高中數(shù)學(xué)知識點梳理

【知識點梳理】

_隹A

、水口

1.集合：某些指定的對象集在一起成為集合。

（1）集合中的對象稱元素，若。是集合4的元素，記作“wZ；若6不是集合4的元素,

記作6史A；

（2）集合中的元素必須滿足：確定性、互異性與無序性；

確定性：設(shè)/是一個給定的集合，x是某一個具體對象，則或者是N的元素，或者

不是力的元素，兩種情況必有一種且只有一種成立；

互異性：一個給定集合中的元素，指屬于這個集合的互不相同的個體（對象），因

此，同一集合中不應(yīng)重復(fù)出現(xiàn)同一元素；

無序性：集合中不同的元素之間沒有地位差異，集合不同于元素的排列順序無關(guān)；

（3）表示一個集合可用列舉法、描述法或圖示法；

列舉法：把集合中的元素一一列舉出來，寫在大括號內(nèi)；

描述法：把集合中的元素的公共屬性描述出來，寫在大括號｛｝內(nèi)。

具體方法：在大括號內(nèi)先寫上表示這個集合元素的一般符號及取值（或變化）范圍，再

畫一條豎線，在豎線后寫出這個集合中元素所具有的共同特征。

注意：列舉法與描述法各有優(yōu)點，應(yīng)該根據(jù)具體問題確定采用哪種表示法，要注意，一

般集合中元素較多或有無限個元素時，不宜采用列舉法。

（4）常用數(shù)集及其記法：

非負(fù)整數(shù)集（或自然數(shù)集），記作N；

正整數(shù)集，記作N*或N+；

整數(shù)集，記作Z；

有理數(shù)集，記作Q；

實數(shù)集，記作R。

2.集合的包含關(guān)系：

（1）集合力的任何一個元素都是集合8的元素，則稱力是8的子集（或8包含/）,

記作（或NuB）；

集合相等：構(gòu)成兩個集合的元素完全一樣。若工￡8且83/,則稱/等于8,記作/=&

若2=8且/W8,則稱/是8的真子集，記作ZB；二

（2）簡單性質(zhì)：2）①q43）若AqB,B^C,則/口C；4）若集合工

是n個元素的集合，則集合4有2n個子集（其中21'—1個真子集）；

3.全集與補(bǔ)集：

（1）包含了我們所要研究的各個集合的全部元素的集合稱為全集，記作U；

（2）若S是一個集合，/=S,則，Cs=｛x|xeS目/e/｝稱S中子集”的補(bǔ)集；

（3）簡單性質(zhì)：1）Cs（Cs）=4；2）CsS=①，CSO=So

4.交集與并集：

（1）一般地，由屬于集合Z且屬于集合8的元素所組成的集合，叫做集合/與8的交

集。交集NcB=｛x|xw4且x€6｝。

（2）一般地，山所有屬于集合/或?qū)儆诩?的元素所組成的集合，稱為集合4與8

的并集。并集=｛x|xe/或xe8｝。

注意：求集合的并、交、補(bǔ)是集合間的基本運算，運算結(jié)果仍然還是集合，區(qū)分交集與并集

的關(guān)鍵是''且"與“或”，在處理有關(guān)交集與并集的問題時，常常從這兩個字眼出發(fā)去揭示、

挖掘題設(shè)條件，結(jié)合Venn圖或數(shù)軸進(jìn)而用集合語言表達(dá)，增強(qiáng)數(shù)形結(jié)合的思想方法。

5.集合的簡單性質(zhì)：

(1)===

(2)4u①=4ZD3=8u4;

(3)(Zc8)q(4

(4)A口BoAcB=A;A7B=AuB=B；

(5)Cs(4AB)=(CSA)U(CsB)fCs(/U8)=(CSA)A(CSB)O

二、函數(shù)概念與表示

1.函數(shù)的概念：

設(shè)力、5是非空的數(shù)集，如果按照某個確定的對應(yīng)關(guān)系/，使對于集合4中的任意一個

數(shù)x,在集合B中都有唯一確定的數(shù)加0和它對應(yīng)，那么就稱f-.A-B為從集合A到集合B

的一個函數(shù)。記作：產(chǎn)/(x),xGA.其中，x叫做自變量，x的取值范圍/叫做函數(shù)的定義域;

與x的值相對應(yīng)的y值叫做函數(shù)值，函數(shù)值的集合xe/｝叫做函數(shù)的值域。

注意：(1)“月㈤”是函數(shù)符號,可以用任意的字母表示,如“尸g(x)”；

(2)函數(shù)符號“月仁)”中的｛x)表示與x對應(yīng)的函數(shù)值，一個數(shù)，而不是/乘X。

2.構(gòu)成函數(shù)的三要素：定義域、對應(yīng)關(guān)系和值域

(1)解決一切函數(shù)問題必須認(rèn)真確定該函數(shù)的定義域，函數(shù)的定義域包含三種形式：

①自然型：指函數(shù)的解析式有意義的自變量x的取值范圍(如：分式函數(shù)的分母不為零，

偶次根式函數(shù)的被升方數(shù)為非負(fù)數(shù)，對數(shù)函數(shù)的真數(shù)為正數(shù)，等等)；

②限制型：指命題的條件或人為對自變量x的限制，這是函數(shù)學(xué)習(xí)中重點，往往也是難

點，因為有時這種限制比較隱蔽，容易犯錯誤；

③實際型：解決函數(shù)的綜合問題與應(yīng)用問題時，應(yīng)認(rèn)真考察自變量x的實際意義。

(2)求函數(shù)的值域是比較困難的數(shù)學(xué)問題，中學(xué)數(shù)學(xué)要求能用初等方法求一些簡單函

數(shù)的值域問題。

①配方法(將函數(shù)轉(zhuǎn)化為二次函數(shù))；②判別式法(將函數(shù)轉(zhuǎn)化為二次方程)；③不等

式法(運用不等式的各種性質(zhì))；④函數(shù)法(運用基本函數(shù)性質(zhì)，或抓住函數(shù)的單調(diào)性、函

數(shù)圖象等)。

3.兩個函數(shù)的相等：

函數(shù)的定義含有三個要素，即定義域/、值域C和對應(yīng)法則人當(dāng)函數(shù)的定義域及從定

義域到值域的對應(yīng)法則確定之后，函數(shù)的值域也就隨之確定。因此，定義域和對應(yīng)法則為函

數(shù)的兩個基本條件，當(dāng)且僅當(dāng)兩個函數(shù)的定義域和對應(yīng)法則都分別相同時，這兩個函數(shù)才是

同一個函數(shù)。

4.區(qū)間

(1)區(qū)間的分類：開區(qū)間、閉區(qū)間、半開半閉區(qū)間；

(2)無窮區(qū)間；

(3)區(qū)間的數(shù)軸表示。

5.映射的概念

一般地，設(shè)4、8是兩個非空的集合，如果按某一個確定的對應(yīng)法則/,使對于集合4

中的任意一個元素X,在集合8中都有唯?確定的元素y與之對應(yīng)，那么就稱對應(yīng)了4TB

為從集合力到集合8的一個映射。記作4TB”。

函數(shù)是建立在兩個非空數(shù)集間的一種對應(yīng)，若將其中的條件“非空數(shù)集”弱化為“任意

兩個非空集合”，按照某種法則可以建立起更為普通的元素之間的對應(yīng)關(guān)系，這種的對應(yīng)就

叫映射。

注意：(1)這兩個集合有先后順序，4到8的射與8到/的映射是截然不同的.其中/

表示具體的對應(yīng)法則，可以用漢字?jǐn)⑹觥?/p>

(2)“都有唯一”什么意思？

包含兩層意思：一是必有一個；二是只有一個，也就是說有且只有一個的意思。

6.常用的函數(shù)表示法

(1)解析法：就是把兩個變量的函數(shù)關(guān)系，用一個等式來表示，這個等式叫做函數(shù)的

解析表達(dá)式，簡稱解析式；

(2)列表法：就是列出表格來表示兩個變量的函數(shù)關(guān)系；

(3)圖象法：就是用函數(shù)圖象表示兩個變量之間的關(guān)系。

7.分段函數(shù)

若一個函數(shù)的定義域分成了若干個子區(qū)間，而每個子區(qū)間的解析式不同，這種函數(shù)又稱

分段函數(shù)；

8.復(fù)合函數(shù)

若產(chǎn)Au)，u=g(x)Qe(a,b),ue(m,n),那么y=/[g(x)]稱為復(fù)合函數(shù)，u稱為中間變量,

它的取值范圍是g(x)的值域。

三、函數(shù)的基本性質(zhì)

1.奇偶性

(1)定義：如果對于函數(shù)外)定義域內(nèi)的任意x都有X-x尸一Ax),則稱/(X)為奇函數(shù)；

如果對于函數(shù)次X)定義域內(nèi)的任意x都有八一x)=/a),則稱火X)為偶函數(shù)。

如果函數(shù)人尤)不具有上述性質(zhì)，則加)不具有奇偶性.如果函數(shù)同時具有上述兩條性質(zhì)，

則人X)既是奇函數(shù)，又是偶函數(shù)。

注意：

①函數(shù)是奇函數(shù)或是偶函數(shù)稱為函數(shù)的奇偶性，函數(shù)的奇偶性是函數(shù)的整體性質(zhì)；

?山函數(shù)的奇偶性定義可知，函數(shù)具有奇偶性的一個必要條件是，對于定義域內(nèi)的任

意一個X,則一X也一定是定義域內(nèi)的一個自變量(即定義域關(guān)于原點對稱)。

(2)利用定義判斷函數(shù)奇偶性的格式步驟：

①首先確定函數(shù)的定義域，并判斷其定義域是否關(guān)于原點對稱；

?確定7(-X)與/(X)的關(guān)系；

?作出相應(yīng)結(jié)論：

若大-x)=/(x)或/(—X)—/(x)=0,則y(x)是偶函數(shù)；

若/-x)=—7(x)或負(fù)-x)+/(x)=0,則y(x)是奇函數(shù)。

(3)簡單性質(zhì):

①圖象的對稱性質(zhì)：一個函數(shù)是奇函數(shù)的充要條件是它的圖象關(guān)于原點對稱；一個函

數(shù)是偶函數(shù)的充要條件是它的圖象關(guān)于y軸對稱；

②設(shè)/(X)，g(x)的定義域分別是4，那么在它們的公共定義域上：

奇+奇=奇，奇、奇=偶，偶+偶=偶，偶、偶=偶，奇、偶=奇

2.單調(diào)性

（1）定義：一般地，設(shè)函數(shù)月（x）的定義域為L如果對于定義域I內(nèi)的某個區(qū)間D

內(nèi)的任意兩個自變量Xl，M，當(dāng)X|<X2時，都有7UD勺（X2）（兀^）>〃2）），那么就說,段）在區(qū)間

。上是增函數(shù)（減函數(shù)）：

注意：

①函數(shù)的單調(diào)性是在定義域內(nèi)的某個區(qū)間上的性質(zhì)，是函數(shù)的局部性質(zhì)；

?必須是對于區(qū)間。內(nèi)的任意兩個自變量X”X2；當(dāng)X|<X2時，總有/S）勺（X2）

（2）如果函數(shù)月（X）在某個區(qū)間上是增函數(shù)或是減函數(shù)，那么就說函數(shù)Ex）在這一區(qū)

間具有（嚴(yán)格的）單調(diào)性，區(qū)間。叫做內(nèi)（X）的單調(diào)區(qū)間。

（3）設(shè)復(fù)合函數(shù)y=/[g（x）],其中w=g（x）,A是產(chǎn)?、臸定義域的某個區(qū)間，B是映射g:

X—w=g（x）的象集：

①若w=g（x）在/上是增（或減）函數(shù)，尸人"）在8上也是增（或減）函數(shù)，則函數(shù)y=

./[g（x）]在/上是增函數(shù)；

②若w=g（x）在N上是增（或減）函數(shù)，而產(chǎn)X"）在8上是減（或增）函數(shù)，則函數(shù)尸/[g（x）]

在/上是減函數(shù)。

（4）判斷函數(shù)單調(diào)性的方法步驟

利用定義證明函數(shù)兀v）在給定的區(qū)間D匕的單調(diào)性的一般步驟：

①任取X],X2ez）,且X|?：2；

@作差/1）一/2）；

?變形（通常是因式分解和配方）；

?定號（即判斷差負(fù)川一人初）的正負(fù)）；

?下結(jié)論（即指出函數(shù)人對在給定的區(qū)間。上的單調(diào)性）。

（5）簡單性質(zhì)

①奇函數(shù)在其對稱區(qū)間上的單調(diào)性相同；

②偶函數(shù)在其對稱區(qū)間上的單調(diào)性相反；

③在公共定義域內(nèi)：

增函數(shù)/（X）+增函數(shù)g（X）是增函數(shù)：

減函數(shù)/（x）+減函數(shù)g（x）是減函數(shù)：

增函數(shù)/（X）-減函數(shù)g（x）是增函數(shù)；

減函數(shù)/（X）-增函數(shù)g（x）是減函數(shù)。

3.最值

（1）定義：

最大值：一般地，設(shè)函數(shù)產(chǎn)傘）的定義域為人如果存在實數(shù)M滿足：①對于任意的x

ei,都有/（x）WM；②存在劭右/,使得7（xo）=M。那么，稱M是函數(shù)月（x）的最大值。

最小值：?般地，設(shè)函數(shù)月。）的定義域為/,如果存在實數(shù)M滿足：①對于任意的x

GZ，都有4x）NM；②存在劭日，使得式x0）=M。那么，稱M是函數(shù)閆（x）的最大值。

注意：

①函數(shù)最大（小）首先應(yīng)該是某一個函數(shù)值，即存在沏61,使得｛ro）=M；

?函數(shù)最大（?。?yīng)該是所有函數(shù)值中最大（小）的，即對于任意的xe/,都有人刈

WM

（2）利用函數(shù)單調(diào)性的判斷函數(shù)的最大（小）值的方法：

①利用二次函數(shù)的性質(zhì)（配方法）求函數(shù)的最大（?。┲担?/p>

②利用圖象求函數(shù)的最大（?。┲担?/p>

?利用函數(shù)單調(diào)性的判斷函數(shù)的最大（?。┲担?/p>

如果函數(shù)內(nèi)㈤在區(qū)間［。，加上單調(diào)遞增，在區(qū)間［b,c］上單調(diào)遞減則函數(shù)內(nèi)㈤在x=b

處有最大值人6）;

如果函數(shù)內(nèi)（x）在區(qū)間口，6］上單調(diào)遞減，在區(qū)間［b,c］上單調(diào)遞增則函數(shù)內(nèi)⑶在x=b

處有最小值｛6）;

4.周期性

（1）定義:如果存在一個非零常數(shù)T,使得對于函數(shù)定義域內(nèi)的任意x,都有火x+7>人x）,

則稱義x）為周期函數(shù)；

TT

（2）性質(zhì)：①/（x+TXx）常常寫作/。+5）=/。-2）,若負(fù)刈的周期中，存在??個最小

的正數(shù)，則稱它為外）的最小正周期；②若周期函數(shù)次X）的周期為T,則人3尤）（3#0）是

周期函數(shù)，且周期為工。

四、基本初等函數(shù)

1.指數(shù)與對數(shù)運算

（1）根式的概念：

①定義：若一個數(shù)的〃次方等于雙〃>1,.且”eN*）,則這個數(shù)稱。的〃次方根。即若

xtl=a,則x稱。的〃次方根〃〉1月刀wN*）,

1）當(dāng)〃為奇數(shù)時，a的〃次方根記作我；

2）當(dāng)〃為偶數(shù)時，負(fù)數(shù)。沒有〃次方根，而正數(shù)a有兩個〃次方根且互為相反數(shù)，記

作土布（a>0）o

②性質(zhì)：1）即）"=a；2）當(dāng)〃為奇數(shù)時，也F=a

a{a>0）

3）當(dāng)〃為偶數(shù)時，折=|a|=<

-a（a<0）

（2）.幕的有關(guān)概念

①規(guī)定：1）a"=a?a...a（neN*；2）a°=l（ow0）；

n個

?nt__

n

3）a"=F（peQ,4）a>0,m、nGN*且〃>1）。

②性質(zhì)：1）優(yōu)?QS=Q"S（Q>0,、sEQ）；

2)(ar)s=ars(a>0,r>sGQ)；

3）（a-b）r=ar-br（a>0,6>0,rGQ）。

（注）上述性質(zhì)對r、SER均適用。

（3）.對數(shù)的概念

①定義：如果。（。〉0,且awl）的6次幕等于N,就是/=N,那么數(shù)b稱以a為底

N的對數(shù)，記作log“N=6,其中。稱對數(shù)的底，N稱真數(shù)。

1）以10為底的對數(shù)稱常用對數(shù)，logioN記作IgN；

2）以無理數(shù)e（e=2.71828…）為底的對數(shù)稱自然對數(shù)，log,N,記作InN；

②基本性質(zhì)：

1）真數(shù)N為正數(shù)（負(fù)數(shù)和零無對數(shù)）；2）log。1=0；

3）logfla=1；4）對數(shù)恒等式：〃°g"W=N。

③運算性質(zhì)：如果a>0,a工0,A/>0,N>0,則

1)log?(W)=logaM+logaN；

2)log,,—=logflM-logaN；

n

3)logaM=wlogaGR)o

logN

④換底公式：log.N=&nt(a>0,aw0,加>0,加w1,N>0),

log,”a

Yl

1）10gb-loga=1；2）logbn=—logZ>?

afttna

2.指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)

（1）指數(shù)函數(shù)：

①定義：函數(shù)y=a%a〉0,月。W1）稱指數(shù)函數(shù),

1）函數(shù)的定義域為R；2）函數(shù)的值域為（0,+8）；

3）當(dāng)0<。<1時函數(shù)為減函數(shù)，當(dāng)。>1時函數(shù)為增函數(shù)。

②函數(shù)圖像：

1）指數(shù)函數(shù)的圖象都經(jīng)過點（0,1）,且圖象都在第一、二象限；

2）指數(shù)函數(shù)都以x軸為漸近線（當(dāng)0<“<1時，圖象向左無限接近x軸，當(dāng)。〉1時,

圖象向右無限接近X軸）；

3）對于相同的。（a〉0,且awl）,函數(shù)y="與的圖象關(guān)于y軸對稱。

③函數(shù)值的變化特征：

0<47<1a>1

①x〉0時0<y<1,①x>0時y>1,

②x=0時y=1,②x=0時y=1,

③x<0時y〉1③x<0時0<y<1,

（2）對數(shù)函痂一

①定義：函數(shù)歹=1。8“》（。>0,且。/1）稱對數(shù)函數(shù),

1）函數(shù)的定義域為（0,+8）：2）函數(shù)的值域為R；

3）當(dāng)0<。<1時函數(shù)為減函數(shù)，當(dāng)a>1時函數(shù)為增函數(shù)；

4）對數(shù)函數(shù)^=log“x與指數(shù)函數(shù)y=ax（a>0,且aW1）互為反函數(shù)。

②函數(shù)圖像：

1）對數(shù)函數(shù)的圖象都經(jīng)過點（0,1）,且圖象都在第一、四象限；

2）對數(shù)函數(shù)都以》軸為漸近線（當(dāng)0<a<l時，圖象向上無限接近y軸；當(dāng)。>1時,

圖象向下無限接近y軸）；

4）對于相同的。（a〉0,且a工1）,函數(shù)y=logax與y=log〕x的圖象關(guān)于x軸對稱。

③函數(shù)值的變化特征:

0<C7<1a>1

①x>1時y<0,①x>1時y>0,

@x=1時y=0,②x=1時y=0,

③0<x<1時y>0.③x<0時0<y<1.

五、函數(shù)圖象及數(shù)字特征

1.函數(shù)圖象

(1)作圖方法：以解析式表示的函數(shù)作圖象的方法有兩種，即列表描點法和圖象變換法，

掌握這兩種方法是本講座的重點。

作函數(shù)圖象的步驟：①確定函數(shù)的定義域；②化簡函數(shù)的解析式；③討論函數(shù)的性質(zhì)即

單調(diào)性、奇偶性、周期性、最值(甚至變化趨勢)；④描點連線，畫出函數(shù)的圖象。

運用描點法作圖象應(yīng)避免描點前的盲目性，也應(yīng)避免盲目地連點成線.要把表列在關(guān)鍵

處，要把線連在恰當(dāng)處.這就要求對所要畫圖象的存在范圍、大致特征、變化趨勢等作一個

大概的研究。而這個研究要借助于函數(shù)性質(zhì)、方程、不等式等理論和手段，是一個難點,用

圖象變換法作函數(shù)圖象要確定以哪一種函數(shù)的圖象為基礎(chǔ)進(jìn)行變換，以及確定怎樣的變換，

這也是個難點。

(2)三種圖象變換：平移變換、對稱變換和伸縮變換等等；

①平移變換：

I、水平平移：函數(shù)_y=/(x+。)的圖像可以把函數(shù)y=/(x)的圖像沿x軸方向向左

(“>0)或向右(a<0)平移||個單位即可得到；

左移〃右移〃

1)y=f(x)Tjv=Ax+h)：2)y=f(x)->y=/(x-h)；

II、豎直平移：函數(shù)y=/(x)+。的圖像可以把函數(shù)丁=/(x)的圖像沿x軸方向向上

(a>0)或向下(a<0)平移|a|個單位即可得到;

上移〃下移〃

1)f7=Ax)+h；2)y=fix)->y=*x)-h。

②對稱變換：

I、函數(shù)y=/(—x)的圖像可以將函數(shù)y=/(x)的圖像關(guān)于丁軸對稱即可得到；

y軸

y=fix)-產(chǎn)次-x)

IK函數(shù)歹=-/(x)的圖像可以將函數(shù)y=/(x)的圖像關(guān)于x軸對稱即可得到；

詢

y=fi.x)-^y=-j[x}

m、函數(shù)歹=-/(-x)的圖像可以將函數(shù)y=/(x)的圖像關(guān)于原點對稱即可得到；

原點

y=fix)->y=7-x)

IV、函數(shù)x=/(y)的圖像可以將函數(shù)_y=/(x)的圖像關(guān)于直線歹=x對稱得到。

直線尸工

y=Ax)-?x=fiy)

V、函數(shù)歹=/(2。一刈的圖像可以將函數(shù)y=/(x)的圖像關(guān)于直線x=4/對稱即可得

到；

直線x=a

y=f<x)->y=fi2a-x).

③翻折變換：

I、函數(shù)丁=|/(x)|的圖像可以將函數(shù)歹=/(x)的圖像的X軸下方部分沿X軸翻折到

x軸上方，去掉原x軸下方部分，并保留y=/(x)的x軸上方部分即可得到；

II、函數(shù)y=/(|x|)的圖像可以將函數(shù)y=/(x)的圖像右邊沿歹軸翻折到y(tǒng)軸左邊替

代原N軸左邊部分并保留y=/(x)在歹軸右邊部分即可得到.

④伸縮變換：

I、函數(shù)夕=4/。)(4>0)的圖像可以將函數(shù)歹=/3的圖像中的每點橫坐標(biāo)不變

縱坐標(biāo)伸長(。>1)或壓縮(0<67<1)為原來的。倍得到；

yxa

y=J[x)^y=aj[x)

H、函數(shù)y=/(ax)(a>0)的圖像可以將函數(shù)夕=f(x)的圖像中的每一點縱坐標(biāo)不變

橫坐標(biāo)伸長(a>1)或壓縮(0<a<l)為原來的1倍得到。

a

j{x),y=J[x}^y=j[ax)

(3)識圖：分布范圍、變化趨勢、對稱性、周期性等等方面。

2.幕函數(shù)

在考查學(xué)生對基函數(shù)性的掌握和運用函數(shù)的性質(zhì)解決問題時，所涉及的幕函數(shù)丁=x"

中a限于在集合1—2,-1,1,2,31中取值。

232

幕函數(shù)有如下性質(zhì)：

⑴它的圖象都過(1,1)點，都不過第四象限，且除原點外與坐標(biāo)軸都不相交；

⑵定義域為R或(—8,0)U(0,+oo)的幫函數(shù)都具有奇偶性，定義域為

火+或［0,+oo］的界函數(shù)都不具有奇偶性;

⑶幕函數(shù)y=x*。w0)都是無界函數(shù)；在第像限中，當(dāng)a<0時為減函數(shù)，當(dāng)a>0

時為增函數(shù)；

⑷任意兩個幕函數(shù)的圖象至少有一個公共點(1,1),至多有三個公共點；

六、函數(shù)與方程

1.方程的根與函數(shù)的零點

(1)函數(shù)零點

概念：對于函數(shù)y=f(x)(xwD),把使f(x)=0成立的實數(shù)x叫做函數(shù)

y=/(x)(xe。)的零點。

函數(shù)零點的意義：函數(shù)歹=/(x)的零點就是方程/(x)=0實數(shù)根，亦即函數(shù)歹=/(x)

的圖象與x軸交點的橫坐標(biāo)。即：方程/(x)=0有實數(shù)根=函數(shù)丁=/(x)的圖象與x軸

有交點=函數(shù)歹=/(x)有零點。

二次函數(shù)歹=ax2+bx+c(a豐0)的零點：

1)△>0,方程62+bx+c=0有兩不等實根，二次函數(shù)的圖象與x軸有兩個交點,

二次函數(shù)有兩個零點；

2)△=0,方程a/+bx+c=O有兩相等實根(二重根)，二次函數(shù)的圖象與x軸

有一個交點，二次函數(shù)有一個二重零點或二階零點；

3)△<0,方程辦2+bx+c=O無實根，二次函數(shù)的圖象與x軸無交點，二次函數(shù)

無零點。

零點存在性定理：如果函數(shù)歹=/(X)在區(qū)間口)］上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，并

且有/■(社/(b)<0,那么函數(shù)y=/(x)在區(qū)間(。,6)內(nèi)有零點。既存在cw(a,6),使得

/(c)=0,這個c也就是方程的根。

2.二分法

二分法及步驟：

對于在區(qū)間［a，b］上連續(xù)不斷，且滿足/(a)?/S)<0的函數(shù)N=/(x)，通過不斷

地把函數(shù)/(x)的零點所在的區(qū)間一分為二，使區(qū)間的兩個端點逐步逼近零點，進(jìn)而得到零

點近似值的方法叫做二分法.

給定精度￡,用二分法求函數(shù)/(x)的零點近似值的步驟如下：

(1)確定區(qū)間［a,b］,驗證/(a)?f(b)<0,給定精度￡；

(2)求區(qū)間(“，6)的中點項；

(3)計算/(%1)：

①若/(x,)=0,則為就是函數(shù)的零點；

②若/(a)?/(X,)<0,則令6=修(此時零點X。w)；

③若/(X|)?/(6)<0,則令。=再(此時零點X。G(X［,b))；

(4)判斷是否達(dá)到精度￡；

即若|a-6|<￡,則得到零點零點值。(或力)；否則重復(fù)步驟2~4。

注：函數(shù)零點的性質(zhì)

從“數(shù)”的角度看：即是使/(x)=0的實數(shù)；

從“形”的角度看：即是函數(shù)/(x)的圖象與x軸交點的橫坐標(biāo)：

若函數(shù)/(x)的圖象在x=x0處與x軸相切，則零點X。通常稱為不變號零點;

若函數(shù)/（x）的圖象在x=x0處與X軸相交，則零點與通常稱為變號零點。

注：用二分法求函數(shù)的變號零點：二分法的條件/（。）?/（b）<0表明用二分法求函數(shù)

的近似零點都是指變號零點。

3.二次函數(shù)的基本性質(zhì)

（1）二次函數(shù)的三種表示法：y=ax2+bx+c；y=a（x—x\）（x—xi）；尸7（x—的1+"。

（2）當(dāng)夕>0,大幻在區(qū)間［p,q'］上的最大值M最小值加，令沏=；⑦+夕）。

若一二夕，則加尸加，?q）=M；

若pM一旦則人一發(fā)~尸〃?，j（G=M\

2a2a

若xoW——<q,則小）=加，j［——）=/w；

2a2a

若一22g,則加尸A1,y（夕尸以。

2a

（3）二次方程7（x尸/+6x+c=0的實根分布及條件。

①方程?。?0的兩根中一根比尸大，另一根比尸小<=>。?7（r）<0；

A=A2-4ac>0,

b

②二次方程危尸0的兩根都大于r<=><-->r,

2a

。?/⑺>0

A=A2-4ac>0,

b

p<-—<q,

③二次方程.危尸0在區(qū)間①，夕）內(nèi)有兩根O?2a

。?/⑷>o,

a-/(P)>0；

④二次方程/（x尸0在區(qū)間伽，4）內(nèi)只有一根0加）?禽）<0,或_/（必=0（檢驗）或/日尸0（檢

驗）檢驗另一根若在防，q）內(nèi)成立。

七、函數(shù)模型及其應(yīng)用

1.解決實際問題的解題過程

（1）對實際問題進(jìn)行抽象概括：研究實際問題中量與量之間的關(guān)系，確定變量之間的

主、被動關(guān)系，并用腔y分別表示問題中的變量；

（2）建立函數(shù)模型：將變量y表示為x的函數(shù)，在中學(xué)數(shù)學(xué)內(nèi)，我們建立的函數(shù)模型

一般都是函數(shù)的解析式；

（3）求解函數(shù)模型：根據(jù)實際問題所需要解決的目標(biāo)及函數(shù)式的結(jié)構(gòu)特點正確選擇函

數(shù)知識求得函數(shù)模型的解，并還原為實際問題的解.

這些步驟用框圖表示：

實際問題函數(shù)模型

用

函

數(shù)

性

質(zhì)

實際問題的解＜_____還原說明

函數(shù)模型的解

2.解決函數(shù)應(yīng)用問題應(yīng)著重培養(yǎng)下面一些能力：

(1)閱讀理解、整理數(shù)據(jù)的能力：通過分析、畫圖、列表、歸類等方法，快速弄清數(shù)

據(jù)之間的關(guān)系，數(shù)據(jù)的單位等等；

(2)建立函數(shù)模型的能力：關(guān)鍵是正確選擇自變量將問題的目標(biāo)表示為這個變量的函

數(shù)，建立函數(shù)的模型的過程主要是抓住某些量之間的相等關(guān)系列出函數(shù)式，注意不要忘記考

察函數(shù)的定義域；

(3)求解函數(shù)模型的能力：主要是研究函數(shù)的單調(diào)性，求函數(shù)的值域、最大(小)值,

計算函數(shù)的特殊值等，注意發(fā)揮函數(shù)圖象的作用。

八、空間幾何體

1.柱、錐、臺、球的結(jié)構(gòu)特征

(1)柱

棱柱：一般的，有兩個面互相平行，其余各面都是四邊形，并且每相鄰兩個四邊形的公

共邊都互相平行，由這些面所圍成的兒何體叫做棱柱；棱柱中兩個互相平行的面叫做棱柱的

底面，簡稱為底；其余各面叫做棱柱的側(cè)面；相鄰側(cè)面的公共邊叫做棱柱的側(cè)棱；側(cè)面與底

面的公共頂點叫做棱柱的頂點。

底面是三角形、四邊形、五邊形……的棱柱分別叫做三棱柱、四棱柱、五棱柱……

圓柱：以矩形的一邊所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余邊旋轉(zhuǎn)形成的曲面所圍成的幾何體叫做

圓柱；旋轉(zhuǎn)軸叫做圓柱的軸；垂直于軸的邊旋轉(zhuǎn)而成的曲面叫做圓柱的側(cè)面；無論旋轉(zhuǎn)到什

么位置，不垂直于軸的邊都叫做圓柱側(cè)面的母線。

棱柱與圓柱統(tǒng)稱為柱體；

(2)錐

棱錐：一般的有一個面是多邊形，其余各面都是有一個公共頂點的三角形，山這些面所

圍成的幾何體叫做棱錐；這個多邊形面叫做棱錐的底面或底；有公共頂點的各個三角形面叫

做棱錐的側(cè)面；各側(cè)面的公共頂點叫做棱錐的頂點；相鄰側(cè)面的公共邊叫做棱錐的側(cè)棱。

底面是三角錐、四邊錐、五邊錐……的棱柱分別叫做三棱錐、四棱錐、五棱錐……

圓錐：以直角三角形的一條直角邊所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余兩邊旋轉(zhuǎn)形成的曲面所圍

成的幾何體叫做圓錐；旋轉(zhuǎn)軸為圓錐的軸；垂直于軸的邊旋轉(zhuǎn)形成的面叫做圓錐的底面；斜

邊旋轉(zhuǎn)形成的曲面叫做圓錐的側(cè)面。

棱錐與圓錐統(tǒng)稱為錐體。

(3)臺

棱臺：用一個平行于底面的平面去截棱錐，底面和截面之間的部分叫做棱臺；原棱錐的

底面和截面分別叫做棱臺的下底面和上底面；棱臺也有側(cè)面、側(cè)棱、頂點。

圓臺：用一個平行于底面的平面去截圓錐，底面和截面之間的部分叫做圓臺；原圓錐的

底面和截面分別叫做圓臺的下底面和上底面；圓臺也有側(cè)面、母線、軸。

圓臺和棱臺統(tǒng)稱為臺體。

(4)球

以半圓的直徑所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸,半圓面旋轉(zhuǎn)一周形成的幾何體叫做球體,簡稱為球;

半圓的圓心叫做球的球心，半圓的半徑叫做球的半徑，半圓的直徑叫做球的直徑。

(5)組合體

由柱、錐、臺、球等幾何體組成的復(fù)雜的幾何體叫組合體。

2.空間幾何體的三視圖

三視圖是觀測者從不同位置觀察同一個幾何體，畫出的空間幾何體的圖形。

他具體包括：

(1)正視圖：物體前后方向投影所得到的投影圖；

它能反映物體的高度和長度；

(2)側(cè)視圖：物體左右方向投影所得到的投影圖；

它能反映物體的高度和寬度；

(3)俯視圖：物體上下方向投影所得到的投影圖；

它能反映物體的長度和寬度；

3.空間幾何體的直觀圖

(1)斜二測畫法

①建立直角坐標(biāo)系，在已知水平放置的平面圖形中取互相垂直的OX,0Y,建立直角坐

標(biāo)系；

②畫出斜坐標(biāo)系，在畫直觀圖的紙h(平面h)畫出對應(yīng)的O'X',0'Y’,使〃。丫=45°

(或135°),它們確定的平面表示水平平面；

③畫對應(yīng)圖形，在已知圖形平行于X軸的線段，在直觀圖中畫成平行于X,軸，且長度

保持不變；在已知圖形平行于Y軸的線段，在直觀圖中畫成平行于Y.軸，且長度變?yōu)樵瓉?/p>

的一半；

④擦去輔助線，圖畫好后，要擦去X軸、Y軸及為畫圖添加的輔助線(虛線)。

(2)平行投影與中心投影

平行投影的投影線是互相平行的，中心投影的投影線相交于一點。

九、空間幾何體的表面積和體積

1.多面體的面積和體積公式

名稱側(cè)面積(SM)全面積(S至)體積(V)

棱柱直截面周長XIS底?h=S直截面?h

棱

S側(cè)+2S底

柱

直棱柱chS底?h

棱錐各側(cè)面積之和

梭

；S底?h

S側(cè)+S底

錐正棱錐-ch,

2

棱棱臺各側(cè)面面積之和OIO1C1L云..K.

A1_______________

口正棱臺-(C+C')h'+赤下底6下底)

表中S表示面積，c'、c分別表示上、下底面周長，h表斜高，h'表示斜高，1表示側(cè)

棱長。

2.旋轉(zhuǎn)體的面積和體積公式

名稱圓柱圓錐圓臺球

Sm2nrlnrln(ri+r2)1

工(ri+r)1+n(r2i+r2)

222

S金2nr(1+r)nr(1+r)4nR

1

Vnr2h(HPnr2l)-nr-h—nh(r2i+riT2+r22)-JtR3

333

表中l(wèi)、h分別表示母線、高，r表示圓柱、圓錐與球冠的底半徑，不立分別表示圓臺上、

下底面半徑，R表示半徑。

十、空間中的平行關(guān)系

1.平面概述

(1)平面的兩個特征：①無限延展②平的(沒有厚度)

(2)平面的畫法：通常畫平行四邊形來表示平面

(3)平面的表示：用一個小寫的希臘字母a、/、y等表示，如平面a、平面用

表示平行四邊形的兩個相對頂點的字母表示，如平面AC。

2.三公理三推論：

公理上若一條直線上有兩個點在一個平面內(nèi)，則該直線上所有的點都在這個平面內(nèi)：

AG/,Be/,AGa,BeanIaa

公理2：如果兩個平面有一個公共點，那么它們還有其他公共點，且所有這些公共點的

集合是一條過這個公共點的直線。

公理3：經(jīng)過不在同一直線上的三點，有且只有一個平面。

推論一：經(jīng)過一條直線和這條直線外的一點，有且只有一個平面。

推論二：經(jīng)過兩條相交直線,有且只有一個平面。

推論三：經(jīng)過兩條平行直線,有且只有一個平面。

3.空間直線：

(1)空間兩條直線的位置關(guān)系：

相交直線——有且僅有一個公共點；

平行直線——在同一平面內(nèi)，沒有公共點；

異面直線——不同在任何一個平面內(nèi)，沒有公共點。相交直線和平行直線也稱為共面直

線。

異面直線的畫法常用的有下列三種：

（2）平行直線：

在平面幾何中，平行于同一條直線的兩條直線互相平行，這個結(jié)論在空間也是成立的。

即公理4：平行于同一條直線的兩條直線互相平行。

（3）異面直線定理：連結(jié)平面內(nèi)一點與平面外一點的直線，和這個平面內(nèi)不經(jīng)過此點的直

線是異面直線。推理模式：與。是異面直線。

4.直線和平面的位置關(guān)系

（1）直線在平面內(nèi)（無數(shù)個公共點）；

（2）直線和平面相交（有且只有一個公共點）；

（3）直線和平面平行（沒有公共點）——用兩分法進(jìn)行兩次分類。

它們的圖形分別可表示為如下，符號分別可表示為aua,alia.

線面平行的判定定理：如果不在一個平面內(nèi)的一條直線和平面內(nèi)的一條直線平行，那么

這條直線和這個平面平行。推理模式：a（za,b^a,a//b=^a//a.

線面平行的性質(zhì)定理：如果一條直線和一個平面平行，經(jīng)過這條直線的平面和這個平面相

交，那么這條直線和交線平行。推理模式：aHa,au/3,anB=bna//b.

5.兩個平面的位置關(guān)系有兩種：兩平面相交（有一條公共直線）、兩平面平行（沒有公

共點）

（1）兩個平面平行的判定定理：如果一個平面內(nèi)有兩條相交直線都平行于一個平面，

那么這兩個平面平行.

auP_____

定理的模式：bu/3

aClb=P

alla

blla

推論：如果一個平面內(nèi)有兩條相交直線分別平行于另一個平面內(nèi)的兩條相交直線，那么

這兩個平面互相平行。

推論模式：=P,aua,bua,aT\b'=P',a'u/3,b'u（3,alla,bllb'=aH。

（2）兩個平面平行的性質(zhì)（1）如果兩個平面平行，那么其中一個平面內(nèi)的直線平行于

另一個平面；（2）如果兩個平行平面同時和第三個平面相交，那么它們的交線平行.

十一、空間中的垂直關(guān)系

1.線線垂直

判斷線線垂直的方法：所成的角是直角，兩直線垂直;垂直于平行線中的一條，必垂直

于另一條。

三垂線定理：在平面內(nèi)的一條直線，如果它和這個平

面的一條斜線的射影垂直，那么它也和這條斜線垂直。

三垂線定理的逆定理：在平面內(nèi)的一條直線，如果和

這個平面的一條斜線垂直，那麼它也和這條斜線的射影垂

直。

PO工a,O€a

推理模式：&na=N\^alAO.

aaa,a1.AP

注意：⑴三垂線指PA,PO,AO都垂直a內(nèi)的直線a.其實質(zhì)是：斜線和平面內(nèi)一條直

線垂直的判定和性質(zhì)定理.⑵要考慮a的位置，并注意兩定理交替使用。

2.線面垂直

定義：如果一條直線/和一個平面a相交，并且和平面a內(nèi)的任意一

條直線都垂直，我們就說直線/和平面a互相垂直.其中直線/叫做平面的a\J//

垂線，平面a叫做直線/的垂面，直線與平面的交點叫做垂足。直線/與平1/

面a垂直記作：/J_a。/I

直線與平面垂直的判定定理：如果一條直線和—個平面內(nèi)的兩條相交"---------/

直線都垂直，那么這條直線垂直于這個平面。

直線和平面垂直的性質(zhì)定理：如果兩條直線同垂直于一個平面,那么這兩條直線平行。

3.面面垂直

兩個平面垂直的定義：相交成直二面角的兩個平面叫做互相垂直的平面。

兩平面垂直的判定定理：（線面垂直n面面垂直）

如果一個平面經(jīng)過另一個平面的一條垂線，那么這兩個平面互相垂直。

兩平面垂直的性質(zhì)定理：（面面垂直n線面垂直）若兩個平面互相垂直，那么在一個平

面內(nèi)垂直于它們的交線的直線垂直于另一個平面。

十二、空間中的夾角和距離

1.距離

空間中的距離是立體幾何的重要內(nèi)容，其內(nèi)容主要包括：點點距，點線距，點面距，線

線距，線面距，面面距。其中重點是點點距、點線距、點面距以及兩異面直線間的距離.因

此，掌握點、線、面之間距離的概念，理解距離的垂直性和最近性，理解距離都指相應(yīng)線段

的長度，懂得幾種距離之間的轉(zhuǎn)化關(guān)系，所有這些都是十分重要的。

求距離的重點在點到平面的距離，直線到平面的距離和兩個平面的距離可以轉(zhuǎn)化成點到

平面的距離，--個點到平面的距離也可以轉(zhuǎn)化成另外?個點到這個平面的距離。

（1）兩條異面直線的距離

兩條異面直線的公垂線在這兩條異面直線間的線段的長度，叫做兩條異面直線的距離；

求法：如果知道兩條異面直線的公垂線，那么就轉(zhuǎn)化成求公垂線段的長度。

（2）點到平面的距離

平面外一點尸在該平面上的射影為P',則線段PP'的長度就是點到平面的距離；求

法：①“一找二證三求”，三步都必須要清楚地寫出來。②等體積法。

（3）直線與平面的距離：-條直線和?個平面平行，這條直線上任意一點到平面的距

離，叫做這條直線和平面的距離；

（4）平行平面間的距離：兩個平行平面的公垂線段的長度，叫做兩個平行平面的距離。

求距離的?般方法和步驟：應(yīng)用各種距離之間的轉(zhuǎn)化關(guān)系和“平行移動”的思想方法,

把所求的距離轉(zhuǎn)化為點點距、點線距或點面距求之，其般步驟是：①找出或作出表示有關(guān)

距離的線段；②證明它符合定義；③歸到解某個三角形.若表示距離的線段不容易找出或作

出，可用體積等積法計算求之。

2.夾角

空間中的各種角包括異面直線所成的角，直線與平面所成的角和二面角，要理解各種角

的概念定義和取值范圍，其范圍依次為（0°,90°］、［0°,90°］和［0°,180°

（1）兩條異面直線所成的角

求法：①先通過其中一條直線或者兩條直線的平移，找出這兩條異面直線所成的角，

然后通過解三角形去求得；②通過兩條異面直線的方向量所成的角來求得，但是注意到異

TT

面直線所成角得范圍是（0,'］,向量所成的角范圍是［0,7］,如果求出的是鈍角，要注意轉(zhuǎn)

化成相應(yīng)的銳角。

（2）直線和平面所成的角

求法：“一找二證三求”，三步都必須要清楚地寫出來。除特殊位置外，主要是指平面的

斜線與平面所成的角，根據(jù)定義采用“射影轉(zhuǎn)化法”。

（3）二面角的度量是通過其平血角來實現(xiàn)的

解決二面角的問題往往是從作出其平面角的圖形入手，所以作二面角的平面角就成為解

題的關(guān)鍵。通常的作法有：（I）定義法；（II）利用三垂線定理或逆定理：（III）自空間-一

點作棱垂直的垂面，截二面角得兩條射線所成的角，俗稱垂面法.此外，當(dāng)作二面角的平面

S'

角有困難時，可用射影面積法解之，cos=—,其中S為斜面面積，S'為射影面積，

S

為斜面與射影面所成的二面角。

3.等角定理

如果一個角的兩邊和另一個角的兩邊分別平行，并且方向相同，那么這兩個角相等。

推論：如果兩條相交直線和另兩條相交直線分別平行，那么這兩組直線所成的銳角（或

直角）相等。

十三、直線、圓的方程

1.傾斜角：一條直線L向上的方向與X軸的正方向所成的最小正角，叫做直線的傾斜

角，范圍為

2.斜率：當(dāng)直線的傾斜角不是90°時，則稱其正切值為該直線的斜率，即k=tana；

當(dāng)直線的傾斜角等于90°時，直線的斜率不存在。

過兩點Pl（x0）,p2（x2,y2）（Xl:Ar2）的直線的斜率公式:k=tana=上——（若片=小則直

x2-X]

線p1P2的斜率不存在，此時直線的傾斜角為90°）。

4.直線方程的五種形式確定直線方程需要有兩個互相獨立的條件。確定直線方程的形

式很多，但必須注意各種形式的直線方程的適用范圍。

名稱方程說明適用條件

k——斜率傾斜角為90°的直線不

斜截式y(tǒng)=kx+b

b——縱截距能用此式

（xo,泗）----直線上傾斜角為90°的直線不

點斜式y(tǒng)-yo=k（x-x（））

已知點，k一斜率能用此式

?一切一%一匹（xi，M）,（M，及）是直