現(xiàn)代數(shù)學(xué)觀點下的中學(xué)數(shù)學(xué)

現(xiàn)代數(shù)學(xué)觀點下的中學(xué)數(shù)學(xué)

?前言

?第一章緒論

?第二章集合和映射

?第一節(jié)集合和集合論

?第二節(jié)關(guān)系和映射

?第三節(jié)從集合論觀點看中學(xué)數(shù)學(xué)

*第四節(jié)集合的序數(shù)和基數(shù)

?研究與思考題

?第三章代數(shù)

?第一節(jié)代數(shù)運(yùn)算

?第二節(jié)與中學(xué)數(shù)學(xué)有關(guān)的代數(shù)系統(tǒng)

?第三節(jié)歸納原理和數(shù)學(xué)歸納法

?*第四節(jié)有限群和代數(shù)方程根式解

?研究與思考題

?第四章數(shù)系

?第一節(jié)自然數(shù)和數(shù)的擴(kuò)充

?第二節(jié)整數(shù)環(huán)和有理數(shù)域

?第三節(jié)實數(shù)域和復(fù)數(shù)域

第四節(jié)代數(shù)數(shù)、超越數(shù)和作圖不能問題

研究與思考題

?第五章幾何

?第一節(jié)歐氏幾何與非歐幾何

?*第二節(jié)幾何基礎(chǔ)

?*第三節(jié)幾何學(xué)的向量結(jié)構(gòu)和度量結(jié)構(gòu)

?第四節(jié)中學(xué)幾何的幾個問題

?研究與思考題

?第六章圖形

?第一節(jié)圖形的一般性質(zhì)

?第二節(jié)曲面和閉曲面

?第三節(jié)關(guān)于圖形的組合問題

?第四節(jié)圖及其應(yīng)用

?研究與思考題

?第七章實值函數(shù)

?第一節(jié)數(shù)列

?第二節(jié)基本初等函數(shù)和函數(shù)方程

?第三節(jié)周期函數(shù)和分段函數(shù)

?第四節(jié)市場經(jīng)濟(jì)中幾個函數(shù)問題

?研究與思考題

?第八章不等式

?第一節(jié)從集合論觀點看不等式

第二節(jié)證明不等式的函數(shù)方法

第三節(jié)函數(shù)極值

第1頁，共293頁

?第四節(jié)線性不等式組和線性規(guī)劃

?研究與思考題

?第九章概率統(tǒng)計

?第一節(jié)隨機(jī)現(xiàn)象的數(shù)學(xué)描述

?第二節(jié)概率和概率分布

?第三節(jié)統(tǒng)計推斷

?第四節(jié)數(shù)理統(tǒng)計的簡單應(yīng)用

?研究與思考題

?問題答案和提示

前言

在我國高等師范院校包括教育學(xué)院中，無論是文、史、地、還是理、

化、生等各專業(yè)，所開設(shè)的專業(yè)課程，都是中學(xué)相應(yīng)課程內(nèi)容的加深、加

廣，螺旋式上升.因此，這些專業(yè)的畢業(yè)生到中學(xué)任教后，能夠較好地解

決“居高臨下”的問題.而數(shù)學(xué)專業(yè)則是個例外.除微積分外，大學(xué)數(shù)學(xué)

課程所講的高等數(shù)學(xué)，與中學(xué)數(shù)學(xué)的研究對象、研究方法都有本質(zhì)的不同,

中學(xué)數(shù)學(xué)到大學(xué)數(shù)學(xué)是直線上升.大部分高等數(shù)學(xué)課程與中學(xué)數(shù)學(xué)嚴(yán)重脫

節(jié)，學(xué)生所學(xué)高等數(shù)學(xué)與中學(xué)數(shù)學(xué)聯(lián)系不上，“居高”而不能“臨下”.以

致數(shù)學(xué)專業(yè)畢業(yè)生到中學(xué)后，往往需要重新學(xué)習(xí)相當(dāng)長一段時間，才能熟

悉和掌握中學(xué)數(shù)學(xué)教材，勝任教學(xué)工作.

因此，高師數(shù)學(xué)專業(yè)教學(xué)改革的一個迫切任務(wù)，就是要解決如何在現(xiàn)

代數(shù)學(xué)觀點指導(dǎo)下，加強(qiáng)高等數(shù)學(xué)與中學(xué)數(shù)學(xué)的聯(lián)系.

本書是我國高師八五教材規(guī)劃中數(shù)學(xué)教育系列選修課教材之一.它的

主要任務(wù)就是，在現(xiàn)代數(shù)學(xué)觀點下，溝通高等數(shù)學(xué)與中學(xué)數(shù)學(xué)的聯(lián)系.它

的內(nèi)容主要有三個方面：一是將現(xiàn)代數(shù)學(xué)的思想和方法滲透到中學(xué)數(shù)學(xué)中

去；二是用具體材料來說明高等數(shù)學(xué)對中學(xué)數(shù)學(xué)的指導(dǎo)意義；三是指出中

學(xué)數(shù)學(xué)某些難以處理的問題的高等數(shù)學(xué)背景.

本書假定讀者已學(xué)過大學(xué)數(shù)學(xué)專業(yè)基礎(chǔ)課程一一數(shù)學(xué)分析、高等代

數(shù)、高等幾何、概率統(tǒng)計等.書中所聯(lián)系的中學(xué)數(shù)學(xué)，是指現(xiàn)行中學(xué)數(shù)學(xué)

教材和競賽數(shù)學(xué)中的某些內(nèi)容.

全書共九章，除緒論外，以中學(xué)數(shù)學(xué)內(nèi)容除微積分外為線索，分別

講述集合與映射、代數(shù)、數(shù)系、幾何、圖形、數(shù)值函數(shù)、不等式和概率統(tǒng)

計.各章之間，既注意到一定的邏輯聯(lián)系，又具有相對獨(dú)立性.每章編有

研究和思考題，書末附有這些問題的提示和答案，以及參考書目.

考慮到高師數(shù)學(xué)本科、?？坪屠^續(xù)教育的不同需要，其中部分可作選

讀的內(nèi)容加了“*”號.全書安排教學(xué)課時在54?72之間.

在本書編寫和審稿過程中，得到過下列各位先生的幫助和指導(dǎo)：張奠

宙教授、鄒一心教授華東師大、李長明教授貴州教育學(xué)院、唐復(fù)蘇教

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授蘇州大學(xué)、戴再平教授浙江教育學(xué)院、趙振威教授常熟高專、沈

幼璋、沈傳龍、盧冠軍、王岳庭副教授杭州教院、任毅副教授蕪湖教

院、孫熙椿副教授江西師大和丁萬鼎教授安徽師大等.謹(jǐn)向他們表

示衷心的感謝.我們還要特別感謝高等教育出版社的高尚華副編審，他在

本書編寫的全過程中，始終給以極大的關(guān)心、支持和指導(dǎo).

本書是在初稿《中學(xué)數(shù)學(xué)的現(xiàn)代理論基礎(chǔ)》講義的基礎(chǔ)上修改而成

的.初稿由下列先生提供：胡炳生第一、二、十章，第七章第三節(jié)，第

八章第一、五節(jié)，吳俊第三、四章，孫國漢第五、六章，王佩瑾第

九、十一章，第七、八章其余部分.胡炳生根據(jù)審稿會意見和建議，并

參考其他作者的意見，對全書進(jìn)行全面修改，將原稿十一章精簡成九章.吳

俊參加了全稿的修改工作，并對書中術(shù)語、外國人譯名和符號，進(jìn)行了統(tǒng)

一和標(biāo)準(zhǔn)化工作.

編寫本書是作者的一個嘗試，是關(guān)于這個課題研究的初步結(jié)果.盡管

我們作了種種努力，廣泛吸收國內(nèi)外有關(guān)研究成果，但限于知識水平和教

學(xué)經(jīng)驗，許多問題還未很好研究，對某些問題的看法也未必妥當(dāng)，書中一

定還存在不少缺點和錯誤.誠懇希望廣大讀者予以批評和指正.

作者于安徽師大

1997年12月

第一章緒論

本書的主題是，在現(xiàn)代數(shù)學(xué)觀點指導(dǎo)下，研究高等數(shù)學(xué)與中學(xué)數(shù)學(xué)的

聯(lián)系.因此，我們首先要說明什么是現(xiàn)代數(shù)學(xué)，什么是中學(xué)數(shù)學(xué)，以及高

等數(shù)學(xué)與中學(xué)數(shù)學(xué)聯(lián)系的途徑和方法.

1.現(xiàn)代數(shù)學(xué)及其特點

一般說來，現(xiàn)代數(shù)學(xué)是指19世紀(jì)30年代以后誕生的數(shù)學(xué).它的主要

標(biāo)志是：Lobatchevsky1792-1856、Gauss1777-1855和

J.Bolyai1802-1860創(chuàng)立非歐幾何，Galois1811-1832創(chuàng)立群論,

Hamilton1805-1865創(chuàng)立四元數(shù)，以及Cantor1845—1918創(chuàng)立集合

論.從那以后發(fā)展起來的非歐幾何、抽象代數(shù)、集合論、拓?fù)鋵W(xué)、泛函分

析、數(shù)理邏輯、數(shù)學(xué)基礎(chǔ)等，都是現(xiàn)代數(shù)學(xué)內(nèi)容.

現(xiàn)代數(shù)學(xué)，跟以微積分、解析幾何為基本內(nèi)容的古典高等數(shù)學(xué)相比，

在研究對象和研究方法上都與初等數(shù)學(xué)有顯著的不同.

在研究對象上，初等數(shù)學(xué)以數(shù)和三維空間的圖形為主要研究對象，現(xiàn)

代數(shù)學(xué)則以任意集合及其間的種種關(guān)系為研究對象在現(xiàn)代數(shù)學(xué)中，數(shù)推廣

成一般集合的元素；數(shù)的計算推廣為集合中元素的一般運(yùn)算；函數(shù)推廣為

集合的映射；曲面、曲線推廣為一般空間的任意流形，等等.

第3頁，共293頁

如果說，恩格斯在一百多年前所說，純數(shù)學(xué)的對象是現(xiàn)實世界的空間

形式和數(shù)量關(guān)系，主要是對集合論產(chǎn)生以前的數(shù)學(xué)研究對象的科學(xué)概括的

話，那么，對現(xiàn)代數(shù)學(xué)而言，今天就要對“空間形式”和“數(shù)量關(guān)系”作

本質(zhì)上的推廣.“空間形式”應(yīng)理解為抽象空間的任一子集；“數(shù)量關(guān)系”

應(yīng)理解為集合與集合之間的一般關(guān)系.

在思想觀念和方法上，現(xiàn)代數(shù)學(xué)以集合論為基礎(chǔ)，普遍采用公理化方

法和數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)觀點進(jìn)行統(tǒng)一處理.如Kolmogorov1903-1987所說：現(xiàn)

代數(shù)學(xué)的觀念就是：

1純集合論是所有數(shù)學(xué)的基礎(chǔ).

2數(shù)學(xué)的各專門分支研究某一特殊類型的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，每一結(jié)構(gòu)類型

由相應(yīng)的公理體系確定.數(shù)學(xué)所感興趣的僅僅是結(jié)構(gòu)的一些性質(zhì)，它們是

由所采用的公理體系導(dǎo)出的，即研究結(jié)構(gòu)僅僅精確到同構(gòu).

因此，集合論觀點、公理化觀點、結(jié)構(gòu)觀點和同構(gòu)觀點，是現(xiàn)代數(shù)學(xué)

的基本觀點.

此外，電子計算機(jī)進(jìn)入數(shù)學(xué)研究領(lǐng)域，“機(jī)器證明論”的興起，正在

改變以前人們只承認(rèn)邏輯證明的傳統(tǒng)觀點.

在數(shù)學(xué)語言上，現(xiàn)代數(shù)學(xué)全面使用集合論符號和數(shù)理邏輯符號，使其

語言更加統(tǒng)一和形式化，因此，也更加準(zhǔn)確和簡煉.

在應(yīng)用上，不僅現(xiàn)代數(shù)學(xué)在力學(xué)、物理、天文、化學(xué)、機(jī)械學(xué)等傳統(tǒng)

領(lǐng)域中的應(yīng)用不斷拓廣和加深，而且對于生物學(xué)、地學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)，甚至語

言學(xué)、歷史學(xué)和社會學(xué)等原來不用或少用數(shù)學(xué)的學(xué)科領(lǐng)域，數(shù)學(xué)的應(yīng)用也

越來越廣泛，越來越顯得重要.

現(xiàn)代數(shù)學(xué)發(fā)展到今天，它已經(jīng)劃分為基礎(chǔ)數(shù)學(xué)、應(yīng)用數(shù)學(xué)和數(shù)學(xué)技術(shù)

三大部分，而數(shù)學(xué)技術(shù)是“未來高科技的核心”.

2.中學(xué)數(shù)學(xué)改革的新要求

中學(xué)數(shù)學(xué)，是指在中學(xué)數(shù)學(xué)教材和課外活動數(shù)學(xué)競賽等中所包含的

數(shù)學(xué).因此，隨著中學(xué)教材的改革和更新，隨著數(shù)學(xué)競賽活動的發(fā)展，中

學(xué)數(shù)學(xué)的內(nèi)容也在不斷變化和發(fā)展.

從現(xiàn)在起到21世紀(jì)初，正是我國中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)改革、教材全面更新

的時期.九年義務(wù)教育初中數(shù)學(xué)教材已經(jīng)普遍使用；與此相銜接的新編高

中數(shù)學(xué)教材試驗本1997年已經(jīng)在部分省市試用，并將于1999年在全國

使用與原有中學(xué)數(shù)學(xué)教材相比，新教材在編寫思想和內(nèi)容選擇等方面，有

很大的進(jìn)步.

第4頁，共293頁

首先，新編高中教材更新了內(nèi)容，刪減了傳統(tǒng)初等數(shù)學(xué)中次要的、用

處不大的，或?qū)W生學(xué)習(xí)有困難的內(nèi)容，如皋函數(shù)、指數(shù)方程、對數(shù)方程、

一些三角恒等式、反三角函數(shù)、三角方程，以及立體幾何中的梭臺、圓臺

等；新增了向量、簡易邏輯、概率統(tǒng)計和微積分初步.

其次，改革了傳統(tǒng)數(shù)學(xué)知識的處理方式和數(shù)學(xué)語言，廣泛地使用集合

符號、邏輯符號和標(biāo)準(zhǔn)計量單位和符號，使用向量代數(shù)方法證明余弦定理,

處理空間線、面關(guān)系等.

第三，高中數(shù)學(xué)不再分科編寫，而是把多科數(shù)學(xué)內(nèi)容綜合為一門數(shù)學(xué)

教材，注意溝通各科知識之間的內(nèi)在聯(lián)系，注意數(shù)學(xué)知識的實際應(yīng)用.

與此同時，全國中學(xué)生數(shù)學(xué)競賽，主要是全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽、中國數(shù)

學(xué)奧林匹克和國際數(shù)學(xué)奧林匹克IMO的水平不斷提高，現(xiàn)代數(shù)學(xué)的思想

和方法的滲透越來越普遍和深入.

這就要求中學(xué)數(shù)學(xué)教師拓寬知識面，提高綜合素質(zhì).因此，高師數(shù)學(xué)

專業(yè)不僅要有足夠多的現(xiàn)代數(shù)學(xué)課程，而且要有相應(yīng)的課程指導(dǎo)學(xué)生用現(xiàn)

代數(shù)學(xué)思想、觀點和方法，將高等數(shù)學(xué)與中學(xué)數(shù)學(xué)結(jié)合起來，同時要培養(yǎng)

學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識和應(yīng)用能力.

3.高等數(shù)學(xué)聯(lián)系中學(xué)數(shù)學(xué)的途徑和方法

盡管現(xiàn)代數(shù)學(xué)的高度抽象性，使它與中學(xué)數(shù)學(xué)拉大了距離，但從數(shù)學(xué)

發(fā)展的歷史來看，現(xiàn)代數(shù)學(xué)是多級抽象的結(jié)果.它的原型和特例大都來自

變量數(shù)學(xué)，變量數(shù)學(xué)的原型和特例又來自常量數(shù)學(xué)，而數(shù)學(xué)無疑最終還是

扎根于現(xiàn)實世界的空間形式和數(shù)量關(guān)系之中.

中學(xué)數(shù)學(xué)的內(nèi)容，是常量數(shù)學(xué)和變量數(shù)學(xué)的初步知識，是現(xiàn)代數(shù)學(xué)的

基礎(chǔ)，是現(xiàn)代數(shù)學(xué)中許多不是全部概念和理論的原型和特例所在.因此,

從現(xiàn)代數(shù)學(xué)觀點來看中學(xué)數(shù)學(xué)，首先就要把現(xiàn)代數(shù)學(xué)中的某些概念和理論

與中學(xué)數(shù)學(xué)里相應(yīng)的原型和特例聯(lián)系起來.這樣，就不僅能夠加深對現(xiàn)代

數(shù)學(xué)的理解，而且能使我們準(zhǔn)確把握中學(xué)數(shù)學(xué)的本質(zhì)和關(guān)鍵.從而高屋建

新地處理中學(xué)教材，用現(xiàn)代數(shù)學(xué)的思想方法指導(dǎo)中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)，提高教學(xué)

質(zhì)量和教學(xué)水平.

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例如，數(shù)集和點集平面的和空間的是集合的特例.在高一講述“集

合”之后，在代數(shù)、立體幾何和其他數(shù)學(xué)內(nèi)容的教學(xué)中，可以而且應(yīng)當(dāng)普

遍使用集合符號，逐步使數(shù)學(xué)語言規(guī)范化.

整數(shù)環(huán)是可換環(huán)的原型，有理數(shù)域是域的原型，數(shù)的四則運(yùn)算是二元

運(yùn)算的特例，數(shù)值函數(shù)是映射的特例，變換又是特殊的函數(shù).它們都是集

合元素之間的對應(yīng)，而對應(yīng)法則并不限于解析表達(dá)式.由此，對于非常規(guī)

運(yùn)算和非常規(guī)函數(shù)如取整函數(shù)［X）等的理解，就不會發(fā)生困難.

平面和三維歐氏空間，是一般度量空間的原型，平面和立體幾何中有

關(guān)概念、公式，如兩點間距離、三角形不等式、鄰域、開集、閉集等，都

可以向高維空間、一般空間推廣.而距離空間又是拓?fù)淇臻g的特例.反過

來，從現(xiàn)代數(shù)學(xué)觀點來看歐氏空間，三角形不等式是一個基本不等式，鄰

域是一個基本概念.

其次，對于中學(xué)數(shù)學(xué)中某些不易交待清楚的問題，要了解其在數(shù)學(xué)史

上產(chǎn)生和解決的過程，弄清楚它們在高等數(shù)學(xué)里的背景.例如，為什么把

“0”作為第一個自然數(shù)？自然數(shù)與有理數(shù)、實數(shù)相比較，孰多孰少？何

謂作圖不能問題？如何來判定它們……這些對于中學(xué)生未必要搞清的問

題，中學(xué)數(shù)學(xué)教師則必須弄清楚其中道理.這就要求我們利用數(shù)學(xué)史和高

等數(shù)學(xué)知識，對這些問題予以說明.當(dāng)學(xué)生提出這些疑問時，能夠通俗地

給以科學(xué)的回答.

第三，用現(xiàn)代數(shù)學(xué)思想方法，指導(dǎo)中學(xué)的問題解決.例如，根據(jù)同構(gòu)

觀點，利用“關(guān)系映射反演原則”RMI對數(shù)學(xué)問題進(jìn)行等價變換和求解.利

用邏輯真假值表來檢驗命題證明過程的正確性.利用向量代數(shù)方法證明平

面和立體幾何題.利用射影變換、仿射變換方法對某些幾何題尋求證明思

路等.

又如，從公理化觀點來看，任何一門學(xué)科都要有一些基本概念和公理

作為理論的出發(fā)點；各個命題之間，都要有邏輯的先后順序，中學(xué)數(shù)學(xué)當(dāng)

然也不能例外.現(xiàn)在高中數(shù)學(xué)教材是各科知識的綜合和融會，更要注意此

點.既不能對其中基本概念如集合等給以“定義”，也不能犯“循環(huán)定

義”的毛病.既不能對已明確為“公理”的命題如“邊角邊”公理等

給以“證明”，也不能犯“循環(huán)論證”的錯誤.

總之，要力求將現(xiàn)代數(shù)學(xué)思想全面滲透入中學(xué)數(shù)學(xué)，要在高等數(shù)學(xué)概

念、理論的通俗化，與中學(xué)數(shù)學(xué)概念、理論的抽象化上，尋找現(xiàn)代數(shù)學(xué)與

中學(xué)數(shù)學(xué)的結(jié)合點.以下各章，就是這種努力的一些初步結(jié)果.我們希望

讀者能從這些材料中得到若干啟示，在現(xiàn)代數(shù)學(xué)觀點下，繼續(xù)深入研究和

發(fā)掘高等數(shù)學(xué)與中學(xué)數(shù)學(xué)更普遍、更深入的聯(lián)系.

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第二章集合和映射

集合論是現(xiàn)代數(shù)學(xué)的理論基礎(chǔ)，映射是集合論中用以建立現(xiàn)代數(shù)學(xué)概

念和理論的基本工具和手段.不僅如此，集合和映射作為現(xiàn)代數(shù)學(xué)的一種

重要思想方法，一種簡單而明確的數(shù)學(xué)語言，有效地適用于數(shù)學(xué)的各個分

支.自然，集合和映射，也是整個中學(xué)數(shù)學(xué)的理論基礎(chǔ).

集合和映射，現(xiàn)已列入中學(xué)數(shù)學(xué)教材，這是實現(xiàn)中學(xué)數(shù)學(xué)教材現(xiàn)代化

的必要條件之一.但是，這并不等于說，集合論的思想方法就已融入了整

個中學(xué)數(shù)學(xué)教材，貫徹于中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)之中.

要做到這一點，需要中學(xué)數(shù)學(xué)教師從現(xiàn)代數(shù)學(xué)觀點出發(fā)，深刻理解集

合和映射的意義，掌握集合論的方法和語言，并用來處理教材，指導(dǎo)教學(xué).

第一節(jié)集合和集合論

1.樸素集合論

集合，是一個不加定義的基本概念.我們說給定了一個集合A,就是

給定了一個明確的標(biāo)準(zhǔn)，根據(jù)它可以確定哪些東西是A的元素，哪些東西

不是A的元素.如集合論創(chuàng)始人Cantor所說，“集合”是指人們直觀上

或思想中完全確定的、不同事物x合成的一個整體A.這些事物x稱為A

的元素，或者說x屬于A,記作xGA.

但Cantor的話并不能作為集合概念的定義，因為“整體”一詞并不

比“集合”更淺顯明白.還有人試圖作如下定義：”集合就是具有某種共

同屬性的事物的全體”.這也不行.例如，集合｛1,2,H｝中的兩個

元素一一數(shù)對1,2和氫原子H,很難說它們有什么共同的屬性.而4與

1、2、3都是自然數(shù)，但4卻不是集合｛1,2,3）的元素.

事實上，集合作為一個抽象概念，它概括的內(nèi)容非常廣泛，很難給它

下一個定義使之適合每一種具體情況.而且在演繹數(shù)學(xué)體系中，為避免循

環(huán)定義，總要選定一些不加定義的基本概念作為理論的出發(fā)點，如在幾何

中以“點”、“線”、“面”、“體”作為基本概念那樣.有鑒于此，方

便的做法是，把“集合”作為整個數(shù)學(xué)的一個基本概念而不加定義.

對于基本概念，我們雖然不加定義，但可以用與它鄰近的概念或形象

的比喻來描述它，說明它.如把集合說成是一些東西的“匯集”、“總匯”、

“整體”，就是對集合這一概念的描述.通過描述，可以幫助我們對這一

概念加深理解.

19世紀(jì)70年代Cantor創(chuàng)立的集合論，雖然在上世紀(jì)末已被數(shù)學(xué)家

廣泛接受，并用它作為構(gòu)筑整個數(shù)學(xué)大廈的基礎(chǔ)，但是它本身卻是用說明

的方式建立的，未被嚴(yán)格理論化，因此被后人稱為“樸素”的集合論.盡

管如此，在我們中學(xué)數(shù)學(xué)教科書或一般高等數(shù)學(xué)非數(shù)學(xué)基礎(chǔ)學(xué)科書中所

第7頁，共293頁

講、所用的集合論知識，正是這種樸素的集合論.關(guān)于它，我們作幾點說

明.

集合外延性原則集合由它所含的元素而唯一確定.兩個集合A與B

相等，即人=8,當(dāng)且僅當(dāng)

集合中的元素不重復(fù)計算，即一個集合中任意兩個元素都是彼此不同

的.

空

集是唯一存在的.例如，｛北極企鵝｝是一個元素十分明確的集合，但未

經(jīng)實證以前，其中有沒有元素存在并不知道，也就是說它可能是個空集.要

保證任何兩個集合都可以作交集運(yùn)算，也需要承認(rèn)空集的存在.

只含一個元素a的集合{a},稱為單元素集合或單子集.這時要注

意a與{a}的區(qū)別：a是個體，{a}是整體，兩者是不同層次的概念.

一個集合的元素可以是集合.有時為方便起見，把集合的集合稱為集

族.

例如，設(shè)A是直線x+y=l上所有點的集合，B是平行線x+yp的

集合，于是集合A是集合B的一個元素，AEB.

概括性原則可以用一類事物的某一共有的特殊性質(zhì)p,來規(guī)定一個集

合：凡具有性質(zhì)p的事物x記為px合成一個集合p{xIpx}.

這樣，上面兩個集合就可寫成

A{x,y|x+y1}

B(I11:x+yp}

PP

子集把集合A中一部分元素合成一個整體所形成的集合M,稱作

元素，但

不是B的子集，因為A的元素x,y不是B的元素.

特別地，對任何集合A而言，都有

第8頁，共293頁

即任何非空集合都有兩個當(dāng)然子集：自身和空集.空集則只有唯一的

子集一一它自身.空集是任何集合的子集.一個集合的非當(dāng)然子集，稱為

真子集.

在一般情況下，無需區(qū)別一個集合的當(dāng)然子集和真子集，因此用一

讀作A

真包含于B.

個

體與集合整體之間的關(guān)系；后者是集合與集合之間的關(guān)系.另外，兩

者的性質(zhì)也不同.

例如，集合的包含關(guān)系具有反身性和傳遞性，即對任意集合A、B、C,

都有

但屬于關(guān)系e卻不具有上述性質(zhì)

的

集合，稱為A的哥集，記為PA.若A是有限集，元素個數(shù)為n,那么

n

PA也是有限集，且有2個元素.

2.集合的運(yùn)算

設(shè)A、B為兩集合，則如下規(guī)定它們的并集、交集和差集：

AUB{x|xGA或XGB}

AAB{x|xGA且XGB}

特別地，若在我們考慮范圍中，A是所有對象合成的集合一一全集I,那

么它與集B的差集，稱為B的補(bǔ)集或余集，它由所有不屬于B的元素組

成：

第9頁，共293頁

利用Venn1834—1923創(chuàng)造的文氏圖，可以把集合運(yùn)算的結(jié)果直觀

地表示出來，并可證明如下運(yùn)算律:

I.等稚律AUB=A,AHAA

II.交換律AUBBUA,ACIBBHA

III.結(jié)合律AUBUCAUBUC

AHBncAnBCIC

IV.分配律AnBUCAHBUAAC

AUBACAUBnAUC

V.吸收律AUAHB=A,AnAUBA

VI.對合律CCAA

vn.德??摩根律CAUBCAHCB

CAAB=CAUCB

該公式可以推廣到任意多個集合的并與交的情況.

例1IM0-14給出一個集合，它由10個互相不同的兩位十進(jìn)制的

正整數(shù)組成.證明：這個集合必有兩個無共同元素的子集，這兩個集中各

數(shù)之和相等.

證設(shè)此10元素集為5={a,a,…，a},其互不相同的子集共有

1210

2101024個.但每個ai1,2,―,10W99,故每個子集

因此，必有兩個不空子集A、B,二者之中各數(shù)之和相等.

AA\AHB,BB\AHB

11

第10頁，共293頁

總之，在S的子集中，一定存在兩個無共同元素的集合，它們之中各

數(shù)之和相等.

3.集合的笛卡兒積

設(shè)X、Y為任兩非空集合，把所有以X中元素x為第一元，Y中元素y

為第二元的序?qū),y組成的集合，稱為X與Y的笛卡兒積，記為

XXY{x,y|xex,yGY}

2

特別地，當(dāng)XY時，XXX記為X.

例2設(shè)X(1,2,3},Y{0,1},貝1|

XXY(1,0,1,1,2,0,2,1,3,0,3,1)

例3設(shè)XY{x|lWxW2},則

XXY{x,ylWx,yW2}

它表示xOy平面上的正方形區(qū)域G.

笛卡兒積的性質(zhì)一般地說，XWY時，XXYWYXX,即集合的笛卡兒

積不滿足交換律.但是它滿足對于并、交、差的左、右分配律：

XUXXY=XXYUXXY

1212

YXXUX=YXXUYXX

1212

反之亦然.

笛卡兒積容易推廣到任意多個集合的情形.設(shè)X,X,…，X是nn

12n

》2個集合，它們的笛卡兒積定義為

第11頁，共293頁

XXXX???XX{x,x,,,,,x|xex,i1,2,…，n)其中

12n12nii

x,x，…，x為n元有序組，x為它的第i個元，il,2,???,n.

12ni

在多元有序組中，諸如X,X,X、X,X,X與x,x,x

123123123

被認(rèn)為是相同的有序組.因此，集合的笛卡兒積滿足結(jié)合律.

22

例4設(shè)G{x,y|x+yWl},H={z|OWzWl},貝！］

22

GXH(x,y,z|x+yWLOWzWl}

表示底面半徑為1,高為1的圓柱體.

例5設(shè)XYR,Z{1},則

XXYXZ={x,y,1|x,yCR}

表示O-xyz空間中一個與坐標(biāo)平面xOy平行的平面a,它與Oz軸的截距

為1.

4.公理集合論

上世紀(jì)末，當(dāng)數(shù)學(xué)分析實現(xiàn)了嚴(yán)密化，并把集合論作為數(shù)學(xué)的統(tǒng)一基

礎(chǔ)之后，Poincare1845-1912在1900年的第二屆國際數(shù)學(xué)家大會上滿

懷信心地宣布：“現(xiàn)在我們可以說，數(shù)學(xué)完全的嚴(yán)格性已經(jīng)達(dá)到了

但僅事隔兩年，他的美夢就被打破了.

1902年，英國哲學(xué)家兼數(shù)學(xué)家Russell1872—1970提出的“羅素悖

論”，揭示出集合論本身存在的矛盾，動搖了整個數(shù)學(xué)大廈的基礎(chǔ).

羅素悖論的通俗說法，就是這樣一個理發(fā)師悖論：一個鄉(xiāng)村理發(fā)師宣

稱，他只給自己不刮臉的人刮臉，不給自己為自己刮臉的人刮臉.有一天

人們問他：你本人的臉由誰來刮呢？一一如果由他本人自己刮臉，按他的

聲明，他便不該給自己刮臉；如果由別人給他刮臉，那么他又應(yīng)該給他本

人刮臉.于是這個理發(fā)師陷入了邏輯矛盾之中.

人們發(fā)現(xiàn)，產(chǎn)生悖論的原因在于集合概念范圍任意擴(kuò)大和隨意使

用.因此數(shù)學(xué)家們設(shè)法用公理化方法對集合概念加以限制，將那些產(chǎn)生悖

論的集合排除在外.

由Zermelo1871—1953首先提出、經(jīng)Fraenkel1891—1965等修改

補(bǔ)充的策梅洛-弗倫克爾公理體系ZF,因易于理解而成為影響最廣的集

合論公理體系之一.在這個體系中，集合和屬于關(guān)系G作為原始概念，由

以下一組公理加以刻畫：

第12頁，共293頁

EB,而且若XGB,則XEA.

II.空集合存在公理存在一個沒有任何元素的集合一一空集，記

III.無序?qū)洗嬖诠韺τ谌我饧蟲,y,都存在集合乙它僅

有兩個元素x、y,記為Z{x,y},其中x、y是無序的.如果xy,

則Z{x}是單元素集.

有序?qū)t規(guī)定為x,y(x,{x,y}}.顯然x,yWy,x.這

樣就給定了x,y中元素的順序：x為第一元，y為第二元.

IV.并集合公理對于任意集合x,都存在一集合y,y的元素恰好是

x的所有元素的元素.此時稱y為x的并集合，記為Ux.

由此公理，任意兩個集合A與B的并集AUB,就是U{A,B）.對

于集族（BIaGA},它的并集記為

a

V.嘉集公理對于任意集合X,都有一個集合y,y的元素恰好是X

的子集合.此時V稱為x的累集，記為Px.

VI.無窮公理存在一個集合，它的元素恰好是所有自然數(shù).根據(jù)外延公

理，這個集合是唯一的，記為N.

這里的自然數(shù)是用下述方法歸納定義的：

一般地，若n已被定義，則

n+1（0,1,2,???,n}n+n的后繼

自然數(shù)集N{0,1,2,…，n,???）

第13頁，共293頁

在這里，數(shù)0是第一個自然數(shù).之所以這樣做，是因為從集合論的觀

點來看，把空集定義為第一個自然數(shù)0,是再自然不過的了.

所有非零自然數(shù)，稱為正整數(shù)，正整數(shù)集常記作Z或N.

++

W.分離公理對于任意給定的集合論公式命題Az和任意集合X,

都存在一集合y,使得

y{z|zdx且Az}

由此公理，可以肯定兩個集合A、B交集的存在.這只須令xA,

Az為xGB即可：

AHB{z|zGA且ZGB)

同樣，也可以肯定兩個集合的差集和集合補(bǔ)集的存在.

這里要注意的是，并不是對任何公式Ax,{x|Ax}都

有當(dāng)它與一個給定的集合相交時，才確定出一個集合.

一般說，分離公理是在公式Az限制下，確定出集合x的一個子集

y.所以分離公理又稱子集公理.

VH1.替換公理對于任意公式Ax,y,如果對任意集合x,都有唯一

的集合y,使得Ax,y成立，那么對任意集合S,有一集合s,使得S

122

{u|tes,且At,u}.

1

第14頁，共293頁

這就是說，對一個具有一對一性質(zhì)的Ax,y,可以由集合S關(guān)于

1

某些x的集合,經(jīng)Ax,y確定其對應(yīng)值的集合S2關(guān)于某些y的集合.

公理VII與皿都是對某個公式而言的，對每一個公式，可得一條公理.所

以又稱它們?yōu)楣砟Ｊ?

IX.正則公理基礎(chǔ)公理對于任一非空集合S,都有一集合y存

正則公理指出，任何非空集合都有極小元.

一個集合中非集合的個體元素，稱為該集合的本元，一個集合中的本

元一定是極小元；此外還可能有其他的極小元.

例如，集合S{0,2,{2,3}）有兩個極小元：0和2；而

由正則公理可以直接推得兩個主要結(jié)論：

2°對任意集合S、S,sGS與Ses不能同時成立.

121221

X.選擇公理AC對于任一由不空集合組成的集合S,存在一個集

合A,它與S的每一個元素都恰好有一個公共元.

換句話說，對于任何集族S,可以從它的每個元素集合x中選出一

個元素axex,組成一個集合稱作S的代表集或采樣集.

上

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第二節(jié)關(guān)系和映射

資源

第二節(jié)關(guān)系和映射

1.關(guān)系

第15頁，共293頁

前面所說關(guān)于集合的運(yùn)算、子集、暴集和笛卡兒積，都是以集合為對

象，從已有集合得出新的集合.至于一個集合中元素之間，這個集合元素

與那個集合元素之間有什么聯(lián)系，尚未涉及；而這對于具體問題的研究，

往往更有意義.這就是本節(jié)所要講的關(guān)系和映射.

從集合論觀點來看，集合X上一個關(guān)系R,是由全體滿足關(guān)系R的

XX的任一子集R,也確定了X上一個關(guān)系.這就是關(guān)系R與它對應(yīng)

的XXX的子集，用同一個字母來表示的道理.

按此觀點，可以方便地將“關(guān)系”推廣到不同集合上去.

關(guān)系設(shè)X,Y是兩個任意集合.笛卡兒積XXY的子集，稱作集合X

到Y(jié)的一個關(guān)系，或簡稱關(guān)系.若有序?qū),yGR,則寫作Rx,y或

xRy,其中x稱為關(guān)系R的第一元，y稱為第二元.

這樣的關(guān)系R,也稱為集合D與V之間的二元對應(yīng)，或簡稱對應(yīng).一

個關(guān)系或?qū)?yīng)R,也可以用其中序?qū),y所具有的性質(zhì)p來確定：

R{x,y|px,y)

對于有限集或可數(shù)集上的關(guān)系，可以用矩陣的形式來表示.

設(shè)A{a,…，a),B{b,…，b},R是A至！JB的一個關(guān)系.令

1n1m

于是得到關(guān)系R的表示矩陣：

第16頁，共293頁

例1設(shè)A(1,2},B{1,2,3},則A到B的“小于”關(guān)系〈的

表示矩陣是：

例2A(2,3,5,6,15}上整除關(guān)系R的表示矩陣是：

對應(yīng)和逆對應(yīng)關(guān)系和逆關(guān)系設(shè)R是集合X到Y(jié)的一個對應(yīng)，我們可

以定義一個新的Y到X的對應(yīng)R-1如下：

對應(yīng)R-1稱為對應(yīng)關(guān)系R的逆對應(yīng)逆關(guān)系.

對于任一元aex,集合{bIbdY,aRb}稱為a的象，記作

Ra；對于任一元bGY,集合｛alaex,aRb｝稱為b的原象，記

作R-lb.

例3設(shè)X為平面上所有直線的集合，Y為同一平面上所有圓的集合，

那么直線與圓相切是X到Y(jié)的一個關(guān)系R：

R｛I,c|ICc為單子集，lex,cEY)

第17頁，共293頁

-1

這個關(guān)系對應(yīng)的逆關(guān)系逆對應(yīng)R是：

-1

R(c,II圓c與直線I相切｝

這時，對一條確定的直線loex,I的象RI就是所有與I相切的圓

000

-1

族；對一個給定的圓cGY,c的原象Rc就是圓的所有切線組成的包絡(luò).

00

關(guān)系的某些性質(zhì)設(shè)R是集合X上的關(guān)系：

關(guān)系R稱為非自反的，當(dāng)且僅當(dāng)對任意xGX,都有X,

X

關(guān)系R稱為非稱的，當(dāng)且僅當(dāng)若x,yER,貝Uy,xER.非稱關(guān)系

一定是非自反的.Q上小于關(guān)系也是非稱的.

關(guān)系R稱為反稱的，當(dāng)且僅當(dāng)若X,yWR且y,xGR,則x=y.例

如，Q上的不大于關(guān)系“W”是反稱的.

如果對任意x、yex,或xy,或xRy,或yRx,三者必居其一，貝！I

稱R是X上的聯(lián)絡(luò).

下面我們研究兩種重要關(guān)系：等價關(guān)系和序關(guān)系.

2.等價關(guān)系

如果集合X上的關(guān)系R是自反的、對稱的、傳遞的，則稱為等價關(guān)系.這

時aRb,亦說a與b等價.例如：

I.任何集合X上的恒等關(guān)系A(chǔ)x{a,aIaex}是等價關(guān)系；

II.設(shè)X是平面上所有三角形的集合.R是“全等”關(guān)系，則R是X

上的等價關(guān)系；

III.設(shè)X是整數(shù)集Z,關(guān)系R：aRba-b為偶數(shù).容易驗證，R是Z

上的等價關(guān)系.

等價分類設(shè)R是集合X上的一個等價關(guān)系，把與某一元素a等價的

所有元素歸為一類，合成一子集Xa,a為其代表元.這樣，便可把X中元

素進(jìn)行分類：X的每一個元素都屬于且僅屬于一類Xa.這些類彼此不交，

其并集為

其中A是所有代表元組成的集合代表集.集合X稱為X關(guān)于R的等價類.

a

第18頁，共293頁

商集設(shè)R是集合X上的一個等價關(guān)系，由R的全體等價類X組成的

集合{Xa|aGA},稱為X關(guān)于R的商集，記作X/R.

商集是一個重要的數(shù)學(xué)概念，許多數(shù)學(xué)對象都可用此概念來構(gòu)建.

為兩個等價類：凡與0等價的歸為一類X.為偶數(shù)集；凡與1等價的歸為

0

一類X,為奇數(shù)集.于是得到Z關(guān)于R的商集{X,X},它是以2為模

101

的剩余類集.

一般地，設(shè)m為正整數(shù)，關(guān)于模m的同余R,是整數(shù)集Z上的等價關(guān)

系.這時關(guān)于m的剩余類C,C,…，C就是相應(yīng)的等價類.集合{C,

01m-10

C,―,C}就是相應(yīng)的商集；集合{0,1,2,—,m-1）就是其代表集.

1m1

集合的覆蓋與劃分設(shè)X為一集合，H{8a|aEA）為非空集合族，

如果

則稱集族H為X的覆蓋.

由集合X彼此不交的非空子集Xa組成的X的覆蓋H{Xa|

集合X的一個劃分H{Xa},可以確定x中的一個等價關(guān)系.事

實上，若令

便確定了X中一個關(guān)系.不難驗證，R是一個等價關(guān)系.而劃分H,恰是X

關(guān)于R的商集：HX/R.

利用集合X中等價關(guān)系構(gòu)造商集，利用集合X的劃分確定等價關(guān)系，

在以后兩章中將多次用到.

3.序和序集

序，是從“數(shù)的大小”抽象出來的現(xiàn)代數(shù)學(xué)概念.所謂“數(shù)的大小”，

是相對于數(shù)的某種順序而言的.當(dāng)一個集合中所有元素排列成一行時，便

形成一種順序.這時，不妨將排在前面的元素，視作比排在后面的元素“小

或者“大”.反之，若對集合X上每兩個元素a、b都規(guī)定了“大小”

關(guān)系：aRb或a<b,那么集合X的所有元素之間，便規(guī)定了一種順序.

第19頁，共293頁

偏序設(shè)R是集合X上的傳遞關(guān)系，如果它是反稱的，則稱為弱偏序，

或不嚴(yán)格的偏序；如果它是非稱的，則稱為強(qiáng)偏序，或嚴(yán)格的偏序.弱偏

序和強(qiáng)偏序，統(tǒng)稱為偏序.

定義了偏序R的集合X,稱為偏序集.

序.整數(shù)的k>1倍關(guān)系，則是強(qiáng)偏序.

全序設(shè)R是集合X上的偏序弱或強(qiáng)的，如果R又是X上的聯(lián)絡(luò)，

那么就稱R是X上的弱或強(qiáng)的全序.

例如，實數(shù)集R上的“<”、"W”關(guān)系，都是R上的全序；前者是

強(qiáng)全序，后者是弱全序.

定義了全序的集合，稱為全序集.

偏序集、全序集，統(tǒng)稱序集.賦予集合X以序關(guān)系R,則將二元序組

X,R稱為一個序結(jié)構(gòu).

設(shè)R是集合X上的全序，那么R的逆關(guān)系R-1也是X上的全序.例如,

實數(shù)集上的和“W”是全序，其邊關(guān)系和也是全序.

在不致引起混亂的情況下，常用表示嚴(yán)格的序關(guān)系，并讀作“小

于”；用“W”表示不嚴(yán)格的序關(guān)系，讀作“不大于”或“小于等于”.

良序和良序集如果序集X的任何一個非空子集M,都有最小元，那么

稱此序集為良序集，其中的序關(guān)系稱為良序.自然數(shù)集N關(guān)于通常的小于

關(guān)系是良序集的典型例子.

從序的概念出發(fā)，可以把實數(shù)集的稠密性、連續(xù)性等概念，推廣到一

般有序集上去.

設(shè)X是有序集，序關(guān)系為<,如果對X的任意兩元素a<b,都至少

存在一個元cex,使a<c<b,則稱集X的序是稠密的，或集X關(guān)于序

<是稠密集.

設(shè)A、B是X的兩個子集，如果對任意aGA及任意beB,都有aWb,

則說A在B的左邊，B在A的右邊.如果對任意adA,b￡B,有某一元c

ex,使aWcWb,則稱c是A與B的一個劃分元.顯然，若A、B有一劃

分元，則A在B的左邊或右邊.

集X的一個稠密序，如果對X的任兩個非空子集A、B,且A在B左

邊，都至少有一個劃分元，則稱集X的序是連續(xù)的容易證明，有理數(shù)集Q

第20頁，共293頁

關(guān)于通常的大小順序〈是稠密的，但不是連續(xù)的；實數(shù)集R關(guān)于通常的大

小順序（不僅是稠密的，而且還是連續(xù)的.

4.映射和函數(shù)

設(shè)R是集合X到丫的一個關(guān)系，如果對任一xGX,象集Rx都是單

元素集，則稱R為集X到Y(jié)的映射.若對每個ydY,R-ly都非空，則稱

R是X到Y(jié)上的滿射；若對每個yGY,R-ly都至多含一個元素，則稱R

是X至UY的單射.如果X到Y(jié)的映射R既是滿射，又是單射，則稱R為

X到Y(jié)的雙射.

集合X到Y(jié)的雙射R,又稱為X與Y之間的---映射，即對任一xGX,

有且僅有一個元yCY,使xRy；反之，對任一yGY,也有且僅有一個元x

-1

ex,使yRx.

映射，作為集合X到Y(jié)的一種特殊關(guān)系，一般記作f：X-Y,并用

fab來代替a,bef或afb.這時我們規(guī)定X是f的定義域：DfX.

映射的這種表示，與中學(xué)函數(shù)符號一致，這不是偶然的.從現(xiàn)代數(shù)學(xué)

觀點來看，函數(shù)就是映射.

歷史上，函數(shù)概念有一個發(fā)展和演進(jìn)的過程.1673年，“函數(shù)”一

詞，首先由Leibniz1646—1716提出，并用它來表示與自變量或自變

數(shù)同時變動的變數(shù).Euler1707—1783發(fā)展了這種函數(shù)“變量說”，并

創(chuàng)用函數(shù)符號yfx,其中f解釋為由變數(shù)與常數(shù)組成的解析表達(dá)式.

Dirichlet1805-1859提出函數(shù)“對應(yīng)說”,把函數(shù)yfx視為x

取值與y取值之間的對應(yīng)關(guān)系，而這種對應(yīng)關(guān)系并非一定要有解析表達(dá)

式.他舉出著名的“狄利克雷函數(shù)”

來說明這一點.

相比之下，“變量說”對函數(shù)概念的外延限制過大，“對應(yīng)說”則抓

住了函數(shù)的本質(zhì).但是，當(dāng)時所說的函數(shù)，還只考慮數(shù)集之間的對應(yīng).19

世紀(jì)末以后，函數(shù)的定義域和值域都突破了數(shù)集的限制，函數(shù)理解為集合

X到Y(jié)的一種特殊的關(guān)系一一映射.這種“關(guān)系說”，就是現(xiàn)代數(shù)學(xué)的函

數(shù)觀.符號f：X-Y,全面、準(zhǔn)確地反映了函數(shù)的“三要素”，優(yōu)于其他

函數(shù)記號.

為了方便，同時也為了符合習(xí)慣，有時對某些特殊函數(shù)采用專門名

稱.例如，當(dāng)函數(shù)定義域X是實數(shù)集時，稱之為實函數(shù)；當(dāng)值域Y是實

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的或復(fù)的數(shù)集時，稱之為實的或復(fù)的數(shù)值函數(shù)；當(dāng)X為函數(shù)集時，稱

之為泛函數(shù)等.

本書對函數(shù)與映射不加區(qū)別，認(rèn)為是一個概念.但在談及中學(xué)數(shù)學(xué)里

的函數(shù)時，多采用“函數(shù)”一詞.

映射的復(fù)合設(shè)有兩個映射f:X-Y,g：Y-Z.f與g的復(fù)合g°f

是X-Z的映射：對于xex,g°fx=g(fx)E

則g°f就稱為復(fù)合函數(shù).

-1

逆映射和反函數(shù)單射f：X-Y的逆對應(yīng)f,稱為f的逆映射，這時

-1-1-1

也稱f為函數(shù)f的反函數(shù)：f:Y-X.如果f：X-Y是雙射，那么f:Y

一X也是雙射.

{a,falaGXAA}稱為函數(shù)f在集合A中的限制.如果

擴(kuò)充.此時f是f的限制：f=fA.

11

例4設(shè)f：Rf乙使對任意XGR,fx〔X)取整函數(shù)；fl:N-N,

使對任意nGN,flnn.

則f是函數(shù)f在N中的限制：ffN；而f是函數(shù)f在R中的擴(kuò)充.

111

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學(xué)數(shù)學(xué)

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第三節(jié)從集合論觀點看中學(xué)數(shù)學(xué)

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第三節(jié)從集合論觀點看中學(xué)數(shù)學(xué)

1.中學(xué)數(shù)學(xué)里的關(guān)系

第22頁，共293頁

中學(xué)數(shù)學(xué)里常見的關(guān)系很多，有的是序關(guān)系，有的是非序關(guān)系；有的

是等價關(guān)系，有的不是等價關(guān)系，各具個性.現(xiàn)將它們列表如下：

續(xù)表

2.中學(xué)數(shù)學(xué)所涉及的映射函數(shù)類型

第23頁，共293頁

I,數(shù)集到數(shù)集的函數(shù)，即數(shù)值自變量的數(shù)值函數(shù)，這是中學(xué)數(shù)學(xué)研

究的主要函數(shù)類型，所有初等函數(shù)都是這一類。

II.數(shù)有序數(shù)組集到點集、點集到數(shù)有序數(shù)組集的映射.如數(shù)軸

上點與實數(shù)的對應(yīng)，坐標(biāo)平面上點與實數(shù)對的對應(yīng)，坐標(biāo)空間點與三元實

數(shù)組的對應(yīng)，復(fù)平面上點與復(fù)數(shù)的對應(yīng)等.

III.點集到點集的映集，如幾何變換平移、旋轉(zhuǎn)、位似等。

IV.幾何圖形集到數(shù)集的映射，如幾何量長度、面積、體積等的度

量.

此外，還有函數(shù)集到函數(shù)集的映射，如求導(dǎo)數(shù):

fx-f'X

求不定積分：

函數(shù)集到數(shù)集的映射，如求定積分：