高考數(shù)學(xué)模擬題立體幾何題

高考數(shù)學(xué)模擬題立體幾何題庫（1-600題）

1、二面角a-/-77是直二面角，Aea,Be,設(shè)直線48與a、所成的角分別為N1和N2,

則

(A)Z1+Z2=9O°(B)Zl+Z2^90°(C)Zl+Z2<90°(D)Zl+Z2<

90°

解析：C

如圖所示作輔助線，分別作兩條可二面角的交線垂直的線，則N1

和N2分別為直線AB與平面a,力所成的角。根據(jù)最小角定理：斜線和平面所成的角，是這條

斜線和平面內(nèi)經(jīng)過斜足的直線所成的一切角中最小的角

ZABO>Z2ZABO+Z1=90°/.Z2+Z1<90°

2.下列各圖是正方體或正四面體，P,Q,R,S分別是所在棱的中點(diǎn)，這四個(gè)點(diǎn)中不去間的一

個(gè)圖是

(D)

B項(xiàng)：如圖°

C項(xiàng)：是個(gè)平行四邊形

D項(xiàng)：是異面直線。

3.有三個(gè)平面a,8,Y,下列命題中正確的是

（A）若a,￡,，兩兩相交，則有三條交線(B)若(z_L￡,a±r,則￡〃y

（C）若a-Lr,=a,BDy=b,則a(D)箱aUB,r=0,則an

r=0

D

解析：A項(xiàng)：如正方體的一個(gè)角，三個(gè)平面相交，只有一條交線。

B項(xiàng)：如正方體的個(gè)角，三個(gè)平面互相垂直，卻兩兩相交。

解析：81cl_L平面ABCB￡1尸8,?如圖:P點(diǎn)到定點(diǎn)B的距離與到定直線

AB的距離相等，建立坐標(biāo)系畫圖時(shí)可以以點(diǎn)BiB的中點(diǎn)為原點(diǎn)建立坐標(biāo)系。

5.在正方體A8CD-4B1GD1中與AD1成60°角的面對(duì)角線的條數(shù)是

(A)4條(B)6條(C)8條(D)10條

C

，另外，這樣的族?屈=

直線也有4條，共8條。

6.設(shè)A,B,C,D是空間不共面的四點(diǎn)，且滿足Qn=0,ACAD=0,,則△BCD是

（A）鈍角三角形（B）直角三角形（C）銳角三角形（D）不確定

C

解析：假設(shè)AB為a,AD為b,AC為c,且a>/?>C則，BD=J/+/,CD=\Jc2+b2,

D

c

BC=+。2如圖則BD為最長(zhǎng)邊，根據(jù)余弦定理

cosZDCB=>0.?.NOCB最大角為銳角。所

以是銳角三角形。

7.設(shè)a、b是兩條不同的直線，a、B是兩個(gè)不同的平面，則下列四個(gè)命題（）

①若aJ_b,aJ_a,則匕〃a②若a〃a,a±/?,則。!p

③a±p,a1則a〃a④若aLb,a1.a,b-L￡,則a_L/3

其中正確的命題的個(gè)數(shù)是()

A.0個(gè)B.1個(gè)C.2個(gè)D.3個(gè)

B解析：注意①中b可能在a上；③中a可能在a上;④中3/a,或力ea均有a_L￡,

故只有?個(gè)正確命題

8.如圖所示，已知正四棱錐s—ABCD側(cè)棱長(zhǎng)為正，底

面邊長(zhǎng)為g,E是SA的中點(diǎn)，則異面直線BE與SC

所成角的大小為)

A.90B.601

C.45D.30

B解析：平移SC到S5,運(yùn)用余弦定理可算得8E

9.對(duì)于平面M與平面N,有下列條件:①M(fèi)、N都垂工F面Q;③M

內(nèi)不共線的三點(diǎn)到N的距離相等;④/,M內(nèi)的兩條直異面直線，且

/〃M,m//M;///N,m//N,則可判定平面M與平面I

()

A.1B.2

C.3C

只有②、⑤能判定W/N,選B

10.已知正三棱柱ABC—AiBiCi中,AjBlCBp則A】B與AJ

所成的角為B

(A)45°(B)60°

(C)90°(D)120°

C1

C解析：作CD±AB于D,作CD于Dv連BQ、AD1,易知ADBR

是平行四邊形，由三垂線定理得AiBLACi，選C。

B

11.正四面體棱長(zhǎng)為1,其外接球的表面積為

/r35

A、3nB.—〃C.—〃D.3萬

22

解析：正四面體的中心到底面的距離為高的皿。（可連成四個(gè)小棱錐得證

12.設(shè)有如下三個(gè)命題：甲：相交直線/、m都在平面a內(nèi)，并且都不在平面B內(nèi)；乙：直線/、

m中至少有一條與平面B相交；丙：平面a與平面B相交.

當(dāng)甲成立時(shí)，

A.乙是丙的充分而不必要條件B.乙是丙的必要而不充分條件

C.乙是丙的充分且必要條件D.乙既不是丙的充分條件又不是丙的必要條件

解析：當(dāng)甲成立，即“相交直線/、m都在平面a內(nèi)，并且都不在平面B內(nèi)”時(shí)，若“/、m中

至少有一條與平面6相交”，則“平面a與平面6相交.”成立；若“平面a與平面B相交”，則

“/、m中至少有一條與平面B相交”也成立.選（C）.

13.已知直線m、n及平面a,其中m〃"，那么在平面a內(nèi)到兩條直線m、n距離相等的點(diǎn)的

集合可能是：（1）一條直線;（2）一個(gè)平面;（3）一個(gè)點(diǎn);（4）空集.其中正確的是.解

析：（1）成立，如m、n都在平面內(nèi)，則其對(duì)稱軸符合條件；（2）成立，m、n在平面a的同一

側(cè)，且它們到a的距離相等，則平面。為所求，（4）成立，當(dāng)m、n所在的平面與平面。垂直

時(shí)，平面a內(nèi)不存在到m、n距離相等的點(diǎn)

14.空間三條直線互相平行，由每?jī)蓷l平行線確定一個(gè)平面,則可確定平面的個(gè)數(shù)為（）

A.3B.1或2C.1或3D.2或3

解析：C如三棱柱的三個(gè)側(cè)面。

15.若a、b為異面直線，直線c〃a,則c與b的位置關(guān)系是（）

A.相交B.異面C.平行D.異面或相交解析：D如正方體的棱長(zhǎng)。

16.在正方體AiBiCiDi—ABCD中，AC與&D所成的角的大小為（）

717t717t二？才

A.—B.—C.—D.5解析：DBiDDi/-'|----l\hj?影BD與AC垂直，根據(jù)三垂

線定理可得。，￥?以

17.如圖，點(diǎn)P、Q、R、S分別在正方體的四條南—f生棱的中點(diǎn)，則直線PQ與RS

是異面直線的一個(gè)圖是（）

006

（A）（B）（C）（D）

已

解析：CA,B選項(xiàng)中的圖形是平行四邊形，而D選項(xiàng)中可見圖：一?

18.如圖，是一個(gè)無蓋正方體盒子的表面展開圖,A、B、C為其上的三個(gè)點(diǎn)，則在正方體盒子

中，NABC等于rq（）

A.45°B.60°A,由B

C.90°D.120°1

A

a

解析：B如圖

★右圖是一個(gè)正方體的展開圖，在原正方體中，有下列命題：

①AB與CD所在直線垂直：②CD與EF所在直線平行

③AB與MN所在直線成60°角;④MN與EF所在直線異面

其中正確命題的序號(hào)是)

A.①③B.①④C.②③D.③④

解析：D

DB

19.線段力，OB,0C不共面，NA0B=NB0C=NCOA=60°,OA=\,OB-2,。03,則△4%是

（）

A.等邊三角形BII等邊的等腰三角形

C.銳角三角形D.鈍角三角形

解析：B.設(shè)AC=x,AB=y,BOz,由余弦定理知：x=r+32-3=7,y-l2+22~2-3,/=2'+3'-6=7,,

a'是不等邊的等腰三角形，選（皮.

7T

20.若ab,/是兩兩異面的直線，a與，所成的角是一，1與抵/與。所成的角都是a,

3

則a的取值范圍是()

715乃p7171,n5萬7171

A.[-,—B，[不X]C.—]D.—

66323662

解析：D

7T

解當(dāng)，與異面直線a,6所成角的平分線平行或重合時(shí)，a取得最小值月，當(dāng)/與a、6的公垂

6

7T

線平行時(shí).，a取得最大值巴，故選（〃）.

2

21.小明想利用樹影測(cè)樹高，他在某一時(shí)刻測(cè)得長(zhǎng)為1m的

竹竿影長(zhǎng)0.9m,但當(dāng)他馬上測(cè)樹高時(shí)，因樹靠近一幢建

筑物，影子不全落在地面上，有一部分影子上了墻如圖所

示.他測(cè)得留在地面部分的影子長(zhǎng)2.7m,留在墻壁部分的

影高1.2m,求樹高的高度（太陽光線可看作為平行光線）

4.2米

CD1.2

解析：樹高為AB,影長(zhǎng)為BE,CD為樹留在墻上的影高,=---,CE=1.08米，

~CE~CE0.9

樹影長(zhǎng)BE=2.7+1.08=3.78米，樹高AB=—BE=4.2米。

0.9

A

22.如圖，正四面體4-BCD（空

間四邊形的四條邊長(zhǎng)及兩對(duì)角

線的長(zhǎng)都相等）中，瓦尸分別是棱ARBC的中點(diǎn)，則

EF和4c所成的角的大小是________.

解析：設(shè)各棱長(zhǎng)為2,則EF=&,取AB的中點(diǎn)為M,

cosNMbE=匕即。=工.

24

23.OX,OY,0Z是空間交于同一點(diǎn)0的互相垂直的三條直

線，點(diǎn)尸到這三條直線的距離分別為3,4,7,則。尸長(zhǎng)

為.

解析：在長(zhǎng)方體。XAY—ZBPC中，0X、。丫、0Z是相交的三條互相垂直的三條直線。又PZ-LOZ,

PY10Y,PX10X,有OX2+OZ2=49,0^=0%2=9,O^+O^IG,

得加必必37,。六屈.

24.設(shè)直線a上有6個(gè)點(diǎn)，直線6上有9個(gè)點(diǎn)，則這15個(gè)點(diǎn)，能確定___個(gè)不同的平面.

解析：當(dāng)直線a，b共面時(shí)，可確定一個(gè)平面；當(dāng)直線a，b異面時(shí)，直線a與b上9個(gè)點(diǎn)可

確定9個(gè)不同平面，直線b與a上6個(gè)點(diǎn)可確定6個(gè)不同平面，所以一點(diǎn)可以確定15個(gè)不同的

平面.

25.在空間四邊形ABCD中，E,F分別是AB,BC的中點(diǎn).求證：EF和AD為異面直線.

解析：假設(shè)EF和AD在同一一平面a內(nèi)，…（2分），則A,B,E,Fea；...（4分）又A,EWAB,

.,.ABCa,........（6分）同理Cea........（8分）故A,B,C,Dea,這與ABCD是

空間四邊形矛盾。；.EF和AD為異面直線.

26.在空間四邊形ABCD中，E,H分別是AB,AD的中點(diǎn)，F(xiàn),G分別是CB,CD的中點(diǎn)，若AC+

BD=a,AC-BD=b,求EG?+77/2.

解析：四邊形EFGH是平行四邊形，.......（4分）

EG2+FH2=2（EF2+FG2）=

-（AC2+BD2）^-（a2-2b）

22

27.如圖,在三角形-ABC中,NACB=903AC=b,BC=a,P

/ABC所在平面外一點(diǎn)，PB±AB,M是PA的中點(diǎn)，

AB±MC,求異面直MC與PB間的距離.

解析：作MN//AB交PB于點(diǎn)N.（2^）VPB±AB,APBIMN.

分）又AB_LMC,（8分）MN即為異面直線MC

的公垂線段，（10分）其長(zhǎng)度就是MC與PB之間的距離，

MN=-AB=-V?2+Z?2.

22

28.已知長(zhǎng)方體ABCD—AiBiQDi中,AiA=AB,E、F分另lj是

BDi和AD中點(diǎn).

（1）求異面直線CDi、EF所成的角；

（2）證明EF是異面直線AD和BDi的公垂線.

（1）解析：?.?在平行四邊形BARG中，E也是4G的中點(diǎn)，（2分）

.??兩相交直線DiC與CD1所成的角即異面直線CD】與EF所成的角.（4分）漢oi

A】A=AB,長(zhǎng)方體的側(cè)面都是正方形

,.,.DiClCDi

.,.異面直線CD1、EF所成的角為90°.（7分）

（2）證：設(shè)AB=AAi=a,VDjF==BF：.EF±BDt,（9分）

由平行四邊形,知E也是A&的中點(diǎn)，且點(diǎn)E是長(zhǎng)方體ABCD—A1B1CR的對(duì)稱中心,

（12分）；.EA=ED,，EF_LAD,又EF_LBDi，EF是異面直線BDi

與AD的公垂線.（14分）

29./ABC是邊長(zhǎng)為2的正三角形，在/ABC所在平面外有

一點(diǎn)P,PB=PC=—,PA=-,延長(zhǎng)BP至D,使BD=J7,E

22

是BC的中點(diǎn)，求AE和CD所成角的大小和這兩條直線間的

距離.

解析：分別連接PE和CD,可證PE〃CD,（2分）則NPEA

即是AE和CD所成角.（4分）在Rt/PBE中，

PB=—,BE=1,.-.PE=-o在/AEP中，AE=5

22

3+3]

cosZAEP=-----------8二—?

2.瓜B2

2

，NAEP=60°,即AE和CD所成角是60°.（7分）

VAE1BC,PE1BC,PE//DC,ACD1BC,ACE為異面直線AE和CD的公垂線段,（12分）它們

之間的距離為L(zhǎng)（14分）

30.在正方體ABCD—AiBiADi中,E,F,G,H,M,N分別是正方體的棱4A,AB,BC,

CG，34的中點(diǎn)，試證：E,F,G,H,M,N六點(diǎn)共面.

解析：：EN〃MF,，EN與MF共面a,（2分）又；EF〃MH,，EF和MH共面』.（4分）：

不共線的三點(diǎn)E,F,M確定一個(gè)平面，（6分）...平面a與△重合，.?.點(diǎn)Hwa。（8分）同理點(diǎn)

Gea.（10分）故E,F,G,H,M,N六點(diǎn)共面.

31.三個(gè)互不重合的平面把空間分成六個(gè)部份時(shí)，它們的交線有（）

A.1條B.2條C.3條D.1條或2條

D

解析：分類：1）當(dāng)兩個(gè)平面平行，第三個(gè)平面與它們相交時(shí)，有兩條交線：2）當(dāng)三個(gè)平面

交于一條

直線時(shí)，有一條交線，故選D

32.兩兩相交的四條直線確定平面的個(gè)數(shù)最多的是（）

A.4個(gè)B.5個(gè)C.6個(gè)D.8個(gè)

解析：C如四棱錐的四個(gè)側(cè)面，C：=6個(gè)。

33..在空間四邊形ABCD的邊AB、BC、CD、DA上分別取E、F、G、H四點(diǎn)如果EF與HG交于

點(diǎn)M,則（）

A.M一定在直線AC上

B.M一定在直線BD上

C.M可能在AC上，也可能在BD上

D.M不在AC上，也不在BD上

解析：：平面ABCC平面ACD=AC,先證MG平面ABC,MG平面ACD,從而MEAC

A

34..用一個(gè)平面去截正方體。其截面是一個(gè)多邊形，則這個(gè)多邊形的邊數(shù)最多是

解析：6條

35.已知：a（za,b（za,ao\b=A,P&b,PQ//a.

求證：PQua..（12分）

本題主要考查用平面公理和推論證明共面問題的方法.

解析：；PQ〃a,二PQ與a確定一個(gè)平面/?,.?.直線au仇點(diǎn)PeP.

■:pwb,bua,:,pea

又,：auaa與/?￡合:.PQua

36.已知少至三邊所在直線分別與平面a交于p、Q、R三點(diǎn)，求證：P、Q、R三點(diǎn)照（12分）

本題主要考查用平面公理和推論證明共線問題的方法

解析：；A、B、C是不在同一直線上的三點(diǎn)

...過A、B、C有一個(gè)平面￡

又,:ABca=P,AABu°

.?.點(diǎn)P既在月內(nèi)又在a內(nèi),設(shè)ac〃“則peI.同理可證：Q"Re/

..P,2,R三點(diǎn)共線.

37.已知：平面ac平面￡=a/ua,bca=A,cu4且c〃a,

求證：b、c是異面直線

解析：反證法：若b與c不是異面直線，則b〃c或b與c相交

（1）若人//c.a//c,aIIb這與ach=A矛盾

（2）若"c相交于5,則5e伉又acb=A、:.Aw。

ABu夕，即b<=儆與bc0=A矛盾

/.仇c是異面直線.

38.在空間四邊形ABCD中，AD=BC=2,E、F分別是AB、CD的中點(diǎn)，EF=Ji,求AD與BC所

成角的大小

（本題考查中位線法求異面二直線所成角）

解析：取BD中點(diǎn)M,連結(jié)EM、MF,則

EM//AD,且EM=-AD=[.MF//BCS.MF=-fiC=l,

22

在中,；EF=若,由余弦定理得cosZEMF=四+知--EF=1+1-3=_1

2-EMMF22

Z.EMF=120°

.?.異面直線AD,BC所成角的大小為60

39.如圖，在正方體ABCD—A1BQD1中,M、N分別為棱AA】和BB1的中點(diǎn),求異面直線CM與

DjN所成角的正弦值.（14分）

（本題考查平移法，補(bǔ)形法等求異面二直線所成角）

4

解析：取DDi中點(diǎn)G,連結(jié)BG,MG,MB,GC得矩形MBCG,

則BG和MC所成的角為異面直線CM與DiN所成的角.

VMC-=MA2+AC2=（3”尸（設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為a）

6

2

BC=a

cos/BOC=—sinZBOC=—

99

而CM與DiN所成角的正弦值為生叵

9

40.如圖，P是正角形ABC所在平面外一點(diǎn)，M、N分別是AB和PCE

（1）求證:MN是AB和PC的公垂線

（2）求異面二直線AB和PC之間的距離

解析：（1）連結(jié)AN,BN,?:△APC與ABPC是全等的正三角形，又

；.AN=BN

又是AB的中點(diǎn)，Z.MN1AB

同理可證MN1PC

又：MNnAB=M,MNAPC=N

AMN是AB和PC的公垂線。

⑵:等:腰在啟形ANB中，...AN=BN=與a,AB=a,:.MN=^AN2-(^AB)2=^a

即異面二直線AB和PC之間的距離為.

2

41空間有四個(gè)點(diǎn)，如果其中任意三個(gè)點(diǎn)都不在同一條直線上，那么經(jīng)過其中三個(gè)點(diǎn)的平

面[]

A.可能有3個(gè)，也可能有2個(gè)B.可能有4個(gè)，也可能有3個(gè)

C.可能有3個(gè)，也可能有1個(gè)D.可能有4個(gè)，也可能有1個(gè)

解析：分類，第一類，四點(diǎn)共面，則有一個(gè)平面，第二類，四點(diǎn)不共面，因?yàn)闆]有任何三點(diǎn)共

線，則任何三點(diǎn)都確定一個(gè)平面，共有4個(gè)。.

42.下列命題中正確的個(gè)數(shù)是[]

①三角形是平面圖形②四邊形是平面圖形

③四邊相等的四邊形是平面圖形④矩形一定是平面圖形

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

解析：命題①是正確的，因?yàn)槿切蔚娜齻€(gè)頂點(diǎn)不共線，所以這三點(diǎn)確定平面。

命題②是錯(cuò)誤，因平面四邊形中的一個(gè)頂點(diǎn)在平面的上、卜方向稍作運(yùn)動(dòng)，就形成了空間四邊

形。命題③也是錯(cuò)誤，它是上?個(gè)命題中比較特殊的四邊形。

命題④是正確的，因?yàn)榫匦伪仨毷瞧叫兴倪呅?，有一組對(duì)邊平行，則確定了一個(gè)平面。

43.如果一條直線上有一個(gè)點(diǎn)不在平面上，則這條直線與這個(gè)平面的公共點(diǎn)最多有_—1個(gè)。

解析：如果有兩個(gè)，則直線就在平面內(nèi)，那么直線上的所有點(diǎn)都在這個(gè)平面內(nèi)，這就與已知有

一個(gè)點(diǎn)不在平面上矛盾，所以這條直線與這個(gè)平面的公共點(diǎn)最多有一個(gè)。

44.空間一條直線及不在這條直線上的兩個(gè)點(diǎn)，如果連結(jié)這兩點(diǎn)的直線與已知直線,則

它們?cè)谕黄矫鎯?nèi)。答案：相交或平行

解析：根據(jù)推論2,推論3確定平面的條件。

45.三角形、四邊形、正六邊形、圓，其中一定是平面圖形的有3個(gè)。

解析：三角形的三個(gè)頂點(diǎn)不在一條直線上，故可確定一個(gè)平面，三角形在這個(gè)平面內(nèi)；圓上任

取三點(diǎn)一定不在條直線上，這三點(diǎn)即確定一個(gè)平面，也確定了這個(gè)圓所在的平面，所以圓是

平面圖形；而正六邊形內(nèi)接于圓，故正六邊形也是平面圖形；而四邊形就不一定是平面圖形了，

它的四個(gè)頂點(diǎn)可以不在同一平面內(nèi)。

46.三條平行直線可以確定平面_______個(gè)。答案：1個(gè)或3個(gè)

解析：分類、一類三線共面，即確定一個(gè)平面，另一類三線不共面，每?jī)蓷l確定一個(gè)，可確定

3個(gè)。

47.畫出滿足下列條件的圖形。

(1)aD0=1,aUa,bUB,aAb=A

(2)anB=a,buB,b〃a

解析：如圖1-8-甲，1-8-乙

圖1-8

48.經(jīng)過平面a外兩點(diǎn)A,B和平面a垂直的平面有幾個(gè)?

解析：一個(gè)或無數(shù)多個(gè)。

當(dāng)A,B不垂直于平面a時(shí)，只有一個(gè)。

當(dāng)A,B垂直于平面a時(shí)，有無數(shù)多個(gè)。

49.設(shè)空間四邊形ABCD,E、F、G、H分別是AC、BC、DB、DA的中點(diǎn)，若AB=12、/5,CD=4J5,

且四邊形EFGH的面積為12下＞,求AB和CD所成的角.

解析：由三角形中位線的性質(zhì)知，HG"B,HEZED,r./HG就是異面直線AB和CD所成的角.

1

,/EFGH是平行四邊形,HG=-AB=6叵,

2

HE=-,CD=2后

2

/.Sira=HG-HE-sin/HG=12幾sin/HG,」.12癡sin/HG

=12技

叵

：.sin^￡HG=-—，故ZHG=45。.

2

AB和CD所成的角為45。

注：本例兩異面直線所成角在圖中已給，只需指出即可。

50.點(diǎn)A是BCD所在平面外一點(diǎn),AD=BC,E、F分別是AB、

CD的中點(diǎn)，且EF=Y-AD,求異面直線AD和BC所成的角。

2

（如圖）

解析：設(shè)G是AC中點(diǎn)，連接DG、FGo因D、F分別是AB、

CD中點(diǎn)，故EG/BC且EG=』BC,FGdD,且FG=，AD,由異

22

面直線所成角定義可知EG叮FG所成銳角或直角為異面直線

AD、BC所成角，即/GF為所求。由BC=AD知EG=GF=，AD,

2

又EF=AD,由余弦定理可得cos/GF=0,即*GF=90。。

注：本題的平移點(diǎn)是AC中點(diǎn)G,按定義過G分別作

出了兩條異面直線的平行線，然后在4EFG中求角。通常在出現(xiàn)線段中點(diǎn)時(shí)，常取另?線段中

點(diǎn)，以構(gòu)成中位線，既可用平行關(guān)系，又可用線段的倍半關(guān)系。

51-100

51.已知空間四邊形ABCD中，AB=BC=CD=DA=DB=AC,M、N分別為BC、AD的中點(diǎn)。

求：AM與CN所成的角的余弦值；

解析：⑴連接DM,過N作NE〃AM交DM于E,則NCNE

為AM與CN所成的角。

VN為AD的中點(diǎn),NE〃AM省ANE=-AM且E為MD的中點(diǎn)。

2

nl1V3V3u1

設(shè)正四面體的棱長(zhǎng)為1.貝NC=----------=—且ME=-MD=

2242

317

在RtZXMEC中，CE=ME2+CM=—+-=一

16416

CN2+NE2-CE22

.?.cos/CNE=4416

2-CN-NE3

L,------,-------

44

7T

又?.?/CNEe（0,—）

2

2

...異面直線AM與CN所成角的余弦值為一.

3

注：1、本題的平移點(diǎn)是N,按定義作出了異面直線中一條的平行線，然后先在4CEN外計(jì)算CE、

CN、ENK,再回到4CEN中求角。

2、作出的角可能是異面直線所成的角，也可能是它的鄰補(bǔ)角，在直觀圖中無法判定，只有通過

解三角形后，根據(jù)這個(gè)角的余弦的正、負(fù)值來判定這個(gè)角是銳角（也就是異面直線所成的角）

或鈍角（異面直線所成的角的鄰補(bǔ)角）。最后作答時(shí)，這個(gè)角的余弦值必須為正。

52..如圖所示，在空間四邊形ABCD中，點(diǎn)E、F分別是BC、AD上的點(diǎn)，已知AB=4,CD=20,

ApRF1

EF=7,—=—=-求異面直線AB與CD所成的角。

FDEC3o

解析：在BD上取一點(diǎn)G,使得也=」,連結(jié)EG、FGC

GD3

.,BEBG,,?

在ABCD中，一=—,故EG//CD,并且「

ECGDE

EGBE

BG

所以，EG=5；類似地，可證FG//AB,且空=空=3,AFD

ABAD4

故FG=3,在AEFG中，利用余弦定理可得

cosZ

B

A

EG2+GF2-EF232+52-72

故NFGE=120°。

2-EGGF-—2-3-52

另一方面，由前所得EG〃CD,FG//AB,所以EG與FG所成的銳角等于AB與CD所成的

角，于是AB與CD所成的角等于60°。

53.在長(zhǎng)方體ABCD—ABCD中，AAFC,AB=a,AD=b,且a>b.求AG與BD所成的角的余弦.

解一：連AC,設(shè)ACABD=0,則0為AC中點(diǎn)，取GC的中點(diǎn)F,連OF,則OF〃ACIKOF=-AC1,

2

所以/FOB即為AC1與DB所成的角。在AFOB中，OB=-y/a2+b2,OF=-Va2+b2+c2,

22

cosZDi5

-(a2+Z>2)+-(a2+&2+c2)-(/>2+-c2)Ai

0B=4--------J4JFBi

2■—7a2+b2-yla2+b2+c2G

4D。

_______八/_______

y/(a2+b2)(a2+b2+c2)

解二：取AG中點(diǎn)0“BB中點(diǎn)G.在△COG中，NG0G即AC1與DB所成的角。

解三：.延長(zhǎng)CD到E,使ED=DC.則ABDE為平行四邊形.AE/7BD,所以NEAG即為AG與BD所

成的角.連EC,在△AEC1

中，AE=da，+/,ACl=Va2+b2+c2,ClE=，4a2+c‘由余弦定理，得

(a2+b2)+(a2+b2+c2)-(4a2+c2)b2-a2

cosNEACi=--------=—/-----=------------------------

2-yrJa2+b2-Va2+b2+c27(a2+^2)(a2+b2+c2)

所以/EAG為鈍角.

根據(jù)異面直線所成角的定義，AG與BD所成的角的余弦為s〃二

7（?2+&2）（?2+&2+c2）

54.已知AO是平面a的斜線，A是斜足，0B垂直a,B為垂足，則

直線AB是斜線在平面a內(nèi)的射影，設(shè)AC是a內(nèi)的任一條o直線,

解析：設(shè)A0與AB所成角為。1,AB與AC所成角為%，A。/與AC

所成角為。，則有COS。=COS。］-cos。？。/

在三棱錐s—ABC中，NSAB=NSAC=

ZACB=90\AC=2,BC=6,SB=4^,求異面直線SC與AB所成角的大小。（略去了該

題的1,2問）

由SAJ_平面ABC知，AC為SC在平面ABC內(nèi)的射影,

設(shè)異面直線SC與AB所成角為。，

則cos0=cosZSCA-cosZBAC,

由AC=2,BC=0,58=場(chǎng)得

AB=/^,SA=26,SC=2

2

/?cosNSCA—cosZBAC

2Vn

V17J17

/.cos0=---,即異面直線SC與AB所成角為arccos----。

1717

55.已知平行六面體的底面ABCD是菱形，且

NCQB=NGCD=NBCD=60°,證明CtClBD=

（略去了該題的2,3問）

解析：設(shè)G在平面ABCD內(nèi)射影為H,則CH為G。在平面ABCD

內(nèi)的射影,

/.cosZC^D-cosZCtCHcosZDCH,

cosZCfCB=cosZCtCHcosZBCH,

由題意ZC,CD=ZC,CB,，cosZDCH=cosNBCH?

又:NDCH,NBCHw[0,7i)

ZDCH=NBCH,從而CH為ZDCB的平分線,

又四邊形ABCD是菱形，,CHLBD

.??G。與BD所成角為90°,即GCL5O

56..在正四面體ABCD中，E,F分別為BC,AD的中點(diǎn),

求異面直線AE與CF所成角的大小。

解析：連接BF、EF,易證AD_L平面BFC,

EF為AE在平面BFC內(nèi)的射影，

設(shè)AE與CF所成角為。，

cos0=cosZAEF-cosZCFE,

設(shè)正四面體的棱長(zhǎng)為。，則AE=C/=8/=立。，

2

6

顯然EF1BC,??.EF=—a

2

EFV6EFV6

cosZAEF^——=J,cosAAFE=—=—

AE3CF3

22

cos0=—,即AE???與CF所成角為arccos—o

33

57.三棱柱。平面耳01_L平面。AB,

/。1。8=60°,乙4。8=90°,且。8=。。1=2,04=6,求異面直線4乃與A。1所成角的

大小，（略去了該題的1問）

解析：在平面5。1內(nèi)作8。，。01于C,連AQ,

由平面8。。倒_1平面AOB,乙408=90"知,

A0,平面BOO1用,???AO.LBC,A

又AOryOO]O,，BC_L平面AOO|A,

...4。為4建在平面4。。14內(nèi)的射影。

設(shè)與AOi所成角為e,4。與A。1所成角為。2,

則cos。=cosABA}Ccos02,

由題意易求得BC=GA1C=2,A\B=#i,

AC2

cosN8A]C=—■—=-,

V7

cos0V7

在矩形AOOiA中易求得AC與A。1所成角與的余弦值:2u

/.cos0=cosZBA,C-cos0=—

1297

即AB與AO1所成角為arccos—o

117

58.已知異面直線a與6所成的角為50°,P為空間一定點(diǎn)，則過點(diǎn)P且與a,b所成的角均是

30°的直線有且只有（）

A、1條B、2條C、3條D、4條

解析：過空間?點(diǎn)P作?！╝,則由異面直線所成角的定義知：a與b的交角為50°,

過P與a,6成等角的直線與a,6亦成等角，設(shè)a,5確定平面a,a,6交角的平分線

為/，則過/且與a垂直的平面（設(shè)為p）內(nèi)的任一直線，'與a,6成等角（證明從略），由上

述結(jié)論知：1與a,6所成角大于或等于/與a,6所成角25°,這樣在P內(nèi)/的兩側(cè)與a,b'

成30°角的直線各有一條，共兩條。在a,從相交的另一個(gè)角130°內(nèi)，同樣可以作過130。角

平分線且與a垂直的平面丫，由上述結(jié)論知，丫內(nèi)任一直線與a,5所成角大于或等于65°,

所以Y內(nèi)沒有符合要求的直線，因此過P與“，b成30。的直線有且只有2條，故選（B）

59.垂直于同一條直線的兩條直線的位置關(guān)系是（)

A.平行B相交

C屏面D.以上都有可能

解析：D

60.li、1是兩條異面直線，直線隊(duì)、m2與li、I2都相交，則mi、m2的位置關(guān)系是（)

A.異面或平行B相交

C.異面D.相交或異面

61.在正方體ABCD-AECD中，與棱AA，異面的直線共有兒條

（）

A.4B.6

C.8D.10

解析：A

62.在正方體ABCD-AECD，中12條棱中能組成異面直線的總對(duì)數(shù)是

（）

A.48對(duì)B.24對(duì)

C.12對(duì)D.6對(duì)

解析：B

棱AN有4條與之異面，所以，所有棱能組成4X12=48對(duì)，但每?對(duì)都重

復(fù)計(jì)算一次，共有24對(duì)I

63..正方體ABCD-AECU中屏面直線CD，和BU所成的角的度數(shù)是（）

A.45°B.60°

C.90°D.120°

解析:B

/AD，C=60°即為異面直線CD，和BC所成的角的度數(shù)為60°

64.異面直線a、b,alb,c與a成30°角，則c與b成角的范圍是

()

田［川

A.B.

「九27tl

LTTJ

直線c在位置C2時(shí)，它與b成角的最大值為90。，直線c在cl位置

時(shí)，它與b成角的最小值是60°

65..如圖，空間四邊形ABCD的各邊及對(duì)角線長(zhǎng)都是1,點(diǎn)M在邊AB上運(yùn)動(dòng)、點(diǎn)Q在邊CD上

運(yùn)動(dòng)，則P、Q的最短距離為（）

1723。

A由一