（挑戰(zhàn)壓軸）專項(xiàng)27.4 相似三角形-一線三等角綜合應(yīng)用（解析版）

（挑戰(zhàn)壓軸）專項(xiàng)27.4相似三角形-一線三等角綜合應(yīng)用【方法技巧】如圖，∽（一線三等角）如圖，∽（一線三直角）如圖，特別地，當(dāng)是中點(diǎn)時(shí)：∽∽平分，平分。一線三等角輔助線添加：一般情況下，已知一條直線上有兩個(gè)等角（直角）或一個(gè)直角時(shí)，可構(gòu)造“一線三等角”型相似。【類型1：標(biāo)準(zhǔn)“K”型圖】1．（2021秋?長(zhǎng)安區(qū)期末）如圖，將矩形ABCD沿AE折疊，使點(diǎn)D落在BC邊的點(diǎn)F處（1）求證：△ABF∽△FCE；（2）已知AB＝3，AD＝5，求tan∠DAE的值．【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD是矩形，∴∠B＝∠C＝∠D＝90°，∴∠BAF+∠AFB＝90°，由折疊可得：∠D＝∠AFE＝90°，∴∠AFB+∠EFC＝180°﹣∠AFE＝90°，∴∠BAF＝∠EFC，∴△ABF∽△FCE；（2）解：∵四邊形ABCD是矩形，∴AB＝CD＝3，AD＝BC＝5，由折疊可得：AD＝AF＝5，∴BF＝＝＝4，∴CF＝BC﹣BF＝1，∵△ABF∽△FCE，∴＝，∴＝，∴CE＝，∴DE＝CD﹣CE＝3﹣＝，∴tan∠DAE＝＝＝，∴tan∠DAE的值為．2.如圖，在正方形ABCD中，M為BC上一點(diǎn)，ME⊥AM，ME交CD于F，交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E．（1）求證：△ABM∽△MCF；（2）若AB＝4，BM＝2，求△DEF的面積．【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD是正方形，∴AB＝BC＝CD，∠B＝∠C＝90°，BC∥AD，∴∠BAM+∠AMB＝90°，∵M(jìn)E⊥AM，∴∠AME＝90°，∴∠AMB+∠FMC＝90°，∴∠BAM＝∠FMC，∴△ABM∽△MCF；（2）解：∵AB＝4，∴AB＝BC＝CD＝4，∵BM＝2，∴MC＝BC﹣BM＝4﹣2＝2，由（1）得：△ABM∽△MCF，∴＝，∴＝，∴CF＝1，∴DF＝CD﹣CF＝4﹣1＝3，∵BC∥AD，∴∠EDF＝∠MCF，∠E＝∠EMC，∴△DEF∽△CMF，∴＝，∴＝，∴DE＝6，∴△DEF的面積＝DE?DF＝×6×3＝9，答：△DEF的面積為9．3.已知矩形ABCD的一條邊AD＝8，將矩形ABCD折疊，使得頂點(diǎn)B落在CD邊上的P點(diǎn)處．如圖，已知折痕與邊BC交于點(diǎn)O，連接AP、OP、OA．（1）求證：＝；（2）若OP與PA的比為1：2，求邊AB的長(zhǎng)．【解答】（1）證明：由折疊的性質(zhì)可知，∠APO＝∠B＝90°，∴∠APD+∠OPC＝90°，∵四邊形ABCD為矩形，∴∠D＝∠C＝90°，∴∠POC+∠OPC＝90°，∴∠APD＝∠POC，∴△OCP∽△PDA，∴＝；（2）解：∵△OCP∽△PDA，∴，∵OP與PA的比為1：2，AD＝8，∴，∴PC＝4，設(shè)AB＝x，則DC＝x，AP＝x，DP＝x﹣4，在Rt△APD中，AP2＝AD2+PD2，∴x2＝82+（x﹣4）2，解得：x＝10，∴AB＝10．4.（2020?香洲區(qū)校級(jí)一模）如圖，四邊形ABDC為矩形，AB＝4，AC＝3，點(diǎn)M為邊AB上一點(diǎn)（點(diǎn)M不與點(diǎn)A、B重合），連接CM，過(guò)點(diǎn)M作MN⊥MC，MN與邊BD交于點(diǎn)N．（1）當(dāng)點(diǎn)M為邊AB的中點(diǎn)時(shí)，求線段BN的長(zhǎng)；（2）直接寫出：當(dāng)DN最小時(shí)△MNB的面積為．【解答】解：（1）∵AB＝4，∴當(dāng)點(diǎn)M為邊AB的中點(diǎn)時(shí)，AM＝BM＝2，∵四邊形ABDC為矩形，∴∠A＝∠B＝90°，∵M(jìn)N⊥MC，∴∠CMN＝90°，∵∠ACM+∠AMC＝90°，∠BMN+∠AMC＝180°﹣∠CMN＝90°，∴∠ACM＝∠BMN，又∵∠A＝∠B，∴△ACM∽△BMN，∴，∵AC＝3，AM＝BM＝2，∴＝，∴BN＝；（2）設(shè)BM＝x，DN＝y(tǒng)，∵四邊形ABDC為矩形，AB＝4，AC＝3，∴AM＝AB﹣BM＝4﹣x，BN＝BD﹣DN＝3﹣y，由（1）知，，∴＝，∴（4﹣x）x＝3（3﹣y），∴﹣x2+4x＝9﹣3y，∴y＝x2﹣x+3＝（x﹣2）2+，∴當(dāng)x＝2時(shí)，y取得最小值，即DN最小，此時(shí)DN＝y(tǒng)＝，∴BM＝2，BN＝3﹣＝，∴△MNB的面積為：×2×＝．故答案為：．5．（2019?玉州區(qū)二模）已知：如圖，正方形ABCD中，E是邊AB上一點(diǎn)，AM⊥DE于點(diǎn)M，CN⊥DE于點(diǎn)N．（1）求證：MN＝DM﹣AM；（2）連接AN，如果＝，求證：MN＝ME．【解答】證明：（1）∵四邊形ABCD是正方形，∴AD＝DC，∠ADC＝90°，∴∠ADM+∠CDN＝90°，∵AM⊥DE，CN⊥DE，∴∠AMD＝∠CND＝90°，∴∠CDN+∠DCN＝90°，∴∠ADM＝∠DCN，∴△ADM≌△DCN（AAS），∴DN＝AM，∵M(jìn)N＝DM﹣DN，∴MN＝DM﹣AM；（2）如圖：∵四邊形ABCD是正方形，∴AD＝DC，∠DAE＝90°，∵∠DAE＝∠DNC＝90°，∠ADM＝∠DCN，∴△CDN∽△DEA，∴＝，∴＝，∵＝，∴＝，∴AE＝AN，∵AM⊥DE，∴MN＝ME．6．（2022?郴州）如圖1，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6．點(diǎn)E是線段AD上的動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)E不與點(diǎn)A，D重合），連接CE，過(guò)點(diǎn)E作EF⊥CE，交AB于點(diǎn)F．（1）求證：△AEF∽△DCE；（2）如圖2，連接CF，過(guò)點(diǎn)B作BG⊥CF，垂足為G，連接AG．點(diǎn)M是線段BC的中點(diǎn)，連接GM．①求AG+GM的最小值；②當(dāng)AG+GM取最小值時(shí)，求線段DE的長(zhǎng)．【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD是矩形，∴∠A＝∠D＝90°，∴∠CED+∠DCE＝90°，∵EF⊥CE，∴∠CED+∠AEF＝90°，∴∠DCE＝∠AEF，∴△AEF∽△DCE；（2）解：①連接AM，如圖2，∵BG⊥CF，∴△BGC是直角三角形，∵點(diǎn)M是BC的中點(diǎn)，∴MB＝CM＝GM＝，∴點(diǎn)G在以點(diǎn)M為圓心，3為半徑的圓上，當(dāng)A，G，M三點(diǎn)不共線時(shí)，由三角形兩邊之和大于第三邊得：AG+GM＞AM，當(dāng)A，G，M三點(diǎn)共線時(shí)，AG+GM＝AM，此時(shí)，AG+GM取得最小值，在Rt△ABM中，AM＝＝＝5，∴AG+GM的最小值為5．②方法一：如圖3，過(guò)點(diǎn)M作MN∥AB交FC于點(diǎn)N，∴△CMN∽△CBF，∴，設(shè)AF＝x，則BF＝4﹣x，∴MN＝BF＝（4﹣x），∵M(jìn)N∥AB，∴△AFG∽△MNG，∴，由（2）可知AG+GM的最小值為5，即AM＝5，又∵GM＝3，∴AG＝2，∴，解得x＝1，即AF＝1，由（1）得，設(shè)DE＝y(tǒng)，則AE＝6﹣y，∴，解得：y＝3+或y＝3﹣，∵0＜6，0＜3﹣＜6，∴DE＝3+或DE＝3﹣．方法二：如圖4，過(guò)點(diǎn)G作GH∥AB交BC于點(diǎn)H，∴△MHG∽△MBA，∴，由（2）可知AG+MG的最小值為5，即AM＝5，又∵GM＝3，∴，∴GH＝，MH＝，由GH∥AB得△CHG∽△CBF，∴，即，解得FB＝3，∴AF＝AB﹣FB＝1．由（1）得，設(shè)DE＝y(tǒng)，則AE＝6﹣y，∴，解得：y＝3+或y＝3﹣，∵0＜6，0＜3﹣＜6，∴DE＝3+或DE＝3﹣．、【類型2：做輔助線構(gòu)造“K”型圖】7．（2022春?定海區(qū)校級(jí)月考）【基礎(chǔ)鞏固】（1）如圖1，在△ABC中，∠ACB＝90°，直線l過(guò)點(diǎn)C，分別過(guò)A、B兩點(diǎn)作AE⊥l，BD⊥l，垂足分別為E、D．求證：△BDC∽△CEA．【嘗試應(yīng)用】（2）如圖2，在△ABC中，∠ACB＝90°，D是BC上一點(diǎn)，過(guò)D作AD的垂線交AB于點(diǎn)E．若BE＝DE，，AC＝20，求BD的長(zhǎng)．【拓展提高】（3）如圖3，在平行四邊形ABCD中，在BC上取點(diǎn)E，使得∠AED＝90°，若AE＝AB，，CD＝，求平行四邊形ABCD的面積．【解答】（1）證明：∵∠ACB＝90°，∴∠BCD+∠ACE＝90°，∵AE⊥CE，∴∠AEC＝90°，∴ACE+∠CAE＝90°．∴∠BCD＝∠CAE．∵BD⊥DE，∴∠BDC＝90°，∴∠BDC＝∠AEC．∴△BDC∽△CEA．（2）解：過(guò)點(diǎn)E作EF⊥BC于點(diǎn)F．由（1）得△EDF∽△DAC．∴．∵AD⊥DE，，AC＝20，∴，∴DF＝16．∵BE＝DE，∴BF＝DF．∴BD＝2DF＝32．（3）解：過(guò)點(diǎn)A作AM⊥BC于點(diǎn)M，過(guò)點(diǎn)D作DN⊥BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)N．∴∠AMB＝∠DNC＝90°．∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB∥CD，AB＝CD．∴∠B＝∠DCN．∴△ABM≌△DCN（AAS）．∴BM＝CN，AM＝DN．∵AB＝AE，AM⊥BC，∴BM＝ME，∵，設(shè)AM＝b，BE＝4a，EC＝3a．∴BM＝ME＝CN＝2a，EN＝5a．∵∠AED＝90°，由（1）得△AEM∽△EDN．∴，∴，∴，∵，∴（2a）2+b2＝14，∴a＝1，．∴平行四邊形ABCD的面積＝【類型2：特殊“K”型圖】8．（2022秋?二道區(qū)月考）如圖，在△ABC中，AB＝AC＝9，BC＝12，D，E分別是BC，AB上的動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)D與B，C不重合），且2∠ADE+∠BAC＝180°，若BE＝4，則CD的長(zhǎng)為．【解答】解：∵AB＝AC，∴∠C＝∠B，∴∠C+∠B+∠BAC＝2∠C+∠BAC＝180°，又∵2∠ADE+∠BAC＝180°，∴∠C＝∠ADE，又∵∠BDE+∠ADC＝180°﹣∠ADE，∠CAD+∠ADC＝180°﹣∠C，∴∠BDE＝∠CAD，∴△BDE∽△CAD，∴＝，即＝，解得CD＝6．故答案為：6．9．（2020秋?南京期末）如圖，在等邊△ABC中，P為BC上一點(diǎn)，D為AC上一點(diǎn)，且∠APD＝60°，2BP＝3CD，BP＝1．（1）求證△ABP∽△PCD；（2）求△ABC的邊長(zhǎng)．【解答】（1）證明：∵△ABC是等邊三角形，∴AB＝BC＝AC，∠B＝∠C＝60°，∵∠BPA+∠APD+∠DPC＝180°，且∠APD＝60°，∴∠BPA+∠DPC＝120°，∵∠DPC+∠C+∠PDC＝180°，∴∠DPC+∠PDC＝120°，∴∠BPA＝∠PDC，∴△ABP∽△PCD；（2）解：∵2BP＝3CD，且BP＝1，∴CD＝，∵△ABP∽△PCD，∴＝，設(shè)AB＝x，則PC＝x﹣1，∴，∴x＝3．即AB＝3．∴△ABC的邊長(zhǎng)為3．10.如圖，AB＝9，AC＝8，P為AB上一點(diǎn)，∠A＝∠CPD＝∠B，連接CD．（1）若AP＝3，求BD的長(zhǎng)；（2）若CP平分∠ACD，求證：PD2