山西省2020屆高三模擬考試試題理科數(shù)學【含解析】

山西省2020屆高三模擬考試試題理科數(shù)學【含解析】

一、選擇題

1.已知全集。=區(qū)，函數(shù)y=ln(x-2)的定義域為M,集合N={x,-2x＞。},則下列結(jié)論正確的是

()

A.MCN=NB.A/n?N)=0

C.M\JN=UD.M=duN

【答案】B

【解析】

【分析】

根據(jù)函數(shù)定義域的求法，可得“，根據(jù)一元二次不等式的解法，可得N,然后根據(jù)交、并、補計算，可

得結(jié)果

詳解】令x-2>0=x>2,所以〃=(2,”)

由％2一2%>00%<0或x>2,所以N=(-OO,0)U(2,+<?)

6心=[0,2],所以Mn(6/V)=0,MCN=M*N,M\JN=N^U,M刈).

故選：B

【點睛】本題考查函數(shù)定義域以及一元二次不等式解法，以及交、并、補運算，重點在于掌握交、并、補

的概念以及不等式的解法，屬基礎(chǔ)題.

2.已知復(fù)數(shù)z=a+初(a,bwH),二是實數(shù)，那么復(fù)數(shù)z的實部與虛部滿足關(guān)系式()

1—Z

A.a+b=0B.a-b=0

C.a-2h=0D.a+2b=0

【答案】A

【解析】

【分析】

7

先利用復(fù)數(shù)的除法運算化簡二,若為實數(shù)，則虛部為零，即得解.

1-Z

a+bi_(a+bi)(\+z)_(a-0)+(a+〃)i

【詳解】—

1-Z1-z2-2-

2

——是實數(shù)，所以。+。=0,

1-/

故選：A.

【點睛】該題考查的是有關(guān)復(fù)數(shù)的問題，涉及到的知識點有復(fù)數(shù)的四則運算和基本概念，考查了學生概念

理解，數(shù)學運算的能力，屬于基礎(chǔ)題目.

【答案】A

【解析】

【分析】

根據(jù)cos(?-a)=；，將sin2a,利用誘導公式和二倍角的余弦公式轉(zhuǎn)化為sin2a=2cos21.一a]-1

求解.

【詳解】因為cos[(-a)=；,

【點睛】本題主要考查誘導公式和二倍角公式的應(yīng)用，還考查了轉(zhuǎn)化求解問題的能力，屬于基礎(chǔ)題.

22

4.已知雙曲線C：二一3=1(。＞0/＞0)的右焦點為凡0為坐標原點以O(shè)F為直徑的圓與雙曲線C

的一條漸近線交于點。及點A|,亨■，則雙曲線。的方程為()

222

「尸21

兒—=1B.又一匕=1C.y=1D.

26362

【答案】C

【解析】

【分析】

根據(jù)雙曲線方程求出漸近線方程：＞=3x，再將點A代入可得匕=個“，連接用，根據(jù)圓的

性質(zhì)可得也=從而可求出C,再由。2=/+從即可求解.

63

【詳解】由雙曲線0：?一點=1(。>0/>0卜

b

則漸近線方程：y=±-x,

a

所以c2=a2+02=4,解得/=3,〃=].

故雙曲線方程為三-》2=].

3-

故選：C

【點睛】本題考查了雙曲線的幾何性質(zhì)，需掌握雙曲線的漸近線求法，屬于中檔題.

5.己知函數(shù)g(x)=e*_eT,〃x)=xg(x),若a==j,c=/(4),則。，仇c的大

小關(guān)系為()

A.a<b<cB.c<h<a

C.b<a<cD.b<c<a

【答案】C

【解析】

【分析】

先根據(jù)函數(shù)g(x)的奇偶性，判斷函數(shù)/(%)為偶函數(shù)，再根據(jù)偶函數(shù)的性質(zhì)及單調(diào)性，即可得答案;

【詳解】依題意，有g(shù)（-x）=—g（x）,貝Ijg（x）=e，-e-"為奇函數(shù)，且在R上單調(diào)遞增,

所以/（x）為偶函數(shù).

當x>0時,有g(shù)(x)>g(O),

任取為＞々＞0，則8（%1）＞8（超）＞（），由不等式的性質(zhì)可得Ng（x）＞/g（%）＞0,

即〃為）＞/（%）＞0,所以，函數(shù)/（尤）在（0,小?）上遞增,

因此，/圖＜0=佃＜/（4）.

b<a<c,

故選：C.

【點睛】本題考查偶函數(shù)的性質(zhì)及利用函數(shù)的單調(diào)性比較大小，考查邏輯推理能力、運算求解能力.

6.已知某算法的程序框圖如圖所示，則該算法的功能是（）

A.求首項為1，公比為2的等比數(shù)列的前2018項的和

B.求首項為1，公比為2的等比數(shù)列的前2019項的和

C.求首項為1，公比為4的等比數(shù)列的前1009項的和

D.求首項為1，公比為4的等比數(shù)列的前1010項的和

【答案】D

【解析】

【分析】

先由程序的循環(huán)變量〃得到循環(huán)執(zhí)行的次數(shù)，再由S中第一次累加的是2-=1，第二次累加的是23T=4,

依此循環(huán)得到結(jié)論.

【詳解】由已知中的程序框圖可知：該程序的循環(huán)變量〃的初值為1，終值為2021,步長為2,故循環(huán)共

執(zhí)行了1010次.

由S中第一次累加的是2一=1，第二次累加的是23T=4,一直下去，

故該算法的功能是求首項為1，公比為4的等比數(shù)列的前1010項的和.

故選：D

【點睛】本題主要考查程序框圖中的循環(huán)結(jié)構(gòu)，還考查了邏輯辨析的能力，屬于基礎(chǔ)題.

7.《周易》是我國古代典籍，用“卦”描述了天地世間萬象變化.如圖是一個八卦圖，包含乾、坤、震、

巽、坎、離、艮、兌八卦（每一卦由三個爻組亦其中“一.”表示一個陽爻，“■-”表示一個陰爻）.若

從八卦中任取兩卦，這兩卦的六個爻中恰有一個陽爻的概率為（）

3

B.

5628

,3\_

，■---------D.

144

【答案】B

【解析】

【分析】

這是一個古典概型，先算出從八卦中任取兩卦的基本事件數(shù)，再根據(jù)圖知僅有一個陽爻的有坎、艮、震三

卦，沒有陽爻的是坤卦，得到兩卦的六個爻中恰有一個陽爻的基本事件數(shù)，代入公式求解.

【詳解】從八卦中任取兩卦的基本事件有C；=28圭卜,

由圖可知，僅有一個陽爻的有坎、艮、震三卦，沒有陽爻的是坤卦,

所以兩卦的六個爻中恰有一個陽爻的基本事件有3x1=3卦，

33

所以兩卦的六個爻中恰有一個陽爻的概率P=:了==.

CoZo

故選：B

【點睛】本題主要考查古典概型的概率求法，還考查了理解辨析的能力，屬于基礎(chǔ)題.

TTTT

8.將函數(shù)=sin（3x+夕）（0＜。＜外的圖象向右平移一個單位長度后，得到函數(shù)的圖象關(guān)于直線尤=々

83

對稱，則函數(shù)/（X）在-J,9上的值域是（）

|_88_

A.一孚1B.[-73,2]

C.一與1D.[-72,2]

【答案】C

【解析】

【分析】

根據(jù)三角函數(shù)圖象平移關(guān)系，結(jié)合三角函數(shù)的對稱性，求出b的值，利用整體代換即可求出函數(shù)的值域.

【詳解】/（x）=sin（3x+°）（0＜°＜乃），向右平移g個單位長度后,

O

得到函數(shù)的解析式為了（X）=4一*1

yrTT37r7T

函數(shù)的圖象關(guān)于直線X=一對稱，3x------+9=左萬+一，kwZ,

3382

JC77r

得夕二k兀---,keZ、又所以°=—,

88

/（x）=sin|^3x+—J,當xe[-W,w]時3%+不€[5，彳｝

.八7兀、FV2

I8j[2J

故選：C.

【點睛】本題考查了函數(shù)圖象變換規(guī)律以及正弦函數(shù)的性質(zhì)，考查數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，屬于中檔題.

9.如圖，平面四邊形AD8c中，ABLBC,AB=C，BC=2也,AABD為等邊三角形，現(xiàn)將△AB。

沿AB翻折，使點。移動至點尸，且PB1BC，則三棱錐產(chǎn)一ABC的外接球的表面積為（)

p

A.16〃B.8〃

C.4萬D.y/67T

【答案】A

【解析】

【分析】

將三棱錐P-ABC補形為如圖所示的三棱柱，則它們的外接球相同，由此易知外接球球心。應(yīng)在棱柱上

下底面三角形的外心連線上，在中，計算半徑08即可.

【詳解】由PB1BC,可知8。，平面弘6.

將三棱錐尸-ABC補形為如圖所示的三棱柱，則它們的外接球相同，

由此易知外接球球心0應(yīng)在棱柱上下底面三角形的外心連線上，

A'

記AABP的外心為E，由△43。為等邊三角形，可得BE=1.

又。￡=生=百，故在中，08=2此即為外接球半徑，

2

從而外接球表面積為16萬.

故選：A

【點睛】本題考查了三棱錐外接球的表面積，考查了學生空間想象，邏輯推理，綜合分析，數(shù)學運算的能

力，屬中檔題.

10.已知拋物線。：丫2=2。%(〃>0)的焦點為尸，準線/,M是/上一點，N是線段ME與。的交點，

若麗=2而，。為坐標原點，且△MV的面積S為走，則口的值為()

4

A.0B.272C.y/3D.2G

【答案】C

【解析】

【分析】

畫圖設(shè)點N（x,y）,根據(jù)三角形的相似關(guān)系以及三角形面積公式可得N的橫縱坐標關(guān)于。的表達式，再

聯(lián)立求解即可.

【詳解】假設(shè)點M在準線的上半部分，準線與x軸交點為尸，過點N作x軸的垂線，垂足為。，設(shè)點

N（x,y）.

易得，4MPF~ANQF,又麗=2而，所以|。月=」仍尸|=」〃，則x①；

336

又SAOFN=/。制|可。[=3]-=手，得y=*

3

代入拋物線方程y2=2px（p>0）,得*=宗②,聯(lián)立①②得，

【點睛】本題主要考查了根據(jù)直線與拋物線的位置關(guān)系，結(jié)合平面向量與相似比例的性質(zhì)求解參數(shù)的問題,

需要根據(jù)題意設(shè)點，將橫縱坐標用參數(shù)表達，進而列式求解.屬于中檔題.

11.設(shè)“，b，c為銳角AA8C內(nèi)角A，B,C的對邊，且滿足竺1+"C=2百sinC,若。=2,

ab3a

則A48C的面積的最大值為（）

A.6B.2y/3C.2:巨D(zhuǎn).g

【答案】A

【解析】

【分析】

nI

由正弦定理和題設(shè)條件，化簡得3sinC=2百sinBsinC，進而得到sin8=*二，cosB=-,再由余弦定

22

理和基本不等式，求得“W4,利用三角形的的面積公式，即可求解.

【詳解】因為絲1+”與=述包￡,可得3bcosA+3acosB=2?sinC，

ab3a

由正弦定理，可得3sin3cosA+3sinAcosB=2j^sin3sinC,

又由3sinBcosA+3sinAcosB=3sin(A+B)=3sinC,即3sinC=2百sinBsinC，

又由CG(0,王)，則sinC>0,所以sinB=走，

22

JT1

又由3￡(0，U),所以COSB=一,

22

2

由余弦定理可得Z?2-a+02—2QCCOS3=/+/—ac=4，

又由4="+。2—QC之2ac—ac=ac，當且。=c時等號成立，

所以歡W4,所以AABC的面積的最大值為S=Lacsin5='x4x走=JL

222

故選：A.

【點睛】本題主要考查了正弦定理、余弦定理和三角形的面積公式，以及基本不等式的應(yīng)用，其中在解有

關(guān)三角形的題目時，要抓住題設(shè)條件和利用某個定理的信息，合理應(yīng)用正弦定理和余弦定理求解是解答的

關(guān)鍵，著重考查了運算與求解能力，屬于基礎(chǔ)題.

12.新型冠狀病毒屬于￡屬的冠狀病毒，有包膜，顆粒常為多形性，其中包含著結(jié)構(gòu)為數(shù)學模型的

y=Bcos①0,y=k/3+b,人體肺部結(jié)構(gòu)中包含y=Asin必，y=\n/3,新型冠狀病毒肺炎是由它

們復(fù)合而成的，表現(xiàn)為了(4)，若/(/)=asin(l—夕)+ln僅在區(qū)間(0,1)上為增函數(shù)，則。的取值范圍

為()

A.(-oo,0]B.(-oo,l]C.[0,+oo)D.[l,+oo)

【答案】B

【解析】

【分析】

由題意得，[〃0]'=FCOS(1—Z7)+[NO在(0,1)上恒成立，利用參變分離法分離出函數(shù)

g(￡)=尸cos(l—尸)即可求解.

【詳解】???/(#)=asin(l—/?)+ln/?在區(qū)間(0,1)上是增函數(shù)，

???[/(￡)]'=一。85(1-￡)+[20在(0,1)上恒成立，：1一￡€(0,1)1(0,9

.?.COS0-⑶>0,廣cos(l—⑶，[/?cos(l-^)]，=cos(l-z?)+/?sin(l-^)>0

尸cos(l-A)在(0,1)單調(diào)遞增，^COS(1-/7)G(0,1),.?."s；_0e(L+8),

故選：B

【點睛】本題考查已知函數(shù)單調(diào)性求參數(shù)范圍問題，屬于中檔題.

二、填空題

2

13.二項式(X--)6的展開式中，常數(shù)項為.

x

【答案】-160

【解析】

【分析】

根據(jù)二項展開式的通項公式，即可得到答案；

【詳解】?.?4+i=C；x6-r(--)r=C；x6-2r(-2)r,r=0,1,?-6,

X

當6—2r=0=>r=3時，,T4=。；(一2)3=-160,

常數(shù)項為一160,

故答案為：—160.

【點睛】本題考查二項式定理通項公式的應(yīng)用，考查運算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.

14.已知函數(shù)/(x)=r[3+l，xW0,若關(guān)于x的方程(〃x)T(/(x)-#=0恰有5個不同的實

2—2,x>0

根，則機的取值范圍為

【答案】(1,2)

【解析】

【分析】

轉(zhuǎn)化為函數(shù)y=/(x)的圖象與直線y=1和直線y=機共有5個不同的交點，作出函數(shù)y=/(%)的圖象,

觀察圖象可得結(jié)果.

【詳解】由(/(x)T(/(x)-間=0，得/(x)=l或/(%)=■,

則函數(shù)y=/(x)的圖象與直線y=1和直線y=機共有5個不同的交點，

作出函數(shù)y=/(x)的圖象，如圖所示：

由圖可知，函數(shù)y=/(x)的圖象與直線y=l有兩個交點，

所以函數(shù)y=/(x)的圖象與直線丁=加有三個交點，所以me(l,2).

故答案為：(1,2).

【點睛】本題考查了函數(shù)與方程思想，考查了數(shù)形結(jié)合思想，考查了等價轉(zhuǎn)化思想，屬于基礎(chǔ)題.

15.已知四邊形中，AD//BC,440=90。，A￡>=1,BC=2,M是AB邊上的動點，則

|流+2和|的最小值為.

【答案】4

【解析】

【分析】

采用建立平面直角坐標系的方法，并假設(shè)A3=m,求得就+2礪的坐標，然后根據(jù)向量模的表示,

簡單計算和判斷，可得結(jié)果.

【詳解】建立如圖的直角坐標系，

設(shè)AB=/n,A/(O,r),tG[0,m],

由題意可知,C(2,0),0(1,nz),MC=(2,-t),=

MC+2MD=(4,2m-3t),

|杭+2而|=[16+(2，"一3f)24,當且僅當，=言時取等號，

即|沅+2叫的最小值為4.

故答案為：4

【點睛】本題考查利用向量的方法解決幾何問題，關(guān)鍵在于坐標系的建立，將幾何問題代數(shù)化，向量是紐

帶，考驗對問題的轉(zhuǎn)化能力以及分析能力，屬中檔題.

16.波羅尼斯(古希臘數(shù)學家，約公元前262-190年)的著作《圓錐曲線論》是古代世界光輝的科學成果,

它將圓錐曲線的性質(zhì)網(wǎng)羅殆盡幾乎使后人沒有插足的余地.他證明過這樣一個命題：平面內(nèi)與兩定點距離

的比為常數(shù)4(左＞0且的點的軌跡是圓，后人將這個圓稱為阿波羅尼斯圓.現(xiàn)有AABC,

AC=4,sinC=2sinA,則當AABC的面積最大時，4C邊上的高為.

【答案】g

【解析】

【分析】

AABC,AC=4,sinC=2sinA,即￡=2.根據(jù)阿波羅尼斯圓可得：點6的軌跡為圓，以線段4c中點

a

為原點，力。所在直線為x軸建立直角坐標系，求出6的軌跡方程，進而得出結(jié)論.

.一△?4IAB|sinC八

【詳解】解：???$1110=201114，忌=-^=2為非零常數(shù)，

|CB|sinA

根據(jù)阿波羅尼斯圓可得：點8的軌跡是圓.

以線段中點為原點，/C所在直線為x軸建立直角坐標系

則4—2,0),。(2,0),設(shè)8(x,y),'：\AB\^2\CB\

???7(X+2)2+/=2^x-2)2+y2

2

(1A\2(QA

3X2+3/-20X+12=0,整理得x-—+/=-

<3)

Q

因此，當AABC面積最大時，仇?邊上的高為圓的半徑(

【點睛】本題考查了阿波羅尼斯圓的應(yīng)用、正弦定理、三角形面積計算公式，考查了推理能力與計算能力,

屬于中檔題.

三、解答題

17.在四棱錐中產(chǎn)一438中，是邊長為2的等邊三角形，底面ABC。為直角梯形，AB//CD,

AB1BC,BC=CD=1,PD=C.

(1)證明：ABLPD-.

(2)求二面角8—Q4—O的余弦值.

【答案】(1)詳見解析；(2)昱.

3

【解析】

【分析】

(1)取A3的中點為M，連接。M,PM,由△B43是等邊三角形可得A3,PM，再由底面ABC。為

直角梯形，結(jié)合已知的邊長可證得A5_LDM，于是得ABJ_平面以加，從而證得結(jié)果;

(2)由條件可得可知。M,DC,OP兩兩垂直，所以以。為坐標原點建立直角坐標系。-兀yz,利用向量

法求出二面角—。的余弦值.

【詳解】(1)證明：取AB的中點為M，連接。因為△PA6是等邊三角形，所以

因為在直角梯形ABC。中，AB±BC,BC=CD=1,AB=2,所以AO=8D=后

所以為等腰三角形，所以

因為=所以AB_L平面PDW

因為叨u平面PDM，所以A6_LF。.

(2)解：因為PD=亞，DM=1，PM為正三角形△PAB的AB邊上的高，所以PM=g.

因為=刊02,所以p￡)_L￡)M，由(1)可知DM,DC,Z)P兩兩垂直。

以O(shè)為坐標原點建立直角坐標系。一型，則4(1,一1,0),3(1,1,0),C(0,l,0),P(0,0,V2)

則麗=(0,2,0),S4=(1,-1,-A/2),ZM=(l,-l,0)

設(shè)平面AP3的法向量為〃?=(x,y,z)

則〈一，即《令》=夜得加=(12,0,1).

PAm=0[x-y-y/r2z^0、'

設(shè)平面PAD的法向量為n=(<y',z')

DAn=0儼-y'=0-,、

則〈一，即｛r-令X'=l,則〃=(I,I,0)

[PA-n=0[x'-y'-y/2z'^0'7

l~~\V2xlV3

\/V3xV23

因為二面角8—24—0為銳二面角，所以其余弦值為且.

3

【點睛】此題考查線線垂直的證明，考查二面角的余弦值的求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置

關(guān)系等基礎(chǔ)知識，考查運算能力，屬于中檔題.

18.已知數(shù)列｛a,,+1｝的前〃項和S,,滿足S?=3??,〃eN*.

（1）求證數(shù)列｛4+1｝為等比數(shù)列，并求/關(guān)于"的表達式；

（2）若a=1里|（4+1）,求數(shù)列｛（?！?1）d｝的前〃項和

/oyC（4、〃+1

【答案】（1）證明詳見解析；a,,=--1;（2）7；=6—6x-+2nx-.

【解析】

【分析】

（1）因為S.=（4+1）+3+1）+…+（。"+1）=3。“，即4+4+…+%+〃=3?！埃敃r

33

4+g+…+/T+〃—1=3?！癬1，兩式相減再配湊得到數(shù)列｛%+1｝是首項為5，公比為§的等比數(shù)列，

即可計算出數(shù)列他”+1｝的通項公式，然后計算出數(shù)列伍“｝的通項公式；

（2）根據(jù)（1）的結(jié)果計算出數(shù)列｛〃,｝的通項公式，進一步計算出數(shù)列｛（%+1次』的通項公式，根據(jù)通項

公式的特點運用錯位相減法計算出前”項和7；.

【詳解】⑴由題設(shè)S,,=（4+l）+3+l）+…+（"“+1）=3%,

即q+。2+…+①

當〃=1時，q+l=3q,解得4=g,

當〃22時q+生+???+?！?1+〃-1=3%_|②

31

①一②得?！?1=3?！耙?41T，即+-

33

為+1=,41+1)(〃22)又4+1=2

、

所以數(shù)列｛。,,+1｝是首項為:，公比為;的等比數(shù)列，所以4+1=-

22127

⑵由⑴勿=夠(4+1)=%(|)=〃，則&+1應(yīng)="X3

2

(3)+3后33\n

T〃=1義J+2x+1)X⑶"'+〃x

27

23〃+1

3j+…(，7)x]|J+〃x(3

M=lx

2"如唱+唱J

兩式相減得

、〃一I

(3(3

+一〃X⑶""

7J7J7

=一31-

、〃+1

4=6-6x]1)+2/ix3

27

【點睛】本題主要考查數(shù)列求通項公式，以及運用錯位相減法求前〃項和，考查學生邏輯推理能力和數(shù)學

運算能力.屬中檔題.

19.己知橢圓。：4+4=1(4>8>0)離心率e=也，橢圓。上的點到其左焦點6的最大距離為

a~b~2

1+V2.

(1)求橢圓的標準方程:

(2)過橢圓C左焦點耳的直線/與橢圓C交于A5兩點，直線加：%=-2,過點耳作直線/的垂線與直

線加交于點T，求上T的最小值和此時直線/的方程.

【答案】(1)—+/=I；(2)最小值為YZ,此時直線/的方程為x=—1.

22

【解析】

【分析】

(1)根據(jù)橢圓C上的點到其左焦點的最大距離為1+0，得到“+c=l+夜，再由e=］，聯(lián)立求解

即可.

(2)①當直線/的斜率不存在時，直線/的方程為x=-1,可分別求導T,A,B的坐標，然后利用兩點間

y=%(x+l)

距離公式求解；②當直線/的斜率存在時，設(shè)直線/的方程為>=攵(％+1),由f,利用弦長

巳+y?=]

y=T》+i），求得交點丁（一2,：

公式求得再由＜，從而得到|好|=f丁l+F，檸代入阿畫代求得解.

x=-2

【詳解】（1）由題可知e=￡=辛，又橢圓C上的點到其左焦點的最大距離為1+J5,

所以Q+C=1+V2，

所以Q=y/2,C=19

??b=J。?-C1=1，

所以橢圓C的方程為:+y2=l.

（2）①當直線/的斜率不存在時，直線/的方程為％=-1,則丁（一2,0）,

此嘿當

所以A-1,——,B-1,---

22

②當直線/的斜率存在時，設(shè)直線/的方程為y=Z（x+l）,A（/yJ,B（x2,y2）

y=k（x+l）

由，

——“2+y~2=1

I2

得（2k2+l）x2+4/x+2/_2=0,

4k22k2-2

由韋達定理得玉———>尤|?尤,=———

2公+11-2公+1

則|AB\=J1+尸而+々『一4內(nèi)十=）（

1十乙K

聯(lián)立“二一看（"1）,可得T，2,￡j,

%_1+2/_1+公+/2,（1+、-一五

ph*KJ------------“，—.,,一■—-------

\AB\2夜,公（公+1）2夜小2（公+1）2及#2（公+1）2

因為1+公H公所以等號不成立.

綜上，典的最小值為巫，此時直線/的方程為X=—1.

【點睛】本題主要考查橢圓方程的求法，直線與直線，直線與橢圓的位置關(guān)系以及最值問題，還考查了運

算求解的能力，屬于中檔題.

20.某工廠生產(chǎn)某種電子產(chǎn)品，每件產(chǎn)品合格的概率均為。，現(xiàn)工廠為提高產(chǎn)品聲譽，要求在交付用戶前

每件產(chǎn)品都通過合格檢驗，已知該工廠的檢驗儀器一次最多可檢驗5件該產(chǎn)品，且每件產(chǎn)品檢驗合格與否

相互獨立.若每件產(chǎn)品均檢驗一次，所需檢驗費用較多，該工廠提出以下檢驗方案：將產(chǎn)品每人個（左＜5）

一組進行分組檢驗，如果某一組產(chǎn)品檢驗合格，則說明該組內(nèi)產(chǎn)品均合格，若檢驗不合格，則說明該組內(nèi)

有不合格產(chǎn)品，再對該組內(nèi)每一件產(chǎn)品單獨進行檢驗，如此，每一組產(chǎn)品只需檢驗一次或后+1次.設(shè)該工

廠生產(chǎn)1000件該產(chǎn)品，記每件產(chǎn)品的平均檢驗次數(shù)為X.

（1）X的分布列及其期望；

（2）（i）試說明，當P越大時，該方案越合理，即所需平均檢驗次數(shù)越少；

（ii）當p=0.9時，求使該方案最合理時女的值及1000件該產(chǎn)品的平均檢驗次數(shù).

【答案】（1）分布列詳見解析，期望E（X）=1-p*+,；（2）（i）詳見解析；（ii）攵=4時平均檢驗次

k

數(shù)最少，約594次.

【解析】

【分析】

（1）根據(jù)每人個（左W5）一組進行分組檢驗，如果某一組產(chǎn)品檢驗合格，則說明該組內(nèi)產(chǎn)品均合格，若

檢驗不合格，則說明該組內(nèi)有不合格產(chǎn)品，再對該組內(nèi)每一件產(chǎn)品單獨進行檢驗，如此，每一組產(chǎn)品只需

I1+k

檢驗一次或后+1次，每件產(chǎn)品的平均檢驗次數(shù)X的可能取值為一，——，再利用獨立事件和互斥事件求

kk

得概率列出分布列，再求期望

（2）（7）由（1）知〃p）=l—〃"+：，根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性得到了（〃）在上單調(diào)遞減，從

而得到結(jié)論.（萬）由（1）記g（攵）=1-0.9、：，則由g（A）＜l且取最小值時，該方案最合理求解.

K

11+k

【詳解】（1）由題意，X的可能取值為丁，一

kk

故X的分布列為

\+k

X

Ik

Ppk1-/

A

E(X)=1x/+-^x(l-p)=l-^+l

(2)Qi)由(1),記/(P)=l-pAH—>

k

因為%>0.所以/(P)在〃e(o,l)上單調(diào)遞減，

故P越大，/(〃)越小，即所需平均檢驗次數(shù)越少，該方案越合理.

(切記g(Z)=l—0.9"+J,當g(攵)<1且取最小值時，該方案最合理，

因為g⑴合1.1,g(2卜0.69,^(3)?0.604,g(4)?0.594,g(5)?0.61.

所以左=4時平均檢驗次數(shù)最少，約1000x0.594=594次.

【點睛】本題主要考查離散型隨機變量的的分布列，期望及其應(yīng)用，還考查了運算求解的能力，屬于中檔

題.

m

21.已知函數(shù)"x)=〃----\nx(加,〃為常數(shù)).

X

(1)討論“X)的單調(diào)性；

(2)若對Vxe(0,??)有/(x)Wn-m恒成立，且g(x)=/(x)+3x-〃在％=處的導數(shù)

相等，求證：g(x,)+>11—21n2.

【答案】(1)詳見解析；(2)詳見解析.

【解析】

【分析】

(1)利用導數(shù)，在定義域中并按根<0,加>0討論，可得結(jié)果.

(2)根據(jù)/(1)=〃一加并結(jié)合(1),可知〃？，然后根據(jù)g'(xj=g'(9),可得'+'=1,計算

X]x2

g(xj+g(w),并使用換元法，可得0(r)=3f-l—inr(r>4),結(jié)合導數(shù)，可得結(jié)果.

【詳解】(1)=〃-----Inx9j(x)=—；----=—；-(x>。)

XXXX

當“K0時，

/'(X)<0在X>0時恒成立，則/(X)在(0,+8)單調(diào)遞減；

當m>0時，

若xe(O,m),./(力>0

若xe(m,+8),/'(x)<0

所以/(x)在(0,根)單調(diào)遞增，在(加,”)單調(diào)遞減.

(2)因為f(\)=n-m,

而Vxe(0,+oo)有/(x)W/一加=/(1)恒成立，

知"X)當x=l時有最大值”1),由⑴知必有“2=1,

所以.f(x)=n-■--Inx,g(x)=/(x)+3x-〃=3x-■--Inx,

g<x)=3+4?-L依題意設(shè)g'(x|)=g'(x2)=%,

-4--+3-A;=0

X：X

即《x

11

———+3—憶=0

x2

所以—+—-1,內(nèi)+W=內(nèi)工2N2Jxw

因為X。工2故西工2>4

所以g(%)+g(X2)=3(X]+工2)----+_一(lnX]+lnx2)

IX|X27

則g(X1)+g(w)=一1一In玉泡

令/=芯％2>4,,

所以，夕'")=3—；>0(f〉4)

所以°(f)在(4,+8)上單調(diào)遞增

(p[)>0(4)=11—21n2

【點睛】本題考查函數(shù)導數(shù)的綜合應(yīng)用，掌握分類討論方法以及換元法的使用，化繁為簡，考驗分析問題

能力，本題難點在于機的求取以及函數(shù)。(r)=3r-l-lnr的構(gòu)建，屬難題.

11

x=—+—cosa

22

22.平面直角坐標系中，曲線G參數(shù)方程為(a為參數(shù))，以原點為極點，x軸

y=—sina

I2

的非負半軸為極軸，建立極坐標系，曲線G的極坐標方程為22=_-------—

cos_6+4sirr0

(i)求曲線G的極坐標方程以及曲線G的直角坐標方程;

(2)若直線/：丁=依與曲線C、曲線c)在第一象限交于P,。兩點，且|0。=2|08，點"的坐標為

(2,0),求AMPQ的面積.

丫2/7

【答案】(1)G：x?=cos6,c,:―+/=1；(2)注.

4-