2021春《19.1.1-第2課時-變量與函數(shù)》教學設計

人教版八下19.1.1變量與函數(shù)（第2課時）教學設計教學內容解析教學流程圖地位與作用函數(shù)是描述運動變化規(guī)律的重要數(shù)學模型，刻畫了變化過程中變量之間的對應關系．本節(jié)通過典型實例的分析，從中抽象出函數(shù)的概念，再次滲透變化、對應的思想．函數(shù)概念是中學數(shù)學的核心概念，是繼續(xù)學習一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)等內容的基礎．概念解析本節(jié)課的主要概念是函數(shù)．在一個變化過程中，如果兩個變量x與y具有單值對應關系，即對于x的每一個確定的值，y都有唯一確定的值與其對應，則稱x為自變量，y為x的函數(shù)，也稱x和y具有函數(shù)關系．“單值對應”是函數(shù)的本質屬性．思想方法本節(jié)課的主要內容是函數(shù)概念的學習，從三類實際問題中抽象出函數(shù)的概念，體現(xiàn)認識事物的一般方法：從具體到抽象．數(shù)學抽象是數(shù)學的核心素養(yǎng)，在抽象出函數(shù)概念的過程中，注重滲透變化與對應的思想．知識類型函數(shù)屬于概念性知識．由知識類型決定，概念性知識需要通過豐富的例子，從歸納共性中獲得數(shù)學抽象。教學重點函數(shù)的概念教學目標解析教學目標1.知道函數(shù)的概念．2.會判斷具體事例中兩個變量間的關系是否為函數(shù)關系．3.能舉出函數(shù)的實例，并指出自變量與因變量的函數(shù)．4.知道函數(shù)與函數(shù)值的區(qū)別．5.體會變化與對應的思想．目標解析達成目標1的標志是：能通過簡單實際問題的分析，歸納共性，抽象出函數(shù)的概念．達成目標2的標志是：能在具體實例（包括解析式、表格、圖象表示的情境）中辨別變量之間的關系是否是函數(shù)關系．達成目標3的標志是：能從實際問題和數(shù)學內部給出函數(shù)的實例，并指出自變量與自變量的函數(shù)；了解自變量選取的任意性，以及因變量隨自變量的改變而改變．達成目標4的標志是：知道函數(shù)是變量，函數(shù)值是變量所取的某個具體數(shù)值，是常數(shù)；在已知自變量取值及其對應函數(shù)值的情況下，識別并闡述當自變量取某一確定值時的函數(shù)值．達成目標5的標志是：在函數(shù)概念的形成過程中，初步體會變量之間的聯(lián)系，感受變化與對應的思想．教學問題診斷分析具備的基礎學生在生活中具有對兩個量之間存在依存關系的體驗．在本課之前，學生學習了常量與變量的概念，能在一個運動變化的過程中識別常量與變量，并初步經(jīng)歷了從具體到抽象，特殊到一般再到特殊的研究過程．與本課目標的差距分析從簡單實際問題中獲得函數(shù)的概念，需要學生有一定的抽象歸納能力，只有準確理解兩個變量間的單值對應關系，才能充分理解函數(shù)的概念，才能判斷具體事例中兩個變量間的關系是否為函數(shù)關系．存在的問題對學生而言，函數(shù)概念比較抽象，初次接觸可能會遇到較大困難．主要在于難以概括出“一個變量的值的確定導致另一個變量取值的唯一確定”這一函數(shù)概念的核心；當一個變量的值確定時，另一個變量怎樣才算“唯一確定”？學生可能會誤認為函數(shù)關系中的“唯一確定”僅指通過公式求出的唯一值，對不能用公式求出值的單值對應關系難以理解．應對策略借助實際問題情境，引導學生由具體到抽象地認識函數(shù)．在教學中讓學生經(jīng)歷分析多個問題（涵蓋列表、解析式、圖象三種形式）分析，讓學生充分地表達和感悟，引導歸納函數(shù)概念；得到概念后，再用恰當?shù)睦樱ㄕ磧蓚€方面）對概念進行辨析，加深理解．教學難點函數(shù)概念的抽象與理解教學支持條件分析為了觀察和研究兩個變量之間的關系，可以利用GeoGebra、Excel中的圖表功能進行進行賦值、計算，利用動畫功能對圖象進行分析等手段形象地揭示單值對應的關系．教學過程設計課前檢測1.

一件物品單價為6元/個，記買了x個此物品，需付款y元，在買不同數(shù)量的物品的過程中，變量是__________，常量是__________，變量__________隨變量__________的變化而變化．2.

對圓的周長公式的說法正確的是（）A．，r是變量，2是常量B．c，r是變量，，2是常量C．r是變量，2，，c是常量D．c是變量，2，，r是常量3.

如果用總長為60m的籬笆圍成一個長方形場地，設長方形的面積為S（m2），周長為p（m），一邊長為a（m），那么S，p，a中是變量的是（）A．S和pB．S和aC．p和aD．S，p，a4.

彈簧掛上物體后會伸長，測得一彈簧的長度y（cm）與所掛的物體的質量x（kg）間有下面的關系：則y關于x的關系式為__________．設計意圖：本組課前檢測題主要檢查常量、變量的概念，第4題檢測兩個變量之間的關系，為函數(shù)概念的學習做好知識上的準備．情境引入引言：通過前面的學習，我們體會到萬物皆變，在運動變化過程中往往蘊含著量的變化，研究變量之間的關系是把握變化規(guī)律的關鍵．設計意圖：通過引言教學，復習上一節(jié)課所學內容，提出本節(jié)課需要研究的問題，引起合理的選擇性注意，起先行組織者作用．合作探究鞏固練習問題1：下面各題的變化過程中，各有幾個變量？其中一個變量的變化怎樣影響另一變量的變化？（1）汽車以60

km/h的速度勻速行駛，行駛時間為t

h，行駛的路程為s

km．（2）每張電影票的售價10元，某場電影售出x張票，票房收入為y元．（3）圓形水波慢慢擴大，在這一過程中，圓的半徑為r

cm，面積為S

cm2．（4）用10m長的繩子圍成一個矩形，矩形的一邊長為x

m，它的鄰邊長為y

m．師生互動設計：可以仿照前一節(jié)課的取值，求值的方式分析理解兩個變量之間關系．師生一起分析變化過程（1），學生合作分析過程（2）—（4）．引導學生得到具體結論，如變化過程（1）有兩個變量t，s，當t取定一個值時，s有唯一確定的值與之對應．設計意圖：通過對問題(1)—(4)的分析，為發(fā)現(xiàn)這些對應關系的共同特征，實現(xiàn)函數(shù)概念的第一次概括提供歸納的樣例．問題2：能用自己的語言說說這些問題中變量之間關系的共同特點嗎？試一試！師生互動設計：教師引導學生歸納，變化過程中有兩個變量，當一個變量取定一個值時，另一個變量有唯一確定的值與之對應．如由s=60t，當t=1，2，3時能分別求出唯一的s的值．設計意圖：對能用解析式表示的變量之間對應關系的共同特征進行初步概括．問題3：下面是我國體育代表團在第23至30屆夏季奧運會上獲得的金牌統(tǒng)計表．把屆數(shù)和金牌數(shù)分別記作兩個變量x和y，對于表中的每一個確定的屆數(shù)x，都對應著一個確定的金牌數(shù)嗎？師生互動設計：引導學生說出屆數(shù)與金牌數(shù)的對應關系，體會用表格也可以由一個變量的值確定出另一個相關變量的值．設計意圖：讓學生感受到當一個變量取定一個值時，可以通過查表唯一確定出另一個變量的值，突出函數(shù)的本質屬性，剝離“用公式表示變量關系”這一非本質屬性．問題4：圖1是北京某天的氣溫變化圖，你能說出14:00，18:00，20:00，4:00的氣溫嗎？圖1師生互動設計：教師在網(wǎng)上打開天氣預報頁面，引導學生閱讀氣溫變化圖，體會由氣溫圖可以根據(jù)時間確定氣溫數(shù)值，體會這也是變量之間的單值對應關系．追問：雖然20:00，4:00時的溫度具體為多少無法確定，但是這兩個時刻的溫度是不是確定的？一天中，當時間確定時，氣溫的數(shù)值也是唯一確定的嗎？設計意圖：讓學生體會到，當一個變量取定一個值時，通過圖象也可以唯一確定另一個變量的值，突出函數(shù)的本質屬性，剝離“用公式表示變量關系”這一非本質屬性．問題5：上述實際問題中兩個變量之間的關系，當一個變量取定一個值時，既有通過公式確定另一個變量唯一的值，又有通過對應表格確定另一變量唯一的值，還有通過圖象確定另一個變量唯一的值．綜合這些現(xiàn)象，你能歸納出上面實例中變量之間關系的共同特點嗎？請大家相互討論．師生互動設計：學生分組討論，歸納出如下結論：在一個變化過程中，有兩個變量，當一個變量取定一個值時，另一變量有唯一確定值與之對應．教師與學生一起概括出函數(shù)概念：一般地，在一個變化過程中，如果有兩個變量x和y，并且對于x的每一個確定的值，y都有唯一確定的值與其對應，那么我們就說x是自變量，y是x的函數(shù)．追問：請結合問題（1）（2）說說函數(shù)定義中“變化”、“對應”、“唯一確定”的含義．師生互動設計：學生交流，教師引導學生進行點評，并順勢帶出函數(shù)值的概念：設y是x的函數(shù)，如果當x=a時，對應的y=b，那么b叫做當自變量的值為a時的函數(shù)值．設計意圖：在前面分步概括的基礎上，概括出三類不同表現(xiàn)形式的變量對應關系的共同特征，形成函數(shù)概念．問題6：你如何理解函數(shù)值？能說說函數(shù)與函數(shù)值的區(qū)別嗎？師生互動設計：結合問題1、3、4讓學生說出幾個具體的函數(shù)值，然后說說函數(shù)與函數(shù)值的區(qū)別，教師進行補充完善．設計意圖：通過問題6，讓學生感知函數(shù)值是變量所取的某個具體數(shù)值，是常數(shù)；在已知自變量取值及其對應函數(shù)值的情況下，識別并闡述當自變量取某一確定值時的函數(shù)值．鞏固練習【測評1】1．下表是我國大陸地區(qū)若干年份的人口統(tǒng)計表，表中的人口數(shù)y是年份x的函數(shù)嗎？2．下列問題中哪些是自變量？哪些是自變量的函數(shù)？試寫出用自變量表示函數(shù)的式子：（1）每分鐘一水池注水0.1m3，注水量y（單位：m3）隨注水時間x（單位：min）的．變化而變化．（2）改變正方形的邊長x，正方形的面積S隨之變化．（3）某汽車油箱中有40L油，它在高速公路上行駛，耗油量為0.07L/km，汽車行駛的里程為x

km，油箱中剩下的汽油量為y

L．設計意圖：檢測目標(2)是否達成．若測評不合格，則講解測評1，完成后再測(測評2)．【測評2】1．在表中，記錄了一個同學10次練習立定跳遠的成績：y是x的函數(shù)嗎？為什么？2．下列各題中，哪些是函數(shù)關系，哪些不是函數(shù)關系：（1）在一定的時間內，勻速運動所走的路程和速度．（2）在平靜的湖面上，投入一粒石子，泛起的波紋的周長與半徑．（3）三角形的面積一定，它的一邊和這邊上的高．（4）正方形的面積和梯形的面積．（5）水管中水流的速度和水管的長度．（6）圓的面積和它的周長．（7）底是定長的等腰三角形的周長與底邊上的高．綜合應用【例題1】P是數(shù)軸上的一個動點，它所表示的實數(shù)是m，P點到坐標原點的距離為s．（1）s是m的函數(shù)嗎？為什么？

（2）m是s的函數(shù)嗎？為什么？【例題2】下列曲線中不能表示y是x的函數(shù)的是（），反過來能表示x是y的函數(shù)的是（）【例題3】請舉出一個函數(shù)的實例．師生互動設計：學生獨立完成，教師個別指導，并引導學生進行自我評價和相互評價．設計意圖：通過正反兩個方面的例子，進行函數(shù)概念的進一步辨析，深化對函數(shù)概念的理解．【測評3】老師讓同學們舉一個y是x的函數(shù)的例子，同學們分別列舉了如下4個x、y之間的關系：（1）判斷每個例子是否正確，并說明理由；（2）指出所有正確例子中x=2時的函數(shù)值．設計意圖：檢測學生對于函數(shù)概念掌握的情況．若測評不合格，則回至函數(shù)概念的教學環(huán)節(jié)．歸納總結1．你能總結一下本節(jié)課研究的內容嗎？2．函數(shù)的研究思路是怎樣的？設計意圖：總結歸納，形成知識框圖、研究方法路線圖．目標檢測設計一、選擇題1．下列兩個變量之間，不存在函數(shù)關系的是（）A．一天的氣溫與時間之間的關系B．一個正數(shù)的平方根與這個正數(shù)之間的關系C．圓的面積與圓的周長之間的關系D．速度一定，汽車行駛的路程與行駛時間之間的關系2．下列變量之間的關系中具有函數(shù)關系的有（）①等腰三角形底邊上的高為5時，該三角形的面積與底邊；②長方形面積一定，長與寬之間的關系；③圓的面積與半徑；④（x≥）中的y與x．A．4個B．3個C．2個D．1個3．下列曲線中能表