江蘇省高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)知識點按難度與題型歸納數(shù)學(xué)應(yīng)試筆記

(WORD)-2013江蘇省高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)知識點按難度與題型歸納(數(shù)學(xué)應(yīng)試筆記)2013江蘇省高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)知識點按難度與題型歸納(數(shù)學(xué)應(yīng)試筆記)江蘇省高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)知識點按難度與題型歸納(數(shù)學(xué)應(yīng)試筆記)第I卷160分部分一、填空題答卷提醒:重視填空題的解法與得分，盡可能減少失誤，這是取得好成績的基石!A、1,4題，基礎(chǔ)送分題，做到不失一題～A1.集合性質(zhì)與運算1、性質(zhì):?任何一個集合是它本身的子集，記為AA;?空集是任何集合的子集，記為A;?空集是任何非空集合的真子集;如果AB，同時BA，那么A=B(如果AB，BC，那么AC(【注意】:?Z={整數(shù)}(?)Z={全體整數(shù)}(×)?已知集合S中A的補集是一個有限集，則集合A也是有限集((×)?空集的補集是全集(?若集合A=集合B，則CBA=，CAB=CS(CAB)=D(注:CAB=)(2、若,={a1,a2,a3an}，則,的子集有2n個，真子集有2n,1個，非空真子集有2n,2個.3、A(BC)(AB)(AC),A(BC)(AB)(AC);(AB)CA(BC),(AB)CA(BC)4、DeMorgan公式:CU(AB)CUACUB;CU(AB)CUACUB.【提醒】:數(shù)軸和韋恩圖是進行交、并、補運算的有力工具.在具體計算時不要忘了集合本身和空集這兩種特殊情況，補集思想常運用于解決否定型或正面較復(fù)雜的有關(guān)問題。A2.命題的否定與否命題*1.命題pq的否定與它的否命題的區(qū)別:命題pq的否定是pq,否命題是pq.命題“p或q”的否定是“p且q”,“p且q”的否定是“p或q”.*2.?？寄Ｊ?全稱命題p:,xM,p(x);全稱命題p的否定p:,xM,p(x).特稱命題p:,xM,p(x);特稱命題p的否定p:,xM,p(x).A3.復(fù)數(shù)運算*1.運算律:?zmznzm,n;?(zm)nzmn;?(z1z2)mz1mz2m(m,nN).【提示】注意復(fù)數(shù)、向量、導(dǎo)數(shù)、三角等運算率的適用范圍.*2.模的性質(zhì):?|z1z2||z1||z2|;?|*3.重要結(jié)論:?|z1,z2|,|z1,z2|2(|z1|,|z2|?z1z22222222z1|z1|nn|;?zz.z2|z2|);1,i1,i,i，i;1,i1,i,i,i4n1.122i.1zz;?,1i,2i;?4n,1?i性質(zhì):T=4;i3i,i4n,2,1,i4n,32【拓展】:1,,1,,,,1,01或,A4.冪函數(shù)的的性質(zhì)及圖像變化規(guī)律:(1)所有的冪函數(shù)在(0,,)都有定義，并且圖像都過點(1,1);(2)a0時，冪函數(shù)的圖像通過原點，并且在區(qū)間[0,,)上是增函數(shù)(特別地，當a1時，冪函數(shù)的圖像下凸;當0a1時，冪函數(shù)的圖像上凸;(3)a0時，冪函數(shù)的圖像在區(qū)間(0,,)上是減函數(shù)(在第一象限內(nèi)，當x從右邊趨向原點時，圖像在y軸右方無限地逼近y軸正半軸，當趨于時，圖像在軸上方無限地逼近軸正半軸(【說明】:對于冪函數(shù)我們只要求掌握a1,2,3,1,1的這5類，它們的圖像都經(jīng)過一個定點(0,0)和(0,1)，23并且x,1時圖像都經(jīng)過(1,1)，把握好冪函數(shù)在第一象限內(nèi)的圖像就可以了.A5.統(tǒng)計1.抽樣方法:(1)簡單隨機抽樣(抽簽法、隨機樣數(shù)表法)常常用于總體個數(shù)較少時，它的主要特征是從總體中逐個抽取.(2)分層抽樣，主要特征分層按比例抽樣，主要使用于總體中有明顯差異.共同點:每個個體被抽到的概率都相等(n).N2.總體分布的估計就是用總體中樣本的頻率作為總體的概率.總體估計掌握:一“表”(頻率分布表);兩“圖”(頻率分布直方圖和莖葉圖).?頻率分布直方圖用直方圖反映樣本的頻率分布規(guī)律的直方圖稱為頻率分布直方圖。頻率分布直方圖就是以圖形面積的形式反映了數(shù)據(jù)落在各個小組內(nèi)的頻率大小.頻數(shù)?頻率=.樣本容量頻率?小長方形面積=組距×=頻率.組距?所有小長方形面積的和=各組頻率和=1.【提醒】:直方圖的縱軸(小矩形的高)一般是頻率除以組距的商(而不是頻率)，橫軸一般是數(shù)據(jù)的大小，小矩形的面積表示頻率.?莖葉圖當數(shù)據(jù)是兩位有效數(shù)字時，用中間的數(shù)字表示十位數(shù)，即第一個有效數(shù)字，兩邊的數(shù)字表示個位數(shù)，即第二個有效數(shù)字，它的中間部分像植物的莖，兩邊像植物莖上長出來的葉子，這種表示數(shù)據(jù)的圖叫做莖葉圖。3.用樣本的算術(shù)平均數(shù)作為對總體期望值的估計;11n樣本平均數(shù):x(x1,x2,,xn)xinni14.用樣本方差的大小估計總體數(shù)據(jù)波動性的好差(方差大波動差).(1)一組數(shù)據(jù)x1,x2,x3,,xn?樣本方差11n1n21n2222S[(x1,),(x2,),,(xn,)](xi,)(xi),(xi)2;ni1ni1ni1n2?樣本標準差(2)兩組數(shù)據(jù)x1,x2,x3,,xn與y1,y2,y3,,yn,其中yaxi,b,i1,2,3,,n.則,b,它們的方差為SyaSx,標準差為y|a|x?若x1,x2,,xn的平均數(shù)為x，方差為s，則ax1,b,ax2,b,,axn,b的平均數(shù)為ax,b，方差為as.222樣本數(shù)據(jù)做如此變換:xiaxi,b，則xax,b，(S)aS.222222''B、(5,9，中檔題，易丟分，防漏/多解)B1.線性規(guī)劃1、二元一次不等式表示的平面區(qū)域:(1)當A0時，若Ax,By,C0表示直線l的右邊，若Ax,By,C0則表示直線l的左邊.(2)當B0時，若Ax,By,C0表示直線l的上方，若Ax,By,C0則表示直線l的下方.2、設(shè)曲線C:(A1x,B1y,C1)(A2x,B2y,C2)0(A1A2B1B20)，則(A1x,B1y,C1)(A2x,B2y,C2)0或0所表示的平面區(qū)域:兩直線A1x,B1y,C10和A2x,B2y,C20所成的對頂角區(qū)域(上下或左右兩部分).3、點P0(x0,y0)與曲線f(x,y)的位置關(guān)系:若曲線f(x,y)為封閉曲線(圓、橢圓、曲線|x,a|,|y,b|m等)，則f(x0,y0)0，稱點在曲線外部;若f(x,y)為開放曲線(拋物線、雙曲線等)，則f(x0,y0)0，稱點亦在曲線“外部”.4、已知直線l:Ax,By,C0，目標函數(shù)zAx,By.?當B0時，將直線l向上平移，則z的值越來越大;直線l向下平移，則z的值越來越小;?當B0時，將直線l向上平移，則z的值越來越小;直線l向下平移，則z的值越來越大;5、明確線性規(guī)劃中的幾個目標函數(shù)(方程)的幾何意義:(1)zax,by，若b0，直線在y軸上的截距越大，z越大，若b0，直線在y軸上的截距越大，z越小.(2)y,mx,n表示過兩點,x,y,,,n,m,的直線的斜率，特別22yx表示過原點和,n,m,的直線的斜率.(3)t,x,m,,,y,n,表示圓心固定，半徑變化的動圓，也可以認為是二元方程的覆蓋問題.表示,x,y,到點,0,0,的距離.(5)F(cos,sin);(4)y(6)d22(7)aab,b;;【點撥】:通過構(gòu)造距離函數(shù)、斜率函數(shù)、截距函數(shù)、單位圓x+y=1上的點(cos,sin)及余弦定理進行轉(zhuǎn)化達到解題目的。B2.三角變換:三角函數(shù)式的恒等變形或用三角式來代換代數(shù)式稱為三角變換(三角恒等變形是以同角三角公式，誘導(dǎo)公式，和、差、倍、半角公式，和差化積和積化和差公式，萬能公式為基礎(chǔ)(三角代換是以三角函數(shù)的值域為根據(jù)，進行恰如其分的代換，使代數(shù)式轉(zhuǎn)化為三角式，然后再使用上述諸公式進行恒等變形，使問題得以解決(三角變換是指角(“配”與“湊”)、函數(shù)名(切割化弦)、次數(shù)(降與升)、系數(shù)(常值“1”)和運算結(jié)構(gòu)(和與積)的變換，其核心是“角的變換”.角的變換主要有:已知角與特殊角的變換、已知角與目標角的變換、角與其倍角的變換、兩角與其和差角的變換.變換化簡技巧:角的拆變，公式變用，切割化弦，倍角降次，“1”的變幻，設(shè)元轉(zhuǎn)化，引入輔角，平方消元等.具體地:(1)角的“配”與“湊”:掌握角的“和”、“差”、“倍”和“半”公式后，還應(yīng)注意一些配湊變形技巧，如下:2,，2;2,,，,2,,,;222222,,,,(,),(,),,22[(,),]2[(,),](,),(,)(,),(,);,,,,,;2,(,),，2,(,),;1545,30,7545,30;,,,等.42數(shù)學(xué)應(yīng)試筆記第2頁,4,(2)“降冪”與“升冪”(次的變化)利用二倍角公式cos2cos2,sin22cos2,11,2sin2和二倍角公式的等價變形sin2，cos2，可以進行“升”與“降”的變換，即“二次”與“一次”的互化.(3)切割化弦(名的變化)利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，將不同名的三角函數(shù)化成同名的三角函數(shù)，以便于解題.經(jīng)常用的手段是“切化弦”和“弦化切”.(4)常值變換.此外，對常值“1”可作如下代2換:1sin2x,cos2xsec2x,tan2xtanxcotx2sin30tansincos0等.常值42(5)引入輔助角一般的，asin,bcosbcostan.a)sin(,)，期中特別的，sinA,cosAA,);4sinxx2sin(x,)，3x,cosx2sin(x,)等.6(6)特殊結(jié)構(gòu)的構(gòu)造構(gòu)造對偶式，可以回避復(fù)雜三角代換，化繁為簡.舉例:Asin20,cos50,sin20cos50，Bcos20,sin50,cos20sin50可以通過A,B2,sin70,A,B,(7)整體代換舉例:sinx,cosxm2sinxcosxm,1sin(,)m，sin(,)n，可求出sincos,cossin整體值，作為代換之用.B3.三角形中的三角變換三角形中的三角變換，除了應(yīng)用公式和變換方法外，還要注意三角形自身的特點((1)角的變換因為在ABC中，A,B,C(三內(nèi)角和定理)，所以任意兩角和:與第三個角總互補，任意兩半角和與第三個角的半角總互余.銳角三角形:?三內(nèi)角都是銳角;?三內(nèi)角的余弦值為正值;?任兩角和都是鈍角;?任意兩邊的平方和大于第三邊的平方.即，sinAsin(B,C);cosA,cos(B,C);tanA,tan(B,C)(222221,sin70兩式和，作進一步化簡.2sinA2cosB,C2;cosA2sinB,C2;tanA2cotB,C2.(2)三角形邊、角關(guān)系定理及面積公式，正弦定理，余弦定理(11面積公式:SshaabsinCrp.22ABBCCA其中r為三角形內(nèi)切圓半徑，p為周長之半(tantan,tantan,tantan1222222(3)對任意ABC，;在非直角ABC中，tanA,tanB,tanCtanAtanBtanC((4)在ABC中，熟記并會證明:*1.A,B,C成等差數(shù)列的充分必要條件是B60(*2.ABC是正三角形的充分必要條件是A,B,C成等差數(shù)列且a,b,c,成等比數(shù)列(*3.三邊a,b,c成等差數(shù)列2ba,c2sinAsinB,sinCtan*4.三邊a,b,c,成等比數(shù)列b2acsin2AsinBsinC,B?(5)銳角ABC中,A,B2AC1tan;B?.22333.sinAcosB,sinBcosC,sinCcosA，a2,b2c2;sinA,sinB,sinCcosA,cosB,cosC.【思考】:鈍角ABC中的類比結(jié)論(6)兩內(nèi)角與其正弦值:在ABC中，abABsinAsinBcos2Bcos2A，,222(7)若A,B,C，則x,y,z?2yzcosA,2xzcosB,2xycosC.B4.三角恒等與不等式組一sin33sin,4sin3,cos34cos3,3cossin2,sin2sin,,,sin,,,cos2,cos2tan33tan,tan31,3tan2tantan(3,)tan(3,)組二tanA,tanB,tanCtanAtanBtanCABCsinA,sinB,sinC4coscoscos222ABCcosA,cosB,cosC1,4sinsinsin222sin2A,sin2B,sin2C2,2cosAcosBcosC,,組三常見三角不等式(1)若x(0,2)，則sinxxtanx;)，則1sinx,cosx(2)若x(0,2(3)|sinx|,|cosx|?1;(4)f(x)sinx在(0,)上是減函數(shù);xB5.概率的計算公式:?古典概型:P(A)A包含的基本事件的個數(shù)基本事件的總數(shù)mcard(A)?等可能事件的概率計算公式:p(A);ncard(I);?互斥事件的概率計算公式:P(A+B),P(A)+P(B);?對立事件的概率計算公式是:P(A)=1,P(A);?獨立事件同時發(fā)生的概率計算公式是:P(A?B),P(A)?P(B);?獨立事件重復(fù)試驗的概率計算公式是:kkPn(k)CnP(1,P)n,k(是二項展開式[(1,P)+P]n的第(k+1)項).?幾何概型:若記事件A={任取一個樣本點，它落在區(qū)域g}，則A的概率定義為P(A)g的測度的測度構(gòu)成事件A的區(qū)域長度(面積或體積等)試驗的全部結(jié)果構(gòu)成的區(qū)域長度(面積或體積等)注意:探求一個事件發(fā)生的概率，常應(yīng)用等價轉(zhuǎn)化思想和分解(分類或分步)轉(zhuǎn)化思想處理:把所求的事件數(shù)學(xué)應(yīng)試筆記第4頁轉(zhuǎn)化為等可能事件的概率(常常采用排列組合的知識);轉(zhuǎn)化為若干個互斥事件中有一個發(fā)生的概率;利用對立事件的概率，轉(zhuǎn)化為相互獨立事件同時發(fā)生的概率;看作某一事件在n次實驗中恰有k次發(fā)生的概率，但要注意公式的使用條件.事件互斥是事件獨立的必要非充分條件，反之，事件對立是事件互斥的充分非必要條件.【說明】:條件概率:稱P(B|A)P(AB)為在事件A發(fā)生的條件下，事件B發(fā)生的概率。P(A)注意:?0P(B|A)1;?P(B?C|A)=P(B|A)+P(C|A)。B6.排列、組合(1)解決有限制條件的(有序排列，無序組合)問題方法是:位置分析法元素分析法用加法原理(分類)?直接法:插入法(不相鄰問題)用乘法原理(分步)捆綁法(相鄰問題)?間接法:即排除不符合要求的情形?一般先從特殊元素和特殊位置入手.(2)解排列組合問題的方法有:?特殊元素、特殊位置優(yōu)先法元素優(yōu)先法:先考慮有限制條件的元素的要求，再考慮其他元素;位置優(yōu)先法:先考慮有限制條件的位置的要求，再考慮其他位置)。?間接法(對有限制條件的問題，先從總體考慮，再把不符合條件的所有情況去掉))。為一個大元素，然?相鄰問題捆綁法(把相鄰的若干個特殊元素“捆綁”后再與其余“普通元素”全排列，最后再“松綁”，將特殊元素在這些位置上全排列)。?不相鄰(相間)問題插空法(某些元素不能相鄰或某些元素要在某特殊位置時可采用插空法，即先安排好沒有限制元條件的元素，然后再把有限制條件的元素按要求插入排好的元素之間)。?多排問題單排法。?多元問題分類法。?有序問題組合法。?選取問題先選后排法。?至多至少問題間接法。?相同元素分組可采用隔板法。?涂色問題先分步考慮至某一步時再分類.(3)分組問題:要注意區(qū)分是平均分組還是非平均分組，平均分成n組問題別忘除以n!.B7.最值定理?x,y0,由x,y?xyP(定值)，則當xy時和x,y有最小值;?x,y0,由x,y?x,yS(定值)，則當xy是積xy有最大值【推廣】:已知x,yR，則有(x,y)(x,y),2xy.(1)若積xy是定值，則當|x,y|最大時，|x,y|最大;當|x,y|最小時，|x,y|最小.(2)若和|x,y|是定值，則當|x,y|最大時，|xy|最小;當|x,y|最小時，|xy|最大.?已知a,x,b,yR，若ax,by1，則有:1x,111byax(ax,by)(,)a,b,,?a,b,yxyxy,,12s.42222xyxyB8.求函數(shù)值域的常用方法:?配方法:轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)問題，利用二次函數(shù)的特征來求解;【點撥】:二次函數(shù)在給出區(qū)間上的最值有兩類:一是求閉區(qū)間[m,n]上的最值;二是求區(qū)間定(動)，對稱軸動(定)的最值問題。求二次函數(shù)的最值問題，勿忘數(shù)形結(jié)合，注意開口方向和對稱軸與所給區(qū)間的相對位置關(guān)系.?逆求法:通過反解，用y來表示x，再由x的取值范圍，通過解不等式，得出y的取值范圍，型如?a,x,b,yR，若a,b1則有:x,y,x,y,(ay,bx)a,b,yax,bcx,d,x(m,n)的函數(shù)值域;?換元法:化繁為間，構(gòu)造中間函數(shù)，把一個較復(fù)雜的函數(shù)變?yōu)楹唵我浊笾涤虻暮瘮?shù)，其函數(shù)特征是函數(shù)解析式含有根式或三角函數(shù)公式模型，通過代換構(gòu)造容易求值域的簡單函數(shù)，再求其值域;?三角有界法:直接求函數(shù)的值域困難時，可以利用已學(xué)過函數(shù)的有界性，如轉(zhuǎn)化為只含正弦、余弦的函數(shù)，再運用其有界性來求值域;?不等式法:利用基本不等式a,ba,bR,)求函數(shù)的最值，其題型特征解析式是和式時要求積為定值，型如yx,k(k0)，解析式是積時要求和為定值，不過有時須要用到拆項、添項和兩邊平方等技x巧;?單調(diào)性法:根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求值域，常結(jié)合導(dǎo)數(shù)法綜合求解;?數(shù)形結(jié)合法:函數(shù)解析式具有明顯的某種幾何意義，可根據(jù)函數(shù)的幾何意義，如斜率、距離、絕對值等，利用數(shù)與形相互配合的方法來求值域;?分離常數(shù)法:對于分子、分母同次的分式形式的函數(shù)求值域問題，把函數(shù)分離成一個常數(shù)和一個分式和的形式，進而可利用函數(shù)單調(diào)性確定其值域(a1x2,b1x,c1?判別式法:對于形如y(a1,a2不同時為0)的函數(shù)常采用此法(a2x2,b2x,c2【說明】:對分式函數(shù)(分子或分母中有一個是二次)都可通用，但這類題型有時也可以用其它方法進行求解，不必拘泥在判別式法上，也可先通過部分分式后，再利用均值不等式:b型，可直接用不等式性質(zhì);k,x2bx2.y2型，先化簡，再用均值不等式;x,mx,nx2,mx,n3.y2型，通常用判別式法;x,mx,nx2,mx,n4.y型，可用判別式法或均值不等式法;mx,n1.y?導(dǎo)數(shù)法:一般適用于高次多項式函數(shù)求值域.,,B9.函數(shù)值域的題型(一)常規(guī)函數(shù)求值域:畫圖像，定區(qū)間，截段.常規(guī)函數(shù)有:一次函數(shù)，二次函數(shù)，反比例函數(shù)，指數(shù)對數(shù)函數(shù)，三角函數(shù)，對號函數(shù).(二)非常規(guī)函數(shù)求值域:想法設(shè)法變形成常規(guī)函數(shù)求值域.解題步驟:(1)換元變形;(2)求變形完的常規(guī)函數(shù)的自變量取值范圍;(3)畫圖像，定區(qū)間，截段。(三)分式函數(shù)求值域:四種題型ccx,dy(1)y(a0):則且yR.aax,bcx,d(x2):利用反表示法求值域。先反表示，再利用x的范圍解不等式求y的范圍.(2)yax,b2x2,3x,2(3)y:6x2,x,11(2x,1)(x,2)x,21(x)，則y且y1且yR.y(2x,1)(3x,1)3x,1232x,1(4)求y2的值域，當xR時，用判別式法求值域。x,x,12x,1y2yx2,(y,2)x,y,10，(y,2)2,4y(y,1)0值域.x,x,1數(shù)學(xué)應(yīng)試筆記第6頁(四)不可變形的雜函數(shù)求值域:利用函數(shù)的單調(diào)性畫出函數(shù)趨勢圖像，定區(qū)間，截段.判斷單調(diào)性的方法:選擇填空題首選復(fù)合函數(shù)法，其次求導(dǎo)數(shù);大題首選求導(dǎo)數(shù)，其次用定義。詳情見單調(diào)性部分知識講解.(五)原函數(shù)反函數(shù)對應(yīng)求值域:原函數(shù)的定義域等于反函數(shù)值域，原函數(shù)值域等于反函數(shù)定義域.(六)已知值域求系數(shù):利用求值域的前五種方法寫求值域的過程，將求出的以字母形式表示的值域與已知值域?qū)φ涨笞帜溉≈祷蚍秶?B10.應(yīng)用基本不等式求最值的“八種變形技巧”:?湊系數(shù)(乘、除變量系數(shù)).例1.當0x4時，求函的數(shù)yx(8,2x)最大值.51，求函數(shù)f(x)4x,2,的最大值.44x,5x2,7x,10?調(diào)整分子:例3.求函數(shù)f(x)(x,1)的值域;x,1a2,b2a,ba,b2?變用公式:基本不等式ab,(有幾個常用變形:)ab，222a,ba2,b2a,b2，().前兩個變形很直接，后兩個變形則不易想到，應(yīng)重視;例4.求函數(shù)22215yx)的最大值;22162?連用公式:例5.已知ab0，求ya,的最小值;b(a,b)1lny?對數(shù)變換:例6.已知x,y1，且xye，求t(2x)的最大值;2?湊項(加、減常數(shù)項):例2.已知x?三角變換:例7.已知0y?x2，且tanx3tany，求tx,y的最大值;?常數(shù)代換(逆用條件):例8.已知a0,b0，且a,2b1，求tB11.“單調(diào)性”補了“基本不等式”的漏洞:?平方和為定值11,的最小值.ab,y,，其中0?2.15?f(x,y)x,y,,)在[0,],[,2)上是增函數(shù)，在44415[,]上是減函數(shù);44113571357?g(x,y)xyasin2在[0,],[,],[,2)上是增函數(shù)，在[,],[,]上是減244444444若x,ya(a為定值，a0)，可設(shè)x22函數(shù);11x,y,.令tsin,cos,)，其中xyxy42t[,,1),(,.1由)t(211,2]cos，得2sin，從而1,2sintc,os2在[,1)(,1,1)上是減函數(shù).m(x,y)t,)t?m(x,y)?和為定值若x,yb(b為定值，b0)，則yb,x.?g(x,y)xy,x,bx在(,,]上是增函數(shù)，在[,,)上是減函數(shù);2b2b2bb11x,yb.當b0時，在(,,0),(0,]上是減函數(shù)，在[,b),(b,,)上,2xyxy,x,bx22bb是增函數(shù);當b0時，在(,,b),(b,]上是減函數(shù)，在[,0),(0,,)上是增函數(shù).22bb?n(x,y)x2,y22x2,2bx,b2在(,,]上是減函數(shù)，在[,,)上是增函數(shù);22?m(x,y)?積為定值若xyc(c為定值，c0)，則y?f(x,y)x,yx,c.xc.當c0時，在[上是減函數(shù)，在(,,,)上是增x函數(shù);當c0時，在(,,0),(0,,)上是增函數(shù);11x,y1c0上,是]減函數(shù)，在?m(x,y),(x,).當c0時，在[,0)xyxycx(,,,)上是增函數(shù);當c0時，在(,,0),(0,,)上是減函數(shù);c2c2?n(x,y)x,yx,2(x,),2c在(,,上是減函數(shù)，在(,)上是xx222增函數(shù).?倒數(shù)和為定值c1112111，則y.成等差數(shù)列且均不為零，可設(shè)公差為z，其中z，,d,,)xydxdyxddd1111則,z,,z,得x,y..xdyd1,dz1,dz2d1111?f(x)x,y.當時，在上是減函數(shù)，在(,,,),(,,0][0,),(,,)上是增函d0221,dzdddd1111數(shù);當d0時，在(,,),(,0]上是增函數(shù)，在[0,,),(,,,)上減函數(shù);dddd1111d2.?g(x,y)xy.當時，在上是減函數(shù)，在(,,,),(,,0][0,),(,,)上是增函d0221,dzdddd1111數(shù);當d0時，在(,,),(,0]上是減函數(shù)，在[0,,),(,,,)上是增函數(shù);dddd2d2(d2z2,1)2222.?n(x,y)x,y.令tdz,1，其中t?1且t2，從而222(dz,1)若2d2t2d2在[1,2)上是增函數(shù)，在(2,,)上是減函數(shù).n(x,y)24(t,2)t,,4tB12.理解幾組概念*1.廣義判別式設(shè)f(x)是關(guān)于實數(shù)x的一個解析式，a,b,c都是與x有關(guān)或無關(guān)的實數(shù)且a0，則b,4ac?0是方程af(x),bf(x),c0有實根的必要條件，稱“”為廣義判別式.*2.解決數(shù)學(xué)問題的兩類方法:一是從具體條件入手,運用有關(guān)性質(zhì),數(shù)據(jù),進行計算推導(dǎo),從而使數(shù)學(xué)問題得以解決;二是從整體上考查命題結(jié)構(gòu),找出某些本質(zhì)屬性,進行恰當?shù)暮怂?從而使問題容易解決,這一方法稱為定性核算法.*3.二元函數(shù)設(shè)有兩個獨立的變量x與y在其給定的變域中D中，任取一組數(shù)值時，第三個變量Z就以某一確定的法則有唯一確定的值與其對應(yīng)，那末變量Z稱為變量x與y的二元函數(shù).記作:Zf(x,y).其中x與y稱數(shù)學(xué)應(yīng)試筆記第8頁22為自變量，函數(shù)Z也叫做因變量，自變量x與y的變域D稱為函數(shù)的定義域.把自變量x、y及因變量Z當作空間點的直角坐標，先在xoy平面內(nèi)作出函數(shù)Zf(x,y)的定義域D;再過D域中得任一點M(x,y)作垂直于xoy平面的有向線段MP，使其值為與(x,y)對應(yīng)的函數(shù)值Z;當M點在D中變動時，對應(yīng)的P點的軌跡就是函數(shù)Zf(x,y)的幾何圖形.它通常是一張曲面，其定義域D就是此曲面在xoy平面上的投影.*4.格點在直角坐標系中，各個坐標都是整數(shù)的點叫做格點(又稱整數(shù)點).在數(shù)論中，有所謂格點估計問題.在直角坐標系中，如果一個多邊形的所有頂點都在格點上，這樣的多邊形叫做格點多邊形.特別是凸的格點多邊形，它是運籌學(xué)中的一個基本概念.*5.間斷點我們通常把間斷點分成兩類:如果x0是函數(shù)f(x)的間斷點，且其左、右極限都存在，我們把x0稱為函數(shù)f(x)的第一類間斷點;不是第一類間斷點的任何間斷點，稱為第二類間斷點.*6.拐點連續(xù)函數(shù)上，上凹弧與下凹弧的分界點稱為此曲線上的拐點.如果yf(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)具有二階導(dǎo)數(shù)，我們可按下列步驟來判定yf(x)的拐點.(1)求f(x);(2)令f(x)0，解出此方程在區(qū)間(a,b)內(nèi)實根;(3)對于(2)中解出的每一個實根x0，檢查f(x)在x0左、右兩側(cè)鄰近的符號，若符號相反，則此點是拐點，若相同，則不是拐點.*7.駐點曲線f(x)在它的極值點x0處的切線都平行于x軸，即f(x0)0.這說明，可導(dǎo)函數(shù)的極值點一定是它的駐點(又稱穩(wěn)定點、臨界點);但是，反之，可導(dǎo)函數(shù)的駐點，卻不一定是它的極值點.*8.凹凸性1則稱是f(x)上)?[f(x1),f(x2)]，22x,x1的凸函數(shù).定義在D上的函數(shù)如果滿足:對任意的x1,x2D都有f(12)?[f(x1),f(x2)]，則稱f(x)是D上22定義在D上的函數(shù)f(x)，如果滿足:對任意x1,x2D的都有f(x1,x2的凹函數(shù).【注】:一次函數(shù)的圖像(直線)既是凸的又是凹的(上面不等式中的等號成立).若曲線弧上每一點的切線都位于曲線的下方，則稱這段弧是凹的;若曲線弧上每一點的切線都位于曲線的上方，則稱這段弧是凸的.連續(xù)曲線凹與凸部分的分界點稱為曲線的拐點.B13.了解幾個定理*1.拉格朗日中值定理:如果函數(shù)yf(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)，在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，那末在(a,b)內(nèi)至少有一點c，使f(b),f(a)(b,a)f(c)成立.這個定理的特殊情形，即:f(b)f(a)的情形.描述如下:若(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)，在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，且(a)(b)，那么在(a,b)內(nèi)至少有一點c，使(c)0成立.*2.零點定理:設(shè)函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)，且f(a)f(b),0(那么在開區(qū)間(a,b)內(nèi)至少有函數(shù)f(x)的一個零點，即至少有一點(a,,b)使f()0(*3.介值定理:設(shè)函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)，且在這區(qū)間的端點取不同函數(shù)值，f(a)A,f(b)B，那么對于A,B之間任意的一個數(shù)C，在開區(qū)間(a,b)內(nèi)至少有一點，使得f()C(a,,b)(*4.夾逼定理:設(shè)當0,|x,x0|,時，有g(shù)(x)?f(x)?h(x)，且limg(x)limh(x)A，則必有l(wèi)imf(x)A.xx0xx0xx0【注】:|x,x0|:表示以x0為的極限，則|x,x0|就無限趨近于零((為最小整數(shù))C、10,12，思維拓展題，稍有難度，要在方法切入上著力C1.線段的定比分點公式PP2(或2設(shè)P112的分點，是實數(shù)，且PP1(x1,y1)，P2(x2,y2)，P(x,y)是線段PP11，則xyx1,x2OP,OP211,1)OPOPtOP1,(1,t)OP2(ty1,y21,1,1,y1,y2y2推廣1:當1時，得線段P1P2的中點公式:xx1,x22PBOA推廣2則PMPA,PB(對應(yīng)終點向量)(1,x1,x2,x3x3三角形重心坐標公式:?ABC的頂點A,x1,y1,,B,x2,y2,,C,x3,y3,，重心坐標G,x,y,:yy1,y2,y33注意:在?ABC中，若0為重心，則,,，這是充要條件(【公式理解】:*1.λ是關(guān)鍵(,1)12P1P2PPP1P2(內(nèi)分)λ>0(外分)λ<0(λ<-1)(外分)λ<0(-1<λ<0)若P與P1重合，λ=0P與P2重合，λ不存在P離P2P1無窮遠，λ=,1*2.中點公式是定比分點公式1的特例;*3.始點終點很重要，如若P分P1P2的定比λ=*4.x1,x2,x,知三求一;*5.利用有界性可求一些分式函數(shù)取值范圍;*6.,1OA,2OB則1,21是三點P、A、B共線的充要條件.C2.抽象函數(shù)抽象函數(shù)通常是指沒有給出函數(shù)的具體的解析式，只給出了其它一些條件(如函數(shù)的定義域、單調(diào)性、奇偶性、解析遞推式等)的函數(shù)問題.求解抽象函數(shù)問題的常用方法是:(1)借助模型函數(shù)探究抽象函數(shù):?正比例函數(shù)型:f(x)cxf(xy)f(x)f(y),f(1)c.?指數(shù)函數(shù)型:f(x)af(x,y)f(x)f(y),f(x,y)xx1，則P分P2P1的定比λ=2;2f(x)f(y),f(1)a0.?對數(shù)函數(shù)型:f(x)logaxf(xy)f(x),f(y),f()f(x),f(y),f(a)1(a0,a1).y?冪函數(shù)型:f(x)xf(xy)f(x)f(y),f(1),f()xf(x)f(y)y.?三角函數(shù)型:f(x)cosx,g(x)sinx,f(x,y)f(x)f(y),g(x)g(y),f(0)1,limf(x)tanx,f(x,y)f(x),f(y)1,f(x)f(y)sinx1.x0x.數(shù)學(xué)應(yīng)試筆記第10頁(2)利用函數(shù)的性質(zhì)(如奇偶性、單調(diào)性、周期性、對稱性等)進行演繹探究:(3)利用一些方法(如賦值法(令x,0或1，求出f(0)或f(1)、令yx或y,x等)、遞推法、反證法等)進行邏輯探究。C3.函數(shù)圖像的對稱性(1)一個函數(shù)圖像自身的對稱性性質(zhì)1:對于函數(shù)yf(x)，若存在常數(shù)a,b,使得函數(shù)定義域內(nèi)的任意x，都有的圖像關(guān)于直線xa,b2對稱.【注】:f(a,mx)f(b,mx)(m0)亦然.【特例】，當ab時，f(a,x)f(a,x)f(x)的圖像關(guān)于直線xa對稱.【注】:f(x)f(2a,x)亦然.性質(zhì)2:對于函數(shù)yf(x)，若存在常數(shù)a,b,使得函數(shù)定義域內(nèi)的任意x，都有f(a,x)f(b,x)f(x)的,0)對稱.2【特例】:當ab時，f(a,x),f(a,x)f(x)的圖像關(guān)于點(a,0)對稱.圖像關(guān)于點(a,b【注】:f(x),f(2a,x)亦然.事實上，上述結(jié)論是廣義奇(偶)函數(shù)的性質(zhì).性質(zhì)3:設(shè)函數(shù)yf(x)，如果對于定義域內(nèi)任意的x，都有f(a,mx)f(b,mx)(a,b,mR,且m0)，則yf(x)的圖像關(guān)于直線xa,b2對稱.(這實際上是偶函數(shù)的一般情形)廣義偶函數(shù).性質(zhì)4:設(shè)函數(shù)yf(x)，如果對于定義域內(nèi)任意的x，都有f(a,mx),f(b,mx)(a,b,mR,且m0)，則yf(x)的圖像關(guān)于點(a,b2,0)對稱.(實際上是奇函數(shù)的一般情形)廣義奇函數(shù).【注】:f”放在“”的兩邊，則“f”前的正負號也相異.因為對稱性關(guān)乎翻轉(zhuǎn).(2)兩個函數(shù)圖像之間的對稱性1.函數(shù)yf(x)與y,f(x)的圖像關(guān)于直線y0對稱.2.函數(shù)yf(x)與yf(,x)的圖像關(guān)于直線x0對稱.3.函數(shù)yf(x)與y,f(,x)的圖像關(guān)于原點(0,0)對稱.4.函數(shù)yf(x)與它的反函數(shù)yf(x)的圖像關(guān)于直線yx對稱.5.函數(shù)yf(a,mx)與yf(b,mx)的圖像(a,b,mR,m0)關(guān)于直線x特別地，函數(shù)yf(a,x)與yf(b,x)的圖像關(guān)于直線xC4.幾個函數(shù)方程的周期(約定a0)b,a2b,a2m,1對稱.對稱.2aa1,f(x)(2)若f(x),f(x,a)0，或f(x,a)，或f(x,),f(x,)，或f,x,a,f,x,a,，1,f(x)22(1)若f(x)f(x,a)，或f(x,)f(x,)，則f(x)的周期Ta;a2a或f,x,a,或1f,x,(f(x)0)，或f,a,x,,f,a,x,f,a,x,f,a,x,，或，f,x,為奇函數(shù)f,x,為偶函數(shù)1f,a,x,f,a,x,，或,2f,x,為偶函數(shù)1f(x,a)f(x,a),(f(x)0,1)，則f(x)的周期T2a;(3)若f(x)1,(4)若(f(x)0)，則f(x)的周期T3a;f,a,x,,f,a,x,f,a,x,f,a,x,，或，或f,x,a,,f,x,a,，或f,x,為偶函數(shù)f,x,為奇函數(shù)f(x1),f(x2)1,f(x)1,f(x)，或f(x,a)，或f(x1,x2)且f(x,a),1,f(x1)f(x2)1,f(x)1,f(x)f(a)1(f(x1)f(x2)1,0|x1,x2|2a)，則f(x)的周期T4a;(5)若f(x),f(x,a),f(x,2a)f(x,3a),f(x,4a)f(x)f(x,a)f(x,2a)f(x,3a)f(x,4a)，則f(x)的周期T5a;(6)若f(x,a)f(x),f(x,a)，則f(x)的周期T6a.【說明】函數(shù)yf,x,滿足對定義域內(nèi)任一實數(shù)x(其中a為常數(shù)),都有等式成立.上述結(jié)論可以通過反復(fù)運用已知條件來證明.C5.對稱性與周期性的關(guān)系定理1:若定義在R上的函數(shù)f(x)的圖像關(guān)于直線xa和xb(ab)對稱，則f(x)是周期函數(shù)，且2a,b是它的一個周期.推論1:若函數(shù)f(x)滿足f(a,x)f(a,x)及f(b,x)f(b,x)(ab)，則f(x)是以2a,b為周期的周期函數(shù).定理2:若定義在R上的函數(shù)f(x)的圖像關(guān)于點(a,0)和直線xb(ab)對稱，則f(x)是周期函數(shù)，且4a,b是它的一個周期.推論2:若函數(shù)f(x)滿足f(a,x),f(a,x)及f(b,x),f(b,x)(ab)，則f(x)是以4a,b為周期的周期函數(shù).定理3:若定義在R上的函數(shù)f(x)的圖像關(guān)于點(a,y0)和(b,y0)(ab)對稱，則f(x)是周期函數(shù)，且2a,b是它的一個周期.推論3:若函數(shù)f(x)滿足f(a,x),f(a,x)2y0及f(b,x),f(b,x)2y0(ab)，則f(x)是以2a,b為周期的周期函數(shù).C6.數(shù)學(xué)應(yīng)試筆記第12頁1、定義在R上的函數(shù)f(x),若同時關(guān)于直線xa和x2a對稱,即對于任意的實數(shù)x,函數(shù)f(x)同時滿足f(a,x)f(a,x)，f(2a,x)f(2a,x)，則函數(shù)f(x)是以T2a為周期的周期函數(shù)，且是偶函數(shù).2、定義在R上的函數(shù)f(x),若同時關(guān)于直線xa和點(2a,0)對稱,即對于任意的實數(shù)x,函數(shù)f(x)同時滿足f(a,x)f(a,x)，f(2a,x),f(2a,x)，則函數(shù)f(x)是以T4a為周期的周期函數(shù)，且是奇函數(shù).3、定義在R上的函數(shù)f(x),若同時關(guān)于點(a,0)和直線x2a對稱,即對于任意的實數(shù)x,函數(shù)f(x)同時滿足f(a,x),f(a,x)，f(2a,x)f(2a,x)，則函數(shù)f(x)是以T4a為周期的周期函數(shù)，且是偶函數(shù).4、定義在R上的函數(shù)f(x),若同時關(guān)于點(a,0)和點(2a,0)對稱,即對于任意的實數(shù)x,函數(shù)f(x)同時滿足f(a,x),f(a,x)，f(2a,x),f(2a,x)，則函數(shù)f(x)是以T2a為周期的周期函數(shù)，且是奇函數(shù).5、若偶函數(shù)f(x)關(guān)于直線xa對稱，即對于任意的實數(shù)x,函數(shù)f(x)滿足f(a,x)f(a,x)，則f(x)是以T2a為周期的周期函數(shù).6、若偶函數(shù)f(x)關(guān)于點(a,0)對稱，即對于任意的實數(shù)x,函數(shù)f(x)滿足f(a,x),f(a,x)，則f(x)是以T4a為周期的周期函數(shù).7、若奇函數(shù)f(x)關(guān)于直線xa對稱，即對于任意的實數(shù)x,函數(shù)f(x)滿足f(a,x)f(a,x)，則f(x)是以T4a為周期的周期函數(shù).8、若奇函數(shù)f(x)關(guān)于點(a,0)對稱，即對于任意的實數(shù)x,函數(shù)f(x)滿足f(a,x),f(a,x)，則f(x)是以T2a為周期的周期函數(shù).【拓展】:1、若函數(shù)yf(x,a)為偶函數(shù)，則函數(shù)yf(x)的圖像關(guān)于直線xa對稱.2、若函數(shù)yf(x,a)為奇函數(shù)，則函數(shù)yf(x)的圖像關(guān)于點(a,0)對稱.3、定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(a,x)f(a,x)，且方程f(x)0恰有2n個實根，則這2n個實根的和為2na.為常數(shù))，則函數(shù)yf(x)的圖像關(guān)于4、定義在R上的函數(shù)yf(x)滿足f(a,x),f(b,x)c(a,b,c點(a,bc,)對稱.22?如果奇函數(shù)yf(x)在區(qū)間,0,,,上是遞增的,那么函數(shù)yf(x)在區(qū)間,,,0,上也是遞增的;?如果偶函數(shù)yf(x)在區(qū)間,0,,,上是遞增的,那么函數(shù)yf(x)在區(qū)間,,,0,上是遞減的;C8.關(guān)于奇偶性與單調(diào)性的關(guān)系.【思考】:結(jié)論推導(dǎo)C9.幾何體中數(shù)量運算導(dǎo)出結(jié)論數(shù)量運算結(jié)論涉及到幾何體的棱、側(cè)面、對角面、截面等數(shù)量關(guān)系及幾何性質(zhì).1.在長方體(a,b,c)中:?體對角線長為a,b,c，外接球直徑2R?棱長總和為4(a,b,c);?全(表)面積為2(ab,bc,ca)，體積Vabc;?體對角線與過同一頂點的三條棱所成的角分別為,,,則有222cos2+cos2+cos2=1，sin2+sin2+sin2=2.?體對角線與過同一頂點的三側(cè)面所成的角分別為,,,則有cos+cos+cos222=2，sin2+sin2+sin2=1.2.在正三棱錐中:?側(cè)棱長相等(側(cè)棱與底面所成角相等)頂點在底上射影為底面外心;?側(cè)棱兩兩垂直(兩對對棱垂直)頂點在底上射影為底面垂心;?斜高長相等(側(cè)面與底面所成角相等)且頂點在底上在底面內(nèi)頂點在底上射影為底面內(nèi)心.3.在正四面體中:設(shè)棱長為a，則正四面體中的一些數(shù)量關(guān)系:?全面積S2;?體積V12133;?對棱間的距離d42;12?相鄰面所成二面角arccos;?外接球半徑R?正四面體內(nèi)任一點到各面距離之和為定值h4.在立方體中:設(shè)正方體的棱長為a，則3;?內(nèi)切球半徑r;.23?體對角線長為a，?全面積為6a，?體積Va，半徑為r1,外接球半徑為r2,與十二條棱均相切的球半徑為r3,?內(nèi)切球則2r1a,2r2,2r2,且r1:r2:r31【點撥】形，如切割、組合、扭轉(zhuǎn)等處理，便可產(chǎn)生新幾何體.貌似新面孔，但其本原沒變.所以，在求解三棱椎、三棱柱、球體等問題時，如果一般識圖角度受阻，不妨嘗試根據(jù)幾何體的結(jié)構(gòu)特征，構(gòu)造相應(yīng)的“正方體”，將問題化歸到基本幾何體中，會有意想不到的效果.C5.在球體中:B球是一種常見的簡單幾何體(球的位置由球心確定，球的大小僅小(球包括球面及球面圍成的空間區(qū)域內(nèi)的所有的點(球面是到球心的距離等于定長(半徑)的點的集合(球的截面是圓面，其中過球心的截面叫做大圓面(球面上兩點間的距離，是過這兩點的大圓在這兩點間的劣弧長，計算球面距離的關(guān)鍵是“根據(jù)已知經(jīng)緯度等條件，先尋求球面上兩點間的弦長”，因為此弦長既是球面上兩點間的弦長，又是大圓上兩點間的弦長(球心和截面圓的距離d與球的半徑R及截面圓半徑r之間的關(guān)系是r掌握球面上兩點A、B間的距離求法:?計算線段AB的長;?計算球心角AOB的弧度數(shù);?用弧長公式計算劣弧AB的長.【注】:“經(jīng)度是‘小小半徑所成角’，緯度是‘大小半徑的夾角’”.【補充】:一、四面體(1(對照平面幾何中的三角形，我們不難得到立體幾何中的四面體的類似性質(zhì):?四面體的六條棱的垂直平分面交于一點，這一點叫做此四面體的外接球的球心;?四面體的四個面組成六個二面角的角平分面交于一點，這一點叫做此四面體的內(nèi)接球的球心;?四面體的四個面的重心與相對頂點的連接交于一點，這一點叫做此四面體的重心，且重心將每條連線分為3:1;?12個面角之和為720?，每個三面角中任兩個之和大于另一個面角，且三個面角之和為180?(2(直角四面體:有一個三面角的三個面角均為直角的四面體稱為直角四面體，相當于平面幾何的直角三角形((在直角四面體中，記V、l、S、R、r、h分別表示其體積、六條棱長之和、表面積、外接球半徑、2222內(nèi)切球半徑及側(cè)面上的高)，則有空間勾股定理:S?ABC+S?BCD+S?ABD=S?ACD(3(等腰四面體:對棱都相等的四面體稱為等腰四面體，好象平面幾何中的等腰三角形(根據(jù)定義不難證明以長方體的一個頂點的三條面對角線的端點為頂點的四面體是等腰四面體，反之也可以將一個等腰四面體拼補成一個長方體((在等腰四面體ABCD中，記BC=AD=a，AC=BD=b，AB=CD=c，體積為V，外接球半徑為R，內(nèi)接球半徑為r，高為h)，則有222222222?等腰四面體的體積可表示為V1b,c,ac,a,ba,b,c;3222?等腰四面體的外接球半徑可表示為R24a2,b2,c2;B數(shù)學(xué)應(yīng)試筆記第14頁AOD?h=4r(二、空間正余弦定理(空間正弦定理:sin?ABD/sin?A-BC-D=sin?ABC/sin?A-BD-C=sin?CBD/sin?C-BA-D空間余弦定理:cos?ABD=cos?ABCcos?CBD+sin?ABCsin?CBDcos?A-BC-D6.直角四面體的性質(zhì):在直角四面體O,ABC中,OA,OB,OC兩兩垂直,令OAa,OBb,OCc,則?底面三角形ABC為銳角三角形;?直角頂點O在底面的射影H為三角形ABC的垂心;?SBOCSBHCSABC;?SAOB,SBOC,SCOASABC;?1OH222221a,1b,1c;.?外接球半徑R=R7.球的組合體(1)球與長方體的組合體:長方體的外接球的直徑是長方體的體對角線長((2)球與正方體的組合體:正方體的內(nèi)切球的直徑是正方體的棱長,正方體的徑是正方體的面對角線長,正方體的外接球的直徑是正角線長((3)球與正四面體的組合體:棱長為a的正四面體的內(nèi)切球的半徑為外接球的半徑為bsin),asin)棱切球的直方體的體對N的軌跡是橢圓a,12a(4C10.圓錐曲線幾何性質(zhì)如果涉及到其兩“焦點”，優(yōu)先選用圓錐曲線第一定義;如果涉及到其“焦點”、“準線”或“離心率”，優(yōu)先選用圓錐曲線第二定義;此外，如果涉及到焦點三角形的問題，也要重視焦半徑和三角形中正余弦定理等幾何性質(zhì)的應(yīng)用.PF1,PF22aF1F2方程為橢圓,橢圓方程的第一定義:PF1,PF22aF1F2無軌跡,PF1,PF22aF1F2F1,F2為端點的線段PF1,PF22aF1F2方程為雙曲線雙曲線的第一定義:PF1,PF22aF1F2無軌跡PF1,PF22aF1F2F1,F2的一個端點的一條射線圓錐曲線第二定義(統(tǒng)一定義):平面內(nèi)到定點F和定直線l的距離之比為常數(shù)e的點的軌跡(簡言之就是“e點點距(數(shù)的統(tǒng)一)”，橢圓，雙，拋物線相對關(guān)系(形的統(tǒng)一)如右圖.點線距曲線當0e1時，軌跡為橢圓;當e1時，軌跡為拋物線;當e1時，軌跡為雙曲線;c當e0時，軌跡為圓(e，當c0,ab時)(a圓錐曲線的對稱性、圓錐曲線的范圍、圓錐曲線的特殊點線、圓錐曲線的變化趨勢.其中e，橢圓中、雙曲線中.圓錐曲線的焦半徑公式如下圖:,(a特征直角三角形、焦半徑的最值、焦點弦的最值及其“頂點、焦點、準線等相互之間與坐標系無關(guān)的幾何性質(zhì)”，尤其是雙曲線中焦半徑最值、焦點弦最值的特點.dC11.函數(shù)圖像變換(主要有平移變換、翻折變換、對稱變換和伸縮變換等).1.平移變換向量平移法則:yf,x,按a=(h,k)平移得yf,x,h,,k，即F,x,y,0按a=(h,k)平移得F,x,h,y,k,0，當m0時，向右平移，m0時，向左平移.當n0時，向上平移，n0時向下平移.對于“從yf,x,到y(tǒng)f,x,h,,k”是“左加右減，上加下減”，對于平移向量“a=(h,k)”是“左負右正，上正下負”.【小結(jié)】:“按向量平移”的幾個結(jié)論?點P(x,y)按向量a(h,k)平移后得到點P(x,h,y,k).?函數(shù)yf(x)的圖像C按向量a(h,k)平移后得到圖像C，則C的函數(shù)解析式為'''yf(x,h),k.?圖像C按向量a(h,k)平移后得到圖像C，若C的解析式y(tǒng)f(x)，則C的函數(shù)解析式為''yf(x,h),k.?曲線C:f(x,y)0按向量a(h,k)平移后得到圖像C，則C的方程為f(x,h,y,k)0.?向量m(x,y)按向量a(h,k)平移后得到的向量仍然為m(x,y).2.翻折變換(1)由yf,x,得到y(tǒng)|f(x)|，就是把yf,x,的圖像在x軸下方的部分作關(guān)于x軸對稱的圖像，即把x軸下方的部分翻到x軸上方，而原來x軸上方的部分不變.(2)由yf,x,得到y(tǒng)f(|x|)，就是把yf,x,的圖像在y軸右邊的部分作關(guān)于y軸對稱的圖像，即把y軸右邊的部分翻到y(tǒng)軸的左邊，而原來y軸左邊的部分去掉，右邊的部分不變.3.伸縮變換x/x,0,(1)設(shè)點P,x,y,是平面直角坐標系內(nèi)的任意一點，在變換:/的作用下，點P,x,y,對yy,0,/x/x,0,y1/應(yīng)于點P,x,y,，函數(shù)f,x,在變換:/下得到fxyy,0,x(2)將yf,x,的橫坐標變?yōu)樵瓉淼腶倍，縱坐標變?yōu)樵瓉淼膍倍，得到y(tǒng)mfax/axx//ymf即yf,,x,/aymy''///4.對稱變換數(shù)學(xué)應(yīng)試筆記第16頁(1)函數(shù)yf(,x)的圖像可以將函數(shù)yf(x)的圖像關(guān)于y軸對稱即可得到;y軸yf,x,yf(,x)(2)函數(shù)y,f(x)的圖像可以將函數(shù)yf(x)的圖像關(guān)于x軸對稱即可得到;x軸yf,x,y,f,x,(3)函數(shù)y,f(,x)的圖像可以將函數(shù)yf(x)的圖像關(guān)于原點對稱即可得到;原點yf,x,y,f(,x)(4)函數(shù)xf(y)的圖像可以將函數(shù)yf(x)的圖像關(guān)于直線yx對稱得到.直線yxyf,x,xf,y,(5)函數(shù)yf(2a,x)的圖像可以將函數(shù)yf(x)的圖像關(guān)于直線xa對稱即可得到;yf(2a,x).yf,x,直線xa【注意】:函數(shù)圖像平移和伸縮變換應(yīng)注意的問題(1)觀察變換前后位置變化:.函數(shù)圖像的平移、伸縮變換中，圖像的特殊點、特殊線也作相應(yīng)的變換.(2)觀察變換前后量變化:直線、雙曲線、拋物線通過伸縮變換后仍分別為直線、雙曲線、拋物線，但可以改變直線的傾斜角，雙曲線的離心率、拋物線的開口大小及它們的位置;深刻理解圓錐曲線在形和數(shù)上的統(tǒng)一.(2)圖像變換應(yīng)重視將所研究函數(shù)與常見函數(shù)(正比例函數(shù)、反比例函數(shù)、一次函數(shù)、二次函數(shù)、對數(shù)函(3)理解等軸雙曲線y(c0,adbc)與反比例函數(shù)y數(shù)、指數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)、“函數(shù)yx,,k0,”及函數(shù)yx,,k0,等)相互轉(zhuǎn)化.,k0,圖像的本質(zhì)聯(lián)系.(4)應(yīng)特別重視“二次三項式”、“二次方程”、“二次函數(shù)”、“二次曲線”之間的特別聯(lián)系,理解函數(shù)、方程、曲線及不等方程的聯(lián)系.(1),x1,11x;,x1,x.2n1(2)(1,x)1,x(R);1,x.1,xx(3)e1,x;ln(1,x)x.(4)sinxx(x為弧度);tanxx(x為弧度);arctanxx(x為弧度).C14.大小比較常用方法:?作差:作差后通過分解因式、配方等手段判斷差的符號得出結(jié)果;?作商(常用于分數(shù)指數(shù)冪的代數(shù)式);?分析法;?平方法;?分子(或分母)有理化;?利用函數(shù)的單調(diào)性;?尋找中間量與“0”比，與“1”比或放縮法;?圖像法.其中比較法(作差、作商)是最基本的方法.C15.不定項填空題易誤知識點拾遺:(1)情況存在的“個數(shù)”問題?空間中到四面體的四個頂點距離都相等的平面,,個.(7個);?過直線外一點有,,個平面與該直線平行(無數(shù)個);?一直線與一平面斜交，則平面內(nèi)有,,條直線與該直線平行.(0);?3條兩兩相交的直線可以確定,,個平面(1個或3個);?經(jīng)過空間外一點，與兩條異面直線都平行的平面有,,條(0或1);?3個平面可以把空間分,,個部分.(4或6或7或8);?兩兩相交的4條直線最多可以確定,,個平面(6個);?兩異面直線成60?，經(jīng)過空間外一點與它們都成30?(45?，60?，80?)的直線有,,條.(1;2;3;4);(2)平面與空間的“區(qū)分”問題1.錯誤的命題?垂直于同一條直線的兩直線平行;?平行于同一直線的兩平面平行;?平行于同一平面的兩直線平行;?過直線外一點只有一條直線與已知直線垂直;?兩個不同平面內(nèi)的兩條直線叫做異面直線;?一直線與一平面內(nèi)無數(shù)條直線垂直，則該直線與這個平面垂直,,2.正確的命題?平行于同一條直線的兩條直線平行;?垂直于同一條直線的兩個平面平行;?兩平面平行，若第三個平面與它們相交且有兩條交線，則兩直線平行;?兩相交平面同時垂直于第三個平面，則它們的交線垂直于第三個平面,,(3)易誤提點:?ab0是a,b為鈍角的必要非充分條件.?截距不一定大于零，可為負數(shù)，可為零;?0常常會是等式不成立的原因，0模為0，方向和任意向量平行，卻不垂直;?在導(dǎo)數(shù)不存在的點，函數(shù)也可能取得極值;導(dǎo)數(shù)為0的點不一定是極值點，一定要既考慮f(x0)0，又要考慮檢驗“左正右負”或“左負右正”;?直線在坐標軸上的截距可正、可負、也可為0.C16(關(guān)于空間問題與平面問題的類比，通?？勺プ缀我氐娜缦聦?yīng)關(guān)系作對比:多面體多邊形;面邊體積面積;二面角平面角面積線段長;,,.D、13,14，把關(guān)題，考點靈活/題型新穎/方法隱蔽D1.熟知幾個重要函數(shù)1.f(x)ax,bx(1)a0,b0時，f(x)為“雙鉤函數(shù)”:?定義域:(,,0)(0,,);值域為(,,?奇偶性:奇函數(shù)(有對稱中心);?單調(diào)性:在區(qū)間(,,,);,)上單調(diào)遞增;在區(qū)間[上單調(diào)遞減.?極值:x時取到極大值，x.bx?記住f(x)ax,(a0,b0)的圖像的草圖.數(shù)學(xué)應(yīng)試筆記第18頁?不等式性質(zhì):x0時，f(x)ax,?xb;x0時，f(x)ax,bx?,(2)a0,b0時，f(x)在區(qū)間上為增函數(shù).(,，0)(,0，,)【思考】:圖像大致如何分布.(3)常用地，當ab1時，f(x)x,【探究】:?函數(shù)f(x)1的特殊性質(zhì)略.x1ax,bx的圖像變化趨勢怎樣,?f,x,ax2,b2,f,x,axn,bn,nN,,的有關(guān)性質(zhì).xx2.y(c0,adbc)cx,dy化簡為，y,cx,dx,add?定義域:(,,,)(,,);值域為y的一切實數(shù);ccc?奇偶性:不作討論;bdd?單調(diào)性:當0時，在區(qū)間(,,,],[,,)上單調(diào)遞增;cccbdd當0時，在區(qū)間(,,,],[,,)上單調(diào)遞減.ccc?對稱中心是點(,d,a);?兩漸近線:直線x,d和直線ya;【注意】:兩條漸近線分別由分母為零和分子、分母中x的系數(shù)確定.?平移變換:y(c0,adbc)可由反比例函數(shù)y(k0)圖像經(jīng)過平移得到;cx,dx?反函數(shù)為yb,dx;【說明】:分式函數(shù)y(c0,adbc)與反比例函數(shù)yc(c0)，同源于x2y2雙曲線2,21.ab3.三次函數(shù)圖像與性質(zhì)初步*1.定義:形如yax,bx,cx,d(a0)的函數(shù)叫做三次函數(shù).定義域為R,值域為R.*2.解析式:?一般式:f(x)ax,bx,cx,d(a0);?零點式:f(x)a(x,x1)(x,x2)(x,x3)(a0)*3.單調(diào)性:【探究】:要嘗試研究一個陌生函數(shù)的一些性質(zhì)，以往數(shù)問題時，我們需要考慮的因素:?開口方向;?對稱軸;坐標軸交點;?判別式;?兩根符號.在研究三角函數(shù)問題“五點”作圖法.323232在研究二次函?端點值;?與時，又采用過那三次函數(shù)f(x)ax,bx,cx,d(a0)的圖像及性質(zhì)，要從那里入手呢,再結(jié)合探究工具“導(dǎo)數(shù)”，我們不妨從函數(shù)圖像幾何特征角度，如零點、極值點、拐點、凹凸性、極值點區(qū)間等，確定研究的方向，把握三次函數(shù)的一些粗淺性質(zhì).yax3,bx2,cx,d(a0)所以，f(x)3ax,2bx,c，導(dǎo)函數(shù)對稱軸x,2b3a.【注意】:拐點橫坐標所在處，也有可能是駐點所在處.“極值判別式”，當判別式小于等于零時，無極值點),12ac(2(一)若4b,12ac02bc令f(x)0，由根與系數(shù)關(guān)系知:x1,x2,，x1x23a3a4b2,b,b2,3ac,b,b2,3ac,x2兩極值點:x13a3a(1)當a0，b0，c0，約定d0，則拐點在y軸左邊，極值點分布在y軸左邊.根據(jù)零點的個數(shù)，嘗試做出如下圖像:(2)當a0，b0，c0值點絕對值;第20頁(3)當a0，b0，c0時，拐點在y軸右邊，極值點分布在y軸右邊，且左極值點絕對值大于右極值點絕對值.圖略(4)當a0，b0，c0時，拐點在y軸右邊，極值點分布在y軸兩邊，且左極值點絕對值小于右極值點絕對值.圖略(二)若4b,12ac0由x1,x22點橫坐標仍為,b3a，所以圖像如右圖所示.2f(x)在(三)若0即b,3ac0時，f'(x)0在R上恒成立，即(,,,)為增函數(shù).*4.極值:函數(shù)在某點取得極值的充要條件是什么,等價表述，和單調(diào)性的聯(lián)系2(1)若b,3ac?0，則f(x)在R上無極值;(2)若b,3ac0，則f(x)在R上有兩個極值;且f(x)在xx1處取得極大值，在xx2處取得極小值.*5.零點個數(shù)(根的性質(zhì))函數(shù)f(x)ax,bx,cx,d(a0)的圖像與x軸有幾個交點,和函數(shù)的哪些性質(zhì)相聯(lián)系,(聯(lián)系函數(shù)的極值，進行等價轉(zhuǎn)化)一個交點:極大值小于0，或者是極小值大于0.也可以表述為“極大值與極小值同號”;兩個交點:極大值等于零，或者極小值等于零;三個交點:極大值大于零，極小值小于零.D2.幾個重要圖像1.yax,b(ab0)322,b3.yx,a,x,b(ab0)4.yx,a,x,b(ab0)B,25.x,a,y,bm6.x,a,y,bmD3.函數(shù)yF(x)f(x),g(x)的零點處理:(1)yF(x)的零點(不是點而是數(shù))F(x)0的根yF(x)與x軸的交點的橫坐標yf(x),yg(x)的交點問題.(2)注意討論周期函數(shù)(特別是三角函數(shù))在某區(qū)間內(nèi)零點個數(shù)問題.(3)零點存在定理:yf(x)單調(diào)且端點值異號,x0(x1,x2)使f(x0)0.【說明】:1.方程f(x)0在(k1,k2)上有且只有一個實根，與f(k1)f(k2)0不等價，前者是后者的一個必要而不是充分條件.特別地，方程ax,bx,c0(a0)有且只有一個實根在(k1,k2)內(nèi)，等價于f(k1)f(k2)0，2k,k2k,k2bb，或f(k2)0且11,k2.2a222a2.f,x,在a,b上連續(xù)，且f,a,f,b,0，則f,x,在a,b上至少有一個零點(奇數(shù)個零點)，可能或f(k1)0且k1,有無數(shù)個零點.f,a,f,b,0，f,x,在a,b上可能無零點也可能有無數(shù)個零點.3.兩個相同的根只能算一個零點，零點的表示方法不能用有序?qū)崝?shù)對,x,0,.D4.比例的幾個性質(zhì)acadbc;bdacbdacab?反比定理:;?更比定理:;bdacbdcdaca,bc,daca,bc,d?合比定理;;?分比定理:;bdbdbdbdaca,bc,daca,bc,d?合分比定理:;?分合比定理:;bda,bc,dbda,bc,daaa,a2,a3,,ana1aa.?等比定理:若123n，b1,b2,b3,,bn0，則1b1b2b3bnb1,b2,b3,,bnb1?比例基本性質(zhì):D5.(1)三角形中的“三線定理”(斯德瓦定理)數(shù)學(xué)應(yīng)試筆記第22頁AC2BD,AB2BC在?ABC中，D是BC上任意一點，則AD,BDDC(BC1?若AD是BC上的中線，ma2b2,2c2,a2;2?A的平分線，tapp,a，其中p為半周長;b,c2?若AD是2?若AD是BC上的高，happ,ap,bp,c，其中p為半周長(a2(2)三角形“五心”的向量性質(zhì)(P為平面ABC內(nèi)任意一點):1?O為ABC的重心PO(PA,PB,PC)3BOA,OB,OC0?O為ABC的垂心OABCOBCAOCAB0OAOBOBOCOCOAMFHC222222OA,BCOB,CAOC,AB;ABBACAACBCCB,)OC(,)?O為ABC的內(nèi)心OA(,)OB(|AB||AC||BA||BC||CA||CB|(|AB|,|BC,|CA|)PO|BC|PA,|CA|PB,|AB|PC0?O為ABC的外心(OA,OB)AB(OB,OC)BC(OC,OA)CA022OAOBOC;?O為ABC中A的旁心|BC|OA|AC|OB,|AB|OC;D6.含絕對值不等式(1)復(fù)數(shù)集內(nèi)的三角形不等式:OAABOBBA,OBBCOCCB,OCCAOAAC2z1,z2?z1z2?z1,z2其中左邊在復(fù)數(shù)z1、z2對應(yīng)的向量共線且反向(同向)時取等號，右邊在復(fù)數(shù)z1、z2對應(yīng)的向量共線且同向(反向)時取等號.(2)向量不等式:||a|,|b||?|ab|?|a|,|b|b同向或有0|a,b||a|,|b|?||a|,|b|||a,b|;【注意】:a、a、b反向或有0|a,b||a|,|b|?||a|,|b|||a,b|;a、b不共線||a|,|b|||ab||a|,|b|.(這些和實數(shù)集中類似)(3)代數(shù)不等式:a,b同號或有0|a,b||a|,|b|?|a|,|b||a,b|;a,b異號或有0|a,b||a|,|b|?|a|,|b||a,b|.D7.重要不等式221、和積不等式:a,bRa,b?2ab(當且僅當ab時取到“”)(a,b2a2,b2a,b2a2,b2)?)ab)【變形】:?ab?((當a=b時，(2222a,ba,b2【注意】:(a,bR,)，ab?()(a,bR)22222?3(a,b,c)?(a,b,c)2?3(ab,bc,ca)(當且僅當abc時取“=”號)(2、均值不等式:兩個正數(shù)a、b的調(diào)和平均數(shù)、幾何平均數(shù)、算術(shù)平均數(shù)、均方根之間的關(guān)系，即“平方平均?算術(shù)平均?幾何平均?調(diào)和平均”【拓展】:?冪平均不等式:1222a12,a2,...,an?(a1,a2,...,an)(a,b,cR,abc時取等)n?“算術(shù)平均?幾何平均(a1、a2,an為正數(shù))”:a1,a2,,an(a1=a2=,=an時取等)n3、含立方的幾個重要不等式(a、b、c為正數(shù)):?a3,b3?a2b,ab2?a,b,c,3abc(a,b,c)(a,b,c,ab,ac,bc);a3,b3,c3?3abc(a,b,c0等式即可成立，abc或a,b,c0時取等)a,b,ca,b,c3a3,b3,c3abc?()?3334、柯西不等式:?(代數(shù)形式)設(shè)a,b,c,d均為實數(shù)，則333222(a2,b2)(c2,d2)?(ac,bd)2，其中等號當且僅當adbc時成立.?(向量形式)設(shè)，為平面上的兩個向量，則||||?||，其中等號當且僅當兩個向量方向相同或相反(即兩個向量共線)時成立.?(三角形式)設(shè)x1,y1,x2,y2,x3,y3為任意實數(shù)，則:【思考】:三角形不等式中等號成立的條件是什么,?(推廣形式)設(shè)ai,biR(i1,2,,n),則22222(a1b1,a2b2,,anbn)2?(a21,a2,,an)(b1,b2,,bn)等號成立當且僅當aa1a2n時成立((約定ai0時，bi0)b1b2bn5、絕對值不等式:a1,a2,a3?a1,a2,a3a,ba,ba,b(ab0時,取等)雙向不等式:a,b?ab?a,b(左邊當ab?0(?0)時取得等號，右邊當ab?0(?0)時取得等號.)6、放縮不等式:?ab0，am0，則【說明】:b,mbb,m.a,maa,mbb,m(ab0,m0，糖水的濃度問題).aa,mbb,ma,na1.aa,mb,nb【拓展】:ab0，m0，n0，則?a,b,cR，,bdbb,dd，則;acaa,cc?nN,數(shù)學(xué)應(yīng)試筆記第24頁