2022年北京首都師大二附中初二（下）期中數(shù)學(xué)試卷及答案

1/12022北京首都師大二附中初二（下）期中數(shù)學(xué)一、選擇題（本題共30分，每小題3分）第1-10題均有四個(gè)選項(xiàng)，符合題意的選項(xiàng)只有一個(gè).1．以下列各組數(shù)為邊長(zhǎng)，能構(gòu)成直角三角形的是A．4、5、6 B．1、2、3 C．1、2、 D．1、3、52．下列各式中，不正確的是A． B． C． D．3．平行四邊形的一邊長(zhǎng)為，周長(zhǎng)為，則這條邊的鄰邊長(zhǎng)是A． B． C． D．4．下列二次根式中，與能合并的是A． B． C． D．5．在中，，則的度數(shù)為A． B． C． D．6．如圖，某公園的一塊草坪旁邊有一條直角小路，公園管理處為了方便群眾，沿修了一條近路，已知米，米，則走這條近路可以少走米路．A．20 B．30 C．40 D．507．如圖，，，，，的面積為6，則四邊形的面積為A．32 B．20 C．12 D．68．如圖，四邊形的對(duì)角線，交于點(diǎn)，則不能判斷四邊形是平行四邊形的是A．， B．， C．， D．，9．如圖，由兩個(gè)直角三角形和三個(gè)大正方形組成的圖形，其中陰影部分面積是A．16 B．25 C．144 D．16910．如圖，中，，，垂直平分于點(diǎn)，則的長(zhǎng)為A． B． C． D．二、填空題（本題共16分，每小題2分）11．（2分）若在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，則的取值范圍是．12．（2分）如圖，在數(shù)軸上點(diǎn)表示的實(shí)數(shù)是．13．（2分）某地需要開(kāi)辟一條隧道，隧道的長(zhǎng)度無(wú)法直接測(cè)量，如圖所示，在地面上取一點(diǎn)，使到、兩點(diǎn)均可直接到達(dá)，測(cè)量找到和的中點(diǎn)、，測(cè)得的長(zhǎng)為，則隧道的長(zhǎng)度為．14．（2分）已知：在中，對(duì)角線、相交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的直線分別交于、于，，，則的面積是．15．（2分）對(duì)角線互相垂直的四邊形叫做“垂美”四邊形，現(xiàn)有如圖所示“垂美”四邊形，對(duì)角線，交于點(diǎn)，若，，則．16．（2分）如圖在平面直角坐標(biāo)系中，為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，直角坐標(biāo)系中存在點(diǎn)，使得點(diǎn)，，，四點(diǎn)構(gòu)成平行四邊形，則點(diǎn)坐標(biāo)為．17．（2分）“趙爽弦圖”巧妙地利用“出入相補(bǔ)”的方法證明了勾股定理．小明受此啟發(fā)，探究后發(fā)現(xiàn)，若將4個(gè)直角邊長(zhǎng)分別為、，斜邊長(zhǎng)為的直角三角形拼成如圖所示的五邊形，用等積法也可以證明勾股定理，則小明用兩種方法表示五邊形的面積分別是（用含有、、的式子表示），．18．（2分）如圖，在中，，于，于，、交于，，的延長(zhǎng)線交于，給出下列結(jié)論：①；②；③；④若平分，則；其中正確的結(jié)論有．（填序號(hào)）三、解答題（本題共54分，第19-22題，每小題8分，第23-25題，每小題8分，第26，27題，每小題8分，第28題7分）解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、演算步驟或證明過(guò)程.19．（8分）計(jì)算：（1）；（2）20．（4分）計(jì)算：．21．（4分）如圖，的對(duì)角線，交與點(diǎn)，、分別是、的中點(diǎn)．求證：．22．（4分）已知，求的值．23．（5分）如圖，已知平行四邊形的一個(gè)內(nèi)角及其兩邊長(zhǎng)，．（1）用尺規(guī)補(bǔ)全平行四邊形，請(qǐng)保留作圖痕跡并說(shuō)明你的作圖依據(jù)；（2）點(diǎn)是邊上任意一點(diǎn)，只用一把無(wú)刻度的直尺在邊上作點(diǎn)，使得，簡(jiǎn)要說(shuō)明你的作圖過(guò)程．24．（5分）如圖，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1，，，，均為格點(diǎn)．（1）四邊形的面積為，四邊形的周長(zhǎng)為；（2）是直角嗎？說(shuō)明理由．25．（5分）如圖，在中，，，，現(xiàn)將它折疊，使點(diǎn)與重合，求折痕的長(zhǎng)．26．（6分）如圖，在中，，，．點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)沿方向以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)的速度向點(diǎn)勻速運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)沿方向以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)的速度向點(diǎn)勻速運(yùn)動(dòng)，當(dāng)其中一個(gè)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一個(gè)點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)點(diǎn)，運(yùn)動(dòng)的時(shí)間是秒．過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，連接，．（1）求，的長(zhǎng)；（2）求證：；（3）當(dāng)為何值時(shí)，為直角三角形？請(qǐng)說(shuō)明理由．27．（6分）數(shù)學(xué)教育家波利亞曾說(shuō)：“對(duì)一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題，改變它的形式，變換它的結(jié)構(gòu)，直到發(fā)現(xiàn)有價(jià)值的東西，這是數(shù)學(xué)解題的一個(gè)重要原則”．材料一：平方運(yùn)算和開(kāi)平方運(yùn)算是互逆運(yùn)算．如，那么．如何將雙重二次根式化簡(jiǎn)？我們可以把轉(zhuǎn)化為完全平方的形式，因此雙重二次根式得以化簡(jiǎn)．材料二：在直角坐標(biāo)系中，對(duì)于點(diǎn)和給出如下定義：若，則稱點(diǎn)為點(diǎn)的“橫負(fù)縱變點(diǎn)”．例：點(diǎn)的“橫負(fù)縱變點(diǎn)”為，點(diǎn)的“橫負(fù)縱變點(diǎn)”為．請(qǐng)選擇合適的材料解決下面的問(wèn)題：（1）點(diǎn)的“橫負(fù)縱變點(diǎn)”為，點(diǎn)的“橫負(fù)縱變點(diǎn)”為；（2）化簡(jiǎn)：；（3）已知為常數(shù)，點(diǎn)，且，點(diǎn)是點(diǎn)的“橫負(fù)縱變點(diǎn)”，則點(diǎn)的坐標(biāo)是．28．（7分）如圖1，點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)分別，，且，將線段繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段．（1）直接寫(xiě)出，，點(diǎn)的坐標(biāo)為；（2）如圖2，作軸于點(diǎn)，點(diǎn)是的中點(diǎn)，點(diǎn)在內(nèi)部，，求證：．（3）如圖3，點(diǎn)是第二象限內(nèi)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若，求線段的最大值．

參考答案一、選擇題（本題共30分，每小題3分）第1-10題均有四個(gè)選項(xiàng)，符合題意的選項(xiàng)只有一個(gè).1．【分析】根據(jù)勾股定理的逆定理可以判斷各個(gè)選項(xiàng)的三條線段能否構(gòu)成直角三角形，本題得以解決．【解答】解：，故選項(xiàng)中的三條線段不能構(gòu)成直角三角形；，故選項(xiàng)中的三條線段不能構(gòu)成直角三角形；，故選項(xiàng)中的三條線段能構(gòu)成直角三角形；，故選項(xiàng)中的三條線段不能構(gòu)成直角三角形；故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查勾股定理的逆定理，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用勾股定理的逆定理解答．2．【分析】直接利用二次根式的性質(zhì)分別計(jì)算得出答案．【解答】解：，故此選項(xiàng)符合題意；．，故此選項(xiàng)不合題意；．，故此選項(xiàng)不合題意；．，故此選項(xiàng)不合題意；故選：．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了二次根式的性質(zhì)，正確化簡(jiǎn)二次根式是解題關(guān)鍵．3．【分析】根據(jù)平行四邊形的對(duì)邊相等，得平行四邊形的一組鄰邊的和等于周長(zhǎng)的一半，即，已知一邊長(zhǎng)可求另一邊長(zhǎng)．【解答】解：平行四邊形周長(zhǎng)為28，一邊長(zhǎng)與另一邊長(zhǎng)和為14，另一邊長(zhǎng)．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題，其中運(yùn)用了平行四邊形的對(duì)邊相等的性質(zhì)．4．【分析】各式化簡(jiǎn)后，利用同類二次根式定義判斷即可．【解答】解：、原式，不符合題意；、原式，不符合題意；、原式，不符合題意；、原式，符合題意．故選：．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了同類二次根式，以及二次根式的性質(zhì)與化簡(jiǎn)，熟練掌握各自的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．5．【分析】直接利用“平行四邊形的對(duì)角相等”、“兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)”即可得出答案．【解答】解：四邊形是平行四邊形，，．．，．，故選：．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)，正確把握平行四邊形各角之間的關(guān)系是解題關(guān)鍵．6．【分析】根據(jù)勾股定理求出即可解決問(wèn)題．【解答】解：在中，米，米，（米，（米，他們踩壞了50米的草坪，只為少走20米的路．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是理解題意正確應(yīng)用勾股定理．7．【分析】先判斷四邊形為平行四邊形得到，則，再利用得到點(diǎn)和點(diǎn)到的距離相等，設(shè)點(diǎn)到的距離為，利用的面積為6可計(jì)算出，然后根據(jù)平行四邊形的面積公式計(jì)算四邊形的面積．【解答】解：，，四邊形為平行四邊形，，，，點(diǎn)和點(diǎn)到的距離相等，設(shè)點(diǎn)到的距離為，的面積為6，，解得，四邊形的面積．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形的面積：三角形的面積等于底邊長(zhǎng)與高線乘積的一半，即底高．也考查了平行線的性質(zhì)．8．【分析】利用所給條件結(jié)合平行四邊形的判定方法進(jìn)行分析即可．【解答】解：、，．，四邊形是平行四邊形，故此選項(xiàng)不合題意；、，．又，四邊形是平行四邊形，故此選項(xiàng)不合題意；、，，點(diǎn)平分、．四邊形是平行四邊形，故此選項(xiàng)不合題意；、根據(jù)，不能判定四邊形是平行四邊形，故此選項(xiàng)合題意；故選：．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了平行四邊形的判定，關(guān)鍵是掌握（1）兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形．（2）兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形．（3）一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形．（4）兩組對(duì)角分別相等的四邊形是平行四邊形．（5）對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形．9．【分析】根據(jù)勾股定理解答即可．【解答】解：根據(jù)勾股定理得出：，，陰影部分面積是25，故選：．【點(diǎn)評(píng)】此題考查勾股定理，關(guān)鍵是根據(jù)如果直角三角形的兩條直角邊長(zhǎng)分別是，，斜邊長(zhǎng)為，那么解答．10．【分析】根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到，由等腰三角形的性質(zhì)得到，根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)得到，求得，根據(jù)三角函數(shù)的定義即可得到結(jié)論．【解答】解：垂直平分于點(diǎn)，，，，，，，，，，故選：．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)以及含角的直角三角形的性質(zhì)．二、填空題（本題共16分，每小題2分）11．【分析】直接利用二次根式有意義的條件進(jìn)而得出答案．【解答】解：若在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，則，解得：．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了二次根式有意義的條件，正確把握二次根式的定義是解題關(guān)鍵．12．【分析】根據(jù)勾股定理，可得圓的半徑，根據(jù)圓的性質(zhì)，可得答案．【解答】解：如圖，由勾股定理，得，由圓的性質(zhì)，得，點(diǎn)表示的實(shí)數(shù)是，故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了實(shí)數(shù)與數(shù)軸，利用勾股定理得出的長(zhǎng)是解題關(guān)鍵．13．【分析】根據(jù)三角形中位線定理解答即可．【解答】解：點(diǎn)、分別為和的中點(diǎn)，是的中位線，，故答案為：2200．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是三角形中位線定理，掌握三角形的中位線平行于第三邊，且等于第三邊的一半是解題的關(guān)鍵．14．【分析】利用平行四邊形的性質(zhì)可證明，所以可得的面積為3，進(jìn)而可得的面積為8，又因?yàn)榈拿娣e的面積，進(jìn)而可得問(wèn)題答案．【解答】解：四邊形是平行四邊形，，，又，，的面積為3，，的面積為8，的面積的面積，的面積，故答案為：32．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)及全等三角形的判定，解答本題需要掌握兩點(diǎn)：①平行四邊形的對(duì)邊相等且平行，②全等三角形的對(duì)應(yīng)邊、對(duì)應(yīng)角分別相等．15．【分析】在和中，根據(jù)勾股定理得，，進(jìn)一步得，再根據(jù)，，最后求得．【解答】解：，，在和中，根據(jù)勾股定理得，，，，，，；故答案為：136．【點(diǎn)評(píng)】本題考查勾股定理的應(yīng)用，熟練掌握勾股定理在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用，從題中抽象出勾股定理這一數(shù)學(xué)模型是解題關(guān)鍵．16．【分析】由平行四邊形的性質(zhì)：平行四邊形的對(duì)邊平行且相等，即可求得點(diǎn)的坐標(biāo)；注意三種情況．【解答】解：如圖所示：以、、、為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，，，，三種情況：①當(dāng)為對(duì)角線時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)為；②當(dāng)為對(duì)角線時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)為；③當(dāng)為對(duì)角線時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)為；故答案為或或．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了平行四邊形的性質(zhì)：平行四邊形的對(duì)邊平行且相等．解題的關(guān)鍵是要注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．17．【分析】五邊形的面積邊長(zhǎng)為的正方形面積個(gè)全等的直角邊分別為，的直角三角形的面積，或五邊形的面積邊長(zhǎng)為的正方形面積邊長(zhǎng)為的正方形面積個(gè)全等的直角邊分別為，的直角三角形的面積，依此列式計(jì)算即可求解．【解答】解：如圖所示：①，②．故答案為：，．【點(diǎn)評(píng)】本題考查利用圖形面積的關(guān)系證明勾股定理，解題關(guān)鍵是利用三角形和正方形邊長(zhǎng)的關(guān)系進(jìn)行組合圖形．18．【分析】①由題意可知是等腰直角三角形，故此可得到；②由，證明即可；③先證明，從而得到，然后由平行四邊形的性質(zhì)可知；④連接，證是等腰直角三角形，，設(shè)，得出，進(jìn)而得出．【解答】解：，，，，，由勾股定理得：，即，①正確；，，，，，，四邊形是平行四邊形，，，，，②正確；在和中，，，，，，，③正確；連接，如圖：平分，，，，，，是等腰直角三角形，，，，設(shè)，，，，④正確；故答案為：①②③④．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)；熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)，證明三角形全等是解此題的關(guān)鍵．三、解答題（本題共54分，第19-22題，每小題8分，第23-25題，每小題8分，第26，27題，每小題8分，第28題7分）解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、演算步驟或證明過(guò)程.19．【分析】（1）先化簡(jiǎn)，再算除法，最后算加減即可；（2）先利用乘法分配律進(jìn)行運(yùn)算，再算加減即可．【解答】解：（1）；（2）．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查二次根式的混合運(yùn)算，解答的關(guān)鍵是對(duì)相應(yīng)的運(yùn)算法則的掌握．20．【分析】首先計(jì)算零指數(shù)冪、開(kāi)方和絕對(duì)值，然后從左向右依次計(jì)算，求出算式的值即可．【解答】解：．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了實(shí)數(shù)的運(yùn)算，解答此題的關(guān)鍵是要明確：在進(jìn)行實(shí)數(shù)運(yùn)算時(shí)，和有理數(shù)運(yùn)算一樣，要從高級(jí)到低級(jí)，即先算乘方、開(kāi)方，再算乘除，最后算加減，有括號(hào)的要先算括號(hào)里面的，同級(jí)運(yùn)算要按照從左到右的順序進(jìn)行．21．【分析】由全等三角形的判定定理證得，則該全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等：．【解答】證明：如圖，四邊形是平行四邊形，對(duì)角線、交于點(diǎn)，，．又，分別是、的中點(diǎn)，，，．在與中，，，．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)的運(yùn)用．此題運(yùn)用了平行四邊形的對(duì)角線互相平分的性質(zhì)和全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等的性質(zhì)．22．【分析】根據(jù)完全平方公式即可求出答案．【解答】解：，，，【點(diǎn)評(píng)】本題考查二次根式，解題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用完全平方公式，本題屬于基礎(chǔ)題型．23．【分析】（1）分別以，為圓心，，為半徑作弧，兩弧交于點(diǎn)，連接，即可．（2）連接，交于點(diǎn)，連接，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，點(diǎn)即為所求．【解答】解：（1）如圖，四邊形即為所求；理由：由作圖可知，，，四邊形是平行四邊形．（2）如圖，點(diǎn)即為所求．步驟：連接，交于點(diǎn)，連接，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，點(diǎn)即為所求．【點(diǎn)評(píng)】本題考查作圖復(fù)雜作圖，解題的關(guān)鍵是熟練掌握五種基本作圖，屬于中考常考題型．24．【分析】（1）根據(jù)四邊形的面積為，進(jìn)行計(jì)算即可解答，再利用勾股定理分別求出，，，的長(zhǎng)，進(jìn)行計(jì)算即可解答；（2）利用勾股定理的逆定理，進(jìn)行計(jì)算即可解答．【解答】解：（1）如圖：四邊形的面積為，四邊形的面積為17.5，由題意得：，，，，，四邊形的周長(zhǎng)為，故答案為：17.5，；（2）是直角，理由：連接，由（1）得：，，，，是直角三角形，，是直角．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了勾股定理的逆定理，勾股定理，熟練掌握勾股定理的逆定理是解題的關(guān)鍵．25．【分析】由折疊的性質(zhì)，可得：，，則可證得，然后由相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例，求得折痕的長(zhǎng)．【解答】解：由折疊的性質(zhì)可得：，，，是公共角，，，，解得：．答：折痕的長(zhǎng)為．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了折疊的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)以及勾股定理的逆定理．注意掌握折疊前后圖形的對(duì)應(yīng)關(guān)系，注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．26．【分析】（1）由直角三角形的性質(zhì)和勾股定理得出方程，解方程即可；（2）利用已知用未知數(shù)表示出，的長(zhǎng)，進(jìn)而得出；（3）利用①當(dāng)時(shí)；②當(dāng)時(shí)；③當(dāng)時(shí)，分別分析得出即可．【解答】（1）解：設(shè)，，，．由勾股定理得，，解得：，，；（2）證明：由題意得，，，則，在中，，，，．又，；（3）解：當(dāng)秒或