專題13 特殊的四邊形（講義）（解析版）

專題13特殊的四邊形核心知識(shí)點(diǎn)精講1.會(huì)識(shí)別矩形、菱形、正方形以及梯形；2.掌握矩形、菱形、正方形的概念、判定和性質(zhì)，會(huì)用矩形、菱形、正方形的性質(zhì)和判定解決問(wèn)題．3.掌握梯形的概念以及了解等腰梯形、直角梯形的性質(zhì)和判定，會(huì)用性質(zhì)和判定解決實(shí)際問(wèn)題．【知識(shí)網(wǎng)絡(luò)】考點(diǎn)一、幾種特殊四邊形性質(zhì)、判定四邊形性質(zhì)判定邊角對(duì)角線矩形對(duì)邊平行且相等四個(gè)角是直角相等且互相平分1、有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形；2、有三個(gè)角是直角的四邊形是矩形；3、對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形中心、軸對(duì)稱圖形菱形四條邊相等對(duì)角相等，鄰角互補(bǔ)垂直且互相平分，每一條對(duì)角線平分一組對(duì)角1、有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形；2、四條邊都相等的四邊形是菱形；3、對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形.中心、軸對(duì)稱圖形正方形四條邊相等四個(gè)角是直角相等、垂直、平分，并且每一條對(duì)角線平分一組對(duì)角1、鄰邊相等的矩形是正方形2、對(duì)角線垂直的矩形是正方形3、有一個(gè)角是直角的菱形是正方形4、對(duì)角線相等的菱形是正方形中心、軸對(duì)稱圖形等腰梯形兩底平行，兩腰相等同一底上的兩個(gè)角相等相等1、兩腰相等的梯形是等腰梯形；2、在同一底上的兩個(gè)角相等的梯形是等腰梯形；3、對(duì)角線相等的梯形是等腰梯形.軸對(duì)稱圖形【要點(diǎn)詮釋】矩形、菱形、正方形都是特殊的平行四邊形，它們具有平行四邊形的一切性質(zhì).考點(diǎn)二、梯形1．解決梯形問(wèn)題常用的方法：（1）“平移腰”：把梯形分成一個(gè)平行四邊形和一個(gè)三角形（圖1）；（2）“作高”：使兩腰在兩個(gè)直角三角形中（圖2）；（3）“平移對(duì)角線”：使兩條對(duì)角線在同一個(gè)三角形中（圖3）；（4）“延腰”：構(gòu)造具有公共角的兩個(gè)三角形（圖4）；（5）“等積變形”，連結(jié)梯形上底一端點(diǎn)和另一腰中點(diǎn)，并延長(zhǎng)與下底延長(zhǎng)線交于一點(diǎn)，構(gòu)成三角形（圖5）．

圖1圖2圖3圖4圖5

【要點(diǎn)詮釋】解決梯形問(wèn)題的基本思想和方法就是通過(guò)添加適當(dāng)?shù)妮o助線，把梯形問(wèn)題轉(zhuǎn)化為已經(jīng)熟悉的平行四邊形和三角形問(wèn)題來(lái)解決．在學(xué)習(xí)時(shí)注意它們的作用，掌握這些輔助線的使用對(duì)于學(xué)好梯形內(nèi)容很有幫助．2.特殊的梯形1）等腰梯形：兩腰相等的梯形叫做等腰梯形．性質(zhì)：（1）等腰梯形的同一底邊上的兩個(gè)角相等；等腰梯形的兩條對(duì)角線相等．（2）同一底邊上的兩個(gè)角相等的梯形是等腰梯形．（3）等腰梯形是軸對(duì)稱圖形，它的對(duì)稱軸是經(jīng)過(guò)兩底中點(diǎn)的一條直線．2）直角梯形：有一個(gè)角是直角的梯形叫做直角梯形．考點(diǎn)三、中點(diǎn)四邊形相關(guān)問(wèn)題中點(diǎn)四邊形的概念：把依次連接任意一個(gè)四邊形各邊中點(diǎn)所得的四邊形叫做中點(diǎn)四邊形．若中點(diǎn)四邊形為矩形，則原四邊形滿足條件對(duì)角線互相垂直；若中點(diǎn)四邊形為菱形，則原四邊形滿足條件對(duì)角線相等；若中點(diǎn)四邊形為正方形，則原四邊形滿足條件對(duì)角線互相垂直且相等．【要點(diǎn)詮釋】中點(diǎn)四邊形的形狀由原四邊形的對(duì)角線的位置和數(shù)量關(guān)系決定．【題型1：矩形的應(yīng)用】【典例1】如圖，把一長(zhǎng)方形紙片ABCD的一角沿AE折疊，點(diǎn)D的對(duì)應(yīng)點(diǎn)落在內(nèi)部．若，且，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】設(shè)，，根據(jù)折疊的性質(zhì)列式，解之可得答案．本題考查了長(zhǎng)方形，折疊．解決問(wèn)題的關(guān)鍵是熟練掌握長(zhǎng)方形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，設(shè)未知數(shù)數(shù)構(gòu)建方程．【詳解】設(shè)，則,由折疊知，，∵四邊形是長(zhǎng)方形，∴，∴，∴，解得：，∴．故選：B．1．如圖，矩形紙片中，，．現(xiàn)將其沿對(duì)折，使得點(diǎn)在邊上的點(diǎn)處，折痕與邊交于點(diǎn)，則的長(zhǎng)為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題主要考查了矩形的性質(zhì)、正方形的判定與性質(zhì)、折疊的性質(zhì)，由矩形的性質(zhì)可得，由折疊的性質(zhì)可得：，，從而得出四邊形是正方形，即可得出，即可得解，熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn)并靈活運(yùn)用是解此題的關(guān)鍵．【詳解】解：四邊形是矩形，，由折疊的性質(zhì)可得：，，四邊形是正方形，，，故選：C．2．如圖，現(xiàn)有一張矩形紙片，其中，點(diǎn)E是的中點(diǎn)．將紙片沿直線折疊，使點(diǎn)B落在點(diǎn)，則，C兩點(diǎn)之間的距離是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題主要考查了矩形與折疊問(wèn)題，勾股定理，熟知相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵．過(guò)點(diǎn)作，垂足為F，連接，設(shè)與交于點(diǎn)O，由折疊的性質(zhì)可得，，先求出，利用勾股定理求出，利用三角形面積公式求出，則，設(shè)，在中，，在中，，則，解得，則，，，，在中，．【詳解】解：如圖所示：過(guò)點(diǎn)作，垂足為F，連接，設(shè)與交于點(diǎn)O，由折疊的性質(zhì)可得，，∵點(diǎn)E是的中點(diǎn)，∴，在中，，∵∴，∴，設(shè)，在中，，在中，，∴，∴，解得，∴，∴，∴，在中，，故選B．3．如圖，在中，，，連接，相交于點(diǎn)，為的中點(diǎn)，若，則四邊形的面積為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)勾股定理的逆定理得出，進(jìn)而得出是矩形，根據(jù)矩形的性質(zhì)得出，，進(jìn)而根據(jù)四邊形的面積即可求解．【詳解】解：∵，，∴，∴，∴，∴是矩形，∴∵為的中點(diǎn)，∴，∴，∴四邊形的面積故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理的逆定理，矩形的性質(zhì)與判定，熟練掌握矩形的中是解題的關(guān)鍵．4．如圖，在菱形中，，的垂直平分線交對(duì)角線于點(diǎn)F，E為垂足，連接，則的度數(shù)是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先連接，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得，再根據(jù)菱形的性質(zhì)得到，再證明，進(jìn)而得出，，可知，然后根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得，進(jìn)而得出答案．【詳解】連接．∵是的垂直平分線，∴．∵四邊形是菱形，∴．，，，∴，∵，∴，∴，，∴，∴，∴．故選：C．【點(diǎn)睛】此題考查了菱形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、垂直平分線的性質(zhì)、等腰三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，證明是解題的關(guān)鍵．【題型2：菱形的應(yīng)用】【典例2】已知如圖，菱形中，對(duì)角線與相交于點(diǎn)O，于E，交于點(diǎn)F，若，則一定等于（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】此題考查菱形的性質(zhì)，關(guān)鍵是根據(jù)菱形的性質(zhì)得出，進(jìn)而利用互余解答.【詳解】∵四邊形是菱形,，，，，，，，故選:C.1．如圖，菱形中，，，，，垂足分別為E、F．則的周長(zhǎng)是（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查了菱形的性質(zhì)、勾股定理、含30度角的直角三角形的性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握菱形的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．先求出，，再判斷出是等邊三角形，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)求解即可得．【詳解】解：∵菱形中，，，，，，，，同理可得：，，，是等邊三角形，則的周長(zhǎng)是，故選：C．2．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，菱形的邊在軸上，固定點(diǎn)，把菱形沿箭頭方向推，使點(diǎn)落在軸正半軸上點(diǎn)處，若，，則點(diǎn)的坐標(biāo)為（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查了菱形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，坐標(biāo)與圖形，勾股定理，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，利用直角三角形的性質(zhì)求得，由勾股定理求得，再根據(jù)菱形的性質(zhì)即可求出點(diǎn)的坐標(biāo)，掌握菱形和直角三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，

∵，∴，∵，∴，∴，∵四邊形為菱形，∴，，∴點(diǎn)到軸的距離為，∴，故選：．3．如圖，四邊形是菱形，連接交于點(diǎn)O，過(guò)點(diǎn)A作，交于點(diǎn)E，若，則的長(zhǎng)度是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題主要考查了菱形的性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)點(diǎn)，掌握菱形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．先根據(jù)菱形的性質(zhì)、勾股定理求得邊長(zhǎng)，再運(yùn)用等面積法求得，在中運(yùn)用勾股定理即可解答．【詳解】解：∵四邊形是菱形，，∴，在中，，∵，∴，在中，．故選：B．4．如圖，菱形的對(duì)角線、相交于點(diǎn)O，過(guò)點(diǎn)D作于點(diǎn)E，連接，若，，則的長(zhǎng)為（

）A． B．2 C． D．【答案】C【分析】本題考查了菱形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，菱形的面積公式，關(guān)鍵是根據(jù)直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)求得，由菱形的性質(zhì)得出，，，則，由直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)得出，再由菱形的面積求出，即可得出答案．【詳解】解：∵四邊形是菱形，∴，，，∴，∵，∴，∴，∵菱形的面積，∴，∴，故選：C．【題型3：正方形的應(yīng)用】【典例3】如圖，在邊長(zhǎng)為8的正方形紙片中，E是邊上的一點(diǎn)，，連接，將正方形紙片折疊，使點(diǎn)D落在線段上的點(diǎn)G處，折痕為，則的長(zhǎng)為（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】C【分析】本題考查了翻折變換、勾股定理、正方形的性質(zhì)．根據(jù)四邊形是邊長(zhǎng)為8的正方形紙片，，可得，由翻折可得，在和中，根據(jù)勾股定理即可求出的長(zhǎng)．【詳解】解：∵四邊形是邊長(zhǎng)為8的正方形紙片，，由翻折可知：在和中，解得．故選：C．1．如圖，在正方形中，，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊，上，，若將四邊形沿折疊，點(diǎn)恰好落在邊上，則的長(zhǎng)度為（

）A．3 B．6 C． D．【答案】B【分析】本題考查正方形與折疊，含30度角的直角三角形，根據(jù)正方形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，得到，進(jìn)而得到，，設(shè)，則，，即可得到，求解即可．解題的關(guān)鍵是掌握正方形的性質(zhì)和折疊的性質(zhì)．【詳解】解：∵四邊形是正方形，∴，∴，∵將四邊形沿折疊，點(diǎn)恰好落在邊上，∴，∴，∴，∴，設(shè)，則，，∴，解得：．故選：B．2．如圖，正方形中，，將沿對(duì)折至，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，剛好是邊的中點(diǎn)，則的長(zhǎng)是（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】A【分析】本題考查正方形的性質(zhì)、折疊的性質(zhì)、三角形全等的判定和性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)．根據(jù)正方形的性質(zhì)和折疊的性質(zhì)，很容易證明，進(jìn)而得到，由是的中點(diǎn)，，得到，在中有勾股定理建立方程求解即可．【詳解】解：連接，由已知，且，，，，，是的中點(diǎn)，，設(shè)，則，，在中，由勾股定理得：，解得，即．故選：A．3．如圖，將一張邊長(zhǎng)為6分米的正方形紙片對(duì)折，使與重合，折痕為，展開(kāi)鋪平后在上找一點(diǎn)G，將該紙片沿著折疊，使點(diǎn)C恰好落在上，記為點(diǎn)，則的長(zhǎng)為（）

A．5.5分米 B．分米C．分米 D．分米【答案】C【分析】此考查了軸對(duì)稱的性質(zhì)、線段的垂直平分線的性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)，正確地作出所需要的輔助線是解題的關(guān)鍵．連接，由折疊得垂直平分，垂直平分，則，分米，分米分米，然后利用勾股定理即可求解．【詳解】解：連接，∵四邊形是邊長(zhǎng)為6分米的正方形，∴分米，由折疊得點(diǎn)B與點(diǎn)C關(guān)于直線對(duì)稱，點(diǎn)與點(diǎn)C關(guān)于直線對(duì)稱，∴垂直平分，垂直平分，∴，分米，分米，∴分米，故選：C．

4．如圖，在正方形中，，點(diǎn)在邊上，且，將沿折疊至，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，連接，，則的面積為（

）A．2 B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)翻著的性質(zhì)可知，,再看和也可以證明全等的，在結(jié)合運(yùn)用勾股定理，可直接求出的長(zhǎng)，進(jìn)而求出，面積的可求的面積．【詳解】∵；∴；∵；∴；∵；；∴；設(shè)；∴；∵；∴;在中，；解得：；即∴；∴∵；∴；∴；故選．【題型4：梯形的應(yīng)用】【典例4】如圖，等腰梯形ABCD內(nèi)接于半圓D，且AB＝1，BC＝2，則OA＝（）A． B． C． D．【答案】A【分析】如圖，作BE⊥AD于E，OF⊥CB于F，連接OB，利用垂徑定理可得BF＝BC＝1，OE＝1，設(shè)AE＝x，則OB＝OA＝x+1，由勾股定理可知，AB2﹣AE2＝OB2﹣OE2，即12﹣x2＝（x+1）2﹣12，計(jì)算求出滿足要求的，根據(jù)OA＝AE+OE，求出的值即可．【詳解】解：如圖，作BE⊥AD于E，OF⊥CB于F，連接OB，在等腰梯形ABCD中，∵OF⊥CB，∴BF＝BC＝1，∴OE＝1，設(shè)AE＝x，∵OA、OB是⊙O的半徑，∴OB＝OA＝x+1，由勾股定理可知，AB2﹣AE2＝OB2﹣OE2，即12﹣x2＝（x+1）2﹣12，整理得2x2+2x﹣1＝0，解得或（不合題意，舍去）∴OA＝AE+OE＝+1＝．故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查垂徑定理，等腰梯形的性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)．解題的關(guān)鍵在于利用垂徑定理構(gòu)造直角三角形．1．如圖，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AD=，BC=，∠B=45°．直角三角板含45度角的頂點(diǎn)E在邊BC上移動(dòng)，一直角邊始終經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，斜邊與CD交于點(diǎn)F．若△ABE為等腰三角形，則CF的長(zhǎng)等于．【答案】或或2【分析】分AE=BE、AB=BE、AB=AE三種情況加以考慮，利用等腰三角形的性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)與勾股定理等知識(shí)即可完成．【詳解】如圖，分別過(guò)點(diǎn)A、D作AG⊥BC于G，DH⊥BC于H∴∠AGB=∠DHC=90°∵四邊形ABCD是等腰梯形，AD∥BC∴AB=DC，∠B=∠C∴△ABG≌△DCH∴BG=CH由輔助線作法知：四邊形ADHG是矩形∴∴∵∠B=45°∴∠BAG=∠B=45°∴∴由勾股定理得

①如圖1，當(dāng)AE=BE時(shí)∵∠B=45°∴∠BAE=∠B=45°∴△ABE是等腰直角三角形，且AE⊥BC∴∴∵∠AEF=45°∴∠FEC=45°∴∠FEC=∠C=45°∴△ECF是等腰直角三角形∴EF=CF由勾股定理得：②如圖2，當(dāng)AB=BE時(shí)∵∠B=45°∴∴∴∴∠CEF=∠CFE∴CF=EC∵BE=AB=3，∴③如圖3，當(dāng)AB=AE時(shí)，則∠AEB=∠B=45°∴AE=AB=3，且∠BAE=90°∴∵∠C=45°∴∠EFC=∠C=45°∴CE=EF在Rt△ABE中，由勾股定理得：∴由Rt△EFC中，由勾股定理得：

綜上所述，CF的長(zhǎng)為或或2故答案為：或或2【點(diǎn)睛】本題考查了等腰梯形的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理，全等三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，運(yùn)用這些性質(zhì)與定理是關(guān)鍵，難點(diǎn)在于根據(jù)腰長(zhǎng)的不同進(jìn)行分類討論．2．如圖，梯形中，ABCD，，，于，且，那么梯形的周長(zhǎng)為，面積為．【答案】【分析】過(guò)點(diǎn)作，可得四邊形是矩形，根據(jù)等腰梯形的性質(zhì)可得出，求出后問(wèn)題即可解決．【詳解】解：如圖，過(guò)點(diǎn)作，垂足為點(diǎn)，∵，梯形是等腰梯形，∴四邊形是矩形，．∴．在中，，，∴，∴，∴，∴梯形的周長(zhǎng)，．故答案為：，．【點(diǎn)睛】本題考查等腰梯形的定義和性質(zhì)，矩形的判定和性質(zhì)，勾股定理．正確的作出輔助線是解題關(guān)鍵．3．如圖，在中，于點(diǎn)，分別為的中點(diǎn)．，則的周長(zhǎng)是．【答案】【分析】本題考查了中位線，直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半．熟練掌握中位線，直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半是解題的關(guān)鍵．由題意知，是的中位線，則，由，為的中點(diǎn)，可得，根據(jù)的周長(zhǎng)為，計(jì)算求解即可．【詳解】解：∵分別為的中點(diǎn)，∴是的中位線，∴，∵，為的中點(diǎn)，∴，∴的周長(zhǎng)為，故答案為：．1．如圖，在菱形中，，對(duì)角線，相交于點(diǎn)，以，為邊作矩形，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查菱形的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)．根據(jù)菱形的性質(zhì)可得，，根據(jù)矩形的性質(zhì)可得，最后根據(jù)平行線的性質(zhì)可得結(jié)論．掌握菱形和矩形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵在菱形中，，∴，∴，∵四邊形是矩形，∴，∴，∴的度數(shù)為．故選：B．2．河南省博物院鎮(zhèn)館之寶之一的云紋銅禁是由禁體和12條龍形附獸、12條龍形座獸組成．禁體從上面看為一個(gè)矩形（如圖2所示）．這個(gè)矩形的對(duì)角線與交于點(diǎn)O，則下列說(shuō)法一定正確的是（

）A． B．矩形既是軸對(duì)稱圖形也是中心對(duì)稱圖形C． D．【答案】B【分析】根據(jù)矩形的性質(zhì)一一判定即可．【詳解】解：四邊形是矩形，，；A、當(dāng)四邊形是正方形時(shí)，，選項(xiàng)不符合題意；B、矩形既是軸對(duì)稱圖形也是中心對(duì)稱圖形，選項(xiàng)符合題意；C、當(dāng)時(shí)，結(jié)合，可得方可成立，選項(xiàng)不符合題意；D、當(dāng)時(shí)，方可成立，選項(xiàng)不符合題意；故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查矩形的性質(zhì)，掌握性質(zhì)定理并能區(qū)分與正方形的性質(zhì)是關(guān)鍵．3．如圖，長(zhǎng)方形中，，，點(diǎn)是邊上的動(dòng)點(diǎn)，現(xiàn)將沿直線折疊，使點(diǎn)落在點(diǎn)處，則點(diǎn)到點(diǎn)的最短距離為（

）A．5 B．4 C．3 D．2【答案】B【分析】本題主要考查圖形的翻折，熟練掌握矩形的性質(zhì)，翻折的性質(zhì)及勾股定理的知識(shí)是解題的關(guān)鍵．連接、，由三角形三邊關(guān)系知，當(dāng)點(diǎn)在上時(shí)最短，根據(jù)勾股定理求出，根據(jù)翻折性質(zhì)得出，即可求出最短值．【詳解】解：連接、，由三角形三邊關(guān)系可知，當(dāng)點(diǎn)在上時(shí)最短為，在長(zhǎng)方形中，，，，由翻折知，，，故選：．4．如圖，矩形的對(duì)角線與相交于點(diǎn)O，，，則等于（

）

A．4 B．5 C．10 D．8【答案】A【分析】由矩形的性質(zhì)得出，由已知條件證出是等邊三角形，得出，得出即可．【詳解】解：∵四邊形是矩形，∴，∴，∵，∴是等邊三角形，∴，∴；故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)；熟練掌握矩形的性質(zhì)，并能進(jìn)行推理論證是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．1．如圖，已知點(diǎn)D，E，F(xiàn)分別是的中點(diǎn)，的周長(zhǎng)為，則的周長(zhǎng)是（

）A．6 B．7 C．8 D．【答案】A【分析】本題考查了中位線．熟練掌握中位線是解題的關(guān)鍵．由題意知，是的中位線，根據(jù)的周長(zhǎng)為，計(jì)算求解即可．【詳解】解：∵D，E，F(xiàn)分別是的中點(diǎn)，∴是的中位線，∴，∵的周長(zhǎng)為，∴，∴的周長(zhǎng)為，故選：A．2．在如圖所示的中，點(diǎn)D，E在邊AB上，的平分線于F，的平分線于H，若，，則的周長(zhǎng)為（

）A．10 B．12 C．18 D．20【答案】D【分析】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，三角形的中位線定理．證明，推出，，同理，，得到是的中位線，進(jìn)一步計(jì)算即可求解．【詳解】解：∵平分，且，∴，，，∴，∴，，同理可證，，∴是的中位線，∴，∴的周長(zhǎng)為，故選：D．3．在中，已知點(diǎn)D、E、F分別是的中點(diǎn)，且，則（）．A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)三角形的中線將三角形分成兩個(gè)面積相等的三角形求解即可．【詳解】解：∵D為的中點(diǎn)，∴，∵E是的中點(diǎn)，∴，，∴，∵F是的中點(diǎn)，∴，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形中線的性質(zhì)，熟練掌握三角形的中線將三角形分成兩個(gè)面積相等的三角形是解答本題的關(guān)鍵．4．如圖，在中，平分，于點(diǎn)D，且，則的面積為（）A．4 B．5 C．6 D．8【答案】B【分析】延長(zhǎng)交于E，利用“”證明得到，，再根據(jù)三角形的中線平分三角形的面積得到，進(jìn)而可求解．【詳解】解：延長(zhǎng)交于E，∵平分，∴，∵，∴，在和中，,∴，∴，，∴，又，∴，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、三角形的中線性質(zhì)，添加輔助線構(gòu)造全等三角形求圖形的面積是解答的關(guān)鍵．5．如圖，是的中位線，點(diǎn)F是的中點(diǎn)，的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)G，若的面積為2，則的面積為（

）

A．18 B．16 C．14 D．12【答案】B【分析】連接，由E是中點(diǎn)得到，由F是中點(diǎn)得到，由是的中位線得到即可求解．【詳解】解：連接，，如圖，

∵是的中位線，∴E是中點(diǎn)，D是中點(diǎn)，∴，∵F是中點(diǎn)，∴，∵E是中點(diǎn)，∴，∵D是中點(diǎn)，∴，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形線段中點(diǎn)與面積之間的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是運(yùn)用數(shù)學(xué)結(jié)合思想找到其中的關(guān)系．二、填空題6．如圖直角梯形中，，，，，，，則的面積為．

【答案】【分析】作交延長(zhǎng)線于，作于，利用三角形全等的性質(zhì)，求出的高，然后得出三角形的面積．【詳解】解：如圖，作交延長(zhǎng)線于，作于，則．

，，，，四邊形是矩形，，，，，，，，的面積．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查梯形的性質(zhì)和全等三角形的判定與性質(zhì)的運(yùn)用，矩形的判定與性質(zhì)，解決問(wèn)題的關(guān)鍵是作輔助線構(gòu)造全等三角形．7．如圖，矩形紙片中，，，點(diǎn)、分別在、上，將、分別沿、翻折，翻折后點(diǎn)與點(diǎn)重合，點(diǎn)與點(diǎn)重合當(dāng)、、、四點(diǎn)在同一直線上時(shí)，線段長(zhǎng)為．【答案】【分析】本題考查了翻折變換（折疊問(wèn)題），矩形的性質(zhì)，勾股定理，根據(jù)勾股定理列方程是解題的關(guān)鍵．根據(jù)矩形的性質(zhì)得到，，，根據(jù)折疊的性質(zhì)得到，，，根據(jù)勾股定理得到，設(shè)，由勾股定理列方程得到，，由折疊的性質(zhì)得到，，求得，設(shè)，則，根據(jù)勾股定理列方程即可得到結(jié)論．【詳解】解：在矩形紙片中，，，，，，將沿翻折，翻折后點(diǎn)與點(diǎn)重合，，，，，設(shè)，，，，，解得：，，，將沿翻折，翻折后點(diǎn)與點(diǎn)重合，，，，，設(shè)，則，，，，線段長(zhǎng)為，故答案為：．8．如圖，在一張矩形紙片中，點(diǎn)分別在上，將紙片沿直線折疊，點(diǎn)落在上的點(diǎn)處，點(diǎn)落在點(diǎn)處，連接，．若，則．【答案】【分析】本題考查的是翻折變換的性質(zhì)和勾股定理的應(yīng)用，由折疊性質(zhì)可知，，，，，，證明，得到點(diǎn)，，三點(diǎn)共線，由求出，，最后由勾股定理即可求解，掌握翻折變換的性質(zhì)、找出對(duì)應(yīng)線段是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：由折疊性質(zhì)可知，，，，，，∴，∴，∵，∴，∴點(diǎn)，，三點(diǎn)共線，∵，∴，∴，，∴，在中，由勾股定理得：，在中，由勾股定理得：，∴，故答案為：．9．如圖，為長(zhǎng)方形紙片的邊上一點(diǎn)，將，分別沿，向上折疊，點(diǎn)落在點(diǎn)處，點(diǎn)恰好落在邊上的處，．下列說(shuō)法：；；若平分，則；若，則．其中一定正確的結(jié)論有（填序號(hào)即可）．【答案】【分析】此題考查了折疊的性質(zhì)，角平分線的定義和角的計(jì)算，根據(jù)題意得出各角的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．【詳解】∵四邊形是矩形，由折疊性質(zhì)可知：，，則，故正確；∵，，∴，，∴，∴，故正確；∵平分，∴，即，解得：，故正確；∵，，∴，解得：，故正確；綜上可知：正確，故答案為：．10．將一張長(zhǎng)方形紙片按如圖所示方式折疊，、為折痕，點(diǎn)B、D折疊后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為、，若，則的度數(shù)為．【答案】/度【分析】本題主要考查了折疊的性質(zhì)，根據(jù)題意先求出，再由折疊的性質(zhì)得到，則．【詳解】解；∵，，∴，由折疊的性質(zhì)可得，∴，∴，故答案為：．11．如圖，矩形紙片的對(duì)角線，相交于點(diǎn)，，將矩形紙片翻折，使點(diǎn)恰好落在點(diǎn)處，折痕為，點(diǎn)在邊上，則的長(zhǎng)為．

【答案】【分析】本題考查翻折變換，等邊三角形的判定和性質(zhì)，含30度的直角三角形的性質(zhì)；首先證明是等邊三角形，根據(jù)含30度角的直角三角形的性質(zhì)得出，證明，根據(jù)，即可求解．【詳解】解：四邊形是矩形，，，由翻折性質(zhì)可知：，，，是等邊三角形，，，，則,，，故答案為：6．12．如圖，將一張矩形紙片折疊，折痕為，折疊后，的對(duì)應(yīng)邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，的對(duì)應(yīng)邊交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)P．若，則的長(zhǎng)為．【答案】【分析】本題考查了矩形與折疊問(wèn)題，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理．連接，設(shè)，，證明，求得，由折疊的性質(zhì)求得，在中，利用勾股定理列式計(jì)算，即可求解．【詳解】解：連接，設(shè)，，由矩形的性質(zhì)和折疊的性質(zhì)知，，，∵，，∴，∴，由矩形的性質(zhì)知：∴，折疊的性質(zhì)知：，∴，∴，由折疊的性質(zhì)知，∴，∴，即，在中，，即，解得，∴，故答案為：13．如圖菱形的邊長(zhǎng)為4，，將菱形沿折疊，頂點(diǎn)C恰好落在邊的中點(diǎn)G處，則．【答案】【分析】本題考查了菱形的性質(zhì)、翻折變換的性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)，根據(jù)折疊和軸對(duì)稱的性質(zhì)用含x的代數(shù)式表示其他線段的長(zhǎng)度，選擇適當(dāng)?shù)闹苯侨切?，運(yùn)用勾股定理列出方程是解題的關(guān)鍵．過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，由菱形的性質(zhì)和已知條件得出，再設(shè)，則，在中，依據(jù)勾股定理得到方程，求得的值即可得到的長(zhǎng)．【詳解】解：如圖所示，過(guò)作，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，∴，設(shè)，則，∵是的中點(diǎn)，∴，在中，，解得，故答案為：1.2．14．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，菱形的邊在x軸的正半軸上，反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)對(duì)角線的中點(diǎn)D和頂點(diǎn)C，則k的值為8，菱形OABC的面積為．【答案】【分析】本題考查反比例函數(shù)系數(shù)的幾何意義、反比例函數(shù)的性質(zhì)、菱形的性質(zhì)、反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答．根據(jù)題意，可以設(shè)出點(diǎn)和點(diǎn)的坐標(biāo)，然后利用反比例函數(shù)的性質(zhì)和菱形的性質(zhì)即可求得，然后利用菱形的面積公式求得即可．【詳解】解：設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，對(duì)角線的中點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)在反比例函數(shù)的圖象上，，，菱形的面積．故答案為：．15．如圖，在菱形中，對(duì)角線和的長(zhǎng)分別是和，以為斜邊向菱形外作等腰直角三角形，連接，則的長(zhǎng)是．【答案】【分析】此題考查了菱形的性質(zhì)和勾股定理，解題的關(guān)鍵是熟練掌握菱形的性質(zhì)和勾股定理及其應(yīng)用．【詳解】如圖，過(guò)作交延長(zhǎng)線于點(diǎn)，過(guò)作交延長(zhǎng)線于點(diǎn)，易證，∴，，∵四邊形是菱形，∴，，∴，，∴，故答案為：．16．如圖，矩形中，，，過(guò)對(duì)角線的中點(diǎn)的直線分別交，邊于點(diǎn)，.當(dāng)四邊形是菱形時(shí)，則的長(zhǎng)為.【答案】/【分析】本題考查矩形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、菱形的性質(zhì)等知識(shí)，設(shè)，在中，根據(jù)，構(gòu)建方程求出x，再在中，求出即可解決問(wèn)題；【詳解】解：∵四邊形是矩形，∴，∵四邊形是菱形，∴，設(shè)，在中，∵，∴，∴，∴，∵，∴，在中，∴，故答案為：．17．如圖，在菱形中，，則菱形的高．

【答案】【分析】利用菱形的面積公式先求解菱形的面積，再利用勾股定理求解菱形的邊長(zhǎng)，再利用等面積法可得答案．【詳解】解：∵菱形，，∴，，，∴，，∵，∴，∴；故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查的是菱形的性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，熟記菱形的面積公式是解本題的關(guān)鍵．18．如圖，點(diǎn)A在雙曲線（，）上，點(diǎn)B在直線l：上，A與B關(guān)于x軸對(duì)稱，直線l與y軸交于點(diǎn)C，當(dāng)四邊形是菱形時(shí)，則k的值為．

【答案】【分析】設(shè)交x軸于點(diǎn)D，在一次函數(shù)中，時(shí)，，得到，，根據(jù)菱形性質(zhì)得到，根據(jù)軸對(duì)稱性質(zhì)，得到，，根據(jù)勾股定理得到，得到，推出．本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的綜合，熟練掌握反比例函數(shù)與一次函數(shù)的性質(zhì)，菱形的性質(zhì)，軸對(duì)稱性質(zhì)，勾股定理解直角三角形，是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．【詳解】設(shè)交x軸于點(diǎn)D，如圖，在中，當(dāng)時(shí)，，∴，∴，∵四邊形是菱形，∴，∵A與B關(guān)于x軸對(duì)稱，∴，，∴，∴，∴．故答案為：．

19．如圖，在菱形中，點(diǎn)分別在邊上，，則的長(zhǎng)為．【答案】3【分析】本題主要考查了等邊三角形的判定和性質(zhì)，菱形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)．延長(zhǎng)至點(diǎn)G，使，連接，過(guò)點(diǎn)A作于點(diǎn)K，過(guò)點(diǎn)D作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)P，可得是等邊三角形，從而得到，再證明，可得，可證明，即可求解．【詳解】解：如圖，延長(zhǎng)至點(diǎn)G，使，連接，過(guò)點(diǎn)A作于點(diǎn)K，過(guò)點(diǎn)D作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)P，∵，∴是等邊三角形，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∵四邊形是菱形，∴，∴，∵，∴，∵，∴，在和中，∵，，∴，∴，在和中，∵，，，∴，∴．故答案為：320．已知，如圖，菱形的邊長(zhǎng)為2，，將菱形繞頂點(diǎn)在平面內(nèi)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到菱形，則旋轉(zhuǎn)后的圖形與原圖形重疊部分的面積為.

【答案】【分析】相交于點(diǎn)O，與交于點(diǎn)E，根據(jù)菱形的性質(zhì)推出的長(zhǎng)，再根據(jù)菱形的性質(zhì)推出與的長(zhǎng)，再根據(jù)重疊部分的面積=的面積的面積求解即可．【詳解】解：根據(jù)題意，如圖，將該菱形繞頂點(diǎn)A在平面內(nèi)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，，相交于點(diǎn)O，與交于點(diǎn)E，∵四邊形是菱形，∵菱形繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到菱形,，三點(diǎn)共線，，又，,∵重疊部分的面積的面積的面積，∴重疊部分的面積即旋轉(zhuǎn)后的圖形，與原圖形重疊部分的面積為．【點(diǎn)睛】本題考查菱形的性質(zhì)，菱形對(duì)角線互相垂直，菱形四條邊相等，以及旋轉(zhuǎn)變化，旋轉(zhuǎn)前后對(duì)應(yīng)邊相等，對(duì)應(yīng)角相等．21．如圖，菱形的邊長(zhǎng)為，，分別以點(diǎn)，為圓心，大于的長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧相交于，兩點(diǎn)，直線交于點(diǎn)，連接，則的長(zhǎng)為．

【答案】【分析】本題考查了作垂直平分線，菱形的性質(zhì)，勾股定理；延長(zhǎng)交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，如圖，根據(jù)菱形的性質(zhì)得到，，利用作法得垂直平分，所以，，接著計(jì)算出，，然后計(jì)算出，最后利用勾股定理計(jì)算的長(zhǎng)．【詳解】解：延長(zhǎng)交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，如圖，

四邊形為菱形，，，，由作法得垂直平分，，，，在中，，，，在中，，，，在中，．故答案為：．22．如圖，在矩形紙片中，，將矩形紙片折疊，使點(diǎn)與點(diǎn)重合，求折痕．

【答案】【分析】連接，易得，根據(jù)折疊的性質(zhì)可得，設(shè)，則，根據(jù)勾股定理可得，列出方程求出，同理可得：，推出四邊形是菱形，根據(jù)，即可求解．【詳解】解：連接，∵四邊形是矩形，∴，∴，∵四邊形沿折疊得到四邊形，∴，設(shè)，∵，∴，根據(jù)勾股定理可得：，即，解得：，則，同理可得：，∴四邊形是菱形，∵，∴，解得：，∴，故答案為：．

【點(diǎn)睛】本題主要考查了矩形的性質(zhì)，勾股定理，菱形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握菱形的面積公式．23．小賢家有一個(gè)中國(guó)結(jié)掛飾，他利用所學(xué)知識(shí)抽象出如圖所示的菱形，測(cè)得，．若過(guò)點(diǎn)O的直線交邊，于點(diǎn)E，F(xiàn)，則的長(zhǎng)為cm．

【答案】【分析】根據(jù)菱形的性質(zhì)得到，,，根據(jù)勾股定理得到，根據(jù)菱形的面積公式即可得到結(jié)論．【詳解】解：∵四邊形是菱形，∴，,，∴，∵，∴，∴，∴，故的長(zhǎng)為，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的性質(zhì)，勾股定理，熟練掌握菱形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．三、解答題24．如圖1，已知為等邊三角形，點(diǎn)D和E分別是直線和邊上的動(dòng)點(diǎn)，連接和相交于點(diǎn)F．(1)如圖1，點(diǎn)E為中點(diǎn)，點(diǎn)D為三等分點(diǎn)且，若，求；(2)如圖2，已知，點(diǎn)H為中點(diǎn)，連接交于點(diǎn)Q，連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)M，若，探究之間的數(shù)量關(guān)系并說(shuō)明理由；【答案】(1)12(2)，見(jiàn)解析【分析】（1）取的中點(diǎn)K，連接．然后利用三角形中位線定理解答即可；（2）延長(zhǎng)到T，使得，連接．證明四邊形是平行四邊形，再證明，最后根據(jù)線段的和差和等量代換即可解答；【詳解】（1）解：如圖1：取的中點(diǎn)K，連接．∵，∴，∵D為三等分點(diǎn)且，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴；（2）解：結(jié)論：．理由如下：如圖：延長(zhǎng)到T，使得，連接．∵，∴四邊形是平行四邊形，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴；【點(diǎn)睛】本題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)和判定、全等三角形的判定和性質(zhì)、三角形中位線定理、平行四邊形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，正確添加常用輔助線、構(gòu)造特殊四邊形和全等三角形解決問(wèn)題是解題的關(guān)鍵．25．如圖1所示：在中，點(diǎn)D、E分別是AB，AC的中點(diǎn)，(1)直接寫出DE與BC之間的關(guān)系：________________．理由：____________________________．(2)如圖2，點(diǎn)D、E、F分別是三邊中點(diǎn)，圖中有______個(gè)平行四邊形，求證：；(3)如圖3，點(diǎn)P、Q、R、S分別是四邊形ABCD的中點(diǎn)，問(wèn)題1，圖中是否有平行四邊形，有請(qǐng)指出并證明你所指出的四邊形是平行四邊形．問(wèn)題2、猜想四邊形ABCD和四邊形PQRS之間的面積關(guān)系．并證明你的猜想．【答案】(1)，；三角形的中位線平行于第三邊，并且等于第三邊的一半(2)3；證明見(jiàn)解析(3)，證明見(jiàn)解析【分析】（1）由點(diǎn)、分別是，的中點(diǎn)，根據(jù)三角形的中位線定理得，，即可得出問(wèn)題的答案；（2）由點(diǎn)、、分別是三邊中點(diǎn)得，，，由，得四邊形是平行四邊形，同理得四邊形是平行四邊形，四邊形是平行四邊形，所以圖中有3個(gè)平行四邊形；根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可以證明，，，則，即可推導(dǎo)出；（3）①連接，由點(diǎn)、分別是、的中點(diǎn)得，，由點(diǎn)、分別是、的中點(diǎn)得，，則，，即可證明四邊形是平行四邊形；②連接交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，作于點(diǎn)，由得四邊形是平行四邊形，由，得四邊形是平行四邊形，同理得四邊形是平行四邊形，再推導(dǎo)出，由，，證明，則，所以，則，同理，即可證明．【詳解】（1）解：如圖1，點(diǎn)、分別是，的中點(diǎn)，，（三角形的中位線平行于第三邊，并且等于第三邊的一半），故答案為：，，三角形的中位線平行于第三邊，并且等于第三邊的一半．（2）點(diǎn)、、分別是三邊中點(diǎn)，，，，，，四邊形是平行四邊形；四邊形是平行四邊形；四邊形是平行四邊形，圖中有3個(gè)平行四邊形．證明：四邊形是平行四邊形，，，，，同理，，，，．故答案為：3．（3）①有，四邊形是平行四邊形，證明：如圖3，連接，點(diǎn)、分別是、的中點(diǎn)，，；點(diǎn)、分別是、的中點(diǎn)，，，，，四邊形是平行四邊形．②，證明：如圖4，連接交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，作于點(diǎn)，，四邊形是平行四邊形，，，四邊形是平行四邊形，同理，四邊形是平行四邊形，，，，，，，，，，，同理，，，．【點(diǎn)睛】此題考查三角形的中位線定理、全等三角形的性質(zhì)與判定、平行四邊形的判定與性質(zhì)、根據(jù)轉(zhuǎn)化思想解決面積問(wèn)題等知識(shí)與方法，靈活運(yùn)用平行四邊形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．1．（2023·湖南·統(tǒng)考中考真題）如圖，菱形中，連接，若，則的度數(shù)為（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)菱形的性質(zhì)可得，則，進(jìn)而即可求解．【詳解】解：∵四邊形是菱形∴，∴，∵，∴,故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的性質(zhì)，熟練掌握是菱形的性質(zhì)解題的關(guān)鍵．2．（2023·內(nèi)蒙古赤峰·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，，，．點(diǎn)F是中點(diǎn)，連接，把線段沿射線方向平移到，點(diǎn)D在上．則線段在平移過(guò)程中掃過(guò)區(qū)域形成的四邊形的周長(zhǎng)和面積分別是(

)

A．16，6 B．18，18 C．16.12 D．12，16【答案】C【分析】先論證四邊形是平行四邊形，再分別求出、、，繼而用平行四邊形的周長(zhǎng)公式和面積公式求解即可．【詳解】由平移的性質(zhì)可知：，∴四邊形是平行四邊形，在中，，，，∴在中，，，點(diǎn)F是中點(diǎn)∴∵，點(diǎn)F是中點(diǎn)∴，，∴點(diǎn)D是的中點(diǎn)，∴∵D是的中點(diǎn)，點(diǎn)F是中點(diǎn)，∴是的中位線，∴∴四邊形的周長(zhǎng)為：，四邊形的面積為：．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查平移的性質(zhì)，平行四邊形的判定與性