第講信號之一

通信系統(tǒng)原理教程第3講信號之一

2024/5/101本講內(nèi)容(第二章:信號)信號的類型確知信號的性質(zhì)（復(fù)習(xí)內(nèi)容）隨機(jī)信號的性質(zhì)常見隨機(jī)變量舉例隨機(jī)變量的數(shù)字特征隨機(jī)過程高斯過程窄帶隨機(jī)過程正弦波加窄帶高斯過程信號通過線性系統(tǒng)2024/5/1022.1信號的類型2.1.1確知信號和隨機(jī)信號

確知信號:取值在任何時(shí)間是確定的和可預(yù)知的.分周期信號和非周期信號.

隨機(jī)信號:任何時(shí)間取值不確定且不能事先預(yù)知的.但具有統(tǒng)計(jì)特性.2.1.2能量信號和功率信號信號的功率:電流在單位電阻上消耗的功率(歸一化功率).

設(shè)R=1,則P=V2/R=I2R=V2=I2(w)信號的能量：設(shè)S代表V或I，若S隨時(shí)間變化，則寫為s(t),

于是，信號的能量E=s2(t)dt(焦耳)能量信號：滿足平均功率： ，故能量信號的P=0。功率信號：P0的信號，即持續(xù)時(shí)間無窮的信號。注意:能量信號的能量有限，但平均功率為0。(限時(shí)信號,如單個(gè)脈沖信號)功率信號的平均功率有限，但能量為無窮大。(周期性信號,如正弦波等)返回2024/5/1032.2確知信號的性質(zhì)（復(fù)習(xí)內(nèi)容）2.2.1頻域性質(zhì)(頻譜、頻譜密度、能量譜密度、功率譜密度)功率信號的頻譜

周期性功率信號s(t)的傅里葉級數(shù)表示法其頻譜:C(jnω0)=周期性功率信號的頻譜是離散的.S(t)用傅里葉級數(shù)表示:【例2.1】試求周期性方波的頻譜。【例2.2】試求全波整流后的正弦波的頻譜。

2024/5/104能量信號的頻譜密度 設(shè)一能量信號為s(t)，則其頻譜密度為：

S()的逆變換為原信號：

【例2.3】試求一個(gè)矩形脈沖的頻譜密度。 解：設(shè)此矩形脈沖的表示式為 則它的頻譜密度就是它的傅里葉變換：2024/5/105

【例2.4】試求抽樣函數(shù)的波形和頻譜密度。

解：抽樣函數(shù)的定義是 而Sa(t)的頻譜密度為： 和上例比較可知，Sa(t)的波形和上例中的G()曲線相同，而Sa(t)的頻譜密度Sa()的曲線和上例中的g(t)波形相同。

【例2.5】單位沖激函數(shù)及其頻譜密度。 解：單位沖激函數(shù)常簡稱為函數(shù)，其定義是：

(t)的頻譜密度：2024/5/106

(t)及其頻譜密度的曲線函數(shù)的物理意義 高度為無窮大，寬度為無窮小，面積為1的脈沖。用抽樣函數(shù)Sa(t)表示函數(shù)：Sa(t)有如下性質(zhì) 當(dāng)k時(shí)，振幅， 波形的零點(diǎn)間隔0， 故有tttf

(f)10t

(t)0ttt2024/5/107函數(shù)的性質(zhì)對f(t)的抽樣：函數(shù)是偶函數(shù)：函數(shù)是單位階躍函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：能量信號的頻譜密度S(f)和功率信號的頻譜C(jn0)的區(qū)別:S(f)－能量有限,連續(xù)譜；C(jn0)－平均功率有限,離散譜S(f)的單位：V/Hz；C(jn0)的單位：Vu

(t)=

(t)

t10圖2.2.6單位階躍函數(shù)2024/5/108

【例2.6】試求無限長余弦波的頻譜密度。

解：設(shè)一個(gè)余弦波的表示式為f(t)=cos

0t，則其頻譜密度F(

)按式(2.2-10)計(jì)算，可以寫為上式可以改寫為引入

(t)，就能將頻譜密度概念推廣到功率信號上。t

0－

00(b)頻譜密度(a)波形2024/5/109能量譜密度

設(shè)一個(gè)能量信號s(t)的能量為E，則其能量由下式?jīng)Q定： 若此信號的頻譜密度為S(f)，則由巴塞伐爾定理得知： 上式中|S(f)|2稱為能量譜密度，也可以看作是單位頻帶內(nèi)的信號能量。上式可以改寫為：式中，G(f)＝ |S(f)|2（J/Hz）

為能量譜密度。G(f)的性質(zhì)：因s(t)是實(shí)函數(shù)，故|S(f)|2是偶函數(shù)，∴

2024/5/1010功率譜密度 由于功率信號的能量為無窮大,令s(t)的截短信號為sT(t)，將其等效為能量信號,在-T/2<t<T/2，有

定義功率譜密度為： 得到信號功率：

對周期為T0的功率信號,可用傅立葉級數(shù)代替傅立葉變換:

功率譜密度p(f)用函數(shù)表示為:

2024/5/1011

2.2.2時(shí)域性質(zhì)自相關(guān)函數(shù)能量信號的自相關(guān)函數(shù)定義功率信號的自相關(guān)函數(shù)定義可見,自相關(guān)函數(shù)反映了信號與其自身延遲秒后的信號間的相關(guān)程度.性質(zhì)R()只和有關(guān)，和t無關(guān)當(dāng)=0時(shí)，能量信號的R()等于信號的能量； 功率信號的R()等于信號的平均功率。2024/5/1012互相關(guān)函數(shù)能量信號的互相關(guān)函數(shù)定義功率信號的互相關(guān)函數(shù)定義性質(zhì)(互相關(guān)函數(shù)反映了一個(gè)信號與延遲秒后另一個(gè)信號間的相關(guān)程度)R12(

)只和有關(guān)，和t無關(guān)；

證：令x=t+

，則返回2024/5/10132.3隨機(jī)信號的性質(zhì)2.3.1隨機(jī)變量的概率分布隨機(jī)變量的概念：若某種試驗(yàn)A的隨機(jī)結(jié)果用X表示，則稱此X為一個(gè)隨機(jī)變量，并設(shè)它的取值為x。例如，在一定時(shí)間內(nèi)電話交換臺收到的呼叫次數(shù)是一個(gè)隨機(jī)變量。隨機(jī)變量的分布函數(shù)：定義：FX(x)=P(X

x)

性質(zhì)：

P(a<X

b)+P(X

a)=P(X

b),

P(a<X

b)=P(X

b)–P(X

a)，

∴

P(a<X

b)=FX(b)–FX(a)

在數(shù)字通信系統(tǒng)中,收端總是不可預(yù)知發(fā)端發(fā)送的消息,且噪聲和一些無線信道的特性變化也是隨機(jī)的.但可通過長期觀察得到其統(tǒng)計(jì)規(guī)律.2024/5/1014離散隨機(jī)變量的分布函數(shù)設(shè)X的取值為：x1

x2…xi…xn，其取值的概率分別為p1,p2,…,pi,…,pn，則有

P

(X<x1)=0, P(Xxn)=1

∵P(Xxi)=P(X=x1)+P(X=x2)+…+P(X=xi),

∴性質(zhì)

FX(-)=0FX(+)=1

若x1<x2，則有: FX(x1)FX(x2)，為單調(diào)增函數(shù)。2024/5/1015連續(xù)隨機(jī)變量的分布函數(shù)

當(dāng)x連續(xù)時(shí)，由定義分布函數(shù)定義

FX(x)=P(X

x)

可知，F(xiàn)X(x)為一連續(xù)單調(diào)遞增函數(shù)：2024/5/10162.3.2隨機(jī)變量的概率密度連續(xù)隨機(jī)變量的概率密度pX(x)pX(x)的定義pX(x)的意義pX(x)是FX(x)的導(dǎo)數(shù)，是FX(x)曲線的斜率能夠從pX(x)求出P(a<X

b)：pX(x)的性質(zhì)

FX(x)是單調(diào)遞增的.

pX(x)

02024/5/1017離散隨機(jī)變量的概率密度 離散隨機(jī)變量的分布函數(shù)可以寫為： 式中，pi

－x=xi

的概率

u(x)

－單位階躍函數(shù) 將上式兩端求導(dǎo)，得到其概率密度：

性質(zhì) 當(dāng)x

xi

時(shí)，px(x)=0， 當(dāng)x=xi

時(shí)，px(x)=

返回2024/5/1018

2.4常見隨機(jī)變量舉例正態(tài)分布隨機(jī)變量定義：概率密度式中，

>0,a=常數(shù)概率密度曲線：2024/5/1019均勻分布隨機(jī)變量定義：概率密度

式中，a，b為常數(shù)概率密度曲線bax0pA(x)2024/5/1020瑞利(Rayleigh)分布隨機(jī)變量定義：概率密度為式中，a>0，為常數(shù)。概率密度曲線返回2024/5/10212.5隨機(jī)變量的數(shù)字特征

2.5.1數(shù)學(xué)期望定義：對于連續(xù)隨機(jī)變量定義:性質(zhì)

若X和Y互相獨(dú)立，且E(X)和E(Y)存在。

2024/5/1022

2.5.2方差定義： 式中，方差的改寫： 證：對于離散隨機(jī)變量，對于連續(xù)隨機(jī)變量，性質(zhì)D(C)=0

D(X+C)=D(X)，D(CX)=C2D(X)

D(X+Y)=D(X)+D(Y)D(X1+X2+…+Xn)=D(X1)+D(X2)+…+D(Xn)

2024/5/10232.5.3矩定義：隨機(jī)變量X的k階矩為k階原點(diǎn)矩：a=0時(shí)的矩：k階中心矩： 時(shí)的矩：性質(zhì)一階原點(diǎn)矩為數(shù)學(xué)期望：二階中心矩為方差：返回2024/5/1024隨機(jī)過程的基本概念平穩(wěn)隨機(jī)過程各態(tài)歷經(jīng)性平穩(wěn)隨機(jī)過程的自相關(guān)函數(shù)和功率譜密度2.6隨機(jī)過程返回2024/5/1025

2.6.1隨機(jī)過程的基本概念X(A,t)－事件A的全部可能“實(shí)現(xiàn)”的總體；X(Ai,t)－事件A的一個(gè)實(shí)現(xiàn)，為確定的時(shí)間函數(shù)；X(A,tk)－在給定時(shí)刻tk上的函數(shù)值。簡記：X(A,t)

X(t) X(Ai,t)

Xi(t)例：接收機(jī)噪聲隨機(jī)過程的數(shù)字特征統(tǒng)計(jì)平均值：方差：自相關(guān)函數(shù)：2024/5/1026

2.6.2平穩(wěn)隨機(jī)過程平穩(wěn)隨機(jī)過程的定義 統(tǒng)計(jì)特性與時(shí)間起點(diǎn)無關(guān)的隨機(jī)過程。 （又稱嚴(yán)格平穩(wěn)隨機(jī)過程）廣義平穩(wěn)隨機(jī)過程的定義 平均值、方差和自相關(guān)函數(shù)等與時(shí)間起點(diǎn)無關(guān)的隨機(jī)過程。廣義平穩(wěn)隨機(jī)過程的性質(zhì)

嚴(yán)格平穩(wěn)隨機(jī)過程一定也是廣義平穩(wěn)隨機(jī)過程。但是，廣義平穩(wěn)隨機(jī)過程就不一定是嚴(yán)格平穩(wěn)隨機(jī)過程。

2024/5/1027

2.6.3各態(tài)歷經(jīng)性“各態(tài)歷經(jīng)”的含義 平穩(wěn)隨機(jī)過程的一個(gè)實(shí)現(xiàn)能夠經(jīng)歷此過程的所有狀態(tài)。各態(tài)歷經(jīng)過程的特點(diǎn)：可用時(shí)間平均值代替統(tǒng)計(jì)平均值，例各態(tài)歷經(jīng)過程的統(tǒng)計(jì)平均值mX：各態(tài)歷經(jīng)過程的自相關(guān)函數(shù)RX():一個(gè)隨機(jī)過程若具有各態(tài)歷經(jīng)性，則它必定是嚴(yán)格平穩(wěn)隨機(jī)過程。但是，嚴(yán)格平穩(wěn)隨機(jī)過程就不一定具有各態(tài)歷經(jīng)性。

2024/5/1028穩(wěn)態(tài)通信系統(tǒng)的各態(tài)歷經(jīng)性： 假設(shè)信號和噪聲都是各態(tài)歷經(jīng)的。一階原點(diǎn)矩mX

=E[X(t)]－是信號的直流分量；一階原點(diǎn)矩的平方mX

2－是信號直流分量的歸一化功率；二階原點(diǎn)矩E[X2(t)]－是信號歸一化平均功率；二階原點(diǎn)矩的平方根{E[X2(t)]}1/2

－是信號電流或電壓的 均方根值（有效值）；二階中心矩

X2

－是信號交流分量的歸一化平均功率;若mX

=mX

2=0，則

X2=E[X2(t)]；標(biāo)準(zhǔn)偏離

X

－是信號交流分量的均方根值；若mX=0，則

X就是信號的均方根值。2024/5/1029

2.6.4平穩(wěn)隨機(jī)過程的自相關(guān)函數(shù)和功率譜密度自相關(guān)函數(shù)的性質(zhì)

功率頻譜密度的性質(zhì)

復(fù)習(xí)：確知信號的功率譜密度：類似地，平穩(wěn)隨機(jī)過程的功率譜密度為：平均功率：2024/5/1030自相關(guān)函數(shù)和功率譜密度的關(guān)系

上式表明，PX(f)和R(

)是一對傅里葉變換PX(f)的性質(zhì)：PX(f)

0,