第一節(jié)剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)

第一章連續(xù)體力學(xué)

continousmediummechanics1、連續(xù)體2、連續(xù)體力學(xué)固體、液體、氣體統(tǒng)稱不考慮物質(zhì)的離散性質(zhì)把物質(zhì)當(dāng)作是均勻分布在一定空間區(qū)域里從宏觀上研究連續(xù)體的運(yùn)動(dòng)規(guī)律及力學(xué)性質(zhì)剛體運(yùn)動(dòng)的描述力矩剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定理定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的動(dòng)能動(dòng)能定理第一節(jié)剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的角動(dòng)量定理剛體上的任一直線，在各時(shí)刻的位置始終保持彼止平行的運(yùn)動(dòng)，叫做平動(dòng)。

在任何外力作用下，形狀大小均不發(fā)生改變的物體稱為剛體。或者說運(yùn)動(dòng)中物體上任二點(diǎn)的間距不變。1.理想模型；§1.1.1剛體的運(yùn)動(dòng)一、剛體

2.在外力作用下，任意兩點(diǎn)間均不發(fā)生相對(duì)位移；

3.內(nèi)力對(duì)剛體運(yùn)動(dòng)不起作用。二、剛體的平動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng)1.剛體平動(dòng)

因?yàn)樵谄絼?dòng)時(shí)剛體上各點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡、各時(shí)刻的位移、速度、加速度都相同，整個(gè)剛體可當(dāng)作質(zhì)點(diǎn)來處理。AB剛體的平動(dòng)質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，用線量如坐標(biāo)、速度、加速度描述。用角量如角位移、角速度、角加速度來描述剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)。定軸轉(zhuǎn)動(dòng):若軸線固定不動(dòng)，則稱定軸轉(zhuǎn)動(dòng)

2.剛體轉(zhuǎn)動(dòng)如果剛體上所有點(diǎn)都繞同一直線作圓周運(yùn)動(dòng)。

剛體的一般運(yùn)動(dòng)可視為平動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng)的合成運(yùn)動(dòng)。滾動(dòng)—軸心的平動(dòng)+繞軸心的轉(zhuǎn)動(dòng)拋體—質(zhì)心的拋物線運(yùn)動(dòng)+繞質(zhì)心的轉(zhuǎn)動(dòng)描述剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的物理量1.角坐標(biāo)，角位移yxOP(t)P(t+dt)

d

運(yùn)動(dòng)方程：角坐標(biāo)

：位矢與ox

軸夾角。角位移d

：dt

時(shí)間內(nèi)角位置增量。1、剛體上各質(zhì)點(diǎn)的角位移，角速度和角加速度均相同；定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的特點(diǎn)：1、剛體上各質(zhì)點(diǎn)的角位移，角速度和角加速度均相同；2、各質(zhì)點(diǎn)都在垂直轉(zhuǎn)軸的平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)，且作圓周運(yùn)動(dòng)。圓心在轉(zhuǎn)軸上。轉(zhuǎn)動(dòng)平面定軸轉(zhuǎn)動(dòng)只有兩個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)方向。規(guī)定：位矢從ox

軸逆時(shí)針方向轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)角位置

為正，反之，為負(fù)。1、剛體轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度和角加速度三、角量與線量的關(guān)系P*O角坐標(biāo):角位移:角速度:單位：rad

·s-1平均角速度:單位：rad角速度的方向：與剛體轉(zhuǎn)動(dòng)方向呈右手螺旋關(guān)系。<0

0>

約定沿逆時(shí)針方向轉(zhuǎn)動(dòng)沿順時(shí)針方向轉(zhuǎn)動(dòng)在定軸轉(zhuǎn)動(dòng)中，角速度的方向沿轉(zhuǎn)軸方向。β為恒量時(shí)，剛體做勻變速轉(zhuǎn)動(dòng).角加速度平均角加速度方向：？1）每一質(zhì)點(diǎn)均作圓周運(yùn)動(dòng)，圓面為轉(zhuǎn)動(dòng)平面；定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的特點(diǎn)

2）任一質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)均相同，但不同；3）運(yùn)動(dòng)描述僅需一個(gè)坐標(biāo).2、角量與線量的關(guān)系角量和線量之間可通過半徑r聯(lián)系起來。方向垂直于和組成的平面yx0△

△s

剛體繞定軸作勻變速轉(zhuǎn)動(dòng)質(zhì)點(diǎn)勻變速直線運(yùn)動(dòng)剛體勻變速轉(zhuǎn)動(dòng)與質(zhì)點(diǎn)勻變速直線運(yùn)動(dòng)公式對(duì)比例1、一半徑為R的飛輪以角加速度β作勻變速轉(zhuǎn)動(dòng)，t=0時(shí)，飛輪的角速度為ω0，角坐標(biāo)為

0.求解：⑴ω0⑴飛輪的角速度與角坐標(biāo)；

⑵在飛輪邊緣上一點(diǎn)的速度、切向加速度和法向加速度。⑵時(shí)刻t在飛輪邊緣上一點(diǎn)的速度為切向加速度和法向加速度分別為哪個(gè)力容易將門關(guān)好？§1.1.2剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定理一、力矩(對(duì)于力在垂直于轉(zhuǎn)軸的平面的情況)

力矩的表示式：大小：方向：注意：?jiǎn)挝唬篘·m

一、力矩(對(duì)于力在垂直于轉(zhuǎn)軸的平面的情況)

1、定義：轉(zhuǎn)軸到力的作用點(diǎn)的矢徑與作用力的叉積。2、注意：①合力矩≠合力的力矩

F1F2

轉(zhuǎn)軸（F1=F2）合力矩為零，合力不一定為零F1F2力矩合力③中心力（過轉(zhuǎn)軸的力）的力矩≡0。2、注意：①合力矩≠合力的力矩合力矩=力矩的和(矢量和）（對(duì)定軸轉(zhuǎn)動(dòng)而言為代數(shù)和）

2、注意：①合力矩≠合力的力矩合力矩=力矩的和(矢量和）（對(duì)定軸轉(zhuǎn)動(dòng)而言為代數(shù)和）

②合力為零，合力矩不一定為零問：一對(duì)作用力與反作用力的力矩和等于多少？零由此推知：質(zhì)點(diǎn)組對(duì)任一軸的內(nèi)力矩之和為零。④當(dāng)力不在垂直于轉(zhuǎn)軸的平面內(nèi)，只有對(duì)轉(zhuǎn)軸力矩有貢獻(xiàn)。問題：與轉(zhuǎn)軸垂直但通過轉(zhuǎn)軸的力對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)不產(chǎn)生力矩；(為什么?)與轉(zhuǎn)軸平行的力對(duì)轉(zhuǎn)軸不產(chǎn)生力矩；(為什么?)剛體內(nèi)各質(zhì)點(diǎn)間內(nèi)力對(duì)轉(zhuǎn)軸不產(chǎn)生力矩。(為什么?)二、轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能轉(zhuǎn)動(dòng)慣量剛體轉(zhuǎn)動(dòng)角速度，各質(zhì)點(diǎn)到轉(zhuǎn)軸的距離分別為據(jù)剛體轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能：1、轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能2、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量與質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的動(dòng)能比較：定義J為轉(zhuǎn)動(dòng)慣量：剛體轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能：物理意義：轉(zhuǎn)動(dòng)慣性的量度.轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的影響因素：剛體質(zhì)量轉(zhuǎn)動(dòng)慣量與質(zhì)量分布（剛體形狀、大小及各部分密度）有關(guān)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量與轉(zhuǎn)軸位置有關(guān)質(zhì)量離散分布的物體:轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的計(jì)算例如圖可視為質(zhì)點(diǎn)質(zhì)量連續(xù)分布的物體線積分面積分體積分哪種握法轉(zhuǎn)動(dòng)慣量大？例2、有一均勻細(xì)桿，桿長(zhǎng)為

l

，質(zhì)量為m，c為桿的中點(diǎn)。設(shè)轉(zhuǎn)軸oo’

通過c點(diǎn)且與桿垂直，桿繞軸轉(zhuǎn)動(dòng)，求轉(zhuǎn)動(dòng)慣量Jc=？解：取x軸方向如圖，桿的線密度為

=m/l

，取小質(zhì)元dm=dx

，則0xo

’odxc若將轉(zhuǎn)軸移到A點(diǎn)，求JA=？仍有小質(zhì)元dm=

dx，（

=m/l）xo

’xdxAoc0xo

’oxc0xo

’oxdxc可見轉(zhuǎn)軸不同，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量是不同的。那么將轉(zhuǎn)軸從c點(diǎn)平行移到A點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量改變了多少？移項(xiàng)得：

JA=JC+md

2xo

’xdxAocdd是轉(zhuǎn)軸oo’到質(zhì)心的距離。例3、求質(zhì)量為m，半徑為R的薄圓盤對(duì)過圓心垂直于盤面的轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。解：圓盤的面密度為

=m/(R2)

注意：轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的計(jì)算只能對(duì)規(guī)則物體進(jìn)行，不規(guī)則的物體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量通常只能用實(shí)驗(yàn)的方法測(cè)量。軸即圓盤對(duì)其中心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為J=mR2/2

。rdr解：圓盤的面密度為

=m/(R2)

取一半徑為

r，寬為dr

的圓環(huán)為質(zhì)元

dm=2rdr竿子長(zhǎng)些還是短些較安全？飛輪的質(zhì)量為什么大都分布于外輪緣？圓環(huán)轉(zhuǎn)軸通過中心與環(huán)面垂直圓環(huán)轉(zhuǎn)軸沿直徑圓盤轉(zhuǎn)軸通過中心與盤面垂直圓筒轉(zhuǎn)軸沿幾何軸圓柱體轉(zhuǎn)軸沿幾何軸圓柱體轉(zhuǎn)軸過中心與幾何軸相垂細(xì)棒轉(zhuǎn)軸過中心與棒相垂細(xì)棒轉(zhuǎn)軸過端點(diǎn)與棒相垂球體轉(zhuǎn)軸沿直徑球殼轉(zhuǎn)軸沿直徑幾種常用簡(jiǎn)單幾何形狀、密度均勻物體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量設(shè)一剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)，某質(zhì)元受內(nèi)力和外力作用矢量式：法向式：切向式：轉(zhuǎn)軸以乘切向式兩端：3、定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定理靜止剛體在力的作用下，如果力矩不等于零，將轉(zhuǎn)動(dòng)，角加速度與力矩的有什么關(guān)系？角加速度與力矩的關(guān)系？將乘后的切向式求和得：剛體所受的合外力矩：（內(nèi)力不改變角動(dòng)量）轉(zhuǎn)動(dòng)定律注意：（1）M,J,

均對(duì)同一軸而言，（2）改變剛體轉(zhuǎn)動(dòng)狀態(tài)的是力矩；（3）轉(zhuǎn)動(dòng)慣量是剛體轉(zhuǎn)動(dòng)慣性的度量?；騽傮w定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角加速度與它所受的合外力矩成正比

，與剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量成反比,角加速度的方向與合外力的方向相同.—?jiǎng)傮w的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定理與牛頓第二定律比較：牛頓第二定律與轉(zhuǎn)動(dòng)定律的對(duì)應(yīng)關(guān)系物理量：質(zhì)點(diǎn)m

剛體JM規(guī)律：質(zhì)點(diǎn)牛頓第二定律

剛體轉(zhuǎn)動(dòng)定律不一定問：力矩M大，是否

大？不一定

大，是否M大？（M大，

大，

的變化大。

可為0）（

大，并不代表它的變化大，有可能它的M=0，勻角速轉(zhuǎn)動(dòng)。）轉(zhuǎn)動(dòng)定律的應(yīng)用基本步驟隔離法選擇研究對(duì)象；受力分析和運(yùn)動(dòng)情況分析；對(duì)質(zhì)點(diǎn)用牛頓定理，對(duì)剛體用轉(zhuǎn)動(dòng)定理；建立角量與線量的關(guān)系，求解方程；例4

如圖一輕繩跨過一固定在斜面頂端的定滑輪，斜面的傾角θ，滑輪為均質(zhì)元盤，繩的兩端分別連著一質(zhì)量為m1、m2的物體，m2>m1設(shè)滑輪的質(zhì)量為m半徑為R，設(shè)滑輪和軸無摩擦，繩子與滑輪間無相對(duì)滑動(dòng)m1與斜面的摩擦系數(shù)為μ.求物體的加速度和繩的張力。m2gT2m1gNfT1T'2T'1解:受力圖由牛頓第二定律和定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定理列方程由牛頓第二定律和定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定理列方程m2gT2得解m1gNfT1T'2T'1例5.一根輕繩跨過一定滑輪（滑輪視為圓盤），繩的兩端分別懸有質(zhì)量為m1和m2的物體，m1<m2，滑輪的質(zhì)量為

m

，半徑為R，所受的摩擦阻力矩為

r

，繩與滑輪間無相對(duì)滑動(dòng)。試求：物體的加速度和繩的張力。已知：m1，m2，m，R，

r求：.解:研究對(duì)象m1

，m2，m建立坐標(biāo)，受力分析如圖.對(duì)各隔離體寫出運(yùn)動(dòng)方程：對(duì)m1

：對(duì)m2：對(duì)m：

聯(lián)立求得：注意：當(dāng)不計(jì)滑輪的質(zhì)量及摩擦阻力時(shí)：這便是中學(xué)所熟知的結(jié)果問：如何求角加速度？根據(jù)可求得所以剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能:1、轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能剛體轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，各質(zhì)點(diǎn)都繞定軸作圓運(yùn)動(dòng)，都具有動(dòng)能。剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能就等于剛體中所有質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能之和。第i個(gè)質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能為

1/2

mivi2=1/2

miri2

2

則剛體總動(dòng)能為

與平動(dòng)動(dòng)能形式相同，量綱也相同，單位也相同。轉(zhuǎn)軸dm§

1.1.3剛體轉(zhuǎn)動(dòng)的功和能合外力對(duì)剛體所作的微功：（與互余）3、力矩的功§

1.1.3剛體轉(zhuǎn)動(dòng)的功和能路徑由a—b，力F做功為abdsFq2、變力對(duì)曲線運(yùn)動(dòng)的功當(dāng)剛體在F力作用下，從

1轉(zhuǎn)到

2時(shí)所作的功為：因?yàn)橥饬Φ墓σ簿褪峭饬氐墓?，所以有：轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能定理使用中應(yīng)注意：①Ek轉(zhuǎn)是相對(duì)量；②轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能定理的表達(dá)式為標(biāo)量式。③應(yīng)用該定理時(shí)只需分析始態(tài)與末態(tài)。合外力矩對(duì)繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的剛體所做的功等于它的轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能的增量。只有重力作功時(shí)，機(jī)械能守恒，即4、機(jī)械能守恒定律質(zhì)心轉(zhuǎn)軸例6.一質(zhì)量為m長(zhǎng)為L(zhǎng)的均勻細(xì)棒OA可繞通過其一端的光滑軸O在豎直平面內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng)，今使棒從水平位置開始自由下擺，求細(xì)棒擺到豎直位置時(shí)質(zhì)心C和端點(diǎn)A的線速度.解法一（1）研究對(duì)象：細(xì)棒受力分析：（不考慮）力矩零勢(shì)面用動(dòng)能定理作：=0方向：向左零勢(shì)面因解法二用機(jī)械能守恒：（剛體只有重力矩作功）零勢(shì)面回顧“剛體運(yùn)動(dòng)”中勻加速定軸轉(zhuǎn)動(dòng)公式

線量和角量的關(guān)系定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定律定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能定理若剛體轉(zhuǎn)動(dòng)過程中只有重力矩作功，則機(jī)械能守恒。常數(shù)=w+221JmghcO·rimivi

L1、角動(dòng)量

質(zhì)點(diǎn)以角速度作半徑為

的圓運(yùn)動(dòng)，相對(duì)圓心的角動(dòng)量方向右手定則，大小當(dāng)剛體做定軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，如圖§1.1.4剛體的角動(dòng)量定理剛體對(duì)定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量等于剛體中所有質(zhì)點(diǎn)對(duì)轉(zhuǎn)軸的角動(dòng)量之和：由剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)定律：z0

mi2、剛體的角動(dòng)量3、剛體的角動(dòng)量定律表明：剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量等于其轉(zhuǎn)動(dòng)慣量與角速度的乘積。剛體的角動(dòng)量定理——?jiǎng)傮w定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量守恒定律當(dāng)M=0時(shí)，即：剛體受外力矩為零時(shí)，動(dòng)量矩（角動(dòng)量）保持不變。4、剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量守恒定律外力矩的沖量矩=角動(dòng)量的增量。表明：剛體對(duì)某給定軸所受的合外力矩等于剛體對(duì)該軸的角動(dòng)量隨時(shí)間的變化率。ⅲ.推廣至人：人非剛體，只要滿足人所受的則人的角動(dòng)量也守恒。（2）使用中的幾種情況：

ⅰ.一個(gè)剛體（質(zhì)點(diǎn)）：J不變，不變，L

=恒量。注意守恒定律的使用（1）條件分析：，即力矩的和為零。ⅱ.幾個(gè)剛體（幾個(gè)質(zhì)點(diǎn)）：J變，變，不變。合力=0，合力矩不一定等于零。合力矩=0，合力不一定等于零。但例7、一根長(zhǎng)為l、質(zhì)量為m1

的均勻細(xì)棒，其一端掛在一個(gè)水平光滑軸上而靜止于豎直位置。今有一質(zhì)量為m2的子彈以水平速度v0

射入棒下端距軸高度為a

處如圖。子彈射入后嵌入其內(nèi)并與棒一起轉(zhuǎn)動(dòng)偏離鉛直位置30o

，求子彈水平速度v0

的大小？解：①對(duì)象：棒：剛體子彈：質(zhì)點(diǎn)②過程分析：第一階段：m2

與m1

碰撞第二階段：m1

+m

2

一起轉(zhuǎn)動(dòng)角動(dòng)量守恒：只有重力作功，故機(jī)械能守恒。am2m1③列