數(shù)學(xué)選修1-1變化率與導(dǎo)數(shù)練習(xí)題含答案

數(shù)學(xué)選修1-1變化率與導(dǎo)數(shù)練習(xí)題含答案

學(xué)校：班級(jí)：姓名：考號(hào)：

1.已知某物體的運(yùn)動(dòng)曲線方程為：S=2t2-3t-l,則該物體在t=3時(shí)的速度為（）

A.8B.9C.10D.11

2.已知函數(shù)/（x）,當(dāng)自變量x由&增加到苑時(shí)，函數(shù)值的增量與自變量的增量的

比值為（）

A.函數(shù)在X。處的變化率

B.函數(shù)在區(qū)間[沏，X。+△x]上的平均變化率

C.函數(shù)在％）+△x處的變化率

D.函數(shù)在沏處的導(dǎo)數(shù)

3.當(dāng)自變量x足夠大時(shí)，下列函數(shù)中增長(zhǎng)速度最快的是（）

A.y=exB.y=InxC.y=x2D.y=2X

4.設(shè)/（x）是可導(dǎo)函數(shù)，且0”"。）喘。""）=2,尸（沏）=（）

A.-4B.?—1C.OD.-

2

5.函數(shù)/'（x）=|x|,在x=0處（）

A.無定義B.極限不存在C.不連續(xù)D.不可導(dǎo)

6.若f'Qo）=-3,則lim/8+八）》-3.等于（）

/1->0九

A.-3B.-6C.-9D.-12

7.設(shè)P為曲線C:y=/+2x+3上的點(diǎn)，且曲線C在點(diǎn)P處切線傾斜角的取值范圍是

[0,：,則點(diǎn)P橫坐標(biāo)的取值范圍是（）

11

B.[-l,0]C.[0,1]D.[-,1]

8.己知函數(shù)/（x）在R上可導(dǎo)，其部分圖象如圖所示，設(shè)華警=a,則下列不等式正

4—2

確的是（）

A.a</(2)<尸(4)B.尸(2)<a<尸(4)C./(4)<f'(2)<a

D.尸⑵<f'(4)<a

9.已知直線y=ax+2a與曲線y=ln(x+2)相切，則a的值為()

A.lB.2C.-D，4

ee2

10.水波的半徑以0.5m/s的速度向外擴(kuò)張，當(dāng)半徑為2.5小時(shí)，圓面積的膨脹率是(

A.7T7n2/sB.1.57im2/sC.27rm2/sD.2.5irm2/s

11.某物體其運(yùn)動(dòng)方程為s=2t3,則物體在第t=3秒時(shí)的瞬時(shí)速度是.

12.質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的速度。=(18t-3t2)m/s,則質(zhì)點(diǎn)由開始運(yùn)動(dòng)到停止運(yùn)動(dòng)所走過的路程

是.

13.一質(zhì)點(diǎn)沿直線運(yùn)動(dòng)，如果有始點(diǎn)起經(jīng)過t秒后的位移為S=gt3-|t2+2t,那么三

秒末的瞬時(shí)速度為

14.如圖，函數(shù)/(x)的圖象是折線段力BC,其中4,B,C的坐標(biāo)分別為(0,4),(2,0),

(6,4),KUlim

Ax

15.小。)=2,求，二o?翳3的值——

試卷第2頁，總26頁

16.給出定義：若函數(shù)/(久)在。上可導(dǎo)，即/'(%)存在，且導(dǎo)函數(shù)/'(%)在。上也可導(dǎo)，則

稱/(%)在。上存在二階導(dǎo)函數(shù)，記r'。)=(f(x))若尸(無)<0在。上恒成立，則稱

/。)在。上為凸函數(shù).以下四個(gè)函數(shù)在(0,今上不是凸函數(shù)的是.(把你認(rèn)為正

確的序號(hào)都填上)

①/(%)=sinx+cosx；

(2)/(%)=Inx—2%；

③f(%)=-x3+2r—1；

(4)/(%)=xex.

17.已知函/(x)是可導(dǎo)函數(shù)，且((a)=l,則」?1a卷絮等于

18.已知/(%)=logax(a>1)的導(dǎo)函數(shù)是/''(X),記4=/'(a),8="二［二①，C=

/'(a+l),則由導(dǎo)數(shù)的幾何意義和斜率公式可得4B,C的大小關(guān)系是.

19.函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)/'(x)在R上恒大于0,則對(duì)任意與，孫(修豐和)在R上‘區(qū))-'02)

的符號(hào)是(填"正"、"負(fù)")

20.某部戰(zhàn)士以如rn/s的初速度從地面豎直向上發(fā)射信號(hào)彈，ts后距地面的高度九小由

h(t)=%1-4.9戶表示，已知發(fā)射后5s時(shí)信號(hào)彈距地面245m,則信號(hào)彈的初速度北等

于m/s,信號(hào)彈在245nl以上所持續(xù)的時(shí)間為s.

21.已知函數(shù)/'(x)=合+1,

(1)求在區(qū)間［L2］上f(x)的平均變化率;

(2)求/(x)在x=1處的導(dǎo)數(shù).

22.(1)若/'(x+h)-/(x)=2八x+5h+F,用割線逼近切線的方法求/''(X)；22.

(2)若+九)一g(x)=3九/+3九2%+九3,用割線逼近切線的方法求g<%).

23.已知函數(shù)f(x)=2M+3,分別計(jì)算函數(shù)/(x)在下列區(qū)間上的平均變化率：

(1)［2,4］；

（2）[2,3]；

(3)[2,2.1]；

(4)[2,2.001].

24.根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，求函數(shù)y=-%2在x=1處的導(dǎo)數(shù).

25.一杯8CFC得熱紅茶置于20。。的房間里，它得溫度會(huì)逐漸下降，溫度T(單位。C)與

時(shí)間t(單位min)之間的關(guān)系由函數(shù)7=/(t)給出，請(qǐng)問

的符號(hào)是什么？為什么？

(2)/(3)=-4得實(shí)際意義是什么？如果/(3)=65(。。)，你能畫出函數(shù)在點(diǎn)t=3時(shí)圖象

得大致形狀嗎？

26.已知一次函數(shù)y=/(x)在區(qū)間［-2,6］上的平均變化率為2,且函數(shù)圖象過點(diǎn)(0,2),

試求此一次函數(shù)的表達(dá)式.

27.設(shè)函數(shù)/"(X)在x=1處存在導(dǎo)數(shù)為2,則如為空嘿嚴(yán)=.

28.

已知二次函數(shù)/(X)=ax2+版+c(c>0)的導(dǎo)函數(shù)的圖象如圖所示:

(1)求a,b的值；

(2)令g(%)=哈求〉=9(%)在［1,2］上的最大值.

29.設(shè)函數(shù)/(%)=9219(及，若該函數(shù)在實(shí)數(shù)集R上可導(dǎo)，求實(shí)數(shù)a、b的值和

(X+D(X>1)

該函數(shù)的最小值.

試卷第4頁，總26頁

30.子彈在槍膛中的運(yùn)動(dòng)可以看作是勻變速運(yùn)動(dòng)，其位移與時(shí)間t的關(guān)系是s=^at2,

如果它的加速度是a=5x105m/s2,子彈從槍口射出時(shí);所用的時(shí)間為曲=1.6x

10-3s,求子彈射出槍口時(shí)的瞬時(shí)速度.

31.設(shè)/'(%)在x=處可導(dǎo)，求極限「叫⑶.

XX~XQ

32.過函數(shù)y=3(%)=爐圖象上兩點(diǎn)P(l,1)和Q(1+△x,1+△y)作曲線的割線.

(1)求出當(dāng)△%=0.1時(shí)割線的斜率.

(2)求y=/(x)=/在%=%處的瞬時(shí)變化率.

33.一質(zhì)點(diǎn)作曲線運(yùn)動(dòng)，它的位移S與時(shí)間t的關(guān)系為：S=^+2t2,試用導(dǎo)數(shù)的定義

求t=3時(shí)的速度.

34.求曲線/(%)=%3-3/+2%過原點(diǎn)的切線方程.

35.若存在過點(diǎn)(1,0)的直線與曲線y=/和y=ax2+-9都相切，求實(shí)數(shù)a的值.

'sinax八

/，—7T<X<0

yl-cosx

36.設(shè)f㈤=b,x=0連續(xù)，求a,b.

§(In%—ln(%2+%),%>0

37.如果曲線y=x34-%-10的某一切線與直線y=4%+3平行，求切點(diǎn)坐標(biāo)與切線方

程.

38.航天飛機(jī)升空后一段時(shí)間內(nèi)，第ts時(shí)的高度九(。=5￡3+30/+45￡+4,其中無的

單位為?n,t的單位為s.

(1)h(0),h(l),h(2)分別表示什么？

(2)求第2s內(nèi)的平均速度;

(3)求第2s末的瞬時(shí)速度.

39.若曲線/(%)存在垂直于y軸的切線，且(。)=2/+3-20，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

40.已知函數(shù)/*(%)=/+(1—Q)%2—以。+2)%(。七R),^(x)=^-x是否處在實(shí)

63

數(shù)a,存在%iG[-1,1],x2e[0,2],使得+2axr=g(%2)成立?若存在，求出a

的取值范圍；若不存在，說明理由.

試卷第6頁，總26頁

參考答案與試題解析

數(shù)學(xué)選修1-1變化率與導(dǎo)數(shù)練習(xí)題含答案

一、選擇題(本題共計(jì)10小題，每題3分，共計(jì)30分)

1.

【答案】

B

【考點(diǎn)】

變化的快慢與變化率

【解析】

此類運(yùn)動(dòng)問題中瞬時(shí)速度問題的研究一般借助函數(shù)的導(dǎo)數(shù)求其某一時(shí)刻的瞬時(shí)速度，

解答本題可以先求質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程為s(t)=2t2-3t-1的導(dǎo)數(shù)，再求得t=3秒時(shí)的導(dǎo)

數(shù)，即可得到所求的瞬時(shí)速度

【解答】

解；質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程為s(t)=2t2-3t-l

s'(t)=4t-3

,1,該質(zhì)點(diǎn)在t=3秒的瞬時(shí)速度為4X3-3=9米/秒.

故選B.

2.

【答案】

B

【考點(diǎn)】

變化的快慢與變化率

【解析】

當(dāng)自變量從X。變到修時(shí)，函數(shù)值的增量與相應(yīng)自變量的增量之比是函數(shù)在區(qū)間

［x0,和+Ax］上的平均變化率.

【解答】

解：當(dāng)自變量從X。變到與時(shí)，

函數(shù)值的增量與相應(yīng)自變量的增量之比是函數(shù)在區(qū)間口0,X。+△X］上的平均變化率.

只有當(dāng)久0變到工1的變化量趨向于。時(shí)，

函數(shù)值的增量與相應(yīng)自變量的增量之比的極限值才是函數(shù)在區(qū)間［沏,%0+△X］上的導(dǎo)數(shù).

故選:B.

3.

【答案】

A

【考點(diǎn)】

變化的快慢與變化率

【解析】

直接根據(jù)基函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的增長(zhǎng)差異，得出結(jié)論.注意2個(gè)底數(shù)都大于1

的指數(shù)函數(shù)，底數(shù)較大的，增長(zhǎng)速度更快.

【解答】

解：由于y=ex是指數(shù)函數(shù)，y=lnx是對(duì)數(shù)函數(shù)，丫=必是幕函數(shù)，y=2、是指數(shù)函

數(shù)，

由于當(dāng)x足夠大時(shí)，指數(shù)函數(shù)的增長(zhǎng)速度最快，且2個(gè)指數(shù)函數(shù)的底數(shù)分別為e和2，且

e>2.

故增長(zhǎng)速度最快的是y=e，，

故選4.

4.

【答案】

A

【考點(diǎn)】

導(dǎo)數(shù)的概念

【解析】

由導(dǎo)數(shù)的概念知[。0)=_二/七產(chǎn)?由此結(jié)合題設(shè)條件能夠?qū)С鰪V(期))

的值.

【解答】

解.一_1Hm/(x0)-/(x0+Ax)_2

2—%T8-AX'

.f，(x)_lim“xJ-fg+Ax)__4

一八OJ——△x-8-AX

故選4.

5.

【答案】

D

【考點(diǎn)】

導(dǎo)數(shù)的概念

【解析】

由在x=0處左側(cè)的導(dǎo)數(shù)小于零，在％=0處右側(cè)的導(dǎo)數(shù)大于零，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義可知

在x=0處不可導(dǎo).

【解答】

解：當(dāng)x>0時(shí)，f(x)>0,當(dāng)x<0時(shí)，f(%)<0,根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義可知函數(shù)/(x)=

|x|,在x=0處導(dǎo)數(shù)不存在，

故選。.

6.

【答案】

D

【考點(diǎn)】

導(dǎo)數(shù)的概念

【解析】

根據(jù)limf(Xo+/i)-f(Xo-3h)_limr.f(Xo+4m)-f(x。)]_lim(f(Xo+4m)-f(Xo)、_

iJhT0h_h-?0L4^J-m-?0V4^)_

4r(&)，利用條件求得結(jié)果.

【解答】

解：???/(勺)=一3,

則limf(Ko+fi)-f(如-3h)_Hm14?/(No+W-fa。)]

h-?0hh->0L4h1

d(x0+4.)-"x

=4|im。))=4f'(x0')=4x(-3)=-12.

/l-?04”

故選8.

7.

試卷第8頁，總26頁

【答案】

A

【考點(diǎn)】

導(dǎo)數(shù)的幾何意義

【解析】

根據(jù)題意知，傾斜角的取值范圍，可以得到曲線C在點(diǎn)P處斜率的取值范圍，進(jìn)而得到

點(diǎn)P橫坐標(biāo)的取值范圍.

【解答】

解：設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為々，

y=x2+2x+3,

=

y'\x=x0+2，

利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義得2&+2=tana(a為點(diǎn)P處切線的傾斜角)，

又；ae[0,^],0<2x0+2<1,

?1?x0G[—1,-

故選：A.

8.

【答案】

B

【考點(diǎn)】

導(dǎo)數(shù)的幾何意義

【解析】

根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義結(jié)合題目所給圖象即可判斷.

【解答】

解：由圖象可知，函數(shù)在(0,+8)上增長(zhǎng)越來越快，故函的斜率越來越大，

...生&=如

4-2

f'(2)<a<尸(4).

故選B.

9.

【答案】

C

【考點(diǎn)】

導(dǎo)數(shù)的幾何意義

【解析】

此題暫無解析

【解答】

解：y'=京=見

解得x=Z—2,

a

??-2)+2Q=ln(~4-2—2),

解得a=3

e

故選c.

10.

【答案】

D

【考點(diǎn)】

變化的快慢與變化率

【解析】

根據(jù)水波的速度，寫出水波對(duì)于時(shí)間的函數(shù)表示式，求出導(dǎo)函數(shù)，計(jì)算水波半徑是2.5

時(shí)的時(shí)間，求出對(duì)應(yīng)的導(dǎo)數(shù)即可.

【解答】

解：水波的半徑以u(píng)=0.5m/s的速度向外擴(kuò)張，

則水波的面積為s=71r2=rr(vt)2=0.25nt2,

又水波面積的膨脹率為丁=0.5兀3

所以當(dāng)半徑為2.5m時(shí)，

此時(shí)s'=0.5TTx5=2.5TT,

即半徑為2.5M時(shí)，水波面積的膨脹率是2.57rm2/s.

故選D.

二、填空題(本題共計(jì)10小題，每題3分，共計(jì)30分)

11.

【答案】

54

【考點(diǎn)】

變化的快慢與變化率

【解析】

利用導(dǎo)數(shù)的物理意義即可得出.

【解答】

解：V=s'=6t2,

當(dāng)t=3時(shí)，v(3)=6x32=54.

故答案為：54.

12.

【答案】

108

【考點(diǎn)】

變化的快慢與變化率

【解析】

由速度為0求出t的值為0和6,求出速度函數(shù)在［0,6］上的定積分即可.

【解答】

由18t—3t2=0,得t=0或t=6.

當(dāng)te［0,6］時(shí)，質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的路程為S=J；(18t-3t2)dt=(9t2一/)傳=-63+9x

62=108；

13.

【答案】

2

【考點(diǎn)】

試卷第10頁，總26頁

變化的快慢與變化率

【解析】

根據(jù)題意，對(duì)S=：t3一|t2+2t進(jìn)行求導(dǎo)，然后令t=3代入即可得到答案.

【解答】

解：s=t3--112+2t,,5'=/—3t+2

當(dāng)t=3時(shí)，i;=s'=9-9+2=2

故答案為：2.

14.

【答案】

-2

【考點(diǎn)】

導(dǎo)數(shù)的幾何意義

導(dǎo)數(shù)的概念

【解析】

由導(dǎo)數(shù)和切線斜率的關(guān)系，求極限可得.

【解答】

解：由導(dǎo)數(shù)的概念和幾何意義，知lim地學(xué)^=:（1）=心B=工=一2.

故答案為：—2.

15.

【答案】

-1

【考點(diǎn)】

導(dǎo)數(shù)的概念

【解析】

先將limf（x°3）-“x。）化成工limf（x03）-f（x。），而尸（）=

△%T02AX、21%T0-AXJ

lim-T（x。）,從而求出所求.

△%T0fX

【解答】

板lim/（X-AX）-/（X）,ixlim/（X-AX）-/（X）I

解：.1一。~00=（一0△久—000=一鼻/（與）一一11

故答案為：—1

16.

【答案】

④

【考點(diǎn)】

導(dǎo)數(shù)的概念

【解析】

①由/'"（X）=-（sinx+cosx）且x6（0,1）時(shí),f"（x）＜0恒成立；符合定義

對(duì)于②，（'。）=一點(diǎn)'且在x6（0（）時(shí)，/口）＜0恒成立；符合定義

對(duì)于③，PM=-6x,在x6（0,今時(shí)，/（x）＜0恒成立；符合定義

對(duì)于④，f'M=(2+X)?1在Xe(0,今時(shí)「'(X)>。恒成立，不符合定義

【解答】

解：對(duì)于①，/"(x)=—(sinx+cosx),x€(0,])時(shí)，

尸(x)<0恒成立；

對(duì)于②，/"(乃=-壹，在x€(0,今時(shí)，尸(x)<0恒成立；

對(duì)于③，/"W=-6x,在xe(0,，時(shí),廣0)<0恒成立；

對(duì)于④，r'(x)=(2+x)?靖在xe(0,鄉(xiāng)時(shí)廣(x)>0恒成立,

所以/'(%)=%靖不是凸函數(shù).

故答案為：④

17.

【答案】

1

2

【考點(diǎn)】

導(dǎo)數(shù)的概念

【解析】

利用導(dǎo)數(shù)的定義，函數(shù)在某點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)，就是在該點(diǎn)處函數(shù)的增量與自變量的增量的

比，求出/''(a),再根據(jù)"m粵華與廣(°)的關(guān)系，求出“m號(hào)守

%TQ2(x-a)vX->a2(x-a)

【解答】

解：???f(a)=lim^^=1

X->a(x-a)

乂.limf(x)-f(a)_ilimf(x)-f(a)_if,(a、=1

'X-?a2(x-a)2x->a(x-a)2'I,2

故答案為:

18.

【答案】

A>B>C

【考點(diǎn)】

導(dǎo)數(shù)的幾何意義

【解析】

設(shè)M坐標(biāo)為(a,/(a)),N坐標(biāo)為(a+l,f(a+l)),利用導(dǎo)數(shù)及直線斜率的求法得到

A、B、C分別為對(duì)數(shù)函數(shù)在M處的斜率，直線MN的斜率及對(duì)數(shù)函數(shù)在N處的斜率，根

據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象可知大小，得到正確答案

【解答】

解：記M(a,/(a)),N(a+1,/(a+1)),則由于B=表示直線MN的斜

率；A=/(a)表示函數(shù)/Xx)=logy在點(diǎn)M處的切線斜率；C=r(a+1)表示函數(shù)

/(x)=log/在點(diǎn)N處的切線斜率.

所以4>B>C.

故答案為：A>B>C.

試卷第12頁，總26頁

19.

【答案】

正

【考點(diǎn)】

導(dǎo)數(shù)的幾何意義

【解析】

根據(jù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的符號(hào)，判斷函數(shù)的單調(diào)性，以及函數(shù)的割線的斜率進(jìn)行求解即可.

【解答】

解：?.?函數(shù)/(x)的導(dǎo)函數(shù)/'(無)在R上恒大于0,

.1,函數(shù)f(x)為增函數(shù)，

即函數(shù)f(x)在定義域上的割線斜率k=區(qū)止3>0,

X1-X2

故答案為：正

20.

【答案】

73,5

【考點(diǎn)】

導(dǎo)數(shù)的幾何意義

【解析】

根據(jù)h(t)=q)t-4.9t2,令t=5s,可求初速度%;再根據(jù)九(t)>245,可得不等式，

從而問題得解.

【解答】

解：由題意：t=5s,/i(5)=5v0—4.9x25=245,v0=73.5m/s,

又73.5t-4.9t2>245,BPt2-15t+50<0,二5<t<10,

故答案為73.5,5

三、解答題(本題共計(jì)20小題，每題10分，共計(jì)200分)

21.

【答案】

解：⑴/(x)=x2+1,/(I)=2,/(2)=5

該函數(shù)在區(qū)間口，2］上的平均變化率為咨=3,

2—1

(2)((x)=2x,

???八1)=2

【考點(diǎn)】

導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算

變化的快慢與變化率

【解析】

(1)利用函數(shù)的解析式求出區(qū)間兩個(gè)端點(diǎn)的函數(shù)值，再利用平均變化率公式求出該函

數(shù)在區(qū)間［L2］上的平均變化率.

(2)先求導(dǎo)，再代入求值即可.

【解答】

解：(I)：/(x)=x2+1,/(I)=2,/(2)=5

該函數(shù)在區(qū)間［1,2］上的平均變化率為咨=3,

2—1

(2)f'［x)=2x,

??.f(1)=2

22.

【答案】

/(%+/!)—/(%)

r(x)=lim

h

2hx—5h+h2

=lim---------；---------=lim(2x—5+h)

zoh/i->o

—2x—5.

g(x+h)—g(x)

g，(x)=lim

h

3hx2+3/i2+h3

=lim

h->0h

=hm(3x2+3h+h2)

=3x2.

【考點(diǎn)】

變化的快慢與變化率

利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程

【解析】

根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義直接計(jì)算即可.

【解答】

(⑺=盤h

2hx—5九+M

limHm(2%—5+九)

h->0h

=2x—5.

g(x+/i)-g(%)

g'（"）=您h

3hx2+3h2+h3

=lim

7l->0h

=Hm(3x2+3九+h2)

=3x2.

23.

【答案】

解：（1）函數(shù)f（x）在［2,4］上的平均變化率為華巖=12；

4—2

（2）函數(shù)"X）在［2,3］上的平均變化率為塔羋=10；

3—2

（3）函數(shù)/（x）在［2,2.1］上的平均變化率為然乎=82

（4）函數(shù)〃%）在［2,2.001］上的平均變化率為半需羋=8.002.

【考點(diǎn)】

試卷第14頁，總26頁

變化的快慢與變化率

【解析】

利用函數(shù)值的增量與自變量的增量的比，即可求得在區(qū)間上的平均變化率.

【解答】

解：(1)函數(shù)f(x)在［2,4］上的平均變化率為華12；

4—2

(2)函數(shù)f(x)在［2,3］上的平均變化率為電警=10；

3—2

(3)函數(shù)/(%)在［2,2.1］上的平均變化率為=82；

2.1—2

(4)函數(shù)/(均在［2,2.001］上的平均變化率為“20°1)-"2)=8.002.

2.001—2

24.

【答案】

解：y'=(V4—x2y=［(4-可'=-(4—%2)~x(—2%),

在x=1處的導(dǎo)數(shù)為*4-12)4X(-2)=-與.

【考點(diǎn)】

導(dǎo)數(shù)的幾何意義

【解析】

根據(jù)求導(dǎo)公式和復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，再把x=1代入求值即可.

【解答】

解：y'=(V4—x2\—［(4—X2)2］Z=|(4—x2)~X(-2X),

在x=1處的導(dǎo)數(shù)為*4-12)4x(-2)=-y.

25.

【答案】

解：(i)r(t)<o,其意義為在t附近函數(shù)值的瞬時(shí)變化率，/為負(fù)數(shù)，說明

八。的值在t附近遞減，

原因是紅茶的溫度在下降.

(2)v/(3)=-4,

尸(3)=-4的實(shí)際意義是：在3min附近紅茶溫度約以4°C/min的速率下降.

/(3)=65(@,f(3)=-4,

函數(shù)在t=3處為遞減，可以作一個(gè)簡(jiǎn)單的圖象.

【考點(diǎn)】

導(dǎo)數(shù)的幾何意義

函數(shù)的概念及其構(gòu)成要素

【解析】

(1)根據(jù)題意可得尸(t)的符號(hào)為負(fù)值.

(2)根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義進(jìn)行判斷即可.

【解答】

解：(l)f'(t)<0,其意義為在t附近函數(shù)值的瞬時(shí)變化率，f'(t)為負(fù)數(shù)，說明

f(t)的值在t附近遞減，

原因是紅茶的溫度在下降.

(2)--/'(3)=-4,

1(3)=-4的實(shí)際意義是：在3min附近紅茶溫度約以^C/min的速率下降.

???/(3)=65(℃),廣(3)=-4,

.-.函數(shù)在t=3處為遞減，可以作一個(gè)簡(jiǎn)單的圖象.

26.

【答案】

解：設(shè)/(%)=/^+匕，丫/(%)的平均變化率為2,J.k=2.

又；/(x)圖象過點(diǎn)(0,2),b=2.

/./(%)=2%+2.

【考點(diǎn)】

變化的快慢與變化率

【解析】

一次函數(shù)的變化率為X的系數(shù)，使用待定系數(shù)法解出.

【解答】

解：設(shè)/0)=/?;+從?.?/(X)的平均變化率為2,J.k=2.

又：f(x)圖象過點(diǎn)(0,2),二6=2.

/(%)=2x+2.

27.

【答案】

2

3

【考點(diǎn)】

極限及其運(yùn)算

導(dǎo)數(shù)的概念

【解析】

此題暫無解析

【解答】

解：in-MD

AX^O34%

1/(l+zlx)-/(l)

=彳lim

3Ax

=1r(i)

_2

一3

故答案為：|.

28.

【答案】

解：(1)因?yàn)閞(X)=2ax+b,

由圖可知，f'(x)=2x+l,

2a=2,

由

b=1,

試卷第16頁，總26頁

解得色=L

(b=1.

(2)g(x)=gl=號(hào)￡=x+?+i,

則或x)=l十"等"

①若VFw1,即0<cW1時(shí)，

式x)>0,g(x)在［1,2］上遞增,

故g(x)max=g(2)=：C+3;

②若1<Vc<2,EPl<c<4,

當(dāng)14x<時(shí)、g'(x)<0,

此時(shí)g(X)單調(diào)遞減；

當(dāng)V?<x<2時(shí)，g'(x)>0,

此時(shí)g(x)單調(diào)遞增;

又g(l)=c+2,g(2)=gc+3，

所以當(dāng)1WCW2時(shí)，g(l)<g(2),

即g(x)max=g(2)=：C+3;

當(dāng)2<cW4時(shí)，g(l)>g(2),

即g(X)max=g(l)=C+2;

③若&N2,即c24時(shí)，

g'(x)<0,g(x)在［1,2］上單調(diào)遞減，

故g(%)max=g(l)=C+2;

綜上所述，

。(乃2=修+3,。<鵬2，

c+2,c>2.

【考點(diǎn)】

導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問題中的應(yīng)用

導(dǎo)數(shù)的概念

利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

函數(shù)解析式的求解及常用方法

【解析】

(1)先求出/'(x)=2ax+b,根據(jù)圖象可得/'(x)=2x+l,由此可得a,b的方程組;

(2)由(1)先求出g(x),從而可得g'(x)="等立分正<1,1<正<2,

近22三種情況進(jìn)行討論，根據(jù)導(dǎo)數(shù)符號(hào)與單調(diào)性的關(guān)系可得最大值；

【解答】

解：(1)因?yàn)?■'(?=2ax+b,

由圖可知，f(x)=2x+l,

2a=2,

由

b=1,

解得卜二L

(b=1.

(2)g(x)=gl=號(hào)￡=x+?+i,

則或x)=l十"等"

①若VFw1,即0<cW1時(shí)，

式x)>0,g(x)在［1,2］上遞增,

故g(x)max=g(2)=：C+3;

②若1<Vc<2,EPl<c<4,

當(dāng)14x<時(shí)、g'(x)<0,

此時(shí)g(X)單調(diào)遞減；

當(dāng)V?<x<2時(shí)，g'(x)>0,

此時(shí)g(x)單調(diào)遞增;

又g(l)=c+2,g(2)=gc+3，

所以當(dāng)1WCW2時(shí)，g(l)<g(2),

即g(x)max=g(2)=：C+3;

當(dāng)2<cW4時(shí)，g(l)>g(2),

即g(X)max=g(l)=C+2;

③若&N2,即c24時(shí)，

g'(x)<0,g(x)在［1,2］上單調(diào)遞減，

故g(%)max=g(l)=C+2;

綜上所述，

。(乃2=修+3,。<鵬2，

c+2,c>2.

29.

【答案】

解：依題意f'(l)=2+Q=1,且％?1+/(%)=/(I)=1+Q，

a=b=—19

?心=儼2_%(%<1)

一八)一晨-1(%>1)'

當(dāng)％>1時(shí)，/(%)>0,

當(dāng)％W1時(shí)，f(x)=%2-X=(%-i)2-i>-i,

244

可得函數(shù)的最小值是/(》=-%

【考點(diǎn)】

導(dǎo)數(shù)的概念

函數(shù)的最值及其幾何意義

【解析】

由題意函數(shù)=對(duì)其進(jìn)行分段求導(dǎo)，求出a,b的值，然后根據(jù)二

試卷第18頁，總26頁

次函數(shù)的性質(zhì)求出最小值.

【解答】

解：依題意f'(1)=2+a=1,且尤?]+/(x)=/(I)=1+a,

a=b=-1,

.、(x2-x(x<1)

??/(X)=lx-l(x>l))

當(dāng)%>1時(shí)，f(x)>0,

當(dāng)工工1時(shí)，/(%)=%2—%=(%—|)2—

可得函數(shù)的最小值是用)=/

30.

【答案】

子彈射出槍口時(shí)的瞬時(shí)速度為800m/s.

【考點(diǎn)】

變化的快慢與變化率

【解析】

根據(jù)導(dǎo)數(shù)的物理意義即可求出.

【解答】

52-3

解：；a=5x107n/s>t0=1.6x10s

5-3

v(t0)=s'=at0=5x10x1.6XIO=800m/s,

31.

【答案】

解：由題意知，當(dāng)x趨近X。時(shí)，分子和分母都趨近與0

根據(jù)洛必達(dá)法則此時(shí)函數(shù)極限=會(huì)等,

(%/(%0)-&/(%))'=/(%0)-%0((%)，

(%—xoY=1'

極限「m%，(%0)-%0〃乃

=/(X0)-Xof(Xo).

X-XQX-XQ

【考點(diǎn)】

變化的快慢與變化率

【解析】

根據(jù)洛必達(dá)法則即可求出.

【解答】

解：由題意知，當(dāng)x趨近X。時(shí)，分子和分母都趨近與0

根據(jù)洛必達(dá)法則此時(shí)函數(shù)極限=察罷,

(%/(&)-%of(%))'=/(%0)-%0((%)，

(X—XQY=1,

極限Hm%/(%o)-%oP(x)

=/(x0)-XofCxo).

X—XQX-XQ

32.

【答案】

解：(1)當(dāng)△x=0.1時(shí)，1+AX=1.1;

故1+”=1.13=1.331；

故"=詈￡=3.31.

(2)蓑=性土黑人=AX3+3A：；°+3A*=3就+3&△X+(△x)2.

則/(3=，］0t=0(3x°+3xo△尤+(△X)2)=3x§

【考點(diǎn)】

導(dǎo)數(shù)的幾何意義

變化的快慢與變化率

【解析】

(1)由題意，當(dāng)△x=0.1時(shí)，1+Ax=l.l；故1+△;/=143=1.331；從而求斜率.

(2)利用瞬時(shí)變化率的意義，利用極限進(jìn)行求解即可得出.

【解答】

解：(1)當(dāng)△x=0.1時(shí)，1+△;(:=1.1；

故1+Ay=1.13=1.331；

故kpQ=詈￡=3.31.

(2)絲=拿吐三尸一城="23竺2和±3紿殛=3詔+3&△X+(△x)2.

△XAXAXUUk/

則詈=(以+△△2詔

-Qo)=Aoo33x0X+(x))=3

33.

【答案】

323

27,

【考點(diǎn)】

導(dǎo)數(shù)的幾何意義

【解析】

函數(shù)在某個(gè)點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)值就是瞬時(shí)速率，先求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，

在導(dǎo)數(shù)表達(dá)式中令t=3可得t=3時(shí)的速度值.

【解答】

解：???5=t-1-t-2+2t2：.S'=-t-2+2t~3+4t=4+4+4t>

t,3

1=3時(shí)5'=二+2+4*3=皚

92727

34.

【答案】

解/0)=3/-6%+2.設(shè)切線的斜率為k.

(1)當(dāng)切點(diǎn)是原點(diǎn)時(shí)k=f(0)=2,

所以所求曲線的切線方程為y=2x.

(2)當(dāng)切點(diǎn)不是原點(diǎn)時(shí)，設(shè)切點(diǎn)是(3,y()),

則有y0=瑞-3xo+2%o,k=f'(%o)=3%0-6%o+2,①

試卷第20頁，總26頁

又k=—=XQ—3x+2,②

XQ0

由①②得Xo=|,卜=瓷=/

NXQ4

所求曲線的切線方程為'=一;也

故曲線的切線方程是y=2x；y=—；x

【考點(diǎn)】

導(dǎo)數(shù)的幾何意義

【解析】

求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義：切點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值是切線的斜率，分原點(diǎn)是切

點(diǎn)和原點(diǎn)不是切點(diǎn)兩類求.

【解答】

解/'(x)=3X2-6X+2.設(shè)切線的斜率為k.

(1)當(dāng)切點(diǎn)是原點(diǎn)時(shí)k=f(0)=2,

所以所求曲線的切線方程為y=2x.

(2)當(dāng)切點(diǎn)不是原點(diǎn)時(shí)，設(shè)切點(diǎn)是(X。,y。)，

則有yo=瑞-3詔+2x0,k=1(a)=3詔-6x0+2,①

又k=—=-3x+2,②

x00

由①②得%0=|，上=瓷=-%

NXQ4

所求曲線的切線方程為丫=—

故曲線的切線方程是y=2x；y=-ix

35.

【答案】

解：設(shè)直線與曲線y=/的切點(diǎn)坐標(biāo)為(xo，y。)，

,y-X3

則4=3＞則切線的斜率卜=3就=°或k=多

30一1

若k=0,此時(shí)切線的方程為y=0,

,(y=°

=ax2+-9，

消去y,可得a/+六-9=0,

其中A=0,即第2+36a=0,

解可得a=一2

64

若k=*其切線方程為y=”Q—l)，

Jy=*x-i)

由《t15

ly=ax￡4-—x—9

消去y可得a——3%—I=0,

又由△=(),即9+9Q=0,

解可得a=-1.

故a=一"或-1.

64

【考點(diǎn)】

導(dǎo)數(shù)的幾何意義

【解析】

設(shè)出所求切線方程的切點(diǎn)坐標(biāo)和斜率，把切點(diǎn)坐標(biāo)代入曲線方程得到一個(gè)等式，根據(jù)

切點(diǎn)坐標(biāo)和斜率寫出切線的方程，把切點(diǎn)坐標(biāo)代入又得到一個(gè)等式，聯(lián)立方程組即可

求出切點(diǎn)的橫坐標(biāo)，進(jìn)而得到切線的斜率，根據(jù)已知點(diǎn)的坐標(biāo)和求出的斜率寫出切線

方程，再根據(jù)與曠=。/+?%—9都相切，聯(lián)立方程組，△=()可求出所求.

【解答】

解：設(shè)直線與曲線y=%3的切點(diǎn)坐標(biāo)為(沏,")，

則3.則切線的斜率卜=3福=?；騥=系

若k=0,此時(shí)切線的方程為y=0,

,(y=°

I(y=ax2+當(dāng)x-9，

消去y,可得ax?+中刀一9=o,

其中△=(),即第2+36a=0,

解可得a=-g；

64

若k=*其切線方程為y=§(x-l),

Jy=i(%T)

15

由J2.Q，

y=ax￡+—x—9

消去y可得Q/—3x--=0,

4

又由△=(),即9+9a=0,

解可得a=—l.

36.

【答案】

解：根據(jù)題意，x?o+/（x）=x?o-f（x）=f（°）=b，

2

limInx-ln（x+x）|im12x+1

%->0+xx0+xx2x

lim-i1

=---=—1,

%T0+x+l

試卷第22頁，總26頁

因此，b=-1,

寸七limsinaxlimsinax

又有XT0-斥施

%-0-V2sin^

=%雪-(普金缶)=-&

所以，-&a=-l,a=1,

故a=b=-1.

2

【考點(diǎn)】

函數(shù)的連續(xù)性

導(dǎo)數(shù)的概念

【解析】

limHm

問題等價(jià)為：n+/(x)=n_/(x)=/(0)=b,再直接求函數(shù)在x=0處的左右

XT0

極限即可.

【解答】

解：根據(jù)題意，x?o+f(x)=x?0-f(x)=f(O)=b，

2

limInx-ln(x+x)|im12x+1

%->0+xx0+xx2+x

_limn_

一XTO+U=T，

因此，b=-1,

▽右limsinax__limsinax

XT。-Vl-cosx%tCPV2sin^

=%雪-(普+缶)=-&

所以，—&Q=-1,a=-y,

故a=￥，b=f

37.

【答案】

解：,??切線與直線y=4x+3平行，斜率為4

又切線在點(diǎn)沏的斜率為y'l,o

3瑤+1=4,；.&=±1,有｛.=%或q°=一3

???切點(diǎn)為(1,-8)或(-1,-12),

切線方程為y+8=4(x-1)或y+12=4(x-1),

即y=4x-12或y=4x—8.

【考點(diǎn)】

導(dǎo)數(shù)的幾何意義

【解析】

利用直線平行斜率相等求出切線的斜率，再利用導(dǎo)數(shù)在切點(diǎn)處的值是曲線的切線斜率

求出切線斜率，列出方程解得.

【解答】

解：丫切線與直線y=4x+3平行，斜率為4

又切線在點(diǎn)&的斜率為y'1,o

3x^+1=4,x0=±1,有｛。=，8'或

切點(diǎn)為(1,-8)或(-1,-12),

切線方程為y+8=4(x-1)或y+12=4(x-1),

即y=4x-12或y=4x—8.

38.

【答案】

h(0)表示航天飛機(jī)發(fā)射前的高度；

攸1)表示航天飛機(jī)升空后1s的高度；

%(2)表示航天飛機(jī)升空后2s的高度；

(2)航天飛機(jī)升空后第2秒內(nèi)的平均速度為"="噌(。)=5X23+3°X：+"X2+4=

2—0