第一節(jié)剛體定軸轉(zhuǎn)動

第一章連續(xù)體力學(xué)

continousmediummechanics1、連續(xù)體2、連續(xù)體力學(xué)固體、液體、氣體統(tǒng)稱不考慮物質(zhì)的離散性質(zhì)把物質(zhì)當作是均勻分布在一定空間區(qū)域里從宏觀上研究連續(xù)體的運動規(guī)律及力學(xué)性質(zhì)剛體運動的描述力矩剛體定軸轉(zhuǎn)動定理定軸轉(zhuǎn)動剛體的動能動能定理第一節(jié)剛體的定軸轉(zhuǎn)動剛體的角動量定理剛體上的任一直線，在各時刻的位置始終保持彼止平行的運動，叫做平動。

在任何外力作用下，形狀大小均不發(fā)生改變的物體稱為剛體?；蛘哒f運動中物體上任二點的間距不變。1.理想模型；§1.1.1剛體的運動一、剛體

2.在外力作用下，任意兩點間均不發(fā)生相對位移；

3.內(nèi)力對剛體運動不起作用。二、剛體的平動和轉(zhuǎn)動1.剛體平動

因為在平動時剛體上各點的運動軌跡、各時刻的位移、速度、加速度都相同，整個剛體可當作質(zhì)點來處理。AB剛體的平動質(zhì)點運動，用線量如坐標、速度、加速度描述。用角量如角位移、角速度、角加速度來描述剛體的定軸轉(zhuǎn)動。定軸轉(zhuǎn)動:若軸線固定不動，則稱定軸轉(zhuǎn)動

2.剛體轉(zhuǎn)動如果剛體上所有點都繞同一直線作圓周運動。

剛體的一般運動可視為平動和轉(zhuǎn)動的合成運動。滾動—軸心的平動+繞軸心的轉(zhuǎn)動拋體—質(zhì)心的拋物線運動+繞質(zhì)心的轉(zhuǎn)動描述剛體定軸轉(zhuǎn)動的物理量1.角坐標，角位移yxOP(t)P(t+dt)

d

運動方程：角坐標

：位矢與ox

軸夾角。角位移d

：dt

時間內(nèi)角位置增量。1、剛體上各質(zhì)點的角位移，角速度和角加速度均相同；定軸轉(zhuǎn)動剛體定軸轉(zhuǎn)動的特點：1、剛體上各質(zhì)點的角位移，角速度和角加速度均相同；2、各質(zhì)點都在垂直轉(zhuǎn)軸的平面內(nèi)運動，且作圓周運動。圓心在轉(zhuǎn)軸上。轉(zhuǎn)動平面定軸轉(zhuǎn)動只有兩個轉(zhuǎn)動方向。規(guī)定：位矢從ox

軸逆時針方向轉(zhuǎn)動時角位置

為正，反之，為負。1、剛體轉(zhuǎn)動的角速度和角加速度三、角量與線量的關(guān)系P*O角坐標:角位移:角速度:單位：rad

·s-1平均角速度:單位：rad角速度的方向：與剛體轉(zhuǎn)動方向呈右手螺旋關(guān)系。<0

0>

約定沿逆時針方向轉(zhuǎn)動沿順時針方向轉(zhuǎn)動在定軸轉(zhuǎn)動中，角速度的方向沿轉(zhuǎn)軸方向。β為恒量時，剛體做勻變速轉(zhuǎn)動.角加速度平均角加速度方向：？1）每一質(zhì)點均作圓周運動，圓面為轉(zhuǎn)動平面；定軸轉(zhuǎn)動的特點

2）任一質(zhì)點運動均相同，但不同；3）運動描述僅需一個坐標.2、角量與線量的關(guān)系角量和線量之間可通過半徑r聯(lián)系起來。方向垂直于和組成的平面yx0△

△s

剛體繞定軸作勻變速轉(zhuǎn)動質(zhì)點勻變速直線運動剛體勻變速轉(zhuǎn)動與質(zhì)點勻變速直線運動公式對比例1、一半徑為R的飛輪以角加速度β作勻變速轉(zhuǎn)動，t=0時，飛輪的角速度為ω0，角坐標為

0.求解：⑴ω0⑴飛輪的角速度與角坐標；

⑵在飛輪邊緣上一點的速度、切向加速度和法向加速度。⑵時刻t在飛輪邊緣上一點的速度為切向加速度和法向加速度分別為哪個力容易將門關(guān)好？§1.1.2剛體定軸轉(zhuǎn)動定理一、力矩(對于力在垂直于轉(zhuǎn)軸的平面的情況)

力矩的表示式：大?。悍较颍鹤⒁猓簡挝唬篘·m

一、力矩(對于力在垂直于轉(zhuǎn)軸的平面的情況)

1、定義：轉(zhuǎn)軸到力的作用點的矢徑與作用力的叉積。2、注意：①合力矩≠合力的力矩

F1F2

轉(zhuǎn)軸（F1=F2）合力矩為零，合力不一定為零F1F2力矩合力③中心力（過轉(zhuǎn)軸的力）的力矩≡0。2、注意：①合力矩≠合力的力矩合力矩=力矩的和(矢量和）（對定軸轉(zhuǎn)動而言為代數(shù)和）

2、注意：①合力矩≠合力的力矩合力矩=力矩的和(矢量和）（對定軸轉(zhuǎn)動而言為代數(shù)和）

②合力為零，合力矩不一定為零問：一對作用力與反作用力的力矩和等于多少？零由此推知：質(zhì)點組對任一軸的內(nèi)力矩之和為零。④當力不在垂直于轉(zhuǎn)軸的平面內(nèi)，只有對轉(zhuǎn)軸力矩有貢獻。問題：與轉(zhuǎn)軸垂直但通過轉(zhuǎn)軸的力對轉(zhuǎn)動不產(chǎn)生力矩；(為什么?)與轉(zhuǎn)軸平行的力對轉(zhuǎn)軸不產(chǎn)生力矩；(為什么?)剛體內(nèi)各質(zhì)點間內(nèi)力對轉(zhuǎn)軸不產(chǎn)生力矩。(為什么?)二、轉(zhuǎn)動動能轉(zhuǎn)動慣量剛體轉(zhuǎn)動角速度，各質(zhì)點到轉(zhuǎn)軸的距離分別為據(jù)剛體轉(zhuǎn)動動能：1、轉(zhuǎn)動動能2、轉(zhuǎn)動慣量與質(zhì)點運動的動能比較：定義J為轉(zhuǎn)動慣量：剛體轉(zhuǎn)動動能：物理意義：轉(zhuǎn)動慣性的量度.轉(zhuǎn)動慣量的影響因素：剛體質(zhì)量轉(zhuǎn)動慣量與質(zhì)量分布（剛體形狀、大小及各部分密度）有關(guān)轉(zhuǎn)動慣量與轉(zhuǎn)軸位置有關(guān)質(zhì)量離散分布的物體:轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)動慣量的計算例如圖可視為質(zhì)點質(zhì)量連續(xù)分布的物體線積分面積分體積分哪種握法轉(zhuǎn)動慣量大？例2、有一均勻細桿，桿長為

l

，質(zhì)量為m，c為桿的中點。設(shè)轉(zhuǎn)軸oo’

通過c點且與桿垂直，桿繞軸轉(zhuǎn)動，求轉(zhuǎn)動慣量Jc=？解：取x軸方向如圖，桿的線密度為

=m/l

，取小質(zhì)元dm=dx

，則0xo

’odxc若將轉(zhuǎn)軸移到A點，求JA=？仍有小質(zhì)元dm=

dx，（

=m/l）xo

’xdxAoc0xo

’oxc0xo

’oxdxc可見轉(zhuǎn)軸不同，轉(zhuǎn)動慣量是不同的。那么將轉(zhuǎn)軸從c點平行移到A點轉(zhuǎn)動慣量改變了多少？移項得：

JA=JC+md

2xo

’xdxAocdd是轉(zhuǎn)軸oo’到質(zhì)心的距離。例3、求質(zhì)量為m，半徑為R的薄圓盤對過圓心垂直于盤面的轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量。解：圓盤的面密度為

=m/(R2)

注意：轉(zhuǎn)動慣量的計算只能對規(guī)則物體進行，不規(guī)則的物體的轉(zhuǎn)動慣量通常只能用實驗的方法測量。軸即圓盤對其中心軸的轉(zhuǎn)動慣量為J=mR2/2

。rdr解：圓盤的面密度為

=m/(R2)

取一半徑為

r，寬為dr

的圓環(huán)為質(zhì)元

dm=2rdr竿子長些還是短些較安全？飛輪的質(zhì)量為什么大都分布于外輪緣？圓環(huán)轉(zhuǎn)軸通過中心與環(huán)面垂直圓環(huán)轉(zhuǎn)軸沿直徑圓盤轉(zhuǎn)軸通過中心與盤面垂直圓筒轉(zhuǎn)軸沿幾何軸圓柱體轉(zhuǎn)軸沿幾何軸圓柱體轉(zhuǎn)軸過中心與幾何軸相垂細棒轉(zhuǎn)軸過中心與棒相垂細棒轉(zhuǎn)軸過端點與棒相垂球體轉(zhuǎn)軸沿直徑球殼轉(zhuǎn)軸沿直徑幾種常用簡單幾何形狀、密度均勻物體的轉(zhuǎn)動慣量設(shè)一剛體繞定軸轉(zhuǎn)動，某質(zhì)元受內(nèi)力和外力作用矢量式：法向式：切向式：轉(zhuǎn)軸以乘切向式兩端：3、定軸轉(zhuǎn)動定理靜止剛體在力的作用下，如果力矩不等于零，將轉(zhuǎn)動，角加速度與力矩的有什么關(guān)系？角加速度與力矩的關(guān)系？將乘后的切向式求和得：剛體所受的合外力矩：（內(nèi)力不改變角動量）轉(zhuǎn)動定律注意：（1）M,J,

均對同一軸而言，（2）改變剛體轉(zhuǎn)動狀態(tài)的是力矩；（3）轉(zhuǎn)動慣量是剛體轉(zhuǎn)動慣性的度量?；騽傮w定軸轉(zhuǎn)動的角加速度與它所受的合外力矩成正比

，與剛體的轉(zhuǎn)動慣量成反比,角加速度的方向與合外力的方向相同.—剛體的定軸轉(zhuǎn)動定理與牛頓第二定律比較：牛頓第二定律與轉(zhuǎn)動定律的對應(yīng)關(guān)系物理量：質(zhì)點m

剛體JM規(guī)律：質(zhì)點牛頓第二定律

剛體轉(zhuǎn)動定律不一定問：力矩M大，是否

大？不一定

大，是否M大？（M大，

大，

的變化大。

可為0）（

大，并不代表它的變化大，有可能它的M=0，勻角速轉(zhuǎn)動。）轉(zhuǎn)動定律的應(yīng)用基本步驟隔離法選擇研究對象；受力分析和運動情況分析；對質(zhì)點用牛頓定理，對剛體用轉(zhuǎn)動定理；建立角量與線量的關(guān)系，求解方程；例4

如圖一輕繩跨過一固定在斜面頂端的定滑輪，斜面的傾角θ，滑輪為均質(zhì)元盤，繩的兩端分別連著一質(zhì)量為m1、m2的物體，m2>m1設(shè)滑輪的質(zhì)量為m半徑為R，設(shè)滑輪和軸無摩擦，繩子與滑輪間無相對滑動m1與斜面的摩擦系數(shù)為μ.求物體的加速度和繩的張力。m2gT2m1gNfT1T'2T'1解:受力圖由牛頓第二定律和定軸轉(zhuǎn)動定理列方程由牛頓第二定律和定軸轉(zhuǎn)動定理列方程m2gT2得解m1gNfT1T'2T'1例5.一根輕繩跨過一定滑輪（滑輪視為圓盤），繩的兩端分別懸有質(zhì)量為m1和m2的物體，m1<m2，滑輪的質(zhì)量為

m

，半徑為R，所受的摩擦阻力矩為

r

，繩與滑輪間無相對滑動。試求：物體的加速度和繩的張力。已知：m1，m2，m，R，

r求：.解:研究對象m1

，m2，m建立坐標，受力分析如圖.對各隔離體寫出運動方程：對m1

：對m2：對m：

聯(lián)立求得：注意：當不計滑輪的質(zhì)量及摩擦阻力時：這便是中學(xué)所熟知的結(jié)果問：如何求角加速度？根據(jù)可求得所以剛體的轉(zhuǎn)動動能:1、轉(zhuǎn)動動能剛體轉(zhuǎn)動時，各質(zhì)點都繞定軸作圓運動，都具有動能。剛體的轉(zhuǎn)動動能就等于剛體中所有質(zhì)點的動能之和。第i個質(zhì)點的動能為

1/2

mivi2=1/2

miri2

2

則剛體總動能為

與平動動能形式相同，量綱也相同，單位也相同。轉(zhuǎn)軸dm§

1.1.3剛體轉(zhuǎn)動的功和能合外力對剛體所作的微功：（與互余）3、力矩的功§

1.1.3剛體轉(zhuǎn)動的功和能路徑由a—b，力F做功為abdsFq2、變力對曲線運動的功當剛體在F力作用下，從

1轉(zhuǎn)到

2時所作的功為：因為外力的功也就是外力矩的功，所以有：轉(zhuǎn)動動能定理使用中應(yīng)注意：①Ek轉(zhuǎn)是相對量；②轉(zhuǎn)動動能定理的表達式為標量式。③應(yīng)用該定理時只需分析始態(tài)與末態(tài)。合外力矩對繞定軸轉(zhuǎn)動的剛體所做的功等于它的轉(zhuǎn)動動能的增量。只有重力作功時，機械能守恒，即4、機械能守恒定律質(zhì)心轉(zhuǎn)軸例6.一質(zhì)量為m長為L的均勻細棒OA可繞通過其一端的光滑軸O在豎直平面內(nèi)轉(zhuǎn)動，今使棒從水平位置開始自由下擺，求細棒擺到豎直位置時質(zhì)心C和端點A的線速度.解法一（1）研究對象：細棒受力分析：（不考慮）力矩零勢面用動能定理作：=0方向：向左零勢面因解法二用機械能守恒：（剛體只有重力矩作功）零勢面回顧“剛體運動”中勻加速定軸轉(zhuǎn)動公式

線量和角量的關(guān)系定軸轉(zhuǎn)動定律定軸轉(zhuǎn)動的動能定理若剛體轉(zhuǎn)動過程中只有重力矩作功，則機械能守恒。常數(shù)=w+221JmghcO·rimivi

L1、角動量

質(zhì)點以角速度作半徑為

的圓運動，相對圓心的角動量方向右手定則，大小當剛體做定軸轉(zhuǎn)動時，如圖§1.1.4剛體的角動量定理剛體對定軸轉(zhuǎn)動的角動量等于剛體中所有質(zhì)點對轉(zhuǎn)軸的角動量之和：由剛體的轉(zhuǎn)動定律：z0

mi2、剛體的角動量3、剛體的角動量定律表明：剛體定軸轉(zhuǎn)動的角動量等于其轉(zhuǎn)動慣量與角速度的乘積。剛體的角動量定理——剛體定軸轉(zhuǎn)動的角動量守恒定律當M=0時，即：剛體受外力矩為零時，動量矩（角動量）保持不變。4、剛體定軸轉(zhuǎn)動的角動量守恒定律外力矩的沖量矩=角動量的增量。表明：剛體對某給定軸所受的合外力矩等于剛體對該軸的角動量隨時間的變化率。ⅲ.推廣至人：人非剛體，只要滿足人所受的則人的角動量也守恒。（2）使用中的幾種情況：

ⅰ.一個剛體（質(zhì)點）：J不變，不變，L

=恒量。注意守恒定律的使用（1）條件分析：，即力矩的和為零。ⅱ.幾個剛體（幾個質(zhì)點）：J變，變，不變。合力=0，合力矩不一定等于零。合力矩=0，合力不一定等于零。但例7、一根長為l、質(zhì)量為m1

的均勻細棒，其一端掛在一個水平光滑軸上而靜止于豎直位置。今有一質(zhì)量為m2的子彈以水平速度v0

射入棒下端距軸高度為a

處如圖。子彈射入后嵌入其內(nèi)并與棒一起轉(zhuǎn)動偏離鉛直位置30o

，求子彈水平速度v0

的大?。拷猓孩賹ο螅喊簦簞傮w子彈：質(zhì)點②過程分析：第一階段：m2

與m1

碰撞第二階段：m1

+m

2

一起轉(zhuǎn)動角動量守恒：只有重力作功，故機械能守恒。am2m1③列