1.4.1用空間向量研究直線平面的位置關(guān)系(2)課件高二上學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版選擇性

第一章空間向量與立體幾何1.4空間向量的應(yīng)用1.4.1用空間向量研究直線、平面的位置關(guān)系(2)內(nèi)容索引學(xué)習(xí)目標(biāo)活動方案檢測反饋學(xué)習(xí)目標(biāo)1.能用向量語言描述線線、線面、面面的平行關(guān)系．2.能用向量方法證明空間線面的平行關(guān)系．活動方案1.知識回顧(1)直線的方向向量與平面的法向量：活動一用空間向量判定空間直線、平面的平行【解析】

直線l上的非零向量e以及與e共線的向量叫作直線l的方向向量．如果表示非零向量n的有向線段所在直線垂直于平面α，那么稱向量n垂直于平面α，記作n⊥α.此時，我們將向量n叫作平面α的法向量．(2)空間直線與直線、直線與平面、平面與平面的位置關(guān)系：【解析】

略思考???利用直線的方向向量、平面的法向量，如何判別直線與直線、直線與平面、平面與平面的平行？【解析】

設(shè)直線l，m的方向向量分別為a，b，平面α，β的法向量分別為μ，v，則線線平行l(wèi)∥m?a∥b?a＝kb(k∈R)線面平行l(wèi)∥α?a⊥μ?a·μ＝0面面平行α∥β?μ∥v?μ＝kv(k∈R)例1在長方體ABCD－A1B1C1D1中，AB＝4，AD＝3，AA1＝2，P，Q，R，S分別是AA1，D1C1，AB，CC1的中點．求證：PQ∥RS.活動二用空間向量證明線線平行【解析】

方法一：以D為坐標(biāo)原點，DA，DC，DD1所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系Dxyz，則P(3,0,1)，Q(0,2,2)，R(3,2,0)，S(0,4,1)，要證明兩直線平行，可先求出兩直線的方向向量，然后證明兩直線的方向向量共線，從而證明兩直線平行．

如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，點P在線段A1D上，點Q在線段AC上，線段PQ與直線A1D和AC都垂直，求證：PQ∥BD1.【解析】

以D為坐標(biāo)原點，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體的棱長為1，則D(0,0,0)，A(1，0,0)，B(1,1,0)，C(0,1,0)，A1(1,0,1)，D1(0,0,1)，例2如圖，在長方體ABCD－A1B1C1D1中，AB＝4，BC＝3，CC1＝2.線段B1C上是否存在點P，使得A1P∥平面ACD1?活動三用空間向量證明線面平行【解析】

以D為坐標(biāo)原點，DA，DC，DD1所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．因為A，C，D1的坐標(biāo)分別為(3,0,0)，(0,4,0)，(0,0,2)，取z＝6，則x＝4,y＝3，所以n＝(4,3,6)是平面ACD1的一個法向量．利用空間向量證明線面平行的方法：(1)利用共面向量法：證明直線的方向向量p與平面內(nèi)的兩個不共線向量a，b是共面向量，即滿足p＝xa＋yb(x，y∈R)，則p，a，b共面，從而可證直線與平面平行；(2)利用共線向量法：證明直線的方向向量p與該平面內(nèi)的某一向量共線，再結(jié)合線面平行的判定定理即可證明線面平行；(3)利用法向量法：求出直線的方向向量與平面的法向量，證明方向向量與法向量垂直，從而證明直線與平面平行．又因為NE?平面BDE，AM?平面BDE，所以AM∥平面BDE.例3如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，O為底面ABCD的中心，P是DD1的中點，設(shè)Q是CC1上的點，問：當(dāng)點Q在什么位置時，平面D1BQ∥平面PAO?活動四利用空間向量證明面面平行取c＝1，則n2＝(m,1－m,1)．要使平面D1BQ∥平面PAO，需滿足n1∥n2，利用空間向量證明面面平行的方法：(1)借助向量共線證明線線平行、線面平行，再結(jié)合面面平行判定定理即可證明面面平行；(2)通過證明兩個平面的法向量平行證明．

如圖，在長方體ABCD－A1B1C1D1中，DA＝2，DC＝3，DD1＝4，M，N，E，F(xiàn)分別為棱A1D1，A1B1，D1C1，B1C1的中點．求證：平面AMN∥平面EFBD.所以MN∥EF，AM∥BF，所以MN∥平面EFBD，AM∥平面EFBD.又MN∩AM＝M，MN?平面AMN，AM?平面AMN，所以平面AMN∥平面EFBD.檢測反饋245131.(2022·武漢期中)已知平面α的一個法向量是(2,3，－1)，平面β的一個法向量是(4，λ，－2)，若α∥β，則λ

的值是(

)【答案】C245132.如圖，在棱長為2的正方體ABCD－A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是棱BC，CC1的中點，P是側(cè)面BCC1B1內(nèi)的一點．若A1P∥平面AEF，則線段A1P長度的最小值為(

)2451324513【答案】B24533.(多選)(2022·承德期中)已知在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD是正方形，PD⊥平面ABCD，PD＝AB＝1，E是PB的中點，F(xiàn)是PC的中點，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則下列說法中正確的是(

)A.平面ADE的一個法向量是(0，－1,1) B.直線AE∥平面PCDC.直線FE∥平面PAD

D.直線DF∥平面PAB12453124531【答案】AC24534.已知空間四點A(－2,3,1)，B(2，－5,3)，C(10,0,10)，D(8,4，a)，如果四邊形ABCD為梯形，那么實數(shù)a的值為________.1【答案】924535.(2022·濟寧期中)如圖，正方形AA1D1D與矩形ABCD所在平面互相垂直，AB＝2AD＝2，E為AB的中點，求證：BD1∥平面A1DE.1【解析】

由題意可得D1D⊥平面ABCD，以D