微積分(二)課后題答案-復旦大學出版社-第十章1

#由已知Xb bS=eXdX(JbI)a^,dXbdχXb _1b=X(axC)eXdxc^xb(-(b2I)aX__bχ-dx亠C)=-CXbX=Xo時，S=So代入上式得soxofa,C=Xob1S二--arbcx

X,令SyO得唯一駐點x=(2)r7,將Cbcsoxo-bΓxo=()

bs0x0-abXo,由問題的實際意義知，最值存在，所b ,rCX得

a代入得是時間=()

bs0X0-abXo時,其平均單位時間的使用費 S最高.習題10；1.求下列微分方程的通解：(1)y:::=xeX；(2)y〃1；2；1X2(3)(1x)y''?2xy'=0;⑷y〃-(y)2O23dX(5)X 2仁0;(6)yy"-(y')2(y)3=odt解：(1)對方程兩端連續(xù)積分三次得Il- Xy=(X-1)e 'C1XV1 “y=(X-2)e 亠c1x亠C22XLCIXy=(x-3)e c2xC32這就是所求的通解?對方程兩端連續(xù)積分兩次得y=arctanXC1y=arctanXdXCIy=arctanXdXCIX=XarCtan1X-―In(12X)CIX C2這就是所求的通解令y=p(x),則y=P(X)，于是原方程可化為

2*(IX)P2xp=0分離變量得空 2^xτdx,積分得P1Xcιcιp=C,即y再積分得y=c1arctanX C2.(4)令(4)令y=P(X),則y=P■,原方程可化為d?=dXP兩邊積分得1-=XP兩邊積分得1-=XPCi,即1X C1dy再積分得dy再積分得亦即dx X C1|X■Ci|■C2(5)令X=P(X),則X=P,原方程變?yōu)閐xdp 卄P1=0,即PdP=dx13dx.X2兩邊積分得 P2-1C1X2CiXdX亦即蘭―dtXI dx=dt.1■cx2積分得一..1C2.從而1亠c1χ2=(CIt亠C2)2.這就是所求的通解?(6)令y=P(y),則?p,代入原方程得.dydp2 3yp——-P+P=0即Pydy J些-PP2dy=O若P=O,則y=0,y=c是方程的解.=0,于是兩邊再積分得由y(1)=0得3XIn6II11X-—X36C3.=0,于是兩邊再積分得由y(1)=0得3XIn6II11X-—X36C3.36所以，原方程滿足初始條件的特解為11 3InX-——X3611+——36(2)令y■=p(x)，則y=p:原方程化為X2空XP=1.即如1PdxXdx一階非齊次線性方微分方程1P(X)=一，Q(x)=X,X-2其通解為dxX-2(Xe1dxyX1dx c1)=一(InX■c1)X若yd^.p.pX

In2=O,分離變量得X

In2dy p—Py積分得Clyp“y(1-P) 即 P^Cly于是：dy c1yHnJ即( c1)dy=c1dx.dt1■c1y y積分得Cl(X_y)y=c2e2. 求下列微分方程滿足初始條件的特解：3⑴yFnx,y(1)T,y'⑴ ,y〃(1)=1;32xy〃對=1,y(l)=0,y'(1)=1;y〃y2=1, y(0)=0,y'(0)=1.解：(1)方程兩邊積分得：y"=XInX—X?q,由y1=1-得C1=0,于是y"=xInx-x,2TOC\o"1-5"\h\z上式兩邊再積分得 y=—InX-?3X? c2.2 43由y(1) 得C2411即y(InXG),X由y(1)=1得C1=1,于是 (InX1),從而XTOC\o"1-5"\h\z1 1 2y(Inx1)dx=j(lnX1)d(lnX1) (11nx) c2?x 21由y(1)=O得c2212112

y(1Inx)即y=InxInx.22(3)令yJp,則yχ=p■,原方程可化為dP 2一p,由y(0)=1,即X=0時，P=1.dxdy顯然p=1是上述方程的解，即 1,積分得y=x?c,由y(0)=0得C=O,所以，dx原方程滿足初始條件的特解為 y=X.已知某個二階非齊次線性微分方程有三個特解 y1=x,y2^?ex和y3=1?χ?ex,求這個方程的通解.解：因為y1,y2,W是某二階非齊次線性微分方程的三個特解， 則y? - y1 =ex, y3 -y?=1是Xe某對應的齊次微分方程的特解且 一=ex=常數，故ex和1是其對應的二階齊次線性微分方1程的兩個線性無關的特解，故對應齊次線性方程的通解為y=C1亠c2ex又y1=x是這個二階非齊次線性微分方程的特解，故這個方程的通解是y=C1亠C2ex亠X.求下列齊次線性方程的通解或在給定條件下的特解：y〃 My' 4y=0; (2) y〃 -y' -2y=0;TOC\o"1-5"\h\z(3)y〃 5y' 6y=0, y(0)=1, y' (0) ≡6;ππ π 6⑷y"-2y'-10y=0,y( )=0,y'(—)=e.6 6解：(1)特征方程為r2-4r?4=0,它有兩個相等的特征根 r1=r2=2,所以，所求的通解為y=(c1■c2x)e2x.特征方程為r—r—2=0,它有兩個不相等的實特征根 r1=T,r2=2,故所求的通解為y=c1e ■c2e2x.特征方程為r25r，6=0,它有兩個不相等的實特征根 r1=-2,r2=-3,故所求

的通解為y=c1eI+c2e'x由y(0)=1得G+c2=1,又由y(0)=6及廠=—2c1e'x—3c2e'x得2c1+3c2=—6,解方程組c1c2=1 C1=92 得 -2x=(-2AxA-2B)e2c13c2=-6 Jc2=-8所以，原方程滿足初始條件的特解為 y=9e'x_8e^.仏=1±3i,故方程的通解為y=ex(c1CoS3x亠仏=1±3i,故方程的通解為y=ex(c1CoS3x亠c2sin3x),ππ -πZ由y()=o,y()=e得G=661-,C2=0,故所求特解為3y=(-4AXy=(-4AX4B4Ax)e-2x1XO

y=--ecos3X3求下列非齊次線性微分方程的通解或給定初始條件下的特解:(1)y''+3y'-10y=144xe-2x;2⑵y''-6y' 8y=8x4x-2;π π(3)y" y=cos3x,y()=4,y'(-)=-1;24x⑷y〃-8y, 16y=e,y(0)=0,y'(0)=1.2解:(1)特征方程r?3r-10=0有兩個不相等的實數根 r1=-5,D=2,故對應齊次方程的通解為Y^CIe^X■c2e2x因為■--2不是特征方程的根，故可特解為* 2Xy=(AXB)e代入原方程可解得 A=「12,B=1.所以y=(1-12X)=eX.所求通解為-2X -5X 2Xy=(1—12x)e■c1e■c2e(2)特征方程r2-6r=0有兩個不同的特征根 r1=2,r2=4,故對應齊次方程的通

解為解為2x 4xY=c1e 亠c2e又因為?=O不是特征方程的根，故可設特解為*2y=AXbx=2Ax?B,y=2A,代入原方程可解得A=1,B=2,C=1,A=1,B=2,C=1,22=X2x1=(x1)?所求通解為y=(X?1)22x亠c所求通解為y=(X?1)22x亠c1e4x亠c?e(3)特征方程為r2 1=0,它有兩個共復數根r1,2=±i,故對應齊次方程的通解為Y=GCoSXc2SinX為:考察方程yy則y*l3iAe3ix3iX=e因為w=3i不是特征方程的根，故可設特解為* 3ixy=Ae1■-9Ae,代入方程y■y=e?",得A,所以8* 13ix1y e (cos3x亠iSin3x)88取y的實部，即得到方程yy=cos3x的特解.故原方程y亠y=cos3x的通解為由初始條件y—=4,12J(4)特征方程r2-8r*1y1=-一cos3x81ycos3xc1cosXc2SinX8y=3sin3x-c1Sinx亠c2cosX8y-=1得G=-,c^4,故所求的特解為281 丄5 丄y=--cos3X一cosX4sinx881^=0有兩個相等的實根r1=r2=4，故對應齊次方程的通解因為.=4是特征方程的重根，故可設特解為* 24xy=AXe24x=—Xe24x=—Xe2將其代入方程y“—8y'16y=e4x得A ,故特解為2所以原方程的特解為y=1xf^c1+c2=2解方程 得f^c1+c2=2解方程 得C1=2,C2C1-C2=2所以滿足題設條件特解為y--2x2ex24x- 24x 4X 4x_又由y=Xe2xe c2e 4c2xe及y(0)=1,得C2=1.1所以，所求特解為y=丄x2e4xxe4x2設對一切實數X,函數f(x)連續(xù)且滿足等式f'(x)=x2??(t)dt,且f(0)=2,解：方程兩邊求導得求函數f(x).解：方程兩邊求導得f(x)=2x亠f(x)，即y—y=2x，特征方程r—1=0有兩個不同的實根r1=1,r2=-1,故對應齊次方程的通解為 Y=CIeX?c2e^因為■=0不是特征方程的根，故可設特解為Y=AxB,代入原方程得--2,B=0,故特解為y=…2∏,所以方程的通解為--2x C1ex■C2eJ由已知f(0)=2得c1■C2=2又由題設得「(0)=0,及y?=由已知f(0)=2得c1■C2=2Ci-C2 =2.=0f(x)X--2x2e.7.設二階常系數非齊次線性微分方程y"+ay'+by=θex的一個特解為y=e2x?(1x)ex,試確定常數a,b「并求該微分方程的通解.解：將已給的特解代入原方程，得(42ab)e2x(3 2ab)eX(Iab)XeX=:ex比較兩端同類項的系數，有42ab=OIab=O2ab=:解得a=_3,b=2, =_1.于是原方程為yJ3y2y二_ex.其特征方程為r2-3r?2=0,特征根為r1=1,r2=2,對齊次方程的通解為X 2X=c1e亠c2e又因為，=1是特征方程的單根，故設特解為 y=AXeX,代方程y'"—3y'2y=-ex，可解得A=1,故特解為y^xex所以該微分方程的通解為X丄 2χ丄 Xy=c1e亠c2e 亠Xe.&設函數(X)可微，且滿足XX「(x)=e亠I(t一X):(t)dt，求(X)?X X X解：由:(x)=eX亠I(t—x)'(t)dt得:(0)=1,又：(x)=eX亠∣t「(t)dt—x∣(t)dt? *0*0X兩邊求導得：:(x)=eX?χ>(x)-°:(t)dt-X:(x),即X「(X)=ex-0;：(t)dt,從而：(0)=1再求導得：：(X)=^^(X),即、、二e可求得對應齊次方程的通解為Y=CICoSX?C2sinX,又因為，=1不是特征方程2r7=0的根，故可設特解為* Xy=Ae1將其代方程y'y=ex中可求得A=1,故方程的通解為 y=c一一 --1XICoSX c2SinX—e..又22由1(0)=1,：(0)=1及y--GSinX c2cosX e得11Cl ,C2 ,所以222y1 X . 1 X=-(CoxS Si,r即 (Xe=丁(CoSXSinXe).229?求方程y''-y'-2y=3e^在x=0處與直線^X相切的解.

解：特征方程r2—r_2=0有兩個實根r1=-1,r2=2,故對應的齊次方程的通解為Y=c1e*■c2e2x,又因為‘--1是特征方程的單根，故可方程的特解為TOC\o"1-5"\h\z* Xy=AXe_代入原方程可解得A=-I,故原方程的通解為_x 2x _xy=c1e_■c2e —xe_,…(1)由已知在X=O處與直線y=X相切，則y(0) =0,y(0) =1 ,又X 2X X Xy=-c1e^-2c2e -e^■Xe一，…(2)將y(0)=0,y(0)=1分別代入(1)，(2)式中得c1c1 c2=0c1 2C2--2可解得c1 ,c232所以，所求的解為y--—e-Xe310.設函數y(x)的二階導函數連續(xù)且y'(0)=0,試由方程y(x)=11 ?y(t)-2y(t)6te」dt3占確定此函數.1解:方程兩邊對X求導得y(x)=—[—y?(x)—2y(x)亠6xe」],即y亠3y亠2y=6xe」….(1)3它的特征方程r23r?2=0有兩個相異的實根 r1=-1,r2=-2,故方程(1)對應的齊次方程的通解是Y^CIe^■c2e^x又?=-1是特征方程的單根，故方程(1)的特解可設為* -K 2y=X(AXB)e(AXBx)=e將其代入方程(1),可解得A=3,B=—6,從而特解為y=(3x2—6x)e」，方程(1)的通解為_V 2X 2 _Vy=c1e C2e (3X-6x)e,…⑵1由y(x)=1 — ；［—y(t)—2y(t)6te丄］dt得y(0)=1,又?V 2Y y 2 __x^=-CIe —2c2e (6x—6)e —(3X—6x)e,…⑶由y(0)=1,y(0)=0及(2),(3)式可得G c2=1G亠2c2--6故方程（故方程（1）的滿足已知條件y(0)=1,y(0)=0的特解為X 2X 2 Xy=8J 7e一(3x-6x)e一即由所給方程確定的函數為y(x^8e^-7e-x(3χmg2?mg2?因而有k當沉入時，液體的反作用力與下沉的速度成正比例，求質點11.一質點徐徐地沉入液體，的運動規(guī)律.當沉入時，液體的反作用力與下沉的速度成正比例，求質點解：由題設條件與牛頓第二定律有d2sm—7=mgdt-k空（k為比例系數）dt2dSkds即 g,…⑴dtmdt這是一個二階線性非齊次方程，它的特征方程kr=0有兩個不相等的實根mkr=0,r ,它對應的齊次方程的通解mc2ektm,又因?=0特征方程的單根，故可設特解為S=At,代入方程（1）可得Amg

kk,故方程（1）的通解為 c1c2emmgt.k且s__kc2emkηm mg,又開始沉入時即kt=0時,s=0,ds=0,將其代入上兩式可解得dtC1C22

mgS 廠k2mg2

kmgt.k習題10?41.某公司辦公用品的月平均成本 C與公司雇員人數X有如下關系:C'=C2e^-2C且C（0）=1,求C（X）.

解：方程C?=C2e*_2C可變形為:C2C=e~C=這是：?=2的伯努利方程,令Z-CI--CJ,方程可化為：Z?一2Z ,這是一階非齊次線性微分方程且P(X)=-2,Q(x)=_e—,其通解為：Z=e^-2dx-Jdx. Z=e^-2dx-Jdx. X∣~i' 2x. 3x((-e一)e dxm)=e(-e~dxm)=e2x(1e~xdxm)=1e3 31 1(為了與成本C區(qū)別，這里的任意常數用m表示),于是 e」me2x,由已知C(O)=I,可C3得:m=2,從而1=得:m=2,從而1=1ejs2e2x3C3 33x12eX3e2.設R=R(t)為小汽車的運行成本,3ex,所以C(X)=FS=S(t)為小汽車的轉賣價值，它滿足下列方程:aR'-,S'--bS,S由已知條件所以R(t)=abS由已知條件所以R(t)=abS。btebS。其中a,b為正的已知常數，若 Ro)=0,S(0)=S(購買成本)，求R(t)與S(t).解：先解一階線性方程S-_bS,求出S(t),分離變量得：竺-_bdt,積分得^CIe^tSS(0)=S0,可得C1=S0,所以S(t)=S0M,將S(t)=S0/代入所給方程bSo—ebt,積分得:R(t)—ebtC2,由已知條件R(0)=0得C?bSo3.設D=D(t)為國民債務，Y=Y(t)為國民收入，它們滿足如下的關系:D'RY+P,Y'="Y其中：■,^-,為正已知常數.(1)若D(O)=D0,Y(0)=Y°,求D(t)和Y(t);⑵求極限IimD°tτ乂丫⑴解：(1)先解方程Y=Y,求出Y(t)；分離變量得：也=dt,積分得Y=C1et,由Y(O)=YO得YCl=丫0,所以Y(t)=Λet,將Y(t)=Y°et代入D丄〉丫「中得：D=〉Y°et「，積分得O(YOYQ GYOD-e,-C?,由D(O)=DO得C^Do 0,所以

D(t)=也e"+Pt+D0—竺07