數(shù)學(xué)（選修12）練習(xí)模塊綜合質(zhì)量評(píng)估

模塊綜合質(zhì)量評(píng)估本試卷分第Ⅰ卷(選擇題)和第Ⅱ卷(非選擇題)兩部分，共150分，考試時(shí)間120分鐘第Ⅰ卷一、選擇題(本大題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的)1．已知i是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)z＝eq\f(1－2i,i)，則復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于()A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限解析∵z＝eq\f(1－2i,i)＝eq\f(i－2－i,i)＝－2－i，∴z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為(－2，－1)．故選C．答案：C2．下列關(guān)于函數(shù)、函數(shù)的定義域、函數(shù)的值域、函數(shù)的對(duì)應(yīng)法則的結(jié)構(gòu)圖正確的是()答案：A3．用反證法證明命題“若sinθeq\r(1－cos2θ)＋cosθ·eq\r(1－sin2θ)＝1，則sinθ≥0且cosθ≥0”時(shí)，下列假設(shè)的結(jié)論正確的是()A．sinθ≥0或cosθ≥0B．sinθ＜0或cosθ＜0C．sinθ＜0且cosθ＜0D．sinθ＞0且cosθ＞0解析用反證法證明，應(yīng)先假設(shè)所證命題的否定成立．本題所證的命題的否定為sinθ＜0或cosθ＜0.答案：B4．已知扇形的弧長(zhǎng)為l，半徑為r，類比三角形的面積公式S＝eq\f(底×高,2)，可推知扇形面積公式S扇＝()A．eq\f(r2,2) B．eq\f(l2,2)C．eq\f(lr,2) D．不可類比解析扇形的弧長(zhǎng)類比于三角形的底，扇形的半徑類比于三角形的高，所以S扇形＝eq\f(lr,2).答案：C5．欲證eq\r(2)－eq\r(3)＜eq\r(6)－eq\r(7)，只需要證()A．(eq\r(2)－eq\r(3))2＜(eq\r(6)－eq\r(7))2B．(eq\r(2)－eq\r(6))2＜(eq\r(3)－eq\r(7))2C．(eq\r(2)＋eq\r(7))2＜(eq\r(3)＋eq\r(6))2D．(eq\r(2)－eq\r(3)－eq\r(6))2＜(－eq\r(7))2解析將不等式等價(jià)轉(zhuǎn)化為eq\r(2)＋eq\r(7)＜eq\r(3)＋eq\r(6).由于兩邊都為正數(shù)，所以可平方化簡(jiǎn)．答案：C6．以下是解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的思維過(guò)程的流程圖：在此流程圖中，①②兩條流程線和“推理與證明”中的思維方法匹配正確的是()A．①—綜合法，②—分析法B．①—分析法，②—綜合法C．①—綜合法，②—反證法D．①—分析法，②—反證法解析根據(jù)已知可得該結(jié)構(gòu)圖為證明方法的結(jié)構(gòu)圖．由已知到可知，進(jìn)而得到結(jié)論的應(yīng)為綜合法；由未知到需知，進(jìn)而找到與已知的關(guān)系為分析法．故①②兩條流程線與“推理與證明”中的思維方法匹配正確的為①—綜合法，②—分析法．答案：A7．已知a，b∈R，i是虛數(shù)單位，若3＋bi與a－i互為共軛復(fù)數(shù)，則|a＋bi|等于()A．eq\r(2) B．5C．eq\r(10) D．10解析∵3＋bi與a－i互為共軛復(fù)數(shù)，∴a＝3，b＝1.∴|a＋bi|＝|3＋i|＝eq\r(32＋12)＝eq\r(10).答案：C8．某紡織廠的一個(gè)車間有技術(shù)工人m名(m∈N＋)，編號(hào)分別為1,2,3，…，m，有n臺(tái)(n∈N＋)織布機(jī)，編號(hào)分別為1,2,3，…，n.定義記號(hào)aij：若第i名工人操作了第j號(hào)織布機(jī)，規(guī)定aij＝1，否則aij＝0.則等式a41＋a42＋a43＋…＋a4n＝3的實(shí)際意義是()A．第4名工人操作了3臺(tái)織布機(jī)B．第4名工人操作了n臺(tái)織布機(jī)C．第3名工人操作了4臺(tái)織布機(jī)D．第3名工人操作了n臺(tái)織布機(jī)解析根據(jù)即時(shí)定義在a41＋a42＋a43＋…＋a4n＝3中，第一下標(biāo)4表示第4名工人進(jìn)行操作，第二下標(biāo)1,2，…，n表示第1號(hào)織布機(jī)、第2號(hào)織布機(jī)，…，第n號(hào)織布機(jī)．根據(jù)規(guī)定可知這名工人操作了3臺(tái)織布機(jī)．答案：A9．下圖是求S＝1＋3＋5＋…＋99的程序框圖，其中①應(yīng)為()A．A≤97？ B．A＜99?C．A≤99? D．A≤101?解析模擬程序的運(yùn)行可得程序的功能是計(jì)算并輸出S＝1＋3＋5＋…＋99的值，且在循環(huán)體中，S＝S＋A表示每次累加的是A的值．故當(dāng)A≤99時(shí)應(yīng)滿足條件進(jìn)入循環(huán)，A＞99時(shí)就不滿足條件．故條件為A≤99.答案：C10．下表是某廠1～4月份用水量(單位：百噸)的一組數(shù)據(jù)：由散點(diǎn)圖可知，用水量與月份之間有較強(qiáng)的線性相關(guān)關(guān)系，其線性回歸方程是y＝－0.7x＋a，則a＝()月份x1234用水量y4.5432.5A．10.5 B．5.15C．5.25 D．5.2解析eq\o(x,\s\up6(－))＝eq\f(1＋2＋3＋4,4)＝2.5，eq\o(y,\s\up6(－))＝eq\f(4.5＋4＋3＋2.5,4)＝3.5.∴3.5＝－0.7×2.5＋a.解得a＝5.25.答案：C11．甲、乙兩隊(duì)進(jìn)行排球決賽(五局三勝制)，現(xiàn)在的情形是甲隊(duì)只要再贏一局就可獲冠軍，乙隊(duì)需要再贏兩局才能得冠軍．若兩隊(duì)勝每局的概率相同，則甲隊(duì)獲得冠軍的概率為()A．eq\f(1,2) B．eq\f(3,5)C．eq\f(2,3) D．eq\f(3,4)解析由題意知，在已比賽過(guò)的前3局中，甲隊(duì)兩勝一負(fù)，則甲隊(duì)獲勝(得冠軍)有以下兩種情形：A1＝第4局甲勝，A2＝第4局乙勝且第5局甲勝，A1，A2互斥．故P(甲得冠軍)＝P(A1＋A2)＝P(A1)＋P(A2)＝eq\f(1,2)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)))×eq\f(1,2)＝eq\f(3,4).答案：D12．觀察下列各式：eq\r(3,2＋\f(2,7))＝2eq\r(3,\f(2,7))，eq\r(3,3＋\f(3,26))＝3eq\r(3,\f(3,26))，eq\r(3,4＋\f(4,63))＝4eq\r(3,\f(4,63))，…，若eq\r(3,9＋\f(9,m))＝9eq\r(3,\f(9,m))，則m＝()A．80 B．81C．728 D．729解析eq\r(3,2＋\f(2,7))＝2eq\r(3,\f(2,7))＝2eq\r(3,\f(2,23－1))，eq\r(3,3＋\f(3,26))＝3eq\r(3,\f(3,26))＝3eq\r(3,\f(3,33－1))，eq\r(3,4＋\f(4,63))＝4eq\r(3,\f(4,63))＝4eq\r(3,\f(4,43－1))，……∴eq\r(3,n＋\f(n,n3－1))＝neq\r(3,\f(n,n3－1)).∴eq\r(3,9＋\f(9,m))＝9eq\r(3,\f(9,m))＝9eq\r(3,\f(9,93－1)).∴m＝93－1＝729－1＝728.答案：C第Ⅱ卷二、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分．把答案填在題中的橫線上)13．復(fù)數(shù)z＝1＋cosα＋isinα(π＜α＜2π)的模的取值范圍是________.解析|z|＝eq\r(1＋cosα2＋sin2α)＝eq\r(2＋2cosα).∵π＜α＜2π，∴－1＜cosα＜1.∴0＜2＋2cosα＜4.∴|z|∈(0,2)．答案：(0,2)14．已知1＋2×3＋3×32＋4×33＋…＋n×3n－1＝3n(na－b)＋c對(duì)一切n∈N＋都成立，那么a，b，c的值分別為_(kāi)_______________.解析分別令n＝1,2,3，可解得a＝eq\f(1,2)，b＝eq\f(1,4)，c＝eq\f(1,4).答案：eq\f(1,2)eq\f(1,4)eq\f(1,4)15．兩個(gè)實(shí)習(xí)生每人加工一個(gè)零件，加工的零件為一等品的概率分別為eq\f(2,3)和eq\f(3,4)，兩個(gè)零件是否加工為一等品相互獨(dú)立．則這兩個(gè)零件中恰有一個(gè)一等品的概率為_(kāi)_______.解析設(shè)甲、乙加工零件為一等品分別為事件A，B，兩個(gè)零件恰有一個(gè)一等品為事件C．由題可知P(A)＝eq\f(2,3)，P(B)＝eq\f(3,4)，則P(C)＝P(A∩eq\o(B,\s\up6(－))＋eq\o(A,\s\up6(－))∩B)＝P(A∩eq\o(B,\s\up6(－)))＋P(eq\o(A,\s\up6(－))∩B)＝P(A)P(eq\o(B,\s\up6(－)))＋P(eq\o(A,\s\up6(－)))P(B)＝eq\f(2,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(3,4)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(2,3)))×eq\f(3,4)＝eq\f(5,12).答案：eq\f(5,12)16．觀察下列等式：12＝132＝2＋3＋452＝3＋4＋5＋6＋772＝4＋5＋6＋7＋8＋9＋1092＝5＋6＋7＋8＋9＋10＋11＋12＋13……以上等式右側(cè)中，1出現(xiàn)1次，2出現(xiàn)1次，3出現(xiàn)2次，4出現(xiàn)3次，…，則2016出現(xiàn)的次數(shù)為_(kāi)_______.解析由題意，每一行的第一個(gè)數(shù)構(gòu)成以1為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列，最后一個(gè)數(shù)構(gòu)成以1為首項(xiàng)，3為公差的等差數(shù)列．則首次出現(xiàn)2016在第673行，最后一次出現(xiàn)2016在第2016行．所以2016出現(xiàn)的次數(shù)為2016－673＋1＝1344.答案：1344三、解答題(本大題共6小題，共70分．解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟)17．(本小題滿分10分)已知復(fù)數(shù)z＝1－i.(1)設(shè)w＝z(1＋i)－1－3i，求|w|.(2)已知eq\f(z2＋az＋b,1＋i)＝i，求實(shí)數(shù)a，b的值．解(1)∵z＝1－i，∴w＝z(1＋i)－1－3i＝1－3i.∴|w|＝eq\r(10).(2)由題意得z2＋az＋b＝(1－i)2＋a(1－i)＋b＝a＋b－(2＋a)i＝(1＋i)i＝－1＋i.∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋b＝－1，,－a＋2＝1.))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝－3，,b＝2.))18．(本小題滿分12分)已知a，b，c，d均為正數(shù)，且a＋b＝c＋d.證明：(1)若ab＞cd，則eq\r(a)＋eq\r(b)＞eq\r(c)＋eq\r(d)；(2)eq\r(a)＋eq\r(b)＞eq\r(c)＋eq\r(d)是|a－b|＜|c－d|的充要條件．證明：(1)∵a，b，c，d均為正數(shù)，且a＋b＝c＋d，ab＞cd，∴eq\r(ab)＞eq\r(cd).∵(eq\r(a)＋eq\r(b))2＝a＋b＋2eq\r(ab)，(eq\r(c)＋eq\r(d))2＝c＋d＋2eq\r(cd)，∴(eq\r(a)＋eq\r(b))2＞(eq\r(c)＋eq\r(d))2，即eq\r(a)＋eq\r(b)＞eq\r(c)＋eq\r(d).(2)①若eq\r(a)＋eq\r(b)＞eq\r(c)＋eq\r(d)，則(eq\r(a)＋eq\r(b))2＞(eq\r(c)＋eq\r(d))2，即a＋b＋2eq\r(ab)＞c＋d＋2eq\r(cd).由a＋b＝c＋d，得ab＞cd.∵(a－b)2＝(a＋b)2－4ab，(c－d)2＝(c＋d)2－4cd，∴(a－b)2＜(c－d)2.∴|a－b|＜|c－d|.②若|a－b|＜|c－d|，則(a－b)2＜(c－d)2，即(a＋b)2－4ab＜(c＋d)2－4cd.由a＋b＝c＋d，得ab＞cd.∴(eq\r(a)＋eq\r(b))2＞(eq\r(c)＋eq\r(d))2，即eq\r(a)＋eq\r(b)＞eq\r(c)＋eq\r(d).綜上可得eq\r(a)＋eq\r(b)＞eq\r(c)＋eq\r(d)是|a－b|＜|c－d|的充要條件．19．(本小題滿分12分)某地區(qū)2007年至2013年農(nóng)村居民家庭人均純收入y(單位：千元)的數(shù)據(jù)如下表：年份2007200820092010201120122013年份代號(hào)t1234567人均純收入y2.93.33.64.44.85.25.9(1)求y關(guān)于t的線性回歸方程．(2)利用(1)中的回歸方程，分析2007年至2013年該地區(qū)農(nóng)村居民家庭人均純收入的變化情況，并預(yù)測(cè)該地區(qū)2015年農(nóng)村居民家庭人均純收入．附：回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為b＝eq\f(\i\su(i＝1,n,)ti－\o(t,\s\up6(－))yi－\o(y,\s\up6(－)),\i\su(i＝1,n,)ti－\o(t,\s\up6(－))2)，a＝eq\o(y,\s\up6(－))－beq\o(t,\s\up6(－)).解(1)由所給數(shù)據(jù)計(jì)算得eq\o(t,\s\up6(－))＝eq\f(1,7)×(1＋2＋3＋4＋5＋6＋7)＝4，eq\o(y,\s\up6(－))＝eq\f(1,7)×(2.9＋3.3＋3.6＋4.4＋4.8＋5.2＋5.9)＝4.3，eq\i\su(i＝1,7,)(ti－eq\o(t,\s\up6(－)))2＝9＋4＋1＋0＋1＋4＋9＝28，eq\i\su(i＝1,7,)(ti－eq\o(t,\s\up6(－)))(yi－eq\o(y,\s\up6(－)))＝(－3)×(－1.4)＋(－2)×(－1)＋(－1)×(－0.7)＋0×0.1＋1×0.5＋2×0.9＋3×1.6＝14.則b＝eq\f(\i\su(i＝1,7,)ti－\o(t,\s\up6(－))yi－\o(y,\s\up6(－)),\i\su(i＝1,7,)ti－\o(t,\s\up6(－))2)＝eq\f(14,28)＝0.5，a＝eq\o(y,\s\up6(－))－beq\o(t,\s\up6(－))＝4.3－0.5×4＝2.3.故所求回歸方程為y＝0.5t＋2.3.(2)由(1)知b＝0.5＞0，故2007年至2013年該地區(qū)農(nóng)村居民家庭人均純收入逐年增加，平均每年增加0.5千元．將2015年的年份代號(hào)t＝9代入(1)中的回歸方程，得y＝0.5×9＋2.3＝6.8.所以該地區(qū)2015年農(nóng)村居民家庭人均純收入為6.8千元．20．(本小題滿分12分)第24屆冬奧會(huì)將于2022年在我國(guó)北京和張家口舉行．為了做好接待工作，組委會(huì)招募了16名男志愿者和14名女志愿者．調(diào)查發(fā)現(xiàn)，男、女志愿者中分別有10人和6人喜愛(ài)運(yùn)動(dòng)，其余人不喜愛(ài)運(yùn)動(dòng)．(1)根據(jù)以上數(shù)據(jù)完成以下2×2列聯(lián)表：喜愛(ài)運(yùn)動(dòng)不喜愛(ài)運(yùn)動(dòng)總計(jì)男1016女614總計(jì)30(2)根據(jù)列聯(lián)表的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.10的前提下認(rèn)為性別與喜愛(ài)運(yùn)動(dòng)有關(guān)？(3)如果從喜歡運(yùn)動(dòng)的女志愿者中(其中恰有4人會(huì)外語(yǔ))抽取2名負(fù)責(zé)翻譯工作，那么抽出的志愿者中至少有1人能勝任翻譯工作的概率是多少？附：χ2＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d).獨(dú)立檢驗(yàn)臨界值表：P(χ2≥k)0.400.250.100.010k0.7081.3232.7066.635解(1)填表如下：喜愛(ài)運(yùn)動(dòng)不喜愛(ài)運(yùn)動(dòng)總計(jì)男10616女6814總計(jì)161430(2)假設(shè)是否喜愛(ài)運(yùn)動(dòng)與性別無(wú)關(guān)，由已知數(shù)據(jù)可求得χ2＝eq\f(30×10×8－6×62,16×14×16×14)≈1.1575＜2.706.因此，在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.10的前提下不能判斷喜愛(ài)運(yùn)動(dòng)與性別有關(guān)．(3)喜歡運(yùn)動(dòng)的女志愿者有6人，設(shè)喜歡運(yùn)動(dòng)的女志愿者分別為A，B，C，D，E，F(xiàn)，其中A，B，C，D會(huì)外語(yǔ)，則從這6人中任取2人有AB，AC，AD，AE，AF，BC，BD，BE，BF，CD，CE，CF，DE，DF，EF，共15種取法，其中兩人都不會(huì)外語(yǔ)的只有EF這1種取法．故抽出的志愿者中至少有1人能勝任翻譯工作的概率是P＝1－eq\f(1,15)＝eq\f(14,15).21．(本小題滿分12分)某少數(shù)民族的刺繡工藝有著悠久的歷史．圖①②③④所示為她們刺繡的最簡(jiǎn)單的四個(gè)圖案，這些圖案都是由小正方形構(gòu)成的，小正方形數(shù)越多，刺繡越漂亮．現(xiàn)按同樣的規(guī)律刺繡(小正方形的擺放規(guī)律相同)，設(shè)第n個(gè)圖形包含f(n)個(gè)小正方形．(1)求f(5)的值．(2)利用合情推理的歸納推理思想，歸納出f(n＋1)與f(n)之間的關(guān)系式，并根據(jù)你得到的關(guān)系式求出f(n)的表達(dá)式．(3)求eq\f(1,f1)＋eq\f(1,f2－1)＋eq\f(1,f3－1)＋…＋eq\f(1,fn－1)的值．解(1)f(5)＝41.(2)f(2)－f(1)＝4＝4×1，f(3)－f(2)＝8＝4×2，f(4)－f(3)＝12＝4×3，f(5)－f(4)＝16＝4×4，……由上式規(guī)律，得f(n＋1)－f(n)＝4n.∴f(n＋1)＝f(n)＋4n.∴f(n)＝f(n－1)＋4(n－1)＝f(n－2)＋4(n－1)＋4(n－2)＝f(1)＋4(n－1)＋4(n－2)＋4(n－3)＋…＋4＝2n2－2n＋1.(3)當(dāng)n≥2時(shí)，eq\f(1,fn－1)＝eq\f(1,2nn－1)＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,n－1)－\f(1,n)))，∴eq\f(1,f1)＋eq\f(1,f2－