考研數(shù)學(xué)二(二次型)模擬試卷7(題后含答案及解析)

考研數(shù)學(xué)二（二次型）模擬試卷7(題后含答案及解析)題型有：1.選擇題2.填空題3.解答題選擇題下列每題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)符合題目要求。1．二次型χTAχ正定的充要條件是A．負(fù)慣性指數(shù)為零．B．存在可逆矩陣P，使P-1AP＝E．C．A的特征值全大于零．D．存在凡階矩陣C，使A＝CTC．正確答案：C涉及知識(shí)點(diǎn)：二次型2．設(shè)二次型f(χ1，χ2，χ3)＝XTAX，已知r(A)＝2，并且A滿足A2－2A＝0．則下列各標(biāo)準(zhǔn)二次型中可用正交變換化為廠的是()．(1)2y12＋2y22(2)2y12．(3)2y12＋2y32(4)2y22＋2y32．A．(1)．B．(3)，(4)．C．(1)，(3)，(4)．D．(2)．正確答案：C涉及知識(shí)點(diǎn)：二次型3．設(shè)則A．A與B既合同又相似．B．A與B合同但不相似．C．A與B不合同但相似．D．A與B既不合同又不相似．正確答案：A涉及知識(shí)點(diǎn)：二次型4．設(shè)則A．A與B既合同又相似．B．A與B合同但不相似．C．A與B不合同但相似．D．A與B既不合同又不相似．正確答案：B涉及知識(shí)點(diǎn)：二次型5．A＝，則()中矩陣在實(shí)數(shù)域上與A合同．A．B．C．D．正確答案：D涉及知識(shí)點(diǎn)：二次型填空題6．已知二次型f(χ1，χ2，χ3)＝χ12＋χ22＋cχ32＋2aχ1χ2＋2χ1χ3經(jīng)正交變換化為標(biāo)準(zhǔn)形y12＋2y32，則a＝_______．正確答案：0．涉及知識(shí)點(diǎn)：二次型7．設(shè)三元二次型χ12＋χ22＋5χ32＋2tχ1χ2－2χ1χ3＋4χ2χ3是正定二次型，則t∈_______．正確答案：(－，0)．涉及知識(shí)點(diǎn)：二次型8．已知A＝，矩陣B＝A＋kE正定，則k的取值為_(kāi)______．正確答案：＞0．涉及知識(shí)點(diǎn)：二次型解答題解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。9．二次型f(χ1，χ2，χ3)＝aχ12＋aχ22＋(a－1)χ32＋2χ1χ3－2χ2χ3．①求f(χ1，χ2，χ3)的矩陣的特征值．②如果f(χ1，χ2，χ3)的規(guī)范形為y12＋y22，求a．正確答案：①f(χ1，χ2，χ3)的矩陣為A＝記B＝則A＝B＋aE．求出B的特征多項(xiàng)式｜λE－B｜＝λ3＋λ2－2λ＝λ(λ＋2)(λ－1)，B的特征值為－2，0，1，于是A的特征值為a－2，a，a＋1．②因?yàn)閒(χ1，χ2，χ3)的規(guī)范形為y12＋y22時(shí)，所以A的正慣性指數(shù)為2，負(fù)慣性指數(shù)為0，于是A的特征值2個(gè)正，1個(gè)0，因此a＝2．涉及知識(shí)點(diǎn)：二次型10．a(chǎn)為什么數(shù)時(shí)二次型χ12＋3χ22＋2χ32＋2aχ2χ3可用可逆線性變量替換化為2y12－3y22＋5y32?正確答案：就是看a為什么數(shù)時(shí)它們的矩陣合同．寫(xiě)出這兩個(gè)二次型的矩陣B的特征值是2正1負(fù)．又看出1是A的特征值，于是A的另兩個(gè)特征值應(yīng)該1正1負(fù)，即｜A｜＜0．求得｜A｜＝6－a2，于是a滿足的條件應(yīng)該為：a＜－或a＞．涉及知識(shí)點(diǎn)：二次型11．已知A是正定矩陣，證明｜A＋E｜＞1．正確答案：設(shè)A的特征值為λ，λ，…，λ，則A＋E的特征值為λ1＋1，λ2＋1，…，λn＋1．因?yàn)锳正定，所以λ＞0，λ＋1＞1(i＝1，2，…，n)．于是｜A＋E｜＝(λ1＋1)(λ2＋1)…(λn＋1)＞1．涉及知識(shí)點(diǎn)：二次型12．已知二次型f(χ1，χ2，χ3)＝χ12＋4χ22＋4χ32＋2λχ1χ2－2χ1χ3＋4χ2χ3．當(dāng)λ滿足什么條件時(shí)f(χ1，χ2，χ3)正定?正確答案：用順序主子式．此二次型的矩陣A＝它的順序主子式的值依次為1，4－λ2，4(2－λ－λ2)．于是，λ應(yīng)滿足條件4－λ2＞0，2－λ－λ2＞0，解出A∈(－2，1)時(shí)二次型正定．涉及知識(shí)點(diǎn)：二次型13．已知二次型f(χ1，χ2，…，χn)＝(χ1＋a1χ2)＋(χ＋aχ)2＋…＋(χn＋anχ1)2．a(chǎn)1，a2，…，an滿足什么條件時(shí)f(χ1，χ2，…，χn)正定?正確答案：記y1＝χ1＋a1χ2，y2＝χ2＋a2χ3，…，yn＝χn＋anχ1，則簡(jiǎn)記為Y＝AX．則f(χ1，χ2，…，χn)＝Y(jié)TY＝XTATAX．于是，實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣ATA就是f(χ1，χ2，…，χn)的矩陣．從而f正定就是ATA正定．ATA正定的充要條件是A可逆．計(jì)算出｜A｜＝1＋(－1)n-1a1a2…an．于是，f正定的充要條件為a1a2…an≠(－1)n．涉及知識(shí)點(diǎn)：二次型14．設(shè)A＝，B＝(A＋kE)2．(1)求作對(duì)角矩陣D，使得B～D．(2)實(shí)數(shù)k滿足什么條件時(shí)B正定?正確答案：(1)A是實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣，它可相似對(duì)角化，從而B(niǎo)也可相似對(duì)角化，并且以B的特征值為對(duì)角線上元素的對(duì)角矩陣和B相似．求B的特征值：｜λE－A｜＝λ(λ－2)2，A的特征值為0，2，2，于是B的特征值為k2和(k＋2)2，(k＋2)2．令D＝則B～D．(2)當(dāng)k為≠0和－2的實(shí)數(shù)時(shí)，B是實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣，并且特征值都大于0，從而此時(shí)B正定．涉及知識(shí)點(diǎn)：二次型15．設(shè)A和B都是m×n實(shí)矩陣，滿足r(A＋B)＝n，證明ATA＋BTB正定．正確答案：顯然ATA，BTB都是n階的實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣，從而ATA＋BTB也是n階實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣．由于r(A＋B)＝n，n元齊次線性方程組(A＋B)X＝0沒(méi)有非零解．于是，當(dāng)α是一個(gè)非零n維實(shí)的列向量時(shí)，(A＋B)α≠0，因此Aα與Bα不會(huì)全是零向量，從而αT(ATA＋BTB)α＝αTATAα＋αTBTBα＝‖Aα‖2＋‖Bα‖2＞0．根據(jù)定義，ATA＋BTB正定．涉及知識(shí)點(diǎn)：二次型16．設(shè)A是3階實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣，滿足A2＋2A＝0，并且r(A)＝2．(1)求A的特征值．(2)當(dāng)實(shí)數(shù)k滿足什么條件時(shí)A＋kE正定?正確答案：(1)因?yàn)锳是實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣，所以A的特征值都是實(shí)數(shù)．假設(shè)A是A的一個(gè)特征值，則λ2＋2λ是A2＋2A的特征值．而A2＋2A＝0，因此λ2＋2λ＝0，故λ＝0或－2．又因?yàn)閞(A－0E)＝r(A)＝2，特征值0的重?cái)?shù)為3－r(A－0E)＝1，所以－2是A的二重特征值．A的特征值為0，－2，－2．(2)A＋kE的特征值為k，k－2，k－2．于是當(dāng)k＞2時(shí)，實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣A＋kE的特征值全大于0，從而A＋kE是正定矩陣．當(dāng)k≤2時(shí)，A＋kE的特征值不全大于0，此時(shí)A＋kE不正定．涉及知識(shí)點(diǎn)：二次型17．設(shè)A，B是兩個(gè)n階實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣，并且A正定．證明：(1)存在可逆矩陣P，使得PTAP，PTBP都是對(duì)角矩陣；(2)當(dāng)｜ε｜充分小時(shí)，A＋εB仍是正定矩陣．正確答案：(1)因?yàn)锳正定，所以存在實(shí)可逆矩陣P1，使得p1TAP1＝E．作B1＝P1TBP1，則B1仍是實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣，從而存在正交矩陣Q，使得QTB1Q是對(duì)角矩陣．令P＝P1Q，則PTAP＝QTP1TAP1Q＝E，PTBP＝QTP1TBP1Q＝QTB1Q．因此P即所求．(2)設(shè)對(duì)(1)中求得的可逆矩陣P，對(duì)角矩陣PTBP對(duì)角線上的元素依次為λ1，λ3，…，λn，記M＝max{｜λ1｜，｜λ2｜，…，｜λn｜}．則當(dāng)｜ε｜＜1／M時(shí)，E＋εPTBP仍是實(shí)對(duì)角矩陣，且對(duì)角線上元素1＋ελi＞0，i＝1，2，…，n．于是E＋εPTBP正定，PT(A＋εB)P＝E＋εPTBP，因此A＋εB也正定．涉及知識(shí)點(diǎn)：二次型18．設(shè)C＝，其中A，B分別是m，n階矩陣．證明C正定A，B都正定．正確答案：顯然C是實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣A，B都是實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣．｜λEm+n－C｜＝＝｜λEm－A｜｜λEn－B｜于是A，B的特征值合起來(lái)就是C的特征值．如果C正定，則C的特征值都大于0，從而A，B的特征值都大于0，A，B都正定．反之，如果A，B都正定，則A，B的特征值都大于0，從而C的特征值都大于0，C正定．涉及知識(shí)點(diǎn)：二次型19．設(shè)D＝是正定矩陣，其中A，B分別是m，n階矩陣．記P＝(1)求PTDP．(2)證明B－CTA-1C正定．正確答案：(1)pT)DP＝(2)因?yàn)镈為正定矩陣，P是實(shí)可逆矩陣，所以PTDP正定．于是由上例的結(jié)果，得R－CTA-1C正定．涉及知識(shí)點(diǎn)：二次型20．二次型f(χ1，χ2，χ3)＝XTAX在正交變換X＝QY下化為y12＋y22，Q的第3列為①求A．②證明A＋E是正定矩陣．正確答案：①條件說(shuō)明Q-1AQ＝QTAQ＝于是A的特征值為1，1，0，并且Q的第3列＝(1，0，1)T是A的特征值為。的特征向量．記α1＝(1，0，1)T，它也是A的特征值為0的特征向量．A是實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣，它的屬于特征值1的特征向量都和α1正交，即是方程式χ1＋χ3＝0的非零解．α2＝(1，0，－1)T，α3＝(0，1，0)T是此方程式的基礎(chǔ)解系，它們是A的特征值為1的兩個(gè)特征向量．建立矩陣方程A(α1，α2，α3)＝(0，α2，α3)，兩邊做轉(zhuǎn)置，得解此矩陣方程②A＋E也是實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣，特征值為2，2，1，因此是正定矩陣．涉及知識(shí)點(diǎn)：二次型21．證明對(duì)于任何m×n實(shí)矩陣A，ATA的負(fù)慣性指數(shù)為0．如果A秩為n，則ATA是正定矩陣．正確答案：設(shè)λ是A的一個(gè)特征值，η是屬于它的一個(gè)特征向量，即有ATAη＝λη，于是ηTATAη＝ληTη，即(Aη，Aη)＝λ(η，η)．則λ＝(Aη，Aη)／(η，η)≥0．如果A秩為n，則AX＝0沒(méi)有非零解，從而Aη≠0，(Aη，Aη)＞0，因此λ＝(Aη，Aη)／(η，η)＞0．涉及知識(shí)點(diǎn)：二次型22．如果A正定，則Ak，A-1，A*也都正定．正確答案：從特征值看．設(shè)A的特征值為λ1，λ2，…，λn．λi＞0，i＝1，2，…，n．則Ak的特征值為λ1k，λ2k，…，λnk．λik＞0，i＝1，2，…，n．設(shè)A-1的特征值為λ1-1，λ2-1，…，λn-1．λi-1＞0，i＝1，2，…，n．設(shè)A*的特征值為｜A｜／λ1，｜A｜／λ2，…，｜A｜／λn．｜A｜／λi＞0，i＝1，2，…，n．涉及知識(shí)點(diǎn)：二次型23．設(shè)A是正定矩陣，B是實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣，證明AB相似于對(duì)角矩陣．正確答案：A是正定矩陣，存在可逆實(shí)矩陣C，使得A＝CCT，則AB＝CCTB．于是C-1ABC＝C-1CCTBC＝CTBC．即AB相似于CTBC．而CTBC是實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣，相似于對(duì)角矩陣．由相似的傳遞性，AB也相似于對(duì)角矩陣．