高斯小學(xué)奧數(shù)四年級(jí)上冊(cè)含答案第17講-復(fù)雜豎式

第十七講復(fù)雜豎式

數(shù)字謎問題是中國(guó)人在幾千年前發(fā)明的數(shù)學(xué)游戲，它集中了中國(guó)古人的數(shù)學(xué)智慧.我們

以前學(xué)習(xí)過算符問題與數(shù)字問題、以及豎式問題.

本講是以前內(nèi)容和方法的綜合應(yīng)用，重點(diǎn)是多位數(shù)乘除法，考察的是同學(xué)們對(duì)知識(shí)的掌

握情況和分析復(fù)雜問題的能力.

豎式問題常見突破口有：

1.首位分析、尾數(shù)分析、進(jìn)位分析：觀察算式的首位、末位，分析進(jìn)位；

2.位數(shù)分析：觀察算式中數(shù)的位數(shù)，利用數(shù)值大小估算的方法；

3.相同位分析：利用算式中出現(xiàn)最多的字母或者漢字作為突破口.

在這些突破口中，數(shù)的位數(shù)是一個(gè)比較隱蔽的突破口，其實(shí)它是我們進(jìn)行估算的基礎(chǔ).比

如一個(gè)三位數(shù)乘4還等于一個(gè)三位數(shù),那么這個(gè)乘數(shù)的百位數(shù)字就不能是3或者3以上的數(shù)

字，只能是1或2.這就是位數(shù)給我們提供的信息.

□□□

X4

有一啊1題啊四子中沒有給出任何具體的數(shù)字，但是它給出了所有數(shù)的位數(shù)，這就提供

了估算的可能.只要我們仔細(xì)觀察，就很容易發(fā)現(xiàn)突破口，從而獲得有價(jià)值的信息.

對(duì)于多位數(shù)乘法豎式，我們將它拆成若干個(gè)多位數(shù)乘一位數(shù)的乘法，和一個(gè)加法豎式,

逐一觀察.將它們轉(zhuǎn)化成基本問題加以解決.

例題1□□

請(qǐng)將右面的豎式補(bǔ)充完整.X口2

「分析」比較一下“口口口”和“口8”，這兩個(gè)數(shù)分別是怎么來(lái)的呢？□□□

能得出什么結(jié)論呢？口8

6□□

練習(xí)1□□

請(qǐng)將右面的豎式補(bǔ)充完整.x8□

□□□

□□

□□□□

找到突破口后，更重要的是學(xué)會(huì)分情況枚舉討論，而突破口的尋找就是為了縮小我們

枚舉討論的范圍.當(dāng)然，有的時(shí)候我們也需要用到類似于奇偶性分析這樣的方法來(lái)幫助解題.

例題2

在圖中的乘法豎式中，每個(gè)方框和字母都代表一個(gè)數(shù)字，相同的字母AB

代表相同的數(shù)字，不同的字母代表不同的數(shù)字.請(qǐng)問：A、B、C、D各代義CD

表什么數(shù)字？（請(qǐng)寫出所有可能）1口口

「分析」多位數(shù)乘法豎式中，不僅包含一位數(shù)乘法的部分，還包含一個(gè)加1口口一

法豎式.從哪部分更容易找到突破口呢？□□。8

練習(xí)2AB

在圖中的乘法豎式中，每個(gè)方框和字母都代表一個(gè)數(shù)字，相同的字XCD

2□□

母代表相同的數(shù)字，不同的字母代表不同的數(shù)字.請(qǐng)問：四位數(shù)麗麗是

6□￡)

多少？

□□。1

對(duì)比較復(fù)雜的豎式問題，有時(shí)我們需要比較同一個(gè)多位數(shù)乘以兩個(gè)

不同的一位數(shù)，所得結(jié)果的關(guān)系或差異.

例題3

□□□

如圖所示是一個(gè)乘法豎式，請(qǐng)?jiān)谄渲械?0個(gè)方框內(nèi)分別填入0X□□□

至9這10個(gè)數(shù)字，使得豎式成立.3□08

「分析」中間的三個(gè)乘積有什么大小關(guān)系呢？□504

7□2

□3248

練習(xí)3□□

請(qǐng)將右面的豎式補(bǔ)充完整.X□□□

2^

1□9

□8□□1

與乘法豎式比較，除法豎式就顯得更復(fù)雜一些，除法豎式中包含了一位數(shù)乘法和減法,

和多位數(shù)乘法類似，我們?nèi)匀粚⒋笏闶讲鸾獬尚∷闶?，以此幫助尋找解決問題的突破口.

例題

4□□1

請(qǐng)把圖中的除法豎式補(bǔ)充完整，其中被除數(shù)是多少？□□□?！酢酢蹩?/p>

「分析」除數(shù)是個(gè)三位數(shù)，它與商的百位和十位的乘積234

□□□

分別是234和351,你能求出除數(shù)是多少嗎？

351

□□□

□□□

0

練習(xí)4

□□1

請(qǐng)把圖中的除法豎式補(bǔ)充完整，其中被除數(shù)是多少？□□□?！酢酢蹩?/p>

372

□□□

496

□□□

□□□

0

例題5□□□

請(qǐng)把圖中的乘法豎式補(bǔ)充完整.X3□2

□9□

4□5□

□□□5

□□□□□□

「分析」哪個(gè)多位數(shù)乘一位數(shù)的乘法可以進(jìn)行末位分析？對(duì)比三個(gè)乘積，為什么有些是

三位數(shù)，有些是四位數(shù)？你能填出第一個(gè)乘數(shù)的百位嗎？

孤獨(dú)的數(shù)字

下面是九個(gè)除法算式，它們?cè)谟?jì)算過程中分別只有1、2、3、…、7、8、9中的一個(gè)數(shù)

字，要求根據(jù)除法運(yùn)算規(guī)律確定出算式中的每一個(gè)未知數(shù)字.這是一些十分有趣的題目.

□□□□□□□□

□□□□；□□□□□□□□□□□□

'□□□1

□□□□□

□□□□

□□□□□

□□□□

□□□□□

□□□□

□□□口

□□□口

0

□□□□□9

□□□)□□□□□□

□□□□□□

2□□□□□

□□□□□□

00

□□□

□□□□□□□

□□□□□口

□□□□□□

□□□□□□口

□□□□□□

□□□□□□

□□□□□□□

□□□口□

□□□□□□□fbn□□□L□

□□□□§

0

0□□□

□□□□□

口9□□□

□□□□口

□□□□□

□□□□

□□□口仁］□□□

□□□□□□□□□□□□□(，□□

□□□□□□□

□□□□

□□口口________0

□□□□□□

□□□口口□□

□□□□□

□□□口□□

什□□□□

□□□口口□□□侑

□□□□￡□□

□□□□□□□□□□(fa□□□

□□□□□□□

例題64□5□□□

□JD□□□□5□1

請(qǐng)把圖中的除法豎式補(bǔ)充完整.

□□

「分析」這個(gè)豎式中幾乎都是空格，我們只好

on

觀察位數(shù)信息.豎式中包含了五個(gè)減法，發(fā)現(xiàn)□□

什么熟悉的突破口了嗎？□□□

□□□

□□□

□□□

□□□

□□□

0

課堂內(nèi)外

細(xì)說(shuō)謎語(yǔ)

謎語(yǔ)是我國(guó)民間文學(xué)的一種特殊形式,古時(shí)稱“度辭”或“隱語(yǔ)”.它起源于春秋戰(zhàn)國(guó)，

那時(shí)各國(guó)大臣常用暗示、比喻的手法映射事物，以勸諫君主采納自己的主張，逐漸形成了謎

語(yǔ).漢朝時(shí)一些文人常用詩(shī)詞、典故來(lái)制謎，出現(xiàn)了妙喻事物特征的事物謎和文字形音義的

文字謎.南北朝時(shí)文人常以制謎、猜謎來(lái)斗智，制謎技巧逐漸成熟.隋唐時(shí)謎語(yǔ)由民間進(jìn)入

宮廷，許多皇帝都喜歡猜謎.

北宋時(shí)期，隨著城市經(jīng)濟(jì)的發(fā)展，市民文化娛樂生活的豐富，猜謎成為市民的一大樂

趣.南宋時(shí)，每逢元宵節(jié)，人們將自己制作的謎語(yǔ)掛在花燈上，供人們邊觀燈邊猜謎取樂.南

宋都城臨安的燈謎居全國(guó)之首，被譽(yù)為“燈謎之鄉(xiāng)”.明清時(shí)期元宵節(jié)猜燈謎更加盛行，并

出現(xiàn)了研究謎語(yǔ)制作的專門著作.謎語(yǔ)就這樣成了廣大人民喜聞樂見的文學(xué)形式，并一直流

傳至今.

謎語(yǔ)也叫燈謎，猜謎語(yǔ)亦稱射虎.在中國(guó)已經(jīng)有2500年歷史了，到清代其體系已經(jīng)完

備.謎語(yǔ)的文學(xué)性，知識(shí)性，趣味性深受廣大群眾喜愛.

謎語(yǔ)的種類繁多，主要常見的有字謎，畫謎，啞謎，印章謎，成語(yǔ)謎，詩(shī)詞謎與楹聯(lián)謎

等等.并且還有許多的謎格要求（就像詩(shī)詞文學(xué)中的填詞一樣）.

謎語(yǔ)構(gòu)成有四大要素：

1.謎面：是給猜謎者了解意圖的謎題；

2.謎格：是猜謎時(shí)候的一種要求與規(guī)則（如：卷簾格秋千格等）；

3.謎目：是讓猜謎者猜射的范圍（如：打一字打一城市名等）；

4.謎底：是謎語(yǔ)的答案.

猜謎語(yǔ)之前，首先要看清楚謎面，再看看有沒有謎格的要求，下來(lái)就看謎目是什么了.如

果謎語(yǔ)沒有謎格，就直接顧及謎面與謎目了.

例如：“顏料門市部”（打國(guó)家名字一）一一以色列

謎面：顏料門市部；謎目：打國(guó)家名字一；謎底：以色列.

顧名思義，賣顏料的門市部，它所陳列的商品當(dāng)然是各種各樣

的顏料啦.

作業(yè)

1.在左下圖中的乘法豎式的方框中填入合適的數(shù)字，使得豎式成立，那么第二個(gè)乘數(shù)是多

少？

□□

X□□□

2□

2□2

□5□□8

2.在左下圖中的乘法豎式中，每個(gè)方框和字母都代表一個(gè)數(shù)字，相同的字母代表相同的數(shù)

字，不同的字母代表不同的數(shù)字.則乘積是多少？

AB

XCD

-2□□

3□8

□□B8

3.在左下圖中的乘法豎式的方框中填入合適的數(shù)字，使得豎式成立，那么乘積是多少？

□□5

義口□□

1□□□

□□□

1□□05

4.在左下圖中的除法豎式的方框中填入合適的數(shù)字，使得豎式成立，那么被除數(shù)是多少？

□□

6□□□1

口口7

□□□口

□□61

0

5.在右圖中的除法豎式的方框內(nèi)填上合適的數(shù)字，使豎口□2

式成立.那么被除數(shù)是多少？□□□□□□

369

246

-□□□

□□□

0

第十七講復(fù)雜豎式

1.例題1

答案：58x12=696

詳解：

比較豎式中的兩個(gè)乘法算式乘積的大小，可得第二個(gè)乘數(shù)十位比2小，排除0,只能是1,

進(jìn)而得第一個(gè)乘數(shù)個(gè)位是8;再根據(jù)結(jié)果百位的6,可得乘法豎式為58x12=696-

2.例題2

答案：54x32工18x76

詳解：

先分析加法豎式，可得第一個(gè)加數(shù)（即中間第一個(gè)乘積）為108,即ABx￡?=108.那么就

有54x2、36x3、27x4、18x6、12x9五種可能；

再根據(jù)第二個(gè)乘式ABxC=lD,可得AB為36和12都是不可能的；

當(dāng)48為54時(shí)，根據(jù)尾數(shù)分析可得，C為3,所以有54x32

當(dāng)48為27時(shí)，根據(jù)尾數(shù)分析可得，C只能是2,27x2=54丕是三位數(shù),所以不成立；

當(dāng)48為18時(shí)，根據(jù)尾數(shù)分析可得，C為7,所以有18x76

綜上所述，本題有兩個(gè)答案.

3.例題3

答案：376x248=93248

詳解：

先分析加法豎式，可得第一個(gè)加數(shù)為3008、第二個(gè)加數(shù)為1504、第三個(gè)加數(shù)為752;

這三個(gè)加數(shù)同時(shí)也是三個(gè)乘法算式的乘積，根據(jù)它們的倍數(shù)關(guān)系，可得豎式中第二個(gè)乘數(shù)

的個(gè)位是百位的4倍、十位是百位的2倍：

那么第二個(gè)乘數(shù)就有124和248兩種可能，然后分別嘗試，依據(jù)“十個(gè)方框內(nèi)分別填的是

0~9各一個(gè)“，可以排除124,正確結(jié)果是376x248=93248-

4.例題4

答案：27027

詳解：

殳析鑒封的兩個(gè)乘積234和351,它們都是由除數(shù)乘以一個(gè)一位數(shù)所得，可以得出：

234=117x2^351=117x3,所以除數(shù)為117、商為231;

接下來(lái)把豎式補(bǔ)充完整，可得被除數(shù)為27027.

5.例題5

答案：495x392=194040

詳解：

4□5

X3□2

X392

□9口|=^

□90①

4□5□

4□55i=>②

□□□5③

1□□5i=>③

□□□□40

如左上圖，中間的三個(gè)乘數(shù)分別標(biāo)為①、②、③.

首先根據(jù)中間③的末位是5,可得第一個(gè)乘數(shù)的末位是5,那么中間①的個(gè)位是0;

接下來(lái)，比較分析①和③，它們分別是由第一個(gè)乘數(shù)乘以2和3所得，而①是三位數(shù)、③

是四位數(shù)，所以第一個(gè)乘數(shù)只可能是三百多或四百多，而第一個(gè)乘數(shù)乘以第二個(gè)乘數(shù)十位數(shù)字

所得的乘積②為四千多，估算可得第一個(gè)乘數(shù)只能是四百多，第二個(gè)乘數(shù)十位數(shù)字只能是9;

此時(shí)，豎式已經(jīng)變成如右上圖所示：

根據(jù)①或②都可以判斷出第一個(gè)乘數(shù)只能是495,由此可得結(jié)果為495x392=194040.

6.例題6

答案：10006541+23=435067

詳解：

首先，第一個(gè)減法豎式中有“黃

金倒三角”，可得被除數(shù)前兩位分別

是1、0,①的十位是9：

除數(shù)x4=，所以除數(shù)十位為2,

除數(shù)只可能是23或24,相應(yīng)的①為

92或96;

再根據(jù)被除數(shù)個(gè)位為1,可得⑧□□□

⑨個(gè)位為1,而⑨是由除數(shù)乘以一個(gè)□□□

一位數(shù)所得，根據(jù)個(gè)位分析可得除數(shù)

只能是23（排除24）,①為92,且商個(gè)位為7⑧⑨為161;

此時(shí)可得，⑤為23x5=115,④的百位也是1;

再觀察豎式，被除數(shù)中的5所在百位所對(duì)應(yīng)的中間過程沒有乘積，可得商的百位為0;且⑥

的百位、十位兩個(gè)數(shù)字所組成的兩位數(shù)要比23小，所以只能是15（百位為1、十位為5）,由此

可得④為116,且⑦的百位為1;

接下來(lái)分析卜-二二脂，由于⑦是由23乘以一個(gè)一位數(shù)所得且比150小，所以可得⑦是

23x6=138,即商的十位是6,⑥為154;

此時(shí)，只剩下第一個(gè)和第二個(gè)減法豎式了.根據(jù)第一個(gè)減法豎式可得其被減數(shù)只能是100

或101,再結(jié)合23x3=69、23x4=92以及第二個(gè)減法豎式差為11可得，這兩個(gè)減法豎式分別

是100-92=8和80-69=llj_

至此，整個(gè)豎式全部填完，為10006541-23=435067-

7.練習(xí)1

答案：12x89=1068

詳解：比較豎式中的兩個(gè)乘法算式乘積的大小，可得第二個(gè)乘數(shù)個(gè)位比8大，只能是9,進(jìn)而嘗

試分析可得，只可