第4章數(shù)列（單元基礎(chǔ)卷）

第4章數(shù)列（單元基礎(chǔ)卷）（考試時(shí)間：120分鐘試卷滿分：150分）一、填空題（本大題滿分54分）本大題共有12題，16題每題4分，712題每題5分，1．與的等差中項(xiàng)為1．【分析】根據(jù)題意，設(shè)與的等差中項(xiàng)為，由等差中項(xiàng)的定義可得，由對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)可得的值，即可得答案．【解答】解：根據(jù)題意，設(shè)與的等差中項(xiàng)為，則，故，即與的等差中項(xiàng)為1；故答案為1．【點(diǎn)評】本題考查等差數(shù)列的性質(zhì)，涉及對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握等差中項(xiàng)的定義．2．已知等比數(shù)列的公比為，且，則．【分析】根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)即可求解．【解答】解：等比數(shù)列的公比為，且，可得，，可得．故答案為：．【點(diǎn)評】本題主要考查等比數(shù)列的性質(zhì)，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．3．已知數(shù)列是等差數(shù)列，若，，則．【分析】利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及前項(xiàng)和公式即可求解．【解答】解：設(shè)等差數(shù)列的公差為，，，，解得，．故答案為：．【點(diǎn)評】本題主要考查等差數(shù)列的前項(xiàng)和，屬于基礎(chǔ)題．4．已知等差數(shù)列，，則4．【分析】由已知結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)即可求解．【解答】解：等差數(shù)列，，則．故答案為：4．【點(diǎn)評】本題主要考查了等差數(shù)列的性質(zhì)的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．5．設(shè)等比數(shù)列的公比為，則“，，成等差數(shù)列”的一個充分非必要條件是（或．【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合等差數(shù)列、等比數(shù)列的性質(zhì)，即可求解．【解答】解：，，成等差數(shù)列，則，即，解得或，故“，，成等差數(shù)列”的一個充分非必要條件是（或．故答案為：（或．【點(diǎn)評】本題主要考查等差數(shù)列、等比數(shù)列的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．6．已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，公比為2，且，則1．【分析】直接根據(jù)，進(jìn)行求解即可得到．【解答】解：等比數(shù)列的前4項(xiàng)和為，公比為2，，解得．故答案為：1．【點(diǎn)評】本題考查等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式，考查學(xué)生邏輯推理與數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力，屬于基礎(chǔ)題．7．設(shè)為等比數(shù)列的前項(xiàng)和，且，則實(shí)數(shù)的值為．【分析】由已知結(jié)合等比數(shù)列的求和公式即可求解．【解答】解：因?yàn)闉榈缺葦?shù)列的前項(xiàng)和，且，由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式的性質(zhì)可得，即．故答案為：．【點(diǎn)評】本題主要考查了等比數(shù)列的求和公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．8．在等差數(shù)列中，若，，則的通項(xiàng)公式為．【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)，即可求解．【解答】解：設(shè)等差數(shù)列的公差為，，，則，解得，故．故答案為：．【點(diǎn)評】本題主要考查等差數(shù)列的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．9．設(shè)數(shù)列為等差數(shù)列，若，，則公差3．【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)，即可求解．【解答】解：數(shù)列為等差數(shù)列，，，則．故答案為：3．【點(diǎn)評】本題主要考查等差數(shù)列的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．10．已知等比數(shù)列是嚴(yán)格減數(shù)列，其前項(xiàng)和為，，若，，成等差數(shù)列，則3．【分析】先求公比，再求等比數(shù)列的前項(xiàng)和，最后判斷極限．【解答】解：設(shè)等比數(shù)列的公比為，則由，，成等差數(shù)列可得，即，整理得，解得，或，又等比數(shù)列是嚴(yán)格減數(shù)列，，故，，當(dāng)時(shí)，，．故答案為：3．【點(diǎn)評】本題考查等比數(shù)列的前項(xiàng)和，屬于基礎(chǔ)題．11．若與的等差中項(xiàng)為18，則實(shí)數(shù)的值為．【分析】利用等差中項(xiàng)的性質(zhì)直接求解．【解答】解：與的等差中項(xiàng)為18，，解得實(shí)數(shù)．故答案為：．【點(diǎn)評】本題考查等差中項(xiàng)等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題．12．若等差數(shù)列的首項(xiàng)，前5項(xiàng)和，則9．【分析】利用等差數(shù)列的首項(xiàng)，前5項(xiàng)和，列方程求出，由此能求出．【解答】解：等差數(shù)列的首項(xiàng)，前5項(xiàng)和，則，解得，則．故答案為：9．【點(diǎn)評】本題考查等差數(shù)列的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題．二、選擇題（本大題滿分18分）本大題共有4題，每題只有一個正確答案，13/14題每題4分，15/16題5分。13．用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式的過程中，由遞推到時(shí)不等式左邊A．增加了 B．增加了 C．增加了，但減少了 D．增加了，但減少了【分析】分別求出當(dāng)，時(shí)，不等式左邊的表達(dá)式，通過比較，即可求解．【解答】解：當(dāng)時(shí)，不等式左邊為，當(dāng)時(shí)，不等式的左邊為，故不等式左邊增加了，但減少了．故選：．【點(diǎn)評】本題主要考查數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．14．用數(shù)學(xué)歸納法證明“”，驗(yàn)證成立時(shí)等式左邊計(jì)算所得項(xiàng)是A．1 B． C． D．【分析】根據(jù)已知條件，將代入左邊等式，即可求解．【解答】解：用數(shù)學(xué)歸納法證明“”，則驗(yàn)證成立時(shí)等式左邊計(jì)算所得項(xiàng)是．故選：．【點(diǎn)評】本題主要考查數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．15．我國古代數(shù)學(xué)名著《算法統(tǒng)宗》中有如下問題：“遠(yuǎn)望巍巍塔七層，紅光點(diǎn)點(diǎn)倍加增，共燈三百八十一，請問尖頭幾盞燈．”意思是：一座7層塔共掛了381盞燈，且相鄰兩層中的下一層燈數(shù)是上一層燈數(shù)的2倍，問塔的頂層燈的盞數(shù)為A．1 B．2 C．3 D．4【分析】可知每一層燈數(shù)形成以2為公比的等比數(shù)列，根據(jù)即可求出．【解答】解：設(shè)頂層的燈數(shù)是，則每一層燈數(shù)形成以2為公比的等比數(shù)列，由題可得，解得，所以塔的頂層的燈數(shù)是3．故選：．【點(diǎn)評】本題主要考查等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式，屬于基礎(chǔ)題．16．用數(shù)學(xué)歸納法證明時(shí)，在證明等式成立時(shí)，此時(shí)等式的左邊是A．1 B． C． D．【分析】在驗(yàn)證時(shí)，左端計(jì)算所得的項(xiàng)．只需把代入等式左邊即可得到答案．【解答】解：用數(shù)學(xué)歸納法證明，在驗(yàn)證時(shí)，把當(dāng)代入，左端．故選：．【點(diǎn)評】本題考查了數(shù)學(xué)歸納法中的歸納奠基步驟，本題較簡單，容易解決．不要把與只取一項(xiàng)混同．三、解答題（本大題共有5題78分，1719題每題14分，20/21每題18分），解答下列各題必須寫出必要的步驟。17．已知數(shù)列滿足，設(shè)該數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，，成等差數(shù)列．（1）用數(shù)學(xué)歸納法證明：是正整數(shù)）；（2）求數(shù)列的通項(xiàng)公式．【分析】（1）根據(jù)已知條件，結(jié)合數(shù)學(xué)歸納法的步驟，即可求解；（2）結(jié)合（1）的結(jié)論，并分類討論，即可求解．【解答】證明：（1），，成等差數(shù)列，，則，①當(dāng)時(shí)，，等式成立，②當(dāng)時(shí)，成立，當(dāng)時(shí)，，等式成立，由①②可知，是正整數(shù)）；（2）解：當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，也滿足上式，綜上所述，數(shù)列的通項(xiàng)公式為．【點(diǎn)評】本題主要考查數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用，屬于中檔題．18．已知等差數(shù)列的公差不為零，，且，，成等比數(shù)列．（1）求的通項(xiàng)公式；（2）求．【分析】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，由，且，，成等比數(shù)列，可解出值，從而即可得到通項(xiàng)公式；（2）利用求解即可．【解答】解：（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，由，，成等比數(shù)列，得，即，化為，又，所以，所以；（2）由（1）可知．【點(diǎn)評】本題考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及前項(xiàng)和公式，考查學(xué)生的歸納推理和運(yùn)算求解的能力，屬于基礎(chǔ)題．19．已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，，．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若等比數(shù)列的公比為，且滿足，求滿足的所有正整數(shù)的值．【分析】（1）由題意求出等差數(shù)列的公差，即可求得答案；（2）求出等比數(shù)列的首項(xiàng)，可求得其通項(xiàng)公式，結(jié)合數(shù)列的單調(diào)性求解，即得答案．【解答】解：（1）由題意設(shè)等差數(shù)列的公差為，由，，得，解得，故；（2）由于等比數(shù)列的公比為，且滿足，而，則，故，則，又，則，當(dāng)，2，3時(shí)，顯然成立，由于隨著的增大而增大，隨著的增大而增大，當(dāng)時(shí)，，，故時(shí)，無解，故滿足的所有正整數(shù)的值為1，2，3．【點(diǎn)評】本題主要考查了等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式的應(yīng)用，還考查了數(shù)列的單調(diào)性的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．20．設(shè)為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，已知，．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）當(dāng)為何值時(shí)，最大，并求出的最大值．【分析】（1）直接根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和求和公式列方程組求解；（2）求出，然后利用二次函數(shù)的性質(zhì)求最值．【解答】解：（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，解得，，數(shù)列的通項(xiàng)公式為，即．（2）由（1）得，由二次函數(shù)的性質(zhì)得：當(dāng)時(shí)，最大，且最大值為49．【點(diǎn)評】本題考查等差數(shù)列的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題．21．設(shè)函數(shù)，．（Ⅰ）若，，且函數(shù)與的圖像有正格點(diǎn)（橫、縱坐標(biāo)均為正整數(shù)）交點(diǎn)，求的值；（Ⅱ）已知，對于滿足（1）中條件的，求數(shù)列的前2020項(xiàng)和；（Ⅲ）若正實(shí)數(shù)使得的圖像關(guān)于直線對稱，所有滿足條件的構(gòu)成的數(shù)列記為，且是嚴(yán)格增數(shù)列，求的值．【分析】（Ⅰ）由正格點(diǎn)的定義和對數(shù)函數(shù)和正弦函數(shù)的最值，解方程可得所求值；（Ⅱ）求得，計(jì)算數(shù)列中每隔6項(xiàng)的和，推得它們均為同一個常數(shù)，即可得到所求和；（Ⅲ）由正弦函數(shù)的對稱軸方程可得，進(jìn)而得到，，再由數(shù)列的裂項(xiàng)相消求和和數(shù)列極限