余弦定理、正弦定理的應用 同步習題 高中數(shù)學新蘇教版必修第二冊（2022年）

11.3余弦定理、正弦定理的應用

一、單選題

1.（2021?全國高二單元測試）在AABC1中，若奶=2j§asinB，cosA=cosC，貝（1AABC形狀為（）

A.直角三角形B.等腰三角形

C.等邊三角形D.等腰直角三角形

【答案】C

【分析】

首先利用正弦定理化邊為角求出sinA的值，再結合A=C,以及三角形的內角和即可求出反C,進而可

得正確選項.

【詳解】

由正弦定理知：&=27?sinB,a=2RsinA,

則3b=26asin3可化為：3x2Rsin8=2百x2HsinAsin8.

因為0。<3<180°

所以sinBwO,

所以sinA=走，可得A=60'或120°，

2

又因為cosA=cosC,

所以NA=NC

所以A=6（）lC=60SZB=1800-60-60s=60%

所以△A6C為等邊三角形.

故選：C.

2.（2021.江蘇高一課時練習）學校體育館的人字形屋架為等腰三角形，如圖，測得AC的長度為4m,4=

30°,則其跨度A8的長為（）

A.12mB.8m

C.2GmD.4Gm

【答案】D

【分析】

利用余弦定理求得A3.

【詳解】

由于三角形ABC是等腰三角形，所以BC=4C=4,且NA=N8=30。,NC=120°,

由余弦定理得AB=742+42-2x4x4xcosl20°=?

故選：D

3.（2021?安徽高三一模（文））如圖，在“8C中，生，點。在線段BC上，ADLAC,—

3CD4

則sinC=（）

A.旦B.叵C.叵D.叵

141477

【答案】B

【分析】

在△A8D中利用正弦定理得tanC=—,結合平方關系求解即可

5

【詳解】

8。AOsin。CO卜it?C+cos2c=1

在△ABO中，7=五萬=sin（一，解得tanC=^，又sinC_6所以sinC=11l

6.匕J5/忑=14

故選：B.

4.（2021?江蘇高一課時練習）從高出海平面〃米的小島看正東方向有一只船俯角為30。，看正南方向一只

船俯角為45。，則此時兩船間的距離為（）

A.2/z米B.米

C.57米D.2曲米

【答案】A

【分析】

由圖可得8C=6〃，AC=〃，，進而可得結果

【詳解】

如圖所示，BC=，AC=〃，：.AB=13沫+沫=2〃

故答案為：A

5.（2021?江蘇高一課時練習）如圖所示，在坡度一定的山坡A處測得山頂上一建筑物CO的頂端C對于山

坡的斜度為15。，向山頂前進100m到達B處，又測得C對于山坡的斜度為45。，若CZ）=50m,山坡對于

地平面的坡度為仇則cos，等于（）

【答案】C

【分析】

在AABC中，由正弦定理得AC=10()G,再在AADC中，由正弦定理得解.

【詳解】

AfiAC

在AABC中，由正弦定理得-------

sin30sin135

.,.AC=100V2.

CD

在AADC中，—————

sm(9+90°)sin15"

cos9=sin(9+90°)="八>匕=0_].

CD

故選：C

【點睛】

結論點睛：解一個三角形需要已知三個幾何元素(邊和角)，且至少有一個為邊長，對于未知的幾何元素，

放到其它三角形中求解.

6.(2021?陜西榆林市?高三二模(文))我國南宋著名數(shù)學家秦九韶在他的著作《數(shù)書九章》卷五“田域類”

里有一個題目：“問有沙田一段，有三斜.其小斜一十三里，中斜一十四里，大斜一十五里.里法三百步.欲

知為田幾何.”題意是有一個三角形的沙田，其三邊長分別為13里、14里、15里、1里為300步，設6尺

為1步，1尺=0.231米，則該沙田的面積約為()(結果精確至IJ0.1,參考數(shù)據(jù)：415.82=172889.64)

A.15.6平方千米B.15.2平方千米C.14.8平方千米D.14.5平方千米

【答案】D

【分析】

根據(jù)由海倫公式S=dp(p-a)(p-b)(p-c)即可得到沙田面積.

【詳解】

由海倫公式S=小p(p_a)(p_b)(p_c)其中〃=g(a+〃+c),a,>,c分別為三角形三邊長，

可得：該沙田的面積=421x8x7x6x(300x6x0.231)2=84x415.82

=84x172889.64=14522729.76平方米句4.5平方千米，

故選：D

7.(2021?全國高一課時練習)如圖，設A,B兩點在河的兩岸，要測量兩點之間的距離，測量者在A的同

側，在所在的河岸邊選定一點C,測出AC的距離為機，ZBAC=a,4ACB=B，則A，8兩點間的距離為

()

msinasina

A.B，sin(a+/?)

sin/3

msin0〃zsin(Q+B)

C.

sin(a+/?)sina+sin￡

【答案】C

【分析】

在AABC中，由已知的條件直接利用正定理求解即可

【詳解】

在aABC中，AC=m,ZBAC=a,NBCA=0.

NABC=TI—a—(3.

sinZABC=sin(TC—a—p)=sin(a+p).

ACAB,得陣煞叫.

由正弦定理

sinZABCsin尸

故選：c

Ab+r*

8.（2021?全國高一課時練習）在△ABC中，角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且cos?—=----,則4

22c

ABC是（）

A.直角三角形B.銳角三角形

C.等邊三角形D.等腰直角三角形

【答案】A

【分析】

用降基公式變形后利用余弦定理得邊的關系，從而判斷出三角形形狀.

【詳解】

,,,Ab+cb,,1+cosAb1,b

在AAABC中，因為cos--=,所以---------=F一,所以cosA=—.

22c22c2c

由余弦定理，知--,所以b2+c2—a2=2b2,即a2+b2=c2,所以AABC是直角三角形.

2hc

故選:A.

二、多選題

9.（2020?全國高三專題練習）在銳角△ABC中，邊長。=1,。=2,則邊長c可能的取值是（）

后

A.V2B.2C.272D.江

2

【答案】BD

【分析】

根據(jù)c邊最大邊或匕最大邊，利用余弦定理的變形形式即可求解.

【詳解】

若C邊為最大邊，則cosC>（）,

>0,c<加>

lab

若b邊為最大邊，則cos8>0,

.Y+c2一戶

>0,c〉百，

2ac

所以G<c<6,

所以邊長c可能的取值是2、士.

2

故選：BD

【點睛】

本題考查了余弦定理的應用，考查了基本運算求解能力，屬于基礎題.

10.（2020.河北張家口市.高三月考）在△至。中，角A、B、C的對邊分別是。、b、C.下面四個結論

正確的是（）

A.a=2,4=30°,則△ABC的外接圓半徑是4

B.若，一=—^一,則A=45。

cosAsinB

C.若/+從〈d，則aABC一定是鈍角三角形

D.若A<8,貝ijcosAccosB

【答案】BC

【分析】

根據(jù)正弦定理可求出外接圓半徑判斷A,由條件及正弦定理可求出tan4=1,可判斷B,由余弦定理可判斷

C,取特殊角可判斷D.

【詳解】

由正弦定理知，-=4=2R,所以外接圓半徑是2,故A錯誤；

sinA

由正弦定理及-"=一夕一可得,把4=包_g=1,即tanA=l,由0cAe不，知A=45。，故B正

cosAsinBcosAsmB

確；

『+h2-r2

因為cosC=L?—―<0,所以C為鈍角，AABC一定是鈍角三角形，故C正確；

2ab

7171

若A=一,B=_,顯然cosA>cos故D錯誤.

64

故選：BC

ccqAh

11.（2020?全國高三專題練習）已知AABC的三個角A，B,C的對邊分別為4,b,C,若-----=一，

cosBa

則該三角形的形狀是（）

A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等腰或直角三角形

【答案】D

【分析】

cosAhccqAsinA?

在AA5c中，根據(jù)「三=二,利用正弦定理得「y=J",然后變形為sin24=sin2B求解.

cosBacosBsinA

【詳解】

在AMC中，因為筆上，

cosBa

?十44口cosAsinB

由正弦定理得-----=-----,

cosBsinA

所以sinAcosA=sinBcosB,即sin2A=sin2B,

所以2A=28或2A=?—23,

71

解得A=6或A+8=u.

2

故AABC是直角三角形或等腰三角形.

故選：D.

【點睛】

本題主要考查利用正弦定理判斷三角形的形狀，還考查了運算求解的能力，屬于基礎題.

12.（2020.江蘇南京市.高二月考）如圖，ZsABC的三個內角A,B,C對應的三條邊長分別是a,b,c,Z

ABC為鈍角，BD1AB,cos2ZABC^~,片2,人=苧，則下列結論正確的有（）

A.sinA=--B.BD=2

5

4

C.5CD=3DAD.△C8。的面積為不

【答案】AC

【分析】

由已知利用二倍角的余弦函數(shù)公式可求cosZABC的值，利用余弦定理求得c的值，再計算sinA,由同角

的三角函數(shù)關系求出cosA,根據(jù)直角三角形邊角關系求出A￡>,BD，CO的值，再計算MCD的面積

從而得解.

【詳解】

77

解：由cos2^ABC=---,得：2cos—1=----,

2525

又角NA3C為鈍角，

3

解得：cosZABC=--,

643

由余弦定理,2=a2+c2-2accosNABC，得：—=?2+4-4?（--）,

解得。=2,可知AABC為等腰三角形，即A=C,

所以cosNABC=-cos2A=—（1一2sin?,

解得sinA故A正確，

5

可得cosA=-sin2A=>

在RAAB。中，￡=COSA,得AD=B可得BDNAD,-AB”=&-4=1，故B錯誤,

AD

r廠一3—

CD=b_AD=2_^=里,可得"=工=3,可得5詼=3函，故。正確，

55DA455

所以ABC。的面積為5.8=[.X。>5皿。=3*2乂乎哼=3,故。錯誤.

故選：AC.

【點睛】

利用正弦、余弦定理解三角形，利用%cL^xCOxsinC求三角形的面積.

三、填空題

13.（2019?上海嘉定區(qū)?）如圖，某學生社團在校園內測量遠處某棟樓CO的高度，。為樓頂，線段A3的

長度為600m,在A處測得ZDAB=30°，在5處測得ZDBA=105°，且此時看樓頂D的仰角NDBC=30°，

已知樓底C和A、8在同一水平面上，則此樓高度8=一根（精確到1相）

【答案】212

【分析】

先由正弦定理求得AB和BD,根據(jù)RtaBCD中因為N03C=3O°，可得CD=JBD=1500=212.

【詳解】

BD_AB

在4ABD中，由正弦定理，得：貳帝飛胃80』5匚30）由AB=6。。，

得：BD=600—30.=30072.在RiaBCD中，因為ZD8C=30°，

sin45

所以CD=~BD=15072-212,

故答案為212.

【點睛】

此題考查正弦定理，熟練掌握正弦定理即可，屬于簡單題目.

14.（2021?江蘇高一課時練習）如圖，A,B,C,。都在同一個與水平面垂直的平面內，B,。為兩島上的

兩座燈塔的塔頂.測量船于水面A處測得8點和。點的仰角分別為75。，30°,于水面C處測得B點和。

點的仰角均為60。，AC=0.1km.若貝ijB,。間距離為km.

372+76

【答案】

20

【分析】

在aABC中，應用正弦定理求AB,由BD=AB,即知B,D間距離.

【詳解】

在aABC中，/BCA=60°,NABC=75°-60°=15°,AC=0.1km,

ABAC

由正弦定理，得:

sinZBCAsinNABC

:.A8=°」xsm60°=3>/^+"又BD=AB,

(km)；

sin15020

BD="*娓km.

20

3&+C

故答案為:

20

15.（2021?全國高一課時練習）如圖，某海輪以60海里/小時的速度航行，在A點測得海面上油井P在南偏

東60。方向，向北航行40分鐘后到達B點，測得油井P在南偏東30。方向，海輪改為北偏東60。的航向再行

駛80分鐘到達C點，則P,C間的距離為海里.

【答案】4077

【分析】

由等腰三角形得AP，然后用余弦定理求得BP，再用勾股定理求得PC.

【詳解】

因為AB=40,ZBAP=120°,ZABP=30°,所以/APB=30°,所以AP=40,

所以BP2=AB2+AP2-2AP-AB-cos120°=402+402-2x40x40x(-g)=402x3,所以BP=4()VL

又NPBC=90°,BC=80,所以PC2=BP2+BC2=(40&)2+802=11200,

所以PC=40j7海里.

故答案為：4077.

16.(2021?山東濰坊市?高三一模)某市為表彰在脫貧攻堅工作中做出突出貢獻的先進單位，制作了一批獎

杯，獎杯的剖面圖形如圖所示，其中扇形Q鉆的半徑為1(),ZPBA=ZQAB=60,AQ=QP=PB,若

按此方案設計,工藝制造廠發(fā)現(xiàn),當OP最長EI寸,該獎杯比較美觀,此時ZAOB=.

【分析】

作OM_LQP交QP于M，交A8于C，且0CLA3,設NA0C=6?,求出A6、0C，設

AQ=QP=BP^x,作QE，A8交48于E，PE_LAB交AB于尸，可得出x=10sin。,

OM=OC+CN=10cos6+56sin6，由勾股定理可得

OP-=OM2+MP2=(10cose+56sin+(5sin0)2然后求最值可得答案.

【詳解】

作OMJ_QP交QP于M，交A3于C,且OCL4B,設NAOC=6，

則AB=20sin6?,0C=lOcos。，

設AQ=QP=8P=x,作。E_LA8交A8于E，所上■交刊^于尸，

因為NPBA=NQAB=60°,所以AE=BE='x,CM=PF=-x.

22

EF=QP=x,所以AB=2x,所以AB=2()sin8=2x,即x=10sin。，

OM=OC+CM=10cos^+—x=10cos^+5>/3sin^，

2

所以OP?=0河2+“p2=(]0cos，+5Gsin，『+(5sin6『

=100cos?6+75sin2。+1006sin8cos6+25sin?6=100+50百sin2^，

因為sin26?e[-U],所以當sin26=l即夕=§時。尸最大，

71

也就是OP最長時ZAOB=-.

2

rr

故答案為：一.

2

【點睛】

本題考查了用三角函數(shù)解決幾何問題，關鍵點是作出輔助線利用勾股定理求出OP?,考查了學生分析問題、

解決問題的能力.

四、解答題

17.(2020.陜西漢中市.高二月考)在AABC中，a,b,c分別為內角A,B,C的對邊，且

2a2=(2b-c)b+(2c-b)c.

(I)求角A的大?。?/p>

(II)若6=2ccosA,試判斷△A6C的形狀.

【答案】(I)A=60。；(II)等邊三角形.

【分析】

(1)由己知三邊關系，結合余弦定理即可求角A；

(2)由正弦定理的邊角互化，應用兩角和正弦公式可得sin(A-C)=O,結合(1)的結論即可知AABC的

形狀.

【詳解】

(I)V2a2=(2b-c)b+(2c-b)c,整理得加、=〃+。2,

A=60°.

(II)由正弦定理，WsinB=2sinCeosA,而B=%—(A+C),

sin(A+C)=2sinCeosA=sinAcosC+cosAsinC,即sinAcosC-cosAsinC=0,

sin(A—C)=0,A=C,

:.A-B-C—60°,

...AABC為等邊三角形.

【點睛】

本題考查了正余弦定理，根據(jù)三邊關系應用余弦定理求角，由正弦定理的邊角互化、兩角和正弦公式判斷

三角形形狀，屬于基礎題.

18.(2020.江蘇蘇州市.南京師大蘇州實驗學校高三月考)如圖，一條東西流向的筆直河流，現(xiàn)利用監(jiān)控船。

監(jiān)控河流南岸相距150米的A、B兩處(A在8的正西側).監(jiān)控中心C在河流北岸，測得NA5C=45°，

NB4C=75°，A8=120祈m，監(jiān)控過程中，保證監(jiān)控船。觀測A和監(jiān)控中心C的視角為120°.A,B,C,

。視為在同一個平面上，記AADC的面積為S,NDAC=6.

c

（1）求AC的長度;

（2）試用。表示S,并求S的最大值.

【答案】⑴240m；（2）S=48073[2sin（20+30°）-1],480V3m2.

【分析】

（1）在△ABC中，利用正弦定理解三角形即可得AC.

（2）由（1）知4C的長度，利用正弦定理求AO的長度，結合/D4C=6,利用面積公式即可.

【詳解】

(1)在△ABC中，ZABC=45°.NBAC=lS，所以NACB=60°.

ARAQ

因為A6=120#m，所以，由正弦定理得-----7=-------r，所以AC=240m；

sm60sin45

(2)在△AOC中，設/D4c=6,則/ACD=60°—e，

74rAD

由正弦定理得嬴五而

sinZACD

所以AD=16073sin(60°-0).

所以S=；xACxADsin。；x240x160\/3sin(60,-6>)sin0.

=480x/3(V3sin26+cos26-1)=4806[2sin(2^+30°)-1]

因為0°<6<60°.

所以當6=30°時，S取到最大值480Gm2.

答：AC的長度為240m,S=480百[2sin（26+30°）—1],S取到最大值480Gm?.

【點睛】

本題主要考查了正弦定理解三角形，三角形的面積公式，屬于基礎題.

3兀

19.（2021?廣東湛江市?高三一模）如圖，在平面四邊形A8CO中，AO_LCD,ZBAD=—,2AB=BD=4.

4

DC

(1)求cos/ADB；

(2)若8C=后，求CD

【答案】⑴cosNAD8=巫；⑵8=3夜

【分析】

(1)△A8D中，利用正弦定理可得sin/AZM,進而得出答案;

(2)△BCD中，利用余弦定理可得CD.

【詳解】

2

ABBD--------五，解得sin/AO8=立，故

(1)△A3。中，------,即sin/AOB

sinNADBsinNBAD

4

(2)sinZADB=—=cosZCDB

4

△BCD中，cosZCDB^BD2+CD2-BC2,即1Cg42一曄

2BDCD42-4CD

化簡得(CD_38)(CO+0)=O,解得CO=30.

20.(2021?全國高二單元測試)如圖，一輛汽車在一條水平的公路上向正西行駛到A處時測得公路北側一山

頂。在北偏西45。的方向上，仰角為a,行駛300米后到達B處，測得此山頂在北偏西15。的方向上，仰角

為夕，若￡=45。，則此山的高度CD和仰角a的正切值.

D

【答案】300后，V3-1,

【分析】

設山的高度CD=x,在△ABC中，利用正弦定理求得CB,AC,在Rt△BCD中，由/CBD=45°得CD=CB=300

CD

,然后在Rt^ACD中，由tana=—求解.

AC

【詳解】

設山的高度CD=x米,

由題可得/CAB=45。，ZABC=105°,AB=300米,ZCBD=45°.

在AABC中，得：ZACB=180°-45o-105o=30°,

AnCBAC

利用正弦定理可得一^.」

sm30°sin45°-sin105。'

所以小*薩=3。皿八300xsin105,「rr\

FF-EO（遙+外

在RtABCD中，由NCBD=45。得CD=CB=3000,

CD300后

在Rt△ACD中可得tana=——回1

AC150（V6+V2）

21.（2021?上海高一）已知平行四邊形ABC。，證明472+友）2=2（/止2+4）2）

【答案】證明見解析

【分析】

在三角形ABC和三角形曲中，分別用余弦定理求出AC?和再相加可證結論.

【詳解】

在平行四邊形ABCD中，AB=CD,BC=AD,NABC+NDAB=%,cosZABC+cosZDAB=0,

在三角形ABC中，由余弦定理得AC?=482+802