第22題代數(shù)幾何比翼齊飛動靜互變化難為易 2024年高中數(shù)學(xué)三輪復(fù)習(xí)之一題多解（含解析）

試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁第22題代數(shù)幾何比翼齊飛，動靜互變化難為易已知斜率為的直線與橢圓：交于，兩點，線段的中點為．（1）求證：；（2）設(shè)為橢圓的右焦點，為橢圓上的一點，且，求證：，，成等差數(shù)列，并求該數(shù)列的公差．對于第（1）小題，利用直線的斜率、直線與橢圓的位置關(guān)系及中點，得到一個關(guān)于，的關(guān)系式，要得到這個關(guān)系式的方法有四種思路，比如點差法、方程組結(jié)合韋達(dá)定理法、對稱橢圓法，利用直線的參數(shù)方程等，然后根據(jù)的取值范圍即可求解，各種解法都是在數(shù)形結(jié)合的過程中進行；對于第（2）小題，利用題中的向量關(guān)系，表示出點的坐標(biāo)及各線段的長度即可證明，也可利用焦半徑公式或三角形重心的性質(zhì)來證明．對于第（1）小題，第一種思路是：運用設(shè)而不求、點差法，抓住點在橢圓內(nèi)部解不等式得的取值范圍.（1）（點差法）設(shè)，，則，，兩式相減，并由得．由題設(shè)知，，于是．點在橢圓內(nèi)部，可得，解得，故．（2023高三·全國·專題練習(xí)）1．已知橢圓C：，若橢圓C上有不同的兩點關(guān)于直線對稱，則實數(shù)m的取值范圍是.對于第（1）小題，利用直線的斜率、直線與橢圓的位置關(guān)系及中點，得到一個關(guān)于，的關(guān)系式，要得到這個關(guān)系式的方法有四種思路，比如點差法、方程組結(jié)合韋達(dá)定理法、對稱橢圓法，利用直線的參數(shù)方程等，然后根據(jù)的取值范圍即可求解，各種解法都是在數(shù)形結(jié)合的過程中進行；對于第（2）小題，利用題中的向量關(guān)系，表示出點的坐標(biāo)及各線段的長度即可證明，也可利用焦半徑公式或三角形重心的性質(zhì)來證明．對于第（1）小題，思路二是：聯(lián)立直線方程和橢圓方程，消元運用韋達(dá)定理代入求得的取值范圍，達(dá)到證明目的.（1）（韋達(dá)定理法）設(shè)的方程為，與橢圓聯(lián)立，得．設(shè)，，則由，∴，①．②則，∴，∵，∴或．由①②得，∴，∵，∴．（23-24高三下·重慶·階段練習(xí)）2．已知，動點滿足與的斜率之積為定值.(1)求動點的軌跡的方程；(2)過點的直線與曲線交于兩點，且均在軸右側(cè)，過點作直線的垂線，垂足為.（i）求證：直線過定點；（ii）求面積的最小值.對于第（1）小題，利用直線的斜率、直線與橢圓的位置關(guān)系及中點，得到一個關(guān)于，的關(guān)系式，要得到這個關(guān)系式的方法有四種思路，比如點差法、方程組結(jié)合韋達(dá)定理法、對稱橢圓法，利用直線的參數(shù)方程等，然后根據(jù)的取值范圍即可求解，各種解法都是在數(shù)形結(jié)合的過程中進行；對于第（2）小題，利用題中的向量關(guān)系，表示出點的坐標(biāo)及各線段的長度即可證明，也可利用焦半徑公式或三角形重心的性質(zhì)來證明．對于第（1）小題，思路三是：運用對稱橢圓，以形助數(shù)、簡捷獲證.（1）（對稱橢圓法）對原橢圓作關(guān)于對稱的橢圓為，兩橢圓方程相減可得，即為公共弦所在的直線方程，故．又點在橢圓內(nèi)部可得，可得．∴．對于第（1）小題，利用直線的斜率、直線與橢圓的位置關(guān)系及中點，得到一個關(guān)于，的關(guān)系式，要得到這個關(guān)系式的方法有四種思路，比如點差法、方程組結(jié)合韋達(dá)定理法、對稱橢圓法，利用直線的參數(shù)方程等，然后根據(jù)的取值范圍即可求解，各種解法都是在數(shù)形結(jié)合的過程中進行；對于第（2）小題，利用題中的向量關(guān)系，表示出點的坐標(biāo)及各線段的長度即可證明，也可利用焦半徑公式或三角形重心的性質(zhì)來證明．對于第（1）小題，思路四是：利用直線參數(shù)方程中參數(shù)的幾何意義求得斜率與的關(guān)系式，由點在橢圓內(nèi)得到關(guān)于的不等式，把上述關(guān)系式代入得關(guān)于的不等式解之即可.（1）（利用直線參數(shù)方程中參數(shù)的幾何意義）設(shè)的參數(shù)方程為（為的傾斜角，為參數(shù)）．代入橢圓中得．設(shè)、是點、對應(yīng)的參數(shù)，是線段中點，知得，．點在橢圓內(nèi)，可得，∴，．（2024高三·全國·專題練習(xí)）3．如圖，已知橢圓：，直線：與圓：相切且與橢圓交于A，B兩點．

(1)若線段AB中點的橫坐標(biāo)為，求m的值；(2)過原點O作的平行線交橢圓于C，D兩點，設(shè)，求的最小值．對于第（1）小題，利用直線的斜率、直線與橢圓的位置關(guān)系及中點，得到一個關(guān)于，的關(guān)系式，要得到這個關(guān)系式的方法有四種思路，比如點差法、方程組結(jié)合韋達(dá)定理法、對稱橢圓法，利用直線的參數(shù)方程等，然后根據(jù)的取值范圍即可求解，各種解法都是在數(shù)形結(jié)合的過程中進行；對于第（2）小題，有三種思路，其中思路一是：利用幾何關(guān)系求幾何量驗證、、的關(guān)系是否符合等差數(shù)列定義，根據(jù)等差數(shù)列定義結(jié)合（1）的證法一所得，求出公差.（1）同上（2）（利用幾何關(guān)系求幾何量）由題意得，設(shè)，則由得，由（1）的證法一及題設(shè)得，，又點在上，∴，從而，．于是，同理，．∴．故，即，，成等差數(shù)列．設(shè)該數(shù)列的公差為，則．①將代入（1）的證法一所得的中，得．∴直線的方程為，代入橢圓的方程，并整理得，故，，代入①式解得．∴該數(shù)列的公差為或．（2024·陜西西安·模擬預(yù)測）4．已知雙曲線的左?右焦點分別為，右焦點到漸近線的距離為，過作圓的切線，交雙曲線右支于點，若，則圓的面積為（

）A． B． C． D．對于第（1）小題，利用直線的斜率、直線與橢圓的位置關(guān)系及中點，得到一個關(guān)于，的關(guān)系式，要得到這個關(guān)系式的方法有四種思路，比如點差法、方程組結(jié)合韋達(dá)定理法、對稱橢圓法，利用直線的參數(shù)方程等，然后根據(jù)的取值范圍即可求解，各種解法都是在數(shù)形結(jié)合的過程中進行；對于第（2）小題，有三種思路，其中思路二是：用橢圓的焦半徑公式求幾何量驗證、、的關(guān)系，并求出公差.（1）同上（2）（利用橢圓的焦半徑公式）∵，∴，∵，∴，又∵點在橢圓上且，∴，∴．由（1）的證法一可知，∴，直線的方程為：．直線的方程與橢圓方程聯(lián)立，得消去化簡得，則有，．由焦半徑公式，，可得，又∵．∴，∴，，成等差數(shù)列．設(shè)公差為，則有，∴或．（23-24高二上·貴州貴陽·期末）5．閱讀材料：在平面直角坐標(biāo)系中，若點與定點（或的距離和它到定直線（或）的距離之比是常數(shù)，則，化簡可得，設(shè)，則得到方程，所以點的軌跡是一個橢圓，這是從另一個角度給出了橢圓的定義.這里定點是橢圓的一個焦點，直線稱為相應(yīng)于焦點的準(zhǔn)線；定點是橢圓的另一個焦點，直線稱為相應(yīng)于焦點的準(zhǔn)線.根據(jù)橢圓的這個定義，我們可以把到焦點的距離轉(zhuǎn)化為到準(zhǔn)線的距離.若點在橢圓上，是橢圓的右焦點，橢圓的離心率，則點到準(zhǔn)線的距離為，所以，我們把這個公式稱為橢圓的焦半徑公式.結(jié)合閱讀材料回答下面的問題：已知橢圓的右焦點為，點是該橢圓上第一象限的點，且軸，若直線是橢圓右準(zhǔn)線方程，點到直線的距離為8.(1)求點的坐標(biāo)；(2)若點也在橢圓上且的重心為，判斷是否能構(gòu)成等差數(shù)列？如果能，求出該等差數(shù)列的公差，如果不能，說明理由.對于第（1）小題，利用直線的斜率、直線與橢圓的位置關(guān)系及中點，得到一個關(guān)于，的關(guān)系式，要得到這個關(guān)系式的方法有四種思路，比如點差法、方程組結(jié)合韋達(dá)定理法、對稱橢圓法，利用直線的參數(shù)方程等，然后根據(jù)的取值范圍即可求解，各種解法都是在數(shù)形結(jié)合的過程中進行；對于第（2）小題，有三種思路，其中思路三是：利用三角形重心，注意到為中點，求出點坐標(biāo)，得所在直線方程，之后按方法六應(yīng)用焦半徑公式表示相關(guān)線段長度.（1）同上（2）（利用三角形重心）設(shè)，，．顯然點為的重心，易得注意到為的中點，易得，∴．進而可得，再由重心性質(zhì)得，∴．可得所在直線方程為，直線的方程與橢圓方程聯(lián)立，得消去化簡得，則有，．由焦半徑公式，，可得，又∵．∴，∴，，成等差數(shù)列．設(shè)公差為，則有，∴或．（22-23高二上·遼寧鞍山·期末）6．已知橢圓的左、右焦點分別為為橢圓上一點，且，若關(guān)于平分線的對稱點在橢圓上，則的面積為（

）A． B． C． D．【點評】1.解析幾何的本質(zhì)是用代數(shù)方法研究幾何問題，基本思想就是數(shù)形結(jié)合．利用數(shù)形結(jié)合思想可以進行直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系的討論、直線與圓錐曲線位置關(guān)系的討論，諸如解析幾何中的對稱問題，定點、定值問題，最值與范圍問題以及軌跡探求都離不開數(shù)形結(jié)合思想方法的應(yīng)用．2.在求解解析幾何綜合題的過程中要防止兩個易犯的錯誤傾向．一種傾向是認(rèn)為既然用代數(shù)的方法，一上來就設(shè)坐標(biāo)、列方程，對圖形的特征缺乏必要的分析，導(dǎo)致列出的方程或方程組超級復(fù)雜，運算量太大．如果對幾何圖形進行細(xì)致的分析，挖掘隱含條件，往往能找到一種代數(shù)幾何雙管齊下的解法，所以在用代數(shù)方法研究幾何問題時，圖形特征應(yīng)始終在關(guān)注的視野內(nèi)．另一種傾向是認(rèn)為題中講的動與靜是孤立不變的．實際上動點與定點是相對的，是有關(guān)聯(lián)的，解題中，可運用矛盾轉(zhuǎn)化的觀點，視動態(tài)為靜態(tài)，局部固定某些變量，以減少變元個數(shù)，達(dá)到解題的目的；也可視靜態(tài)為動態(tài)，用運動的觀點分析解決問題；還可以“動靜互易”，從而使已知與未知、條件與結(jié)論的聯(lián)系變得更為清晰、從而達(dá)到化難為易解決難題的目的．7．已知橢圓：的左頂點為，過原點的直線（與坐標(biāo)軸不重合）與橢圓交于兩點，直線、分別與軸交于兩點．問：以為直徑的圓是否經(jīng)過定點？請證明你的結(jié)論．（2024·江西九江·二模）8．已知橢圓：和圓C：，C經(jīng)過E的焦點，點A，B為E的右頂點和上頂點，C上的點D滿足.(1)求E的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)設(shè)直線與C相切于第一象限的點P，與E相交于M，N兩點，線段的中點為Q.當(dāng)最大時，求的方程.（2019年高考數(shù)學(xué)北京卷理科第18題）9．已知拋物線C：x2=?2py經(jīng)過點（2，?1）．（Ⅰ）求拋物線C的方程及其準(zhǔn)線方程；（Ⅱ）設(shè)O為原點，過拋物線C的焦點作斜率不為0的直線l交拋物線C于兩點M，N，直線y=?1分別交直線OM，ON于點A和點B.求證：以AB為直徑的圓經(jīng)過y軸上的兩個定點．（2023·貴州畢節(jié)·模擬預(yù)測）10．已知橢圓的下頂點，右焦點為為線段的中點，為坐標(biāo)原點，，點與橢圓上任意一點的距離的最小值為.(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)直線與橢圓交于兩點，若存在過點的直線，使得點與點關(guān)于直線對稱，求的取值范圍.（2024·四川成都·二模）11．在平面直角坐標(biāo)系中，若點A，B是橢圓的左，右頂點，橢圓上一點與點A連線的斜率為．(1)求橢圓E的方程；(2)經(jīng)過點A的直線分別交橢圓E與直線于P，Q兩點，線段QB的中點為M，若點F的坐標(biāo)為，證明：點B關(guān)于直線FM的對稱點在PF上．12．已知拋物線C：y2=2x，過點（2,0）的直線l交C于A,B兩點，圓M是以線段AB為直徑的圓.（1）證明：坐標(biāo)原點O在圓M上；（2）設(shè)圓M過點，求直線l與圓M的方程.答案第=page11頁，共=sectionpages22頁答案第=page11頁，共=sectionpages22頁參考答案：1．【分析】設(shè)，利用點差法得到，結(jié)合得到，聯(lián)立得到，點M應(yīng)在橢圓C的內(nèi)部，得到不等式，求出m的取值范圍.【詳解】設(shè)是橢圓C上關(guān)于直線l：對稱的兩個點，是線段PQ的中點，則，兩式相減，得.∵，，∴.∵，∴，故，聯(lián)立，解得，∴.∵點M應(yīng)在橢圓C的內(nèi)部，∴，解得.∴實數(shù)m的取值范圍是.故答案為：.2．(1)(2)（i）證明見解析；（ii）【分析】（1）設(shè)動點的坐標(biāo)，由題意列式并化簡，即可得答案；（2）（i）設(shè)直線方程，聯(lián)立雙曲線方程，可得根與系數(shù)的關(guān)系，求出m的范圍，利用直線BD的方程求出其與x軸交點坐標(biāo)的表達(dá)式，化簡即可證明結(jié)論；（ii）結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系式，求出面積的表達(dá)式，利用換元，并結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性，即可求得答案.【詳解】（1）設(shè)動點的坐標(biāo)為，由動點滿足與的斜率之積為定值，得，即，故動點的軌跡的方程為；（2）（i）證明：設(shè)，聯(lián)立，得，設(shè)，

結(jié)合題意有，解得，且，又直線BD的方程為，令，則，故直線過定點；（ii）由題意知，故的面積為，令，則，則，由于在上單調(diào)遞減，故在上單調(diào)遞增，故當(dāng)，即時，面積取最小值.【點睛】難點點睛：本題考查了動點軌跡方程的求法，考查了直線過定點問題以及雙曲線中的三角形面積的最值問題，綜合性較強，解答時要設(shè)直線方程，并聯(lián)立雙曲線方程，結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系式進行化簡，難點在于計算過程比較復(fù)雜，計算量較大，并且基本都是有關(guān)字母參數(shù)的運算，因此要十分細(xì)心.3．(1)；(2)【分析】（1）由橢圓的中點弦問題，求出直線AB的斜率，將中點坐標(biāo)代入求解即可；（2）令，進行仿射變換，最小時，AB與CD距離最大，進而利用比值關(guān)系和平面幾何知識進行求解即可.【詳解】（1）設(shè)AB中點坐標(biāo)為，代入圓方程可得；根據(jù)拉伸定理可知，將代入可知，故；（2）如圖：

，令，拉伸后可知，最小時，AB與CD距離最大，令拉伸后的參數(shù)方程為，當(dāng)上的點P離原點距離最大時，即，當(dāng)時，，此時過P作的切線，，．4．A【分析】由焦點到漸近線的距離為，可得，結(jié)合雙曲線定義與可得，即可得圓的面積.【詳解】如圖，因為右焦點到漸近線的距離為，故，作于點于點，因為與圓相切，所以，因為，即，在直角中，，又點在雙曲線上，由雙曲線的定義可得：，整理得，因為，所以，圓的面積.故選：A.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題關(guān)鍵在于借助作于點于點，從而結(jié)合雙曲線定義與直角三角形的性質(zhì)可得，即可得圓的面積.5．(1)(2)能構(gòu)成等差數(shù)列，公差為或【分析】（1）根據(jù)點的坐標(biāo)，結(jié)合準(zhǔn)線的定義和公式，即可求解點的坐標(biāo)；（2）根據(jù)焦半徑公式，以及重心坐標(biāo)公式，即可判斷是否為等差數(shù)列，再利用點差法求直線的方程，并求點的坐標(biāo)，即可求焦半徑和的值，即可求公差.【詳解】（1）由題意可知，點的橫坐標(biāo)為，且，得，即，所以橢圓方程為，當(dāng)時，，因為點在第一象限，所以點的坐標(biāo)為；（2）設(shè)，，由（1）可知，，，，所以，，，的重心為，則，即，則，所以能構(gòu)成等差數(shù)列，如圖，延長，交于點，，即，所以，，，兩式相減得，可得，即，所以直線的方程為，即，聯(lián)立，得，解得：或，即，,或，,所以分別是或，公差為或.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題的關(guān)鍵理解準(zhǔn)線方程，利用焦半徑的定義和公式，轉(zhuǎn)化為直線于橢圓的位置關(guān)系，通過聯(lián)立方程，點差法，轉(zhuǎn)化為交點問題.6．C【分析】設(shè)關(guān)于平分線的對稱點為Q，結(jié)合角平分線的性質(zhì)可得是正三角形，再運用橢圓定義求得，，根據(jù)三角形面積公式求的面積即可.【詳解】設(shè)橢圓的長半軸為，則設(shè)關(guān)于平分線的對稱點為Q，由橢圓對稱性及角平分線性質(zhì)可知P，，Q三點共線且又因為，所以是正三角形，設(shè)，由橢圓定義可得，，又，所以，所以，即，，所以的面積.故選：C.7．是，證明見解析【分析】解法一，設(shè)出的方程為，和橢圓方程聯(lián)立，表示出兩點的坐標(biāo)，再表示出兩點坐標(biāo)，再把以為直徑的圓的方程表示出來，根據(jù)方程確定圓經(jīng)過的定點；解法二，設(shè)出兩點的坐標(biāo)，進而寫出直線和直線的方程，表示出兩點坐標(biāo)，再把以為直徑的圓的方程表示出來，根據(jù)方程確定圓經(jīng)過的定點.【詳解】以為直徑的圓經(jīng)過定點.

解法一：設(shè)直線的方程為，聯(lián)立方程組，解得，，由三點共線得，即，同理，故以為直徑的圓為，即，令，得，所以以為直徑的圓過定點和.解法二：設(shè)，則，且，即，因為，所以直線的方程為，所以，直線的方程為，所以，以為直徑的圓，圓心坐標(biāo)為，半徑為，則圓的方程為：，因為，所以，令，則，解得所以以為直徑的圓過定點和.8．(1)(2)【分析】（1）C經(jīng)過E的焦點及點D在C上，列方程組求出，可求E的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)直線方程，與橢圓和圓聯(lián)立方程組，求兩點坐標(biāo)，表示出，利用基本不等式求取最小值時參數(shù)的值，得的方程.【詳解】（1）依題意得，由，得，代入的方程中，得，①又經(jīng)過的焦點，得，即，②由①②解得所以的方程為.（2）解法一：依題意，設(shè)l的方程為，，則有，，由l與C相切，得，即，又，兩式相減得，有，，則直線的方程為，聯(lián)立方程組，解得，中，，當(dāng)最大時，最大，，由，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，得，即的最大值為，此時，，故l的方程為.解法二：依題意，設(shè)l的方程為，，聯(lián)立方程組，化簡得，由，得，，聯(lián)立方程組，化簡得，由，得，，，又，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，則，當(dāng)最大時，，故l的方程為.【點睛】方法點睛：解答直線與圓錐曲線的題目時，時常把兩個曲線的方程聯(lián)立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根與系數(shù)的關(guān)系，并結(jié)合題設(shè)條件建立有關(guān)參變量的等量關(guān)系，要強化有關(guān)直線與圓錐曲線聯(lián)立得出一元二次方程后的運算能力，重視根與系數(shù)之間的關(guān)系、弦長、斜率、三角形的面積等問題．9．(Ⅰ)，；(Ⅱ)見解析.【分析】(Ⅰ)由題意結(jié)合點的坐標(biāo)可得拋物線方程，進一步可得準(zhǔn)線方程；(Ⅱ)聯(lián)立準(zhǔn)線方程和拋物線方程，結(jié)合韋達(dá)定理可得圓心坐標(biāo)和圓的半徑，從而確定圓的方程，最后令x=0即可證得題中的結(jié)論.【詳解】(Ⅰ)將點代入拋物線方程：可得：，故拋物線方程為：，其準(zhǔn)線方程為：.(Ⅱ)很明顯直線的斜率存在，焦點坐標(biāo)為，設(shè)直線方程為，與拋物線方程聯(lián)立可得：.故：.設(shè)，則，直線的方程為，與聯(lián)立可得：，同理可得，易知以AB為直徑的圓的圓心坐標(biāo)為：，圓的半徑為：，且：，，則圓的方程為：，令整理可得：，解得：，即以AB為直徑的圓經(jīng)過y軸上的兩個定點.【點睛】本題主要考查拋物線方程的求解與準(zhǔn)線方程的確定，直線與拋物線的位置關(guān)系，圓的方程的求解及其應(yīng)用等知識，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計算求解能力.10．(1)(2)【分析】（1）根據(jù)條件求出，寫出橢圓方程；（2）設(shè)，代入橢圓方程求得AB中點的坐標(biāo)，寫出的方程，代入得到的關(guān)系，再代入求得的取值范圍.【詳解】（1）根據(jù)題意得:，∴，∴∴，∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）根據(jù)題意得:的中垂線過點，由,化簡得:，，設(shè)，，，的中點，，∴的中垂線方程為:，代入點的坐標(biāo)得:，故，代入且.【點睛】關(guān)鍵點點睛：求參數(shù)