金融工程課后題13-20習(xí)題解答renzhengliang(Lite)

Chl3

13.1不是可交易證券價(jià)格的變量的風(fēng)險(xiǎn)價(jià)格是如何定義的？

解：不是可交換證券價(jià)格的變量的風(fēng)險(xiǎn)市場(chǎng)價(jià)格是通過求可交換證券的風(fēng)險(xiǎn)市

場(chǎng)價(jià)格而來，但必須滿足該可交換證券的價(jià)格與不是可交換證券價(jià)格的變量

瞬態(tài)完全正相關(guān)。

13.2假設(shè)黃金的風(fēng)險(xiǎn)市場(chǎng)價(jià)格為零，如果貯存成本為每年1%,無風(fēng)險(xiǎn)年利率為

6%,那么黃金價(jià)格的期望增長率為多少？

解：由公式m-2s=r-y+u,jfu2=0,r=0.06,y=0,u=0.01所以m=0.07.即期望增長率為

0.07o

13.3一個(gè)證券的價(jià)格與以下兩個(gè)變量正相關(guān)：銅的價(jià)格和日元兌美元的匯率，假

設(shè)這兩個(gè)變量的風(fēng)險(xiǎn)市場(chǎng)價(jià)格分別為0.5和0.1。若銅的價(jià)格固定，則該證

券的波動(dòng)率為每年8%；如果日元對(duì)美元的匯率固定，則該證券的波動(dòng)率為

每年12%。無風(fēng)險(xiǎn)利率為每年7%。證券的預(yù)期回報(bào)率為多少？如果兩個(gè)變

量彼此之間是不相關(guān)的，該證券的波動(dòng)率為多少？

解（1）令u為證券的預(yù)期收益率，已知無風(fēng)險(xiǎn)利率r=0.07,銅價(jià)和日?qǐng)A兌美

圓匯率的風(fēng)險(xiǎn)市場(chǎng)價(jià)格分別為幾1=0.5和42=0.1,銅價(jià)固定時(shí)匯率引起的

證券波動(dòng)率為02=0.08,匯率固定時(shí)銅價(jià)引起的證券波動(dòng)率為b1=0.12。因

此由公式u-r=2i<71+幾2<72可得u=0.138即證券的預(yù)期收益率為每年

0.138

（2）由cridzi+cr2dz2=V<7i2+（722dz3代入cri,cr2的值可得

而FlE*SrSoe（"心）xr為?！?4即銅價(jià)和日?qǐng)A兌美圓匯率不相關(guān)時(shí)證券的

波動(dòng)率為0.144

13.4某個(gè)石油公司只是為了開發(fā)德克薩斯一個(gè)很小區(qū)域的石油。其價(jià)值主要依賴

于如下兩個(gè)隨機(jī)變量：石油的價(jià)格和以探明石油的儲(chǔ)存量。討論：這兩個(gè)變

量中的風(fēng)險(xiǎn)市場(chǎng)價(jià)格為正數(shù)、負(fù)數(shù)還是零？

解：第二個(gè)變量的風(fēng)險(xiǎn)市場(chǎng)價(jià)格為0。這是因?yàn)檫@種風(fēng)險(xiǎn)是非系統(tǒng)的，它與經(jīng)濟(jì)

社會(huì)的其他風(fēng)險(xiǎn)完全不相關(guān)，投資者不能因?yàn)槌袚?dān)這種不可轉(zhuǎn)換的風(fēng)險(xiǎn)而要

求更高的回報(bào)。

13.5通過兩個(gè)無紅利支付的交易證券和兩個(gè)依賴于這兩個(gè)無紅利支付交易證券

價(jià)格的衍生工具構(gòu)成一個(gè)無風(fēng)險(xiǎn)組合，推導(dǎo)出這個(gè)衍生工具的微分方程。證

明此微分方程和13B.11所給的微分方程一樣。

解：假定兩個(gè)無紅利支付交易證券的價(jià)格分別為Si和S2,而依賴于它們的衍生

工具的價(jià)格為f，可以得到如下等式：

dSi=U]Sidt+criSjdzj;dS2=U2S2dt+cr2s2dz2

乂根據(jù)It。定理可得式：

",cWcdfdf1222fl2存于

J55.dS.dt2aS?255?

dSidS2oS1dS2

n=r/+rSi+r———S2dt

ldS：

由

H+-S?總+%駕+所6d-f

dtdS,dS.2aS.22dS?”dS、dSz

可得d口=-df+亞dS,+或-dS,

dS>dSz

一(”金+〃噌+…")力

dt2as』2as』"65,as/

所以，根據(jù)無風(fēng)險(xiǎn)組合特性：dH^rUdt

我們可以得到等式:

盞+P6G黑和+符,+需2

因此

.dxa（x。一無）山+與屋.駕+〃2%+小6粵

rf=—

x62dSr2dS?dS,dSz

乂由13B.11知道〃2i-A,i（yi—till—A,2（y：-r

所以這個(gè)衍生工具的微分方程和13B.11所給的微分方程一樣。

13.6一個(gè)遠(yuǎn)期合約在T時(shí)刻盈虧狀態(tài)為（ST—K）日元，其中ST是T時(shí)刻黃金

的價(jià)格，K是以美元計(jì)的交割價(jià)格。假設(shè)儲(chǔ)存成本為零，若有必要可定義其

他變量，計(jì)算遠(yuǎn)期價(jià)格。

解：假設(shè)￡是從日?qǐng)A投資者來看的風(fēng)險(xiǎn)中性世界中的期望值，。，是T時(shí)刻用日

圓表示的一美圓的價(jià)值，八/7分別是美圓和日?qǐng)A的無風(fēng)險(xiǎn)利率，q是指數(shù)

的紅利收益率，P是S和。的瞬時(shí)相關(guān)系數(shù)，小和c是S和Q的波動(dòng)率，F(xiàn)

是遠(yuǎn)期價(jià)格

由本章可得如下等式：F=￡涓"、昂?！篯=。,e（〃f）（J）

以及耳SrQ]=S,。虺⑵rT+35）g）

所以，遠(yuǎn)期價(jià)格尸=5"〃-4+"5"-'）

13.7豆油的便利收益是年率5%,年貯存成本為1%,無風(fēng)險(xiǎn)利率為年率6%。豆

油價(jià)格期望增長率為0。那么6個(gè)月的期貨價(jià)格和6個(gè)月的期望價(jià)格之間有

何聯(lián)系？

解：y=r+u-m+2s，已矢口y=0.05.r=0.06,u=0.01,m=0,可求得2s=-0.02

因?yàn)镕=E*(ST)=S。/〃?一詞",E(ST)=5OemT

所以F=E(Sr)e-"sxT=E(Sr)e002x0-5=1.01E(5r)

即六個(gè)月的期貨價(jià)格比六個(gè)月的期望價(jià)格高出百分之一。

13.8銅的風(fēng)險(xiǎn)市場(chǎng)價(jià)格為0.5,銅的年波動(dòng)率為20%,即期價(jià)格為每磅80美分,

6個(gè)月期貨價(jià)格為每磅75美分。問在下6個(gè)月中預(yù)期銅價(jià)的相應(yīng)增長率為

多少？

解:由上題知道F=E(Sr)eTs"。而4=0.5,s=0.2,5。=0由,F=0.75和T=0.5

可求得E(*)=0.7885又因?yàn)镾o=0.8,E(ST)=SOemT,所以m=-0.03

即期望增長率為負(fù)百分之三。

13.9假設(shè)一利率x遵循如下過程：

dx=a(x?-x)dt+c>[xdz

其中a、x。、和。是正常數(shù)。假設(shè)x的風(fēng)險(xiǎn)市場(chǎng)價(jià)格是4。當(dāng)用擴(kuò)展后的風(fēng)

險(xiǎn)中性原理估計(jì)一個(gè)衍生工具時(shí)，漂移率是如何被調(diào)整的？

解：題中等式可改寫為：蟲=gf)dJ十二dz,其中“(乂一幻是利率的期望

XXy/xX

增長率，。是它的干擾項(xiàng)，那么在風(fēng)險(xiǎn)中性世界期望增長率為

y/X

Q（Xo-X）

X

a（x（）-x）.cl,c,

因此,過程變?yōu)榻z=------力+〒廢,

XXy/x]yJX

所以，漂移率調(diào)整為

13.10一個(gè)證券在T時(shí)刻的盈虧狀態(tài)為S1S2,其中Si是標(biāo)準(zhǔn)普爾500指數(shù)的水平,

S2是石油的價(jià)格。假設(shè)$和S2都遵循幾何布朗運(yùn)動(dòng)且不相關(guān)。若有必要，

可定義其他變量，計(jì)算T時(shí)刻該證券的價(jià)值。

解：假設(shè)外〃分別是標(biāo)準(zhǔn)普爾500指數(shù)和石油價(jià)格增長率，，是無風(fēng)險(xiǎn)利率

由公式13.14：f=e~r(T-,}E[fi],以及考慮本題有方=SS

而根據(jù)布朗運(yùn)動(dòng)知道耳SS]=

r_《(q+/2+p(y\(y2)(r-z)

所以,T時(shí)刻該證券的價(jià)值為/—e

m2-42s2

13.11應(yīng)用風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)原理證明：6個(gè)月后以一股IBM股票兌兩股柯達(dá)股票的

期權(quán)價(jià)格與利率無關(guān)。

解：由題意可假設(shè)現(xiàn)時(shí)刻一股IBM股票剛好可兌換兩股柯達(dá)股票，那么六個(gè)月

后一股IBM股票兌兩股柯達(dá)股票的期權(quán)價(jià)格即是后者與前者的遠(yuǎn)期價(jià)格之

差，令Si。、S20分別是IBM股票和柯達(dá)股票的現(xiàn)時(shí)刻價(jià)格,即SIO=2S2O；再

令n、m2分別是兩股票的預(yù)期增長率，根據(jù)風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)原理，在風(fēng)險(xiǎn)中

性世界中兩者的預(yù)期增長率為/Is、九s-IBM股票和柯達(dá)股票

22

六個(gè)月的遠(yuǎn)期價(jià)格為Si。e、S2()e所以在風(fēng)險(xiǎn)中性世界中

一(m2-Qs2)

2

期權(quán)價(jià)格為2s2。e-Sl02,即與利率無關(guān)，根據(jù)風(fēng)險(xiǎn)中

性定價(jià)原理將其應(yīng)用到風(fēng)險(xiǎn)世界中同樣成立

13.12假設(shè)有一商品，其波動(dòng)率o■為一常數(shù)，無風(fēng)險(xiǎn)收益率也為常數(shù)。證明在風(fēng)

險(xiǎn)中性的世界中：InSr①InF-J(TT),cr6：

2

其中Sr為T時(shí)刻商品的價(jià)值，F(xiàn)是到期日T時(shí)刻期貨合約的價(jià)格。

2-

解：由第11章我們可得InSr①lnS+("——，而尸=5年小77,

即In尸=InS+〃(T—f)

所以，InSr①InF--(T-t),b近一t

2

14.1?個(gè)看漲期權(quán)的delta值為0.7意味著什么？若每個(gè)期權(quán)的delta均為0.7,

如何使一個(gè)1000個(gè)看漲期權(quán)的空頭變成delta中性？

解：Delta為0.7意味著：當(dāng)股票價(jià)格上漲一個(gè)小量△S時(shí)，期權(quán)價(jià)格上漲70%△

So反之亦然。1000個(gè)看漲期權(quán)空頭其Delta是-700,可以購買700股使之

變成Delta中性。

14.2無風(fēng)險(xiǎn)年利率為10%,股票價(jià)格的年波動(dòng)率為25除計(jì)算標(biāo)的物為不分紅股

票,6個(gè)月期兩平期權(quán)歐式看漲期權(quán)的delta值。

S0=X,r=0.1,o=0.25,T=0.5

g/X)+(0.尸/2)0.5=037]2

0.25V(15

看漲期權(quán)delta為N(di)或0.64

14.3若以年計(jì)，一個(gè)期權(quán)頭寸的theta值為-0.1意味著什么？若一個(gè)交易者認(rèn)

為股票價(jià)格和隱含波動(dòng)率都不會(huì)變，那么期權(quán)頭寸是什么類型？

解：Theta為-0.1意味著：如果At年后，股票價(jià)格和波動(dòng)率都不變，期權(quán)價(jià)

值下降0.1At。如果交易者認(rèn)為股票價(jià)格和隱含波動(dòng)率都不會(huì)變，期權(quán)頭

寸會(huì)選擇一個(gè)盡可能高的theta值，相對(duì)來說，短期平價(jià)期權(quán)具有最高的

theta值。

14.4期權(quán)頭寸的gamma是代表什么？當(dāng)一個(gè)期權(quán)空頭頭寸的gamma為很大的負(fù)

值時(shí)，并且delta為零，其風(fēng)險(xiǎn)是什么？

解：Gamma代表某種標(biāo)的資產(chǎn)的衍生證券組合的delta變化相對(duì)于標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格

變化的比率。當(dāng)一個(gè)期權(quán)空頭頭寸的gamma為很大負(fù)值，而delta為0,風(fēng)

險(xiǎn)在于：如果資產(chǎn)價(jià)格有大的變化(上升或下降)，該交易者會(huì)遭受巨大損

14.5“構(gòu)造一個(gè)合成期權(quán)頭寸的過程就是對(duì)沖該期權(quán)頭寸的逆過程。”請(qǐng)你解釋

這句話的意思。

解：要為一個(gè)期權(quán)套期保值，必須構(gòu)造一個(gè)數(shù)量相同、頭寸方向相反的合成期

權(quán)。比如說，要為一個(gè)看跌期權(quán)多頭套期保值，就必須構(gòu)造一個(gè)合成看跌

期權(quán)的空頭。這就是說：構(gòu)造一個(gè)合成期權(quán)頭寸的過程就是對(duì)沖該期權(quán)頭

寸的逆過程。

14.6為什么在1987年10月19日證券組合的保險(xiǎn)方式失效了？

解：如果指數(shù)波動(dòng)率變化迅速或者股票指數(shù)產(chǎn)生很大的跳躍，那么構(gòu)造基于指

數(shù)的合成看跌期權(quán)不是很有效的辦法。因?yàn)樗麄儫o法足夠快的賣出股票或

者指數(shù)期貨以保護(hù)原頭寸免遭損失。1987年10月19日，市場(chǎng)下跌的太快,

以至于證券組合不能及時(shí)做出反應(yīng)。

14.8一個(gè)執(zhí)行價(jià)格為$40的處于虛值狀態(tài)的看漲期權(quán)，其black-scholes公式的

價(jià)格為$4.00。一個(gè)出售了該期權(quán)合約的交易商計(jì)劃使用第14.3節(jié)中的止虧

17

策略。交易商計(jì)劃以$40-買入，以$39—賣出。估計(jì)股票被買入或賣出的

88

預(yù)期次數(shù)。

解：在該策略中，交易者每次買賣股票要花費(fèi)$1/8,預(yù)期總成本是$4,意味著:

股票買賣次數(shù)大約為32次。買和賣的次數(shù)分別大約為16次。

14.9利用看漲-看跌期權(quán)之間的平價(jià)關(guān)系推導(dǎo)不分紅股票的如下二者之間的關(guān)

系：

(a)一個(gè)歐式看漲期權(quán)的delta值和一個(gè)歐式看跌期權(quán)的delta值

(b)■—個(gè)歐式看漲期權(quán)的gamma值和一個(gè)歐式看跌期權(quán)的gamma值

(c)一個(gè)歐式看漲期權(quán)的vega值和一個(gè)歐式看跌期權(quán)的vega值

(d)一個(gè)歐式看漲期權(quán)的theta值和一個(gè)歐式看跌期權(quán)的theta值

解：對(duì)于不分紅股票，根據(jù)看漲-看跌平價(jià)關(guān)系有：在t時(shí)刻，

p+S=c+X"g)

(a)對(duì)S求偏導(dǎo)

生+「如或者羽=生_1

dsdsdsds

這表示，歐式看跌期權(quán)的delta值等于對(duì)應(yīng)的歐式看漲期權(quán)的delta值減去

lo

(b)再次對(duì)S求二階偏導(dǎo)

d2p_d2c

ds2ds2

表示：歐式看跌期權(quán)的gamma值與對(duì)應(yīng)的歐式看漲期權(quán)的gamma值相等。

(c)對(duì)。求偏導(dǎo)

dp_de

dada

表示：歐式看漲期權(quán)的vega值與對(duì)應(yīng)的歐式看跌期權(quán)的vega值相等。

(d)對(duì)T求偏導(dǎo)

史」Xe-g)+生

dtdt

歐式看漲期權(quán)和歐式看跌期權(quán)的theta值存在以上關(guān)系。

14.10假設(shè)一股票現(xiàn)價(jià)為$20,假象一個(gè)執(zhí)行價(jià)格為25的看漲期權(quán)，由頻繁變

化的股票頭寸合成的?？紤]下面兩種情況：

(a)在期權(quán)有效期內(nèi)，股票價(jià)格由$20穩(wěn)定增長至$35

(b)股票價(jià)格波動(dòng)劇烈，最終價(jià)格為$35

請(qǐng)解釋哪種方案使合成的期權(quán)更值錢？解釋你的答案。

解：該策略為買高賣低。第一種情況，股票價(jià)格穩(wěn)定增長，因此，一直都是買

進(jìn)；第二種情況則是不斷的買進(jìn)、賣出、買進(jìn)、賣出……最終股票價(jià)格一

樣。顯然后者比前者花費(fèi)更高。

14.111000個(gè)白銀期貨的歐式看漲期權(quán)的空頭頭寸的delta值為多少？該期權(quán)有

效期為8個(gè)月，期權(quán)的標(biāo)的期貨合約有效期為9個(gè)月。當(dāng)前9個(gè)月期的白銀

期貨價(jià)格為每盎司$8.00,期權(quán)執(zhí)行價(jià)格為每盎司$8.00,無風(fēng)險(xiǎn)年利率為

12%,白銀價(jià)格的年波動(dòng)率為18%o

解：期貨的歐式看漲期權(quán)的delta值是期權(quán)價(jià)格變化和期貨價(jià)格的比率。是

本題中，F(xiàn)o=8,X=8,r=0.12,o=0.18,T=0.6667

ln(8/8)+(0.182/(2l5667

a,=---------------/-----------=U.U/33

0.1840.6667

N(di)=0.5293,所以delta值為e-°’2*°"67x0.5293=0.4886

因此，1000個(gè)白銀期貨的歐式看漲期權(quán)的空頭頭寸的delta值為-488.6

14.12在習(xí)題14.11中，若進(jìn)行delta套期保值，白銀期貨的初始頭寸至少應(yīng)為

多少？如果使用白銀本身，初始頭寸為多少？如果是一年期期貨，初始頭

寸應(yīng)為多少？假設(shè)沒有儲(chǔ)存費(fèi)用。

解：前者指的是期貨delta值，后者指的是現(xiàn)貨delta值。對(duì)于前者，從上題

的答案得出，要進(jìn)行delta套期保值，必須持有488.6盎司的有效期為9

個(gè)月的白銀期貨多頭頭寸。對(duì)于后者，delta值為e°g°75=L094(無儲(chǔ)存

費(fèi)用)。因此,期貨頭寸的當(dāng)前delta值為-488.6XI.094=-534的,所以

須持有534.6盎司多頭頭寸來套期保值。

若使用一年期期貨，當(dāng)前delta值為e""=1.1275,所以，初始頭寸應(yīng)為

012

e-x534.6=474.1盎司。

14.13--家公司打算對(duì)一個(gè)貨幣的看漲看跌期權(quán)組成的多頭頭寸組合進(jìn)行

delta套期保值。請(qǐng)解釋下面哪種情況結(jié)果最佳？

解：無論是看跌期權(quán)還是看漲期權(quán)，多頭頭寸都有正的gamma值，意味著，對(duì)

于套期保值者，股票價(jià)格大幅波動(dòng)比穩(wěn)定的效果要好。因此（b）的結(jié)果

最佳。

14.14一家金融機(jī)構(gòu)擁有一種貨幣的看漲看跌期權(quán)組成的空頭頭寸組合，請(qǐng)重新

分析習(xí)題14.13o

解：無論是看跌期權(quán)還是看漲期權(quán)，空頭頭寸都有負(fù)的gamma值，意味著，對(duì)

于套期保值者，股票價(jià)格大幅波動(dòng)比穩(wěn)定的效果要差。因此（a）的結(jié)果

最佳。

14.15一個(gè)金融機(jī)構(gòu)剛剛賣出一些日元的7個(gè)月期歐式看漲期權(quán)。假設(shè)即期匯率

為0.8美分/日元，執(zhí)行價(jià)格為0.81美分/日元，美元的無風(fēng)險(xiǎn)年利率為8%,

日元的無風(fēng)險(xiǎn)年利率為5%,日元的年波動(dòng)率為15%o計(jì)算并解釋說明期

權(quán)的delta,vega,theta和rho。

解：本題中，50=0.80,%=0.81^=0.08,?7=0.05,CT=0.15,7=0.5833

,ln(0.80/0.81)+(0.08-0.05+0.152/2)x0.5833…

d.=--------------------7---------------=0.10

0.1540.5833

4=4-0.15V0.5833=-0.0130

N(4)=0.5405;TV(J2)=0.4998

看漲期權(quán)的delta值為

/RN(4)=e?33X0.5405=0.5250

N⑷=一=6々"2==03969

所以看漲期權(quán)的gamma值為

N\d.)e~r/T0.3969x0.9713

ScrVF_0.80x0.15x70.5833-

看漲期權(quán)的vega值為

S°VFN'(4=O.8OVO.5833x0.3969x0.9713=0.2355

看漲期權(quán)的theta值為

rT

_回譽(yù)二fS°#N@)eR-rXe-N(d2)

27T

0.8x0.3969x0.15x0.9713

240.5833

+0.05X0.8X0.5405X0.9713-0.08X0.81X0.9544X0.4948

=—0.0399

看漲期權(quán)的rho為

rT

XTe^N(d2)

=0.81X0.5833X0.9544X0.4948

=0.2231

解釋：delta表示，現(xiàn)價(jià)上升一個(gè)小量，期權(quán)價(jià)值上升0.525倍該小量；vega

表示，當(dāng)波動(dòng)率上升一個(gè)小量，期權(quán)價(jià)值上升0.2355倍該小量；theta表

示，時(shí)間過去一個(gè)小量，期權(quán)價(jià)值下降0.0399倍該小量；rh。表示，利率

上升一個(gè)小量，期權(quán)價(jià)值上升0.2231倍該小量。

14.19某個(gè)基金經(jīng)理擁有一個(gè)風(fēng)險(xiǎn)分散的組合，該組合的狀況可由S&P500來反

映，價(jià)值$9000萬。S&P500的點(diǎn)數(shù)為300,該組合的經(jīng)理打算購買保險(xiǎn),

防止在隨后的6個(gè)月中組合價(jià)值下跌超過5%o無風(fēng)險(xiǎn)年利率為6%o該

組合以及S&P500的紅利率為3%,指數(shù)的年波動(dòng)率為30%o

(a)如果基金經(jīng)理購買可交易歐式看跌期權(quán)，保險(xiǎn)費(fèi)為多少？

(b)詳細(xì)解釋包括可交易歐式看漲期權(quán)在內(nèi)的幾種策略，并說明他們?nèi)绾?/p>

得到相同的結(jié)果。

(c)如果基金經(jīng)理決定通過部分無風(fēng)險(xiǎn)證券組合來提供保險(xiǎn)，初始頭寸應(yīng)

該為多少？

(d)如果基金經(jīng)理決定通過使用9個(gè)月期指數(shù)期貨來提供保險(xiǎn)，初始頭寸

應(yīng)該為多少？

解：

(a)

N(4)=0.6622;N@)=0.5818

N(—4)=03378;'(―4)=0.4182

一份看跌期權(quán)價(jià)值為

1140e"-'W(—d2)T200eFJ>N(—dj

=285e"06mx0.4182-3OOe-°O3x0-5x0.3378

=63.40

因此總的保險(xiǎn)費(fèi)為300,000X63.40=$19,020,000

(b)由看漲-看跌平價(jià)關(guān)系S0e-"+p=c+Xe-"

表明一份看跌期權(quán)可以這樣構(gòu)造：賣空的指數(shù)，買一份看漲期權(quán)，剩

下的投資于無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)。應(yīng)用到本題情況，該基金經(jīng)理應(yīng)該：

1)賣出360e4°34=$354,640,000的股票

2)買入300,000份S&P500看漲期權(quán)，執(zhí)行價(jià)1140,期限為6個(gè)月

3)投資剩余現(xiàn)金到無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)獲得每年6%的無風(fēng)險(xiǎn)利率。

該策略和直接買進(jìn)看跌期權(quán)有同樣的效果。

(c)一份看跌期權(quán)的delta值為

=e-。"(06622-1)

=-0.3327

表示，初始頭寸為，賣出資產(chǎn)組合的33.27%(即$119,770,000)并投資

于無風(fēng)險(xiǎn)證券。

(d)9個(gè)月期指數(shù)期貨合約的delta值為

=”3皿5=1.023

當(dāng)前空頭頭寸必須為I、'77°，00°=99,808除以指數(shù),所以，空頭頭寸為:

300

99,808

=390份期貨合約。

1.023x250

14.20假設(shè)某證券組合的beta為1.5,年紅利率為4%,重復(fù)習(xí)題14.19的幾個(gè)問

題。

解：6個(gè)月內(nèi)，證券組合價(jià)值下跌5%,證券組合的總回報(bào)，包括分紅，為：一

5+2=3%

即每年6虬比無風(fēng)險(xiǎn)年利率少了12隊(duì)既然證券組合的beta值為1.5,那

么可以預(yù)測(cè)，市場(chǎng)回報(bào)率比無風(fēng)險(xiǎn)利率少8臨即為一2機(jī)瞬紅利率為3%,

可以預(yù)測(cè)市場(chǎng)指數(shù)每年下降5%,即6個(gè)月下降2.5臨市場(chǎng)預(yù)計(jì)會(huì)下降到

1170o因此需要總計(jì)450,000=(1.5X300,000)份S&P500看跌期權(quán),

執(zhí)行價(jià)1170,執(zhí)行時(shí)間為6個(gè)月。

(a)So—1200,X-1170,r=0.06,cr=0.3,T=0.5,q=0.03

所以

,ln(l200/1170)+(0.06-0.03+0.09/2)x0.5，

a.=-----------------------------------------------------=0.2961

0.3V(X5

4=4-0.3757=0.0840

N?)=0.6164;N(d?)=0.5335

N(—4)=0.3836;N(—4)=0.4665

看跌期權(quán)價(jià)值為：

rTqT

Xe-N(-d2)-Soe-N(-di)

=1170e-006x0-5x0.4665—1200e?°3、°5x0.3836

=76.28

所以，保險(xiǎn)費(fèi)總計(jì)為：450,000X76.28=$34,326,000

(b)策略1：賣出$354,640,000的股票；2：買進(jìn)450,000S&P500看漲

期權(quán)，執(zhí)行價(jià)1170,執(zhí)行期6個(gè)月；3：投資剩余現(xiàn)金于無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)。

(c)證券組合的波動(dòng)率比S&P500高50%,以證券組合來提供保險(xiǎn)，參數(shù)為：

So=36O,X=342,r=0.06,o=0.45,T=0.5,q=0.04

,ln(360/342)+(0.06-0.04+0.452/2)x0.5……

d.-------------------T=--------------=0.3517

0.45VO5

N(4)=0.6374

期權(quán)delta值為：

e[N(4)-1]

="0.03x0.5(06474—1)

=-0.355

這表明，證券組合中的35.5%(即$127,800,000)應(yīng)該被賣出并投資于

無風(fēng)險(xiǎn)證券。

(d)此時(shí)，每份看跌期權(quán)的delta值為

=e《.03*。5(06164-1)

=-0.3779

看跌期權(quán)總頭寸的delta值為-450,000X0.3779=-170,000o9個(gè)月期

指數(shù)期貨的delta值為1.023o所以初始頭寸應(yīng)該為：

17°網(wǎng)°=665份指數(shù)期貨合約空頭。

1.023x250

14.21證明代入?,△,「和f,等式(14.4)在以下情況仍成立：

(a)不分紅股票的歐式看漲期權(quán)

(b)不分紅股票的歐式看漲期權(quán)

(c)任何不分紅股票的歐式看漲期權(quán)和看跌期權(quán)的組合。

解(a)對(duì)于不分紅股票的歐式看漲期權(quán)

△=N(dJ

r=N'(4)

SQG?近

0=_SoNWa_rXeG(d,)

2y/T-

代入14.4,等式左邊等于：

rT

=-rXe-N(d2)+rS.N(d^+-oSa

2yjT2y]T

=「[5心(4)一乂""刈出)]

=rTI

(b)對(duì)于不分紅股票的歐式看跌期權(quán)

△=N(4)—1=—N(—4)

SQtJy/T

SoN'(d、)orT

+rXe~N(-d2)

2近

代入14.4,等式左邊等于:

=/”+rXe*Nf-%）一一S0N（—4）+gbS°

=r[Xe-"N（—力）一5。'（一4）]

=rTL

（C）對(duì)于期權(quán)組合，n,△,@和『是證券組合中的單個(gè)期權(quán)的價(jià)值的總

和，因此，14.4對(duì)于任何不分紅股票的歐式看漲期權(quán)和看跌期權(quán)的組合成

乂。

14.22與等式（14.4）相對(duì)應(yīng)的一種貨幣衍生產(chǎn)品的組合的等式是怎樣的？

解：貨幣提供連續(xù)的分紅率口，這點(diǎn)和股票類似。貨幣衍生產(chǎn)品組合的微分等

式為：

a2n

=rll

因此：O+（r—o）SA+gcr2s2==「口

類似的，對(duì)于獨(dú)立于期貨價(jià)格的衍生產(chǎn)品組合，o+'b2s2「=「n

2

14.23假設(shè)要為$700億的權(quán)益資產(chǎn)組合做個(gè)保險(xiǎn)計(jì)劃。假設(shè)此計(jì)劃可防止資產(chǎn)

價(jià)值在一年內(nèi)下跌不超過5%o做任何你認(rèn)為必要的估計(jì)，計(jì)算如果在一

天之內(nèi)市場(chǎng)下降23%,該組合保險(xiǎn)計(jì)劃的管理者應(yīng)出售價(jià)值多少的股票或

期貨合約？

解：可以把所有資產(chǎn)組合保險(xiǎn)頭寸看作一份單個(gè)的看跌期權(quán)。在下降23%之前,

三個(gè)已知參數(shù)為：So=7O,X=66.5,T=l0其他參數(shù)估計(jì)為r=0.06,。=0.25,

q=0.03□那么:

ln(70/66.5)+(0.06-0.03+0.25?/2)

=0.4502

4025

N（4）=0.6737

期權(quán)delta值為:

eqN（4）T

（0.6737-1）

=-0.3167

這表明，市場(chǎng)下降之前，必須賣出資產(chǎn)的31.67%或者$221.7億。

下降以后，S°=53.9,X=66.5/=0.06,cr=0.25,7=1,4=0.03

ln(53.9/66.5)+(0.06-0.03+0.252/2)…一

aJ.=-----------------------------------------------=0.5953

10.25

N(4)=0.2758

期權(quán)delta值下降為

=e-o.o3xo.5(o2758-l)

=-0.7028

這表明，總共必須賣出資產(chǎn)的70.28%或者$492億(以下跌前價(jià)格衡量)。

即，市場(chǎng)下降的結(jié)果導(dǎo)致大約270億的附加資產(chǎn)必須被賣出。

Chl5

15.1美式期權(quán)的Delta、Gamma、Vega>Theta和Rho參數(shù)，哪一個(gè)可以通過構(gòu)

造單一的二叉樹圖來估值？

解:就(15.8)、(15.9)和(15.10)及例15.2的計(jì)算知,Delta、Gamma和Theta

可以通過構(gòu)造單一的二叉樹圖直接估值；由Ve摯的定義知，可以通過對(duì)股

價(jià)波動(dòng)率的微調(diào)，然后重新構(gòu)造一個(gè)二叉樹圖間接估值；由Rho的定義知，

可以通過對(duì)利率的微調(diào)，然后重新構(gòu)造一個(gè)二叉樹圖間接估值。

15.2某不分紅股票的美式看跌期權(quán)，有效期3個(gè)月，股票市價(jià)和執(zhí)行價(jià)格均為

60美元，無風(fēng)險(xiǎn)利率為年率10%,波動(dòng)率為45%o請(qǐng)構(gòu)造時(shí)間間隔為一個(gè)

月的期的二叉樹圖模型為該期權(quán)估值。

解：已知S=X=60,廠=0.1,cr=0.45,T=3/12=0.25,A/=1/12?0.0833，則

由(15.4)—(15.7)有:

u=e。而=e°-45?麗1.1387

d=-0.8782

U

a=eW=e°」x°°8331.0084

a-d1.0084-0.8782n,nno

P=一斤=1-co0.4998

u-a1.1387-0.8782

l-p=1-0.4998=0.5002

計(jì)算二叉樹圖的結(jié)果如下:

由此可知，該期權(quán)的價(jià)格約為5.16美元。

15.3請(qǐng)解釋當(dāng)用樹圖法估計(jì)美式期權(quán)價(jià)值時(shí)，如何應(yīng)用控制變量技術(shù)。

解：當(dāng)用樹圖法估計(jì)美式期權(quán)價(jià)值時(shí)，控制變量技術(shù)主要有以下應(yīng)用：

（1）利用二叉樹圖中常用的的方式對(duì)美式期權(quán)定價(jià)。（記為小）

（2）使用與（1）中相同的二叉樹圖，并保持所有的參數(shù)不變，對(duì)相應(yīng)的歐式期

權(quán)定價(jià)。（記為先）

（3）使用B—S對(duì)歐式期權(quán)定價(jià)。（記為力s）

美式期權(quán)價(jià)格的估計(jì)值是fA+fBS-fE.

15.4某谷物期貨的美式看漲期權(quán)，有效期為9個(gè)月，期貨市價(jià)為198美分，執(zhí)

行價(jià)格為200美分，無風(fēng)險(xiǎn)利率為年率8%,波動(dòng)率為年率30%。請(qǐng)構(gòu)造時(shí)

間間隔為3個(gè)月的二叉樹圖模型為該期權(quán)估值。

解:已知尸=198,X=200/=0.08,。=0.3,7=0.75,4=3/12=0.25,則有：

"=”疝=心3厄1,1618

1_1

0.8607

廠1.1618

C_0.08x0.251

—匕—v1

_a-d_1-0.8607

y0.4626

'—"-「1.1618-0.8607

1-/7=0.5374

計(jì)算二叉樹圖的結(jié)果如下:

由此可知，該期權(quán)的價(jià)格約為20.34美元。

15.5試想一個(gè)期權(quán)，其最終收益為期權(quán)有效期期末的股票價(jià)格高出有效期期中最

低股價(jià)的部分。試問這■-期權(quán)能否用二叉樹圖方法定價(jià)？請(qǐng)解釋說明。

解：這一期權(quán)不能用二叉樹圖方法定價(jià)。原因如下：

此題中最終收益為期權(quán)有效期期末的股票價(jià)格高出有效期期中最低股價(jià)的

部分，即其最終收益不僅與股票在期末時(shí)的價(jià)格有關(guān)，而且決定于股票價(jià)格

的運(yùn)動(dòng)路徑，故我們不能使用二叉樹圖方法從后向前推算，從而不能使用二

叉樹圖方法對(duì)該期權(quán)定價(jià)。

15.6"對(duì)于支付紅利的股票，其股價(jià)的樹圖不重合，但從股價(jià)中減去將來的紅利

的現(xiàn)值之后，其樹圖重合?！闭?qǐng)解釋這一論述。

解：假設(shè)在某時(shí)間段內(nèi)股票將支付價(jià)值為D的紅利，S為股票的初始價(jià)格，則

股票的在該時(shí)間段的期末價(jià)格將變?yōu)镾u—D或Sd—D,在下一個(gè)時(shí)間段的

期末價(jià)格將變?yōu)?Su—D)u、(Su-D)d、(Sd—D)u及(Sd—D)d中的某一個(gè)

值，由于u與d不相等，故(Su—D)d與(Sd—D)u是不可能相等的。這表明

對(duì)于支付紅利的股票，其股價(jià)的樹圖不重合。但是，當(dāng)開始時(shí)就將將來的

紅利的現(xiàn)值從股價(jià)中剔除后(即減去將來的紅利的現(xiàn)值后)，其樹圖必然重

合。

15.7請(qǐng)說明在腳注6所示的情況下，應(yīng)用Cox、Ross和Rubinstein的二叉樹圖

方法時(shí)，概率將出現(xiàn)負(fù)值。

解:在腳注6所示的情況下，cr<卜尸-即(r-g)VZF>-0■或(r-q)VZF<cr,

故有疝或底，止匕即:

a<d或a>w

則概率或l.p二胃＜0。

15.8當(dāng)股指美式期權(quán)的標(biāo)的股指的紅利收益率為時(shí)間的函數(shù)時(shí)，你如何用二叉

樹方法對(duì)該期權(quán)定價(jià)？

解：當(dāng)股指美式期權(quán)的標(biāo)的股指的紅利收益率q為時(shí)間t的函q(t)時(shí)，以下式子

仍然成立：

d=e。而

11=廠內(nèi)

a=e(r-g(，))A，

pa(t)-d

1u-d

由以上式子可知，“、d獨(dú)立于時(shí)間而a、p依賴于時(shí)間"當(dāng)用二叉

樹方法對(duì)期權(quán)定價(jià)時(shí)，二叉樹圖的形態(tài)僅依賴于〃、d,故標(biāo)的股指的紅

利收益率為時(shí)間的函數(shù)與其為常數(shù)所用的二叉樹圖的形態(tài)相同，不同的是

在計(jì)算每個(gè)不同時(shí)間對(duì)應(yīng)節(jié)點(diǎn)處的期權(quán)的價(jià)值時(shí)，p值應(yīng)該隨著時(shí)間作相

應(yīng)的調(diào)整，然后重復(fù)與收益率為常數(shù)時(shí)計(jì)算期權(quán)價(jià)值的程序。

15.9請(qǐng)解釋說明為什么蒙特卡羅模擬不適用于于美式衍生證券的定價(jià)。

解：由于在用蒙特卡羅模擬方法計(jì)算風(fēng)險(xiǎn)中性世界中衍生證券的樣本價(jià)值時(shí)，依

賴于該衍生證券標(biāo)的變量的路徑的模擬，在每次的模擬中，標(biāo)的變量的價(jià)值

就首先在4時(shí)刻確定，然后在24時(shí)刻確定，然后3Af等等。這樣在時(shí)刻

(i=0,1,2…)就不可能決定提請(qǐng)執(zhí)行期權(quán)是最優(yōu)選擇，原因是iAr時(shí)刻

可能的路徑?jīng)]有被考察?？傊商乜_模擬是沿著時(shí)間從，到T順次進(jìn)行

的，不適用于于美式衍生證券的定價(jià)。

15.10某個(gè)不付紅利股票的美式看跌期權(quán)，有效期為1年，執(zhí)行價(jià)格為18美元。

股票市價(jià)為20美元，無風(fēng)險(xiǎn)利率為年率15%,股價(jià)的波動(dòng)率為年率40%。

請(qǐng)將該有效期等分為四個(gè)時(shí)間段，每個(gè)時(shí)間段為期三個(gè)月。用樹圖方法對(duì)該

期權(quán)定價(jià)。請(qǐng)用控制變量技術(shù)對(duì)這一估計(jì)進(jìn)行修正。

解：已知S=20,X=18/=0.15,cr=0.40,7=1,4=0.25,由此可計(jì)算二叉樹

的有關(guān)參數(shù)如下:

〃=e"=e（）.4庇1,2214

0.8187

廠1.2214

a=""=e°15x0.25La

_1.0382-0.8187

P=u-d=1.2214-0.81870.5450

1-/7=0.4550

(1)利用二叉樹法對(duì)該美式看跌期權(quán)定價(jià)如圖15.3所示，由此得該美式看跌

期權(quán)的價(jià)格約為1.29美元。

(2)利用二叉樹法對(duì)該看跌期權(quán)對(duì)應(yīng)的歐式期權(quán)定價(jià)如圖15.4所示，由此得

該看跌期權(quán)對(duì)應(yīng)的歐式期權(quán)價(jià)格約為1.14美元。

(3)用Black—Scholes公式對(duì)該看跌期權(quán)對(duì)應(yīng)的歐式期權(quán)定價(jià)如下：

,ln(S/X)+(r+o~2/2)Tln(20/18)+(0.15+04()2/2)xl

0.8384

1—o-VF-o.4oVI

,ln(5/X)+(r-o-2/2)Tln(20/18)+(0.15-0.402/2)x1

di—-------.-----=----------=------0.4384

N(—d。0.2009,N(—d2)0.3306

故該看跌期權(quán)對(duì)應(yīng)的歐式期權(quán)價(jià)格為：

Xe-rTN{-di)-Si)=1Se-0'5x'x0.3306-20x0.20091.10

故用控制變量法計(jì)算出的修正值為1.29+1.10-1.14=1.25美元。

注：保留小數(shù)點(diǎn)后四位有效數(shù)字。

注：保留小數(shù)點(diǎn)后四位有效數(shù)字。

圖15.4

15.11某個(gè)白銀金屬期貨的美式看漲期權(quán)，有效期為1年，執(zhí)行價(jià)格為9美元。

期貨合約的市價(jià)為8.50美元，無風(fēng)險(xiǎn)利率為年率12%,期貨價(jià)格的波動(dòng)率

為年率25%。請(qǐng)將該有效期等分為四個(gè)時(shí)間段，每個(gè)時(shí)間段為期三個(gè)月。用

樹圖方法對(duì)該期權(quán)定價(jià)。請(qǐng)用控制變量技術(shù)對(duì)這一估計(jì)進(jìn)行修正。請(qǐng)估計(jì)該

期權(quán)的Delta參數(shù)。

解：已知T—1,X=9,f=0.85,r=0.12,b=0.25,4=3/13=0.25,由此得:

d=—0.8825

1-0.8825

0.4689

u-d~1.3331-0.8825

1—p=0.53U

(1)利用二叉樹法對(duì)該美式看漲期權(quán)定價(jià)如圖15.5所示，由此得該美式看漲

期權(quán)的價(jià)格約為力=0.60美元。

(2)利用二叉樹法對(duì)該看漲期權(quán)對(duì)應(yīng)的歐式期權(quán)定價(jià)如圖15.6所示，由此得

該看漲期權(quán)對(duì)應(yīng)的歐式期權(quán)價(jià)格約為%=0.59美元。

(3)用Black—Scholes公式對(duì)該看漲期權(quán)對(duì)應(yīng)的歐式期權(quán)定價(jià)如下：

,ln(F/X)+(cr2/2)7,ln(8.50/9)+(0.252/2)xl

(11=----------=--------=----------------0.103o

ay/r0.25*

ch=dLcrVr=-0.1038-0.25x&=-0.3538

N(di)=N(-0.1038)0.4587

N(d2)=N(—0.3538)0.3618

故該看漲期權(quán)對(duì)應(yīng)的歐式期權(quán)價(jià)格為：

fis=S-Xe-rTN(d2)=8.5x0.4587-9xe-0'25xlx0.36180.57

故用控制變量法計(jì)算出的修正值為：

力+加一%=0.60+0.57—0.59=0.58美元。

(4)對(duì)應(yīng)于(1)的Delta參數(shù)為：

1.1052-0.1802

'Su-Sd9.6314-7.5013'、'

對(duì)應(yīng)于(2)的Delta參數(shù)為：

A?,s=N(di)-0.4587

對(duì)應(yīng)于(3)的Delta參數(shù)為：

故用控制變量法計(jì)算出的Delta參數(shù)修正值為:

AA+ABS-AE0.47

注：保留小數(shù)點(diǎn)后四位有效數(shù)字。

圖15.5

注：保留小數(shù)點(diǎn)后四位有效數(shù)字。

15.12主要市場(chǎng)指數(shù)MMI的美式看跌期權(quán)，有效期為兩個(gè)月，執(zhí)行價(jià)格為480。

目前的指數(shù)水平為484,無風(fēng)險(xiǎn)利率為年率10%,股票指數(shù)年紅利收益率為

3%,指數(shù)的波動(dòng)率為年率25%o請(qǐng)將該有效期等分為四個(gè)時(shí)間段，每個(gè)時(shí)

間段為期半個(gè)月。用樹圖方法對(duì)該期權(quán)定價(jià)。

解：已知：

S=484,X=480,r=0.10,。=0.25,T=1,,q=0.03,T=2/120.1667,X=0.0417

由此可計(jì)算二叉樹的有關(guān)參數(shù)如下:

疝=於.25?171.0524

1_1

?=1.05240.9502

Ar-q)M_〃(0.10—0.03)x0.25

c-e1.0029

_?-6/_1.0029-0.9502

〃==1.0524-0.95020.5160

l-p=0.4840

計(jì)算二叉樹圖的結(jié)果如下:

由圖15.7知該期權(quán)價(jià)格約為14.93美元。

15.13某個(gè)股票的美式看漲期權(quán)，有效期為6個(gè)月，預(yù)計(jì)在第二個(gè)和第五個(gè)月的

月末將支付每股1美元的紅利。該股價(jià)的市價(jià)為30美元，執(zhí)行價(jià)格為34

美元,無風(fēng)險(xiǎn)利率為年率10%,不支付紅利的股價(jià)部分的波動(dòng)率為年率30%o

請(qǐng)將該有效期等分為6個(gè)時(shí)間段，每個(gè)時(shí)間段為期1個(gè)月。用樹圖方法對(duì)該

期權(quán)定價(jià)。并且將這一結(jié)果將Black近似方法得到的結(jié)果（參見第11.12節(jié)）

相比較。用該樹圖估計(jì)該期權(quán)的Delta和Theta參數(shù)。

解：（1）已知：

5=30,X=34,r=0.10,<T=0.30,7=6/12=0.50,A/=7/60.0833,

為=2/120.1667,T2=5/120.4167,D,=￡>：=1

由此可計(jì)算二叉樹的有關(guān)參數(shù)如下:

u=e。瓜=6。3。*加麗1,0904

,11

d———=--------?0.9171

U1.0904

C-0內(nèi)—,0.10x0.30

Ct一匕一V1.0084

p=0.5268

u-a

1-/9=0.4732

期權(quán)有效期內(nèi)紅利的現(xiàn)值為:

D=。/用=e-oio><oi667+e-o.ioxo.4i67美元。

所以S*=S-。=30—1.94=28.06美元。根據(jù)以上條件，可以模擬S*的

二圖如圖15.8,根據(jù)圖15.8得出S的二圖如圖15.9。由圖15.9,得出該

股票的美式看漲期權(quán)的價(jià)格約為0.91美元，并可估計(jì)Delta和Theta參

數(shù)分別如下：

1.54-0.22

△=--------=----------------u.z/

Su-Sd32.56-27.69

cf2、一foo0.42—0.91?

0=-———=----------2.92

2加2x0.0833

(2)Black近似方法計(jì)算該股票的美式看漲期權(quán)的價(jià)格:

由于

X(1—e-⑴-加)=34(l-e-°10x0-25)0.84<1

X(l-e-"F>)=34(1-e-°」°'°0833)0.28<1

故存在提前執(zhí)行的可能?，F(xiàn)比較在提前執(zhí)行期權(quán)預(yù)提前執(zhí)行期權(quán)的情

況下，該股票的美