2023-2024學(xué)年內(nèi)蒙古鄂爾多斯市達(dá)拉特旗第十二中學(xué)中考數(shù)學(xué)全真模擬試卷含解析

2023-2024學(xué)年內(nèi)蒙古鄂爾多斯市達(dá)拉特旗第十二中學(xué)中考數(shù)學(xué)全真模擬試卷考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題（共10小題，每小題3分，共30分）1．如圖，在平行四邊形ABCD中，AC與BD相交于O，且AO=BD=4，AD=3，則△BOC的周長為（）A．9 B．10 C．12 D．142．如圖,在中，,將折疊,使點落在邊上的點處,為折痕,若,則的值為()A． B． C． D．3．兩個有理數(shù)的和為零，則這兩個數(shù)一定是（）A．都是零 B．至少有一個是零C．一個是正數(shù)，一個是負(fù)數(shù) D．互為相反數(shù)4．把6800000，用科學(xué)記數(shù)法表示為（）A．6.8×105 B．6.8×106 C．6.8×107 D．6.8×1085．如圖，⊙O是△ABC的外接圓，∠B=60°，⊙O的半徑為4，則AC的長等于（）A．4 B．6 C．2 D．86．一次函數(shù)的圖象不經(jīng)過（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限7．二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象如圖，a，b，c的取值范圍（）A．a(chǎn)<0，b<0，c<0B．a(chǎn)<0，b>0，c<0C．a(chǎn)>0，b>0，c<0D．a(chǎn)>0，b<0，c<08．如圖，邊長為1的小正方形構(gòu)成的網(wǎng)格中，半徑為1的⊙O的圓心O在格點上，則∠BED的正切值等于（）A． B． C．2 D．9．如圖，一張半徑為的圓形紙片在邊長為的正方形內(nèi)任意移動，則在該正方形內(nèi)，這張圓形紙片“能接觸到的部分”的面積是（）A． B． C． D．10．有三張正面分別標(biāo)有數(shù)字－2，3,4的不透明卡片，它們除數(shù)字不同外，其余全部相同，現(xiàn)將它們背面朝上洗勻后，從中任取一張（不放回），再從剩余的卡片中任取一張，則兩次抽取的卡片上的數(shù)字之積為正偶數(shù)的概率是（）A． B． C． D．二、填空題（本大題共6個小題，每小題3分，共18分）11．如圖，在4×4正方形網(wǎng)格中，黑色部分的圖形構(gòu)成一個軸對稱圖形，現(xiàn)在任選取一個白色的小正方形并涂黑，使圖中黑色部分的圖形仍然構(gòu)成一個軸對稱圖形的概率是_____．12．分解因式：x2y﹣6xy+9y=_____．13．若關(guān)于x的分式方程的解為非負(fù)數(shù)，則a的取值范圍是_____．14．如圖，已知直線y=x+4與雙曲線y=（x＜0）相交于A、B兩點，與x軸、y軸分別相交于D、C兩點，若AB=2，則k=_____．15．分解因式：__________．16．如圖，AB是⊙O的直徑，BD，CD分別是過⊙O上點B，C的切線，且∠BDC＝110°．連接AC，則∠A的度數(shù)是_____°．三、解答題（共8題，共72分）17．（8分）如圖，點B、E、C、F在同一條直線上，AB＝DE，AC＝DF，BE＝CF，求證：AB∥DE．18．（8分）如圖，一次函數(shù)y=kx+b（k、b為常數(shù)，k≠0）的圖象與x軸、y軸分別交于A、B兩點，且與反比例函數(shù)y=nx（1）求一次函數(shù)與反比例函數(shù)的解析式；（2）記兩函數(shù)圖象的另一個交點為E，求△CDE的面積；（3）直接寫出不等式kx+b≤nx19．（8分）如圖，在△ABC中，∠C=90°，∠BAC的平分線交BC于點D，點O在AB上，以點O為圓心，OA為半徑的圓恰好經(jīng)過點D，分別交AC、AB于點E.F．試判斷直線BC與⊙O的位置關(guān)系，并說明理由；若BD=23，BF=2，求⊙O的半徑．20．（8分）對于平面直角坐標(biāo)系xOy中的任意兩點M，N，給出如下定義：點M與點N的“折線距離”為：．例如：若點M(-1，1)，點N(2，-2)，則點M與點N的“折線距離”為：．根據(jù)以上定義，解決下列問題：已知點P(3，-2)．①若點A(-2，-1)，則d(P，A)=；②若點B(b，2)，且d(P，B)=5，則b=；③已知點C（m,n）是直線上的一個動點，且d(P，C)<3，求m的取值范圍．⊙F的半徑為1，圓心F的坐標(biāo)為(0，t)，若⊙F上存在點E，使d(E，O)=2，直接寫出t的取值范圍．21．（8分）已知：如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，以BC為直徑的⊙O交AB于點D，E為的中點.求證：∠ACD=∠DEC；（2）延長DE、CB交于點P，若PB=BO，DE=2，求PE的長22．（10分）九（1）班同學(xué)分成甲、乙兩組，開展“四個城市建設(shè)”知識競賽，滿分得5分，得分均為整數(shù)．小馬虎根據(jù)競賽成績，繪制了如圖所示的統(tǒng)計圖．經(jīng)確認(rèn)，扇形統(tǒng)計圖是正確的，條形統(tǒng)計圖也只有乙組成績統(tǒng)計有一處錯誤．（1）指出條形統(tǒng)計圖中存在的錯誤，并求出正確值；（2）若成績達(dá)到3分及以上為合格，該校九年級有800名學(xué)生，請估計成績未達(dá)到合格的有多少名？（3）九（1）班張明、李剛兩位成績優(yōu)秀的同學(xué)被選中參加市里組織的“四個城市建設(shè)”知識競賽．預(yù)賽分為A、B、C、D四組進行，選手由抽簽確定．張明、李剛兩名同學(xué)恰好分在同一組的概率是多少？23．（12分）在平面直角坐標(biāo)系中，O為原點，點A（8，0）、點B（0，4），點C、D分別是邊OA、AB的中點．將△ACD繞點A順時針方向旋轉(zhuǎn)，得△AC′D′，記旋轉(zhuǎn)角為α．（I）如圖①，連接BD′，當(dāng)BD′∥OA時，求點D′的坐標(biāo)；（II）如圖②，當(dāng)α＝60°時，求點C′的坐標(biāo)；（III）當(dāng)點B，D′，C′共線時，求點C′的坐標(biāo)（直接寫出結(jié)果即可）．24．綜合與探究：如圖1，拋物線y=﹣x2+x+與x軸分別交于A、B兩點（點A在點B的左側(cè)），與y軸交于C點．經(jīng)過點A的直線l與y軸交于點D（0，﹣）．（1）求A、B兩點的坐標(biāo)及直線l的表達(dá)式；（2）如圖2，直線l從圖中的位置出發(fā)，以每秒1個單位的速度沿x軸的正方向運動，運動中直線l與x軸交于點E，與y軸交于點F，點A關(guān)于直線l的對稱點為A′，連接FA′、BA′，設(shè)直線l的運動時間為t（t＞0）秒．探究下列問題：①請直接寫出A′的坐標(biāo)（用含字母t的式子表示）；②當(dāng)點A′落在拋物線上時，求直線l的運動時間t的值，判斷此時四邊形A′BEF的形狀，并說明理由；（3）在（2）的條件下，探究：在直線l的運動過程中，坐標(biāo)平面內(nèi)是否存在點P，使得以P，A′，B，E為頂點的四邊形為矩形？若存在，請直接寫出點P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

參考答案一、選擇題（共10小題，每小題3分，共30分）1、A【解析】

利用平行四邊形的性質(zhì)即可解決問題.【詳解】∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD=BC=3，OD=OB==2，OA=OC=4，∴△OBC的周長=3+2+4=9，故選：A．【點睛】題考查了平行四邊形的性質(zhì)和三角形周長的計算，平行四邊形的性質(zhì)有：平行四邊形對邊平行且相等；平行四邊形對角相等，鄰角互補；平行四邊形對角線互相平分.2、B【解析】

根據(jù)折疊的性質(zhì)可知AE=DE=3，然后根據(jù)勾股定理求CD的長，然后利用正弦公式進行計算即可.【詳解】解：由折疊性質(zhì)可知：AE=DE=3∴CE=AC-AE=4-3=1在Rt△CED中，CD=故選：B【點睛】本題考查折疊的性質(zhì)，勾股定理解直角三角形及正弦的求法，掌握公式正確計算是本題的解題關(guān)鍵.3、D【解析】解：互為相反數(shù)的兩個有理數(shù)的和為零，故選D．A、C不全面．B、不正確．4、B【解析】分析：科學(xué)記數(shù)法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數(shù)．確定n的值時，要看把原數(shù)變成a時，小數(shù)點移動了多少位，n的絕對值與小數(shù)點移動的位數(shù)相同．當(dāng)原數(shù)絕對值≥1時，n是正數(shù)；當(dāng)原數(shù)的絕對值＜1時，n是負(fù)數(shù)．詳解：把6800000用科學(xué)記數(shù)法表示為6.8×1．故選B．點睛：本題考查了科學(xué)記數(shù)法的表示方法．科學(xué)記數(shù)法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數(shù)，表示時關(guān)鍵要正確確定a的值以及n的值．5、A【解析】

解：連接OA，OC，過點O作OD⊥AC于點D，∵∠AOC=2∠B，且∠AOD=∠COD=∠AOC，∴∠COD=∠B=60°；在Rt△COD中，OC=4，∠COD=60°，∴CD=OC=2，∴AC=2CD=4．故選A．【點睛】本題考查三角形的外接圓；勾股定理；圓周角定理；垂徑定理．6、B【解析】

由二次函數(shù),可得函數(shù)圖像經(jīng)過一、三、四象限，所以不經(jīng)過第二象限【詳解】解：∵，∴函數(shù)圖象一定經(jīng)過一、三象限；又∵，函數(shù)與y軸交于y軸負(fù)半軸，

∴函數(shù)經(jīng)過一、三、四象限，不經(jīng)過第二象限故選B【點睛】此題考查一次函數(shù)的性質(zhì)，要熟記一次函數(shù)的k、b對函數(shù)圖象位置的影響7、D【解析】試題分析：根據(jù)二次函數(shù)的圖象依次分析各項即可。由拋物線開口向上，可得，再由對稱軸是，可得，由圖象與y軸的交點再x軸下方，可得，故選D.考點：本題考查的是二次函數(shù)的性質(zhì)點評：解答本題的關(guān)鍵是熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)：的正負(fù)決定拋物線開口方向，對稱軸是，C的正負(fù)決定與Y軸的交點位置。8、D【解析】

根據(jù)同弧或等弧所對的圓周角相等可知∠BED=∠BAD，再結(jié)合圖形根據(jù)正切的定義進行求解即可得.【詳解】∵∠DAB=∠DEB，∴tan∠DEB=tan∠DAB=，故選D．【點睛】本題考查了圓周角定理（同弧或等弧所對的圓周角相等）和正切的概念，正確得出相等的角是解題關(guān)鍵．9、C【解析】

這張圓形紙片減去“不能接觸到的部分”的面積是就是這張圓形紙片“能接觸到的部分”的面積．【詳解】解：如圖：∵正方形的面積是：4×4=16；扇形BAO的面積是：，∴則這張圓形紙片“不能接觸到的部分”的面積是4×1-4×=4-π，∴這張圓形紙片“能接觸到的部分”的面積是16-（4-π）=12+π，故選C．【點睛】本題主要考查了正方形和扇形的面積的計算公式，正確記憶公式是解題的關(guān)鍵．10、C【解析】畫樹狀圖得：

∵共有6種等可能的結(jié)果，兩次抽取的卡片上的數(shù)字之積為正偶數(shù)的有2種情況，

∴兩次抽取的卡片上的數(shù)字之積為正偶數(shù)的概率是：.故選C.【點睛】運用列表法或樹狀圖法求概率．注意畫樹狀圖法與列表法可以不重復(fù)不遺漏的列出所有可能的結(jié)果，列表法適合于兩步完成的事件；樹狀圖法適合兩步或兩步以上完成的事件．二、填空題（本大題共6個小題，每小題3分，共18分）11、【解析】如圖，有5種不同取法；故概率為.12、y（x﹣3）2【解析】本題考查因式分解．解答：．13、且【解析】分式方程去分母得：2（2x-a）=x-2，去括號移項合并得：3x=2a-2，解得：，∵分式方程的解為非負(fù)數(shù)，∴且，解得：a≥1且a≠4．14、-3【解析】設(shè)A(a，a+4)，B(c，c+4)，則解得：x+4=，即x2+4x?k=0，∵直線y=x+4與雙曲線y=相交于A、B兩點，∴a+c=?4，ac=-k，∴(c?a)2=(c+a)2?4ac=16+4k，∵AB=，∴由勾股定理得：(c?a)2+[c+4?(a+4)]2=()2，2(c?a)2=8，(c?a)2=4，∴16+4k=4，解得：k=?3，故答案為?3.點睛：本題考查了一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點問題、根與系數(shù)的關(guān)系、勾股定理、圖象上點的坐標(biāo)特征等，題目具有一定的代表性，綜合性強，有一定難度.15、3（m-1）2【解析】試題分析：根據(jù)因式分解的方法，先提公因式，再根據(jù)完全平方公式分解因式即可，即3m2-6m+3=3（m2-2m+1）=3（m-1）2.故答案為：3（m-1）2點睛：因式分解是把一個多項式化為幾個因式積的形式.根據(jù)因式分解的一般步驟：一提（公因式）、二套（平方差公式，完全平方公式）、三檢查（徹底分解）.16、4．【解析】試題分析：連結(jié)BC，因為AB是⊙O的直徑，所以∠ACB＝90°，∠A+∠ABC＝90°，又因為BD，CD分別是過⊙O上點B，C的切線，∠BDC＝440°，所以CD=BD,所以∠BCD＝∠DBC＝4°,又∠ABD＝90°，所以∠A=∠DBC＝4°．考點：4．圓周角定理；4．切線的性質(zhì)；4．切線長定理．三、解答題（共8題，共72分）17、詳見解析.【解析】試題分析：利用SSS證明△ABC≌△DEF，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得∠B=∠DEF，再由平行線的判定即可得AB∥DE．試題解析：證明：由BE＝CF可得BC＝EF，又AB＝DE，AC＝DF，故△ABC≌△DEF（SSS），則∠B=∠DEF，∴AB∥DE．考點：全等三角形的判定與性質(zhì).18、（1）y=﹣2x+1；y=﹣80x【解析】

（1）根據(jù)OA、OB的長寫出A、B兩點的坐標(biāo)，再用待定系數(shù)法求解一次函數(shù)的解析式，然后求得點C的坐標(biāo)，進而求出反比例函數(shù)的解析式.（2）聯(lián)立方程組求解出交點坐標(biāo)即可.（3）觀察函數(shù)圖象，當(dāng)函數(shù)y=kx+b的圖像處于y=nx下方或與其有重合點時，x的取值范圍即為【詳解】（1）由已知，OA=6，OB=1，OD=4，∵CD⊥x軸，∴OB∥CD，∴△ABO∽△ACD，∴，∴，∴CD=20，∴點C坐標(biāo)為（﹣4，20），∴n=xy=﹣80.∴反比例函數(shù)解析式為：y=﹣,把點A（6，0），B（0，1）代入y=kx+b得：,解得：.∴一次函數(shù)解析式為：y=﹣2x+1,（2）當(dāng)﹣=﹣2x+1時，解得,x1=10，x2=﹣4,當(dāng)x=10時，y=﹣8,∴點E坐標(biāo)為（10，﹣8）,∴S△CDE=S△CDA+S△EDA=.（3）不等式kx+b≤，從函數(shù)圖象上看，表示一次函數(shù)圖象不低于反比例函數(shù)圖象,∴由圖象得，x≥10，或﹣4≤x＜0.【點睛】本題考查了應(yīng)用待定系數(shù)法求一次函數(shù)和反比例函數(shù)解析式以及用函數(shù)的觀點通過函數(shù)圖像解不等式.19、（1）相切，理由見解析;（1）1．【解析】

(1)求出OD//AC，得到OD⊥BC，根據(jù)切線的判定得出即可；(1)根據(jù)勾股定理得出方程，求出方程的解即可．【詳解】(1)直線BC與⊙O的位置關(guān)系是相切，理由是：連接OD,∵OA=OD，∴∠OAD=∠ODA，∵AD平分∠CAB，∴∠OAD=∠CAD，∴∠ODA=∠CAD，∴OD∥AC，∵∠C=90°，∴∠ODB=90°，即OD⊥BC，∵OD為半徑，∴直線BC與⊙O的位置關(guān)系是相切；(1)設(shè)⊙O的半徑為R，則OD=OF=R，在Rt△BDO中,由勾股定理得：OB2=BD2+OD2，即(R+1)2=(13)2+R2，解得：R=1，即⊙O的半徑是1.【點睛】此題考查切線的判定，勾股定理，解題關(guān)鍵在于求出OD⊥BC.20、（1）①6，②2或4，③1＜m＜4；（2）或.【解析】

（1）①根據(jù)“折線距離”的定義直接列式計算；②根據(jù)“折線距離”的定義列出方程，求解即可；③根據(jù)“折線距離”的定義列出式子，可知其幾何意義是數(shù)軸上表示數(shù)m的點到表示數(shù)3的點的距離與到表示數(shù)2的點的距離之和小于3.（2）由題意可知，根據(jù)圖像易得t的取值范圍．【詳解】解：（1）①②∴∴b=2或4③，即數(shù)軸上表示數(shù)m的點到表示數(shù)3的點的距離與到表示數(shù)2的點的距離之和小于3，所以1＜m＜4（2）設(shè)E（x,y），則，如圖，若點E在⊙F上，則.【點睛】本題主要考查坐標(biāo)與圖形，正確理解新定義及其幾何意義，利用數(shù)形結(jié)合的思想思考問題是解題關(guān)鍵.21、（1）見解析；（2）PE=4.【解析】

（1）根據(jù)同角的余角相等得到∠ACD=∠B，然后由圓周角定理可得結(jié)論；（2）連結(jié)OE，根據(jù)圓周角定理和等腰三角形的性質(zhì)證明OE∥CD，然后由△POE∽△PCD列出比例式，求解即可.【詳解】解：(1）證明：∵BC是⊙O的直徑，∴∠BDC=90°，∴∠BCD+∠B=90°，∵∠ACB=90°，∴∠BCD+∠ACD=90°，∴∠ACD=∠B，∵∠DEC=∠B,∴∠ACD=∠DEC（2）證明：連結(jié)OE∵E為BD弧的中點.∴∠DCE=∠BCE∵OC=OE∴∠BCE=∠OEC∴∠DCE=∠OEC∴OE∥CD∴△POE∽△PCD，∴∵PB=BO，DE=2∴PB=BO=OC∴∴∴PE=4【點睛】本題是圓的綜合題，主要考查了圓周角定理、等腰三角形的判定和性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握圓的相關(guān)知識和相似三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．22、（1）見解析；（2）140人；（1）.【解析】

（1）分別利用條形統(tǒng)計圖和扇形統(tǒng)計圖得出總?cè)藬?shù)，進而得出錯誤的哪組；（2）求出1分以下所占的百分比即可估計成績未達(dá)到合格的有多少名學(xué)生；（1）根據(jù)題意可以畫出相應(yīng)的樹狀圖，從而可以求得張明、李剛兩名同恰好分在同一組的概率．【詳解】（1）由統(tǒng)計圖可得：（1分）（2分）（4分）（5分）甲（人）01764乙（人）22584全體（%）512.5101517.5乙組得分的人數(shù)統(tǒng)計有誤，理由：由條形統(tǒng)計圖和扇形統(tǒng)計圖的對應(yīng)可得，2÷5%=40，（1+2）÷12.5%=40，（7+5）÷10%=40，（6+8）÷15%=40，（4+4）÷17.5%≠40，故乙組得5分的人數(shù)統(tǒng)計有誤，正確人數(shù)應(yīng)為：40×17.5%﹣4=1．（2）800×（5%+12.5%）=140（人）；（1）如圖得：∵共有16種等可能的結(jié)果，所選兩人正好分在一組的有4種情況，∴所選兩人正好分在一組的概率是：．【點睛】本題考查列表法與樹狀圖法、用樣本估計總體、條形統(tǒng)計圖、扇形統(tǒng)計圖，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，找出所求問題需要的條件．23、（I）（10，4）或（6，4）（II）C′（6，2）（III）①C′（8，4）②C′（，﹣）【解析】

（I）如圖①，當(dāng)OB∥AC′，四邊形OBC′A是平行四邊形，只要證明B、C′、D′共線即可解決問題，再根據(jù)對稱性確定D″的坐標(biāo)；（II）如圖②，當(dāng)α=60°時，作C′K⊥AC于K．解直角三角形求出OK，C′K即可解決問題；（III）分兩種情形分別求解即可解決問題；【詳解】解:（I）如圖①，∵A（8，0），B（0，4），∴OB=4，OA=8，∵AC=OC=AC′=4，∴當(dāng)OB∥AC′，四邊形OBC′A是平行四邊形，∵∠AOB=90°，∴四邊形OBC′A是矩形，∴∠AC′B=90°，∵∠AC′D′=90°，∴B、C′、D′共線，∴BD′∥OA，∵AC=CO，BD=AD，∴CD=C′D′=OB=2，∴D′（10，4），根據(jù)對稱性可知，點D″在線段BC′上時，D″（6，4）也滿足條件．綜上所述，滿足條件的點D坐標(biāo)（10，4）或（6，4）．（II）如圖②，當(dāng)α=60°時，作C′K⊥AC于K．在Rt△AC′K中，∵∠KAC′=60°，AC′=4，∴AK=2，C′K=2，∴OK=6，∴C′（6，2）．（III）①如圖③中，當(dāng)B、C′、D′共線時，由（Ⅰ）可知，C′（8，4）．②如圖④中，當(dāng)B、C′、D′共線時，BD′交OA于F，易證△BOF≌△AC′F，∴OF=FC′，設(shè)OF=FC′=x，在Rt△ABC′中，BC′==8，在RT△BOF中，OB=4，OF=x，BF=8﹣x，∴（8﹣x）2=42+x2，解得x=3，∴OF=FC′=3，BF=5，作C′K⊥OA于K，∵OB∥KC′，∴==，∴==，∴KC′=，KF=，∴OK=，∴C′（，﹣）．【點睛】本題考查三角形綜合題、旋轉(zhuǎn)變換、矩形的判定和性質(zhì)、平行線的性質(zhì)、勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是靈活應(yīng)用所學(xué)知識解決問題，學(xué)會用分類討論的思想思考問題，屬于中考壓軸題．24、（1）A（﹣1，0），B（3，0），y=﹣x﹣；（2）①A′（t﹣1，t）；②A′BEF為菱形，見解析；（3）存在，P點坐標(biāo)為（，）或（，﹣）．【解析】

（1）通過解方程﹣x2+x+＝0得A（?1，0），B（3，0），然后利用待定系數(shù)法確定直線l的解析式；（2）①作A′H⊥x軸于H，如圖2，利用OA＝1，OD＝得到∠OAD＝60°，再利用平移和對稱的性質(zhì)得到EA＝EA′＝t，∠A′EF＝∠AEF＝60°，然后根據(jù)含30度的直角三角形三邊的關(guān)系表示出A′H，EH即可得到A′的坐標(biāo)；②把A′（t?1，t）代入y＝?x2＋x＋得?（t?1）2＋（t?1）＋＝t，解方程得到t＝2，此時A′點的坐標(biāo)為（2，），E（1，0），然后通過計算得到AF＝BE＝2，A′F∥BE，從而判斷四邊形A′BEF為平行四邊形，然后加上EF＝BE可判定四邊形A′BEF為菱形；（3）討論：當(dāng)A′B⊥BE時，四邊形A′BEP為矩形，利用點A′和點B的橫