，通過學(xué)生練習(xí)活動(dòng)，發(fā)現(xiàn)規(guī)律，歸納出除法規(guī)定，并用逆向思維寫出逆

向等式及利用它們進(jìn)行計(jì)算和化簡(jiǎn).

教學(xué)重難點(diǎn)關(guān)鍵

1.重點(diǎn)：理解q=器(a>O,b>0),白呼(a>0,b>0)及利用它們進(jìn)行計(jì)

算和化簡(jiǎn).

2.難點(diǎn)關(guān)鍵：發(fā)現(xiàn)規(guī)律，歸納出二次根式的除法規(guī)定.

教學(xué)過程

一、復(fù)習(xí)引入

（學(xué)生活動(dòng)）請(qǐng)同學(xué)們完成下列各題：

1.寫出二次根式的乘法規(guī)定及逆向等式.

2.填空

V916

(1)716(2)

36

(3)平

V162

7Vi616

規(guī)律：4=

V161636

3.利用計(jì)算器計(jì)算填空:

72不

⑴夕,(2)，(4)

V4耳'⑶7T

規(guī)律：言5也*也*立7

41V33；V55；V8

每組推薦一名學(xué)生上臺(tái)闡述運(yùn)算結(jié)果.

（老師點(diǎn)評(píng)）

二、探索新知

剛才同學(xué)們都練習(xí)都很好，上臺(tái)的同學(xué)也回答得十分準(zhǔn)確，根據(jù)大家的練習(xí)和回答，我

們可以得到：

一般地，對(duì)二次根式的除法規(guī)定：

下面我們利用這個(gè)規(guī)定來計(jì)算和化簡(jiǎn)一些題H.

例1.計(jì)算：（1）半（2）(3

出

分析：上面4小題利用假=聆（a20,b>0）便可直接得出答案.

例2.化簡(jiǎn):

總⑵64b29x5x

(1)(3)(4)

9a264y2169/

[a_s[a

分析：直接利用(a>0,b>0)就可以達(dá)到化簡(jiǎn)之目的.

\'b~7b

三、鞏固練習(xí)

教材P14練習(xí)1.

四、應(yīng)用拓展

半且x為偶數(shù)，求(1+x)/%--5x+4

例3.己知的值.

Vx-6Vx2-l

五、歸納小結(jié)

4a

本節(jié)課要掌握(a>0,b>0)和(a20,b>0)及其運(yùn)用.

y/b

六、布置作業(yè)

1.教材P15習(xí)題21.22、7、8、9.

2.選用課時(shí)作業(yè)設(shè)計(jì).

3.課后作業(yè)：《同步訓(xùn)練》

教學(xué)后記：

21.2二次根式的乘除(3)

第六課時(shí)

教學(xué)內(nèi)容

最簡(jiǎn)二次根式的概念及利用最簡(jiǎn)二次根式的概念進(jìn)行二次根式的化簡(jiǎn)運(yùn)算.

教學(xué)目標(biāo)

理解最簡(jiǎn)二次根式的概念，并運(yùn)用它把不是最簡(jiǎn)二次根式的化成最簡(jiǎn)二次根式.

通過計(jì)算或化筒的結(jié)果來提煉出最簡(jiǎn)二次根式的概念，并根據(jù)它的特點(diǎn)來檢驗(yàn)最后結(jié)果

是否滿足最簡(jiǎn)二次根式的要求.

重難點(diǎn)關(guān)鍵

1.重點(diǎn)：最簡(jiǎn)二次根式的運(yùn)用.

2.難點(diǎn)關(guān)鍵：會(huì)判斷這個(gè)二次根式是否是最簡(jiǎn)二次根式.

教學(xué)過程

一、復(fù)習(xí)引入

(學(xué)生活動(dòng))請(qǐng)同學(xué)們完成下列各題(請(qǐng)三位同學(xué)上臺(tái)板書)

1.計(jì)算(1)卑,(2)(3)

V5<27>J2a

珀市上、亞V3V153A/276&2八

老師點(diǎn)評(píng)：—f==---,-7==—,-7==----

V55V273y/2aa

2.現(xiàn)在我們來看本章引言中的問題：如果兩個(gè)電視塔的高分別是hikm,hzkm,那么它

們的傳播半徑的比是.

'2秋

它們的比是

2Rh,

二、探索新知

觀察上面計(jì)算題1的最后結(jié)果，可以發(fā)現(xiàn)這些式子中的二次根式有如下兩個(gè)特點(diǎn):

1.被開方數(shù)不含分母；

2.被開方數(shù)中不含能開得盡方的因數(shù)或因式.

我們把滿足上述兩個(gè)條件的二次根式，叫做最簡(jiǎn)二次根式.

那么上題中的比是否是最簡(jiǎn)二次根式呢？如果不是，把它們化成最簡(jiǎn)二次根式.

學(xué)生分組討論，推薦3?4個(gè)人到黑板上板書.

老師點(diǎn)評(píng)：不是.

例1.(1)3后;(2)y/x12y4+x4y2;(3)同7

例2.如圖，在RtZXABC中，ZC=90°,AC=2.5cm,BC=6cm,求AB的長(zhǎng).

三、鞏固練習(xí)

教材PM練習(xí)2、3

四、應(yīng)用拓展

例3.觀察下列各式，通過分母有理數(shù)，把不是最簡(jiǎn)二次根式的化成最簡(jiǎn)二次根式:

1_lx(V2-l)=6-1_R,

V2+1(V2+1)(V2-1)-2-1，

1_lx(V3-V2)_V3-V2_a片

一(由+4(GS—7—

同理可得:廠］=4百

V4+V3

從計(jì)算結(jié)果中找出規(guī)律，并利用這?規(guī)律計(jì)算

1\\1

)(V2002+1)的值.

V2+1y/3+V2V4+>/3V2002+72001

五、歸納小結(jié)

本節(jié)課應(yīng)掌握：最筒二次根式的概念及其運(yùn)用.

六、布置作業(yè)

1.教材％習(xí)題21.23、7、10.

2.選用課時(shí)作業(yè)設(shè)計(jì).

3.課后作業(yè)：《同步訓(xùn)練》

教學(xué)后記：

21.3二次根式的加減(1)

第七課時(shí)

教學(xué)內(nèi)容

二次根式的加減

教學(xué)目標(biāo)

理解和掌握二次根式加減的方法.

先提出問題，分析問題，在分析問題中，滲透對(duì)二次根式進(jìn)行加減的方法的理解.再總

結(jié)經(jīng)驗(yàn)，用它來指導(dǎo)根式的計(jì)算和化簡(jiǎn).

重難點(diǎn)關(guān)鍵

1.重點(diǎn)：二次根式化簡(jiǎn)為最簡(jiǎn)根式.

2.難點(diǎn)關(guān)鍵：會(huì)判定是否是最簡(jiǎn)二次根式.

教學(xué)過程

一、復(fù)習(xí)引入

學(xué)生活動(dòng)：計(jì)算下列各式.

(1)2x+3x；(2)2X2-3X2+5X2；(3)x+2x+3y；(4)3a2-2a2+a3

教師點(diǎn)評(píng)：上面題目的結(jié)果，實(shí)際上是我們以前所學(xué)的同類項(xiàng)合并.同類項(xiàng)合并就是字

母不變，系數(shù)相加減.

二、探索新知

學(xué)生活動(dòng)：計(jì)算下列各式.

(1)272+372(2)2&-3也+5瓜

(3)V7+2V7+3J9x7(4)3V3-2-\/3+V2

老師點(diǎn)評(píng)：

所以，二次根式加減時(shí)，可以先將二次根式化成最簡(jiǎn)二次根式，再將被開方數(shù)相同的

二次根式進(jìn)行合并.

例1.計(jì)算

(1)78+718(2)V16X+V64X

例2.計(jì)算

(1)3J48_9+3>fl2

(2)(V48+V20)+(V12-V5)

三、鞏固練習(xí)

教材％練習(xí)1、2.

四、應(yīng)用拓展

2史）的值.

例3.已知4x,+y2-4x-6y+10=0,求(—Xy/9x+y)-(x

3V

五、歸納小結(jié)

本節(jié)課應(yīng)掌握：（1）不是最簡(jiǎn)二次根式的，應(yīng)化成最簡(jiǎn)二次根式；（2）相同的最簡(jiǎn)二次

根式進(jìn)行合并.

六、布置作業(yè)

1.教材PR習(xí)題21.31、2、3、5.

2.選作課時(shí)作業(yè)設(shè)計(jì).

3.課后作業(yè)：《同步訓(xùn)練》

教學(xué)后記：

21.3二次根式的加減（2）

第八課時(shí)

教學(xué)內(nèi)容

利用二次根式化簡(jiǎn)的數(shù)學(xué)思想解應(yīng)用題.

教學(xué)目標(biāo)

運(yùn)用二次根式、化簡(jiǎn)解應(yīng)用題.

通過復(fù)習(xí)，將二次根式化成被開方數(shù)相同的最簡(jiǎn)二次根式，進(jìn)行合并后解應(yīng)用題.

重難點(diǎn)關(guān)鍵

講清如何解答應(yīng)用題既是本節(jié)課的重點(diǎn)，又是本節(jié)課的難點(diǎn)、關(guān)鍵點(diǎn).

教學(xué)過程

一、復(fù)習(xí)引入

上節(jié)課，我們已經(jīng)講了二次根式如何加減的問題，我們把它歸為兩個(gè)步驟：第一步，先

將二次根式化成最簡(jiǎn)二次根式；第二步，再將被開方數(shù)相同的二次根式進(jìn)行合并，下面我們

講三道例題以做鞏固.

二、探索新知

例1.如圖所示的Rt^ABC中，NB=90°,點(diǎn)P從點(diǎn)B開始沿BA邊以1厘米/秒的速度向

點(diǎn)A移動(dòng)；同時(shí)，點(diǎn)Q也從點(diǎn)B開始沿BC邊以2厘米/秒的速度向點(diǎn)C移動(dòng).問：幾秒后△

PBQ的面積為35平方厘米？PQ的距離是多少厘米？（結(jié)果用最簡(jiǎn)二次根式表示）

APB

分析：設(shè)X秒后4PBQ的面積為35平方厘米，那么PB=x,BQ=2x,根據(jù)三角形面積公

式就可以求出x的值.

例2.要焊接如圖所示的鋼架，大約需要多少米鋼材（精確到0.1m）?

分析：此框架是山AB、BC、BD、AC組成，所以要求鋼架的鋼材，只需知道這四段的長(zhǎng)度.

三、鞏固練習(xí)

教材P19練習(xí)3

四、應(yīng)用拓展

例3.若最簡(jiǎn)根式3"即4a+38與根式3+6人是同類二次根式，求a、b的值.（

同類二次根式就是被開方數(shù)相同的最簡(jiǎn)二次根式）

分析：同類二次根式是指幾個(gè)二次根式化成最簡(jiǎn)二次根式后，被開方數(shù)相同；事實(shí)上,

根式J2加-/+6/不是最簡(jiǎn)二次根式，因此把42加-/+612化簡(jiǎn)成

b|,,2a—b+6,才由同類二次根式的定義得3a-b=2,2a-b+6=4a+3b.

解：首先把根式，2a4-8+6b2化為最簡(jiǎn)二次根式:

J2而2-^+6/=J^(2a—i+6)=|b|-J2a—1+6

4a+36=2a—6+6

山題意得4

3a-b-2

.2a+4b=6

3a—b=2

a=l,b=l

五、歸納小結(jié)

本節(jié)課應(yīng)掌握運(yùn)用最簡(jiǎn)二次根式的合并原理解決實(shí)際問題.

六、布置作業(yè)

1.教材Pzi習(xí)題21.37.

2.選用課時(shí)作業(yè)設(shè)計(jì).

3.課后作業(yè)：《同步訓(xùn)練》

教學(xué)后記：

21.3二次根式的加減(3)

第九課時(shí)

教學(xué)內(nèi)容

含有二次根式的單項(xiàng)式與單項(xiàng)式相乘、相除；多項(xiàng)式與單項(xiàng)式相乘、相除；多項(xiàng)式與多

項(xiàng)式相乘、相除；乘法公式的應(yīng)用.

教學(xué)目標(biāo)

含有二次根式的式子進(jìn)行乘除運(yùn)算和含有二次根式的多項(xiàng)式乘法公式的應(yīng)用.

復(fù)習(xí)整式運(yùn)算知識(shí)并將該知識(shí)運(yùn)用于含有二次根式的式子的乘除、乘方等運(yùn)算.

重難點(diǎn)關(guān)鍵

重點(diǎn)：二次根式的乘除、乘方等運(yùn)算規(guī)律；

難點(diǎn)關(guān)鍵：山整式運(yùn)算知識(shí)遷移到含二次根式的運(yùn)算.

教學(xué)過程

一、復(fù)習(xí)引入

學(xué)生活動(dòng)：請(qǐng)同學(xué)們完成下列各題：

1.計(jì)算

(1)(2x+y)?zx(2)(2x2y+3xy2)+xy

2.計(jì)算

(1)(2x+3y)(2x-3y)(2)(2x+l)2+(2x-l)2

老師點(diǎn)評(píng)：這些內(nèi)容是對(duì)八年級(jí)上冊(cè)整式運(yùn)算的再現(xiàn).它主要有(1)單項(xiàng)式X單項(xiàng)式;

(2)單項(xiàng)式X多項(xiàng)式；(3)多項(xiàng)式+單項(xiàng)式；(4)完全平方公式；(5)平方差公式的運(yùn)用.

二、探索新知

如果把上面的x、y、z改寫成二次根式呢？以上的運(yùn)算規(guī)律是否仍成立呢？仍成立.

整式運(yùn)算中的x、y、z是一種字母，它的意義十分廣泛，可以代表所有一切，當(dāng)然也

可以代表二次根式，所以，整式中的運(yùn)算規(guī)律也適用于二次根式.

例1.計(jì)算：

(1)(V6+V8)XV3(2)(4&-3及)+20

例2.計(jì)算

(1)(\/5+6)(3-V5)(2)(A/10^+A/7)(A/10-y/l)

三、鞏固練習(xí)

課本P20練習(xí)1、2.

四、應(yīng)用拓展

五、歸納小結(jié)

本節(jié)課應(yīng)掌握二次根式的乘、除、乘方等運(yùn)算.

六、布置作業(yè)

1.教材P2I習(xí)題21.31、8、9.

2.選用課時(shí)作業(yè)設(shè)計(jì).

3.課后作業(yè)：《同步訓(xùn)練》

教學(xué)后記：

二次根式復(fù)習(xí)課

(第十課)

教學(xué)目標(biāo)

1.使學(xué)生進(jìn)一步理解二次根式的意義及基本性質(zhì)，并能熟練地化簡(jiǎn)含二次根式的式子；

2.熟練地進(jìn)行二次根式的加、減、乘、除混合運(yùn)算.

教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)

重點(diǎn)：含二次根式的式子的混合運(yùn)算.

難點(diǎn)：綜合運(yùn)用二次根式的性質(zhì)及運(yùn)算法則化簡(jiǎn)和計(jì)算含二次根式的式子.

教學(xué)過程設(shè)計(jì)

一、復(fù)習(xí)

1.請(qǐng)同學(xué)回憶二次根式有哪些基本性質(zhì)？用式子表示出來，并說明各式成立的條件.

指出：二次根式的這些基本性質(zhì)都是在一定條件下才成立的，主要應(yīng)用于化簡(jiǎn)二次根式.

2.二次根式的乘法及除法的法則是什么？用式子表示出來.

指出：二次根式的乘、除法則也是在一定條件下成立的.把兩個(gè)二次根式相除，

先寫成分式形式，即、6+、回=.，再運(yùn)用二次根式的除法法則進(jìn)行計(jì)算，計(jì)算,

計(jì)算結(jié)果要把分母有理化.

3.在二次根式的化筒或計(jì)算中，還常用到以下兩個(gè)二次根式的關(guān)系式：

(l)a=(^)2(a>0)；(2)|a|=7?.

4.在含有二次根式的式子的化簡(jiǎn)及求值等問題中，常運(yùn)用三個(gè)可逆的式子：

⑴(憫2=a(a)O)與a=(7^)2(a>0);

(2)-^b=Va?Vb(a^O,b》0)與m?Vb=b>0)；

噬=知)。b〉。)與曾島>0,b〉0).

例如，化簡(jiǎn)7(，可以用3種方法：

⑴直接約分才察=立

⑵分母有理化重=品=近；

⑶看作二次根式的除法*=苧=假=、萬.

5.而不一定能化成(、扃2.

當(dāng)ae0時(shí)，如(石)2=4.(石)2,(0)2=".(而)2,此時(shí)，值

=(、Q2,當(dāng)a<0時(shí)，J(-2)2=厲=(向2,但P無意義，所以J(-2)2戶(4)2,此

時(shí)47r(石廠.

二、例題

例1X取什么值時(shí)，下列各式在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義：

(1)-3-x+Jx—2；(2)------=；

1-代

Jx+2

⑶疹+、尸藥(4)

3x

例2已知m,n為實(shí)數(shù)，且滿足m=也土二，+、2二匚+4,求6m-3n的值.

n-3

例3

■,工音ja2-4a+4J3-a1

計(jì)刊a?-4a+3'TT+7n.

三、課堂練習(xí)

1.選擇題：

(l)7(a-2)2=2-a,a的取值范圍是[]

A.a<2B.a22

C.aW2D.a<2

⑵x<-2時(shí)，J(x+2)2等于[]

A.x+2B.-x-2

C.-x+2D.x-2

(3)化簡(jiǎn)J(x-a)2+J(x+a)2(0〈x〈a)等于[]

A.2xB.2a

C.-2xD.-2a

(4)把根號(hào)外面的因式移入根號(hào)內(nèi),mJW=[]

A.B.正m

C?-J-mD.-石T

(5)若0<x<及+1,則|x+應(yīng)沖卮亞丁等于[]

A.-2企-1B.2x-l

C.2^/2+1D.2V2-1

2.填空題：

⑴若包?有意義，則x的取值范圍是；

⑵若迎=-1,貝Ua的取值范圍是；

a------

(3)化簡(jiǎn)a/J=；

(4)若2*/3m+2n與質(zhì)是同類最簡(jiǎn)二次根式,則門=,m=

(5)化簡(jiǎn)J3a2b*(a>0,b<0)=；

(6)若a〉0,b<0,則同-7^"=；

(7)若|x-5|+J2x+y+6=0,則3x+y-1=；

(8)若l<x<2,則J(x-2)2=；

(9)化簡(jiǎn)-y2)(x4-y")(x〉y〉0)=;

(10)(m-n)J―——j"(m〉n〉0,a<C0)=.

Ym-n------

3.求、后1-717!+200履的值.

4.計(jì)算：

5貶+243-的4-2我

(1)^r+7r7__7TT;

四、小結(jié)

1.本節(jié)課復(fù)習(xí)的五個(gè)基本問題是“二次根式”這一章的主要基礎(chǔ)知識(shí)，同學(xué)們要深刻

理解并牢固掌握.

2.在一次根式的化簡(jiǎn)、計(jì)算及求值的過程中，應(yīng)注意利用題中的使二次根式有意義的

條件（或題中的隱含條件），即被開方數(shù)為非負(fù)數(shù)，以確定被開方數(shù)中的字母或式子的取值范

圍.

3.運(yùn)用二次根式的四個(gè)基本性質(zhì)進(jìn)行二次根式的運(yùn)算時(shí)，一定要注意論述每一個(gè)性質(zhì)

中字母的取值范圍的條件.

4.通過例題的討論，要學(xué)會(huì)綜合、靈活運(yùn)用二次根式的意義、基本性質(zhì)和法則以及有

關(guān)多項(xiàng)式的因式分解，解答有關(guān)含二次根式的式子的化簡(jiǎn)、計(jì)算及求值等問題.

五、作業(yè)

1.x是什么值時(shí)，下列各式在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義？

2.把下列各式化成最簡(jiǎn)二次根式：

⑴,頌；⑵J3a2b3；

⑶唇；（4）產(chǎn)工乂〉力

課后反思：

第二十二章一元二次方程

1、使學(xué)生了解一元二次方程的意義。

學(xué)習(xí)2、通過提供實(shí)際問題的情境，讓學(xué)生感受到在我們的生活、學(xué)習(xí)中方程知識(shí)的

實(shí)際意義。

目標(biāo)3、能夠根據(jù)具體問題中的數(shù)學(xué)關(guān)系，列出程體會(huì)一元二次方程是刻畫現(xiàn)實(shí)世界

的一個(gè)有效的數(shù)學(xué)模型。

學(xué)習(xí)重點(diǎn)建立一元二次方程的概念，認(rèn)識(shí)一元二次方程的一般形式。

學(xué)習(xí)難點(diǎn)在一元二次方程化成一般形式后，如何確定一次項(xiàng)和常數(shù)項(xiàng)。

教學(xué)互動(dòng)設(shè)計(jì)設(shè)計(jì)意圖

一、自主學(xué)習(xí)感受新知鼓勵(lì)學(xué)生獨(dú)立解

【問題1】有一塊面積為900平方米的長(zhǎng)方形綠地，并且長(zhǎng)比寬多10米，決問題，讓學(xué)生

則綠地的長(zhǎng)和寬各為多少？初步感受一元二

【問題2］學(xué)校圖書館去年年底有圖書5萬冊(cè)，預(yù)計(jì)至明年年底增加到次方程，同時(shí)讓

7.2萬冊(cè)，求這兩年的年平均增長(zhǎng)率。學(xué)生體會(huì)方程這

【問題2］學(xué)校要組織一次排球邀請(qǐng)賽，參賽的每?jī)蓚€(gè)隊(duì)之間都要比賽一刻畫現(xiàn)實(shí)世界

一場(chǎng)，根據(jù)場(chǎng)地和時(shí)間等條件，賽程計(jì)劃安排7天，每天安排4場(chǎng)比賽，比的數(shù)學(xué)模型.

賽組織者應(yīng)邀請(qǐng)多少個(gè)隊(duì)參賽？

二、自主交流探究新知

【探究】（1）上面三個(gè)方程左右兩邊是含未知數(shù)的薯匚（填"整式”主體活動(dòng)，探索

"分式""無理式"）；一元二次方程的

(2)方程整理后含有二個(gè)未知數(shù)；定義及其相關(guān)概

(3)按照整式中的多項(xiàng)式的規(guī)定，它們最高次數(shù)是二次.

【歸納】

1、一元二次方程的定義

等號(hào)兩邊都是整式,只含有一個(gè)求知數(shù)(一元)，并且求知數(shù)的最

高次數(shù)是_2_(二次)的方程，叫做一元二次方程。

2、一元二次方程的一般形式

一般地，任何一個(gè)關(guān)于X的一元二次方程，經(jīng)過整理，都能化成如下形

式：判斷一個(gè)方程是

ax+bx+c=O0)不是一元二次方

這種形式叫做一元二次方程的一般形式。其中生。是二次項(xiàng)，生是二次項(xiàng)程，首先要對(duì)其

系數(shù)，處是一次項(xiàng)，上是一次項(xiàng)系數(shù)，U是常數(shù)項(xiàng)。整理成一般形

式，然后根據(jù)定

【注意】方程ax2+bx+c=0只有當(dāng)/0時(shí)才叫一元二次方程，如果a=0,

義判斷。

ft*0時(shí)就是一元一次方程了。所以在一般形式中，必須包含30這個(gè)條件。

【補(bǔ)充練習(xí)】判斷下列方程，哪些是一元二次方程？

(1)x3-2x2+5=0；(2)x2=1；

i3

(3)5X2-2X—=X2-2X+-；(4)2(x+1)2=3(x+1)；

45

(5)x2-2X=X2+1；(6)ax2+bx+c=0

三、自主應(yīng)用鞏固新知

【例1】將方程3x(x-l)=5(/2)化成一元二次方程的一般形式，并寫出進(jìn)一步鞏固一元

其中的二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)及常數(shù)項(xiàng).二次方程的基本

【注意】二次項(xiàng)、二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)、一次項(xiàng)系數(shù)、常數(shù)項(xiàng)都包括前概念

面的符號(hào).

【例2】將方程("1)2+(x-2)(x+2)=1化成一元二次方程的一般形

式，并寫出其中的二次項(xiàng)、二次項(xiàng)系數(shù)；一次項(xiàng)、一次項(xiàng)系數(shù)；常數(shù)項(xiàng).

【例3】求證：關(guān)于x的方程(/?2-8m+17)X2+2/WA-+1=0,不論m取何值,

該方程都是一元二次方程.

【練習(xí)】P2712

四、自主總結(jié)拓展新知

1、0是ax'+bx+c=0成為一元二次方程的必要條件，否則，方程ax~+bx+c=0變?yōu)閎x+c=0,

就不是一元二次方程。

2、找一元二次方程中的二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)、常數(shù)項(xiàng)，應(yīng)先將方程化為一般形式。

五、課堂作業(yè)P2812567(《課堂內(nèi)外》對(duì)應(yīng)練習(xí))

課后反思:

第2課時(shí)一元二次方程(2)

學(xué)習(xí)1、會(huì)進(jìn)行簡(jiǎn)單的一元二次方程的試解；理解方程解的概念。

目標(biāo)2、會(huì)估算實(shí)際問題中方程的解，并理解方程解的實(shí)際意義。

學(xué)習(xí)重點(diǎn)一元二次方程解的探索。

學(xué)習(xí)難點(diǎn)一元二次方程近似解的探索。

教學(xué)互動(dòng)設(shè)計(jì)設(shè)計(jì)意圖

一、自主學(xué)習(xí)感受新知

【問題1］腦方程3x(x-l)=2(x+2)+8化成一般形式，并寫出它的二次項(xiàng)

系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)及常數(shù)項(xiàng)。復(fù)習(xí)鞏固一元二

【問題2】判斷下列方程哪些是一元二次方程？為什么？次方程的相關(guān)概

2念。

?X2+4X+-=0②f+3x-2=x2

X

@x2-2xy-3=0?ax2+bx+c=0

二、自主交流探究新知

【探究】猜測(cè)方程f—x—56=0的解是什么？探究一元二次方

【歸納】使一元二次方程等號(hào)兩邊相等的未知數(shù)的值叫作一元二次方程程根的概念以及

的解，又叫作一元二次方程的根.作用.

【問題3］下面哪些數(shù)是方程2?+10x+12=0的根？

-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4.

【4析】’要而定二個(gè)‘?dāng)?shù)臬否'是g程的根，只要把其代入等式，使等式兩邊進(jìn)一步鞏固方程

的根的含義.

相等即可.

方程的根可以起

解：將上面的這些數(shù)代入后，只有-2和-3滿足方程的等式,所以％=-2或

到檢驗(yàn)的作用一

x=-3是一元二次方程2X2+10X+12=0的兩根.

一檢驗(yàn)一個(gè)數(shù)是

【問題4］認(rèn)真觀察下列方程的結(jié)構(gòu)形式，試寫出下列方程的根，并說出

否是方程的根.

你的理由。

⑴316=0(2)(x+3)(x-2)=0

(3)(X-2)2=49(4)X2-2X+1=25

三、自主應(yīng)用鞏固新知

【例1】若x=2是方程nV+?-5=0的一個(gè)根，你能求出。的值嗎？方程的根的另一

【例2】若尸1是關(guān)于x的一元二次方程ox2+6x+c=0(aH0)的一個(gè)根，求個(gè)作用一一代入

代數(shù)式2007(a+6+c)的值。方程使等號(hào)成

【練習(xí)】P2812立.

四、自主總結(jié)拓展新知

1、一元二次方程根的概念；

2、要會(huì)判斷一個(gè)數(shù)是否是一元二次方程的根；

3、要會(huì)用一些方法求一元二次方程的根.

五、課堂作業(yè)P28348(《課堂內(nèi)外》對(duì)應(yīng)練習(xí))

【補(bǔ)充練習(xí)】

1、方程x(x-l)=2的兩根為【】.

A.X|=0,X2=lB.xi=0,X2=-1C.x\=\,X2=2D.x)=-l,切=2

2

2、方程X-81=0的兩個(gè)根分別是x［=________,x2=___________.

3、已知方程5X2+/7?X-6=0的一個(gè)根是x=3,則m的值為________.

4、若一元二次方程ax2+bx+c=0(a^0)有一個(gè)根為1,則a+6+c=______；若有一個(gè)根是-1,

則6與a、c之間的關(guān)系為________________；若有一個(gè)根為0,則c=__________o

5、如果x=l是方程＜7X2+AX+3=0的一個(gè)根，求(a-h)?+4ab的值.

課后反思:

第3課時(shí)解一元二次方程一一配方法（1）

學(xué)習(xí)

1、使學(xué)生會(huì)用直接開平方法解一元二次方程。

2、滲透轉(zhuǎn)化思想，掌握一些轉(zhuǎn)化的技能。

目標(biāo)

學(xué)習(xí)重點(diǎn)掌握直接開平方法解一元二次方程。

學(xué)習(xí)難點(diǎn)靈活運(yùn)用直接開平方法解一元二次方程。

教學(xué)互動(dòng)設(shè)計(jì)設(shè)計(jì)意圖

一、自主學(xué)習(xí)感受新知

【問題11一桶某種油漆可刷的面積為1500而P,小李用這桶漆恰好刷創(chuàng)設(shè)問題情境，

完10個(gè)同樣的正方體形狀的盒子的全部外表面，你能算出盒子的棱長(zhǎng)嗎？激發(fā)學(xué)生興趣，

引出本節(jié)內(nèi)容.

一自主交流探究新知

［探究】對(duì)照問題1解方程的過程，你認(rèn)為應(yīng)該怎樣解方程（2-1尸=5及鼓勵(lì)學(xué)生獨(dú)立解

方程f+6/9=4?決問題，在解決

方程（2X-1）2=5左邊是一個(gè)整式的平方，右邊是一個(gè)非負(fù)數(shù),根據(jù)平方根問題的過程中體

的意義，可將方程變形為2x-1=±9，即將方程變?yōu)?x-l=J?和會(huì)解簡(jiǎn)單的一元

二次方程的思想

2x—l=-行兩個(gè)一元一次方程,從而得到方程（2X-1）2=5的兩個(gè)解為

"降次"一一把

1+V51-75二次降為一次，

X1--，必一八。進(jìn)而解一元一次

22

方程即可.

在解上述方程的過程中，實(shí)質(zhì)上是把一個(gè)一元二次方程"降次"，轉(zhuǎn)化

為兩個(gè)一元一次方程，這樣問題就容易解決了。

方程f+6x+9=4的左邊是完全平方式，這個(gè)方程可以化成（x+3尸=4,進(jìn)

行降次，得到x+3=±2,方程的根為x,=d,檢=岳

【歸納】在解一元二次方程時(shí)通常通過"降次"把它轉(zhuǎn)化為兩個(gè)一元一

次方程.

即，如果方程能