專題09圓 （1大易錯(cuò)點(diǎn)分析+26個(gè)易錯(cuò)點(diǎn)+易錯(cuò)題通關(guān)）-備戰(zhàn)2024年中考數(shù)學(xué)考試易錯(cuò)題（江蘇專用）（原卷版）

試卷第=page22頁(yè)，共=sectionpages2727頁(yè)專題09圓圓專題易錯(cuò)點(diǎn)：1.對(duì)圓的定義理解不清：學(xué)生可能會(huì)混淆圓的定義，認(rèn)為所有的曲線都是圓，或者認(rèn)為圓只能由圓心和一個(gè)點(diǎn)確定。實(shí)際上，圓是由一個(gè)固定點(diǎn)（圓心）和所有到該點(diǎn)距離相等的點(diǎn)組成的集合。2.對(duì)圓的性質(zhì)理解不透徹：例如，學(xué)生可能不理解為什么圓的周長(zhǎng)和面積與半徑有關(guān)，或者為什么直徑是圓內(nèi)最長(zhǎng)的弦。3.對(duì)圓的對(duì)稱性和旋轉(zhuǎn)性理解不足：學(xué)生可能無(wú)法正確理解和應(yīng)用圓的對(duì)稱性和旋轉(zhuǎn)性，這會(huì)影響他們解決與圓相關(guān)的問(wèn)題。4.計(jì)算錯(cuò)誤：在進(jìn)行圓的周長(zhǎng)、面積、圓弧長(zhǎng)度等計(jì)算時(shí)，學(xué)生可能會(huì)出現(xiàn)計(jì)算錯(cuò)誤。這可能是由于對(duì)公式理解不清，或者計(jì)算技能不熟練導(dǎo)致的。5.忽視單位：在進(jìn)行圓的計(jì)算時(shí)，學(xué)生可能會(huì)忽視單位的問(wèn)題，導(dǎo)致計(jì)算結(jié)果錯(cuò)誤。例如，他們可能會(huì)將半徑的單位誤認(rèn)為是厘米，而實(shí)際上應(yīng)該是米或毫米。6.對(duì)圓與其他幾何圖形的關(guān)系理解不清：例如，學(xué)生可能無(wú)法理解為什么圓與直線、其他圓、三角形等幾何圖形之間的關(guān)系會(huì)影響圓的性質(zhì)。7.對(duì)圓心角與弧長(zhǎng)的關(guān)系理解不足：學(xué)生可能會(huì)混淆圓心角與弧長(zhǎng)的關(guān)系，無(wú)法正確地將它們聯(lián)系起來(lái)。實(shí)際上，弧長(zhǎng)與圓心角之間的關(guān)系是通過(guò)圓的半徑來(lái)建立的，弧長(zhǎng)等于圓心角（以弧度為單位）與半徑的乘積。8.對(duì)圓的切線理解不清：切線是與圓只有一個(gè)交點(diǎn)的直線。學(xué)生可能會(huì)對(duì)切線的性質(zhì)感到困惑，例如切線與半徑垂直、切線長(zhǎng)定理等。9.對(duì)圓的內(nèi)接和外接多邊形理解不足：在學(xué)習(xí)多邊形與圓的關(guān)系時(shí)，學(xué)生可能會(huì)對(duì)內(nèi)接多邊形和外接多邊形的概念感到混淆，無(wú)法正確理解它們的性質(zhì)。10.忽視圖形的動(dòng)態(tài)變化：在處理與圓相關(guān)的動(dòng)態(tài)問(wèn)題時(shí)，如滾動(dòng)圓、旋轉(zhuǎn)圓等，學(xué)生可能會(huì)忽視圖形的動(dòng)態(tài)變化，導(dǎo)致解題錯(cuò)誤。易錯(cuò)點(diǎn)1：圓中的平行弦例：⊙O的半徑是10，弦，，則弦與的距離是（

）A．2 B．14 C．2或14 D．7或1變式1：在圓中兩條平行弦的長(zhǎng)分別6和8，若圓的半徑為5，則兩條平行弦間的距離為．變式2：如圖，在⊙O中，AB是⊙O的直徑，AC＝AD，AB交CD于E，直徑CM交AD于N，連接DM．(1)求證：ABDM；(2)若OE＝4，ON＝2，求⊙O的半徑．易錯(cuò)點(diǎn)2：垂徑定理例：如圖，為的直徑，弦交于點(diǎn)，，，，則（

）A． B． C．2 D．1變式1：如圖，為的弦，C為上一點(diǎn)，于點(diǎn)D．若，，則．變式2：如圖，正方形內(nèi)接于，點(diǎn)為的中點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，連接．

(1)求證：(2)若，求和的長(zhǎng)．易錯(cuò)點(diǎn)3：弧、弦、圓心角關(guān)系例：如圖，在中，是的直徑，，弦，則（

）A． B． C． D．變式1：如圖，在中，，點(diǎn)F為直徑上一點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)G，交于點(diǎn)E，若，，，則的長(zhǎng)為．變式2：如圖，在中，，，交于點(diǎn)，為的直徑，．(1)求證：；(2)若平分，求的度數(shù)；(3)若，求圖中陰影部分的面積．易錯(cuò)點(diǎn)4：圓心角例：如圖，是的弦，延長(zhǎng)相交于點(diǎn)E，已知，則的度數(shù)是（

）A． B． C． D．變式1：已知，有一量角器如圖擺放，中心O在邊上，為刻度線，為刻度線，角的另一邊與量角器半圓交于C，D兩點(diǎn)，點(diǎn)C，D對(duì)應(yīng)的刻度分別為，，則=．

變式2：如圖，已知是的直徑，點(diǎn)是半圓中點(diǎn)，點(diǎn)是劣弧上的一點(diǎn)．（1）在圖①中，，劣弧長(zhǎng)為，求的長(zhǎng)；（2）在圖②中，點(diǎn)是中點(diǎn)，與交于點(diǎn)，點(diǎn)在弦上，且，若，求的長(zhǎng)．易錯(cuò)點(diǎn)5：圓周角例：如圖，已知是的直徑，點(diǎn)C、D分別在兩個(gè)半圓上，若過(guò)點(diǎn)C的切線與的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)E，則與的數(shù)量關(guān)系是（）A． B．C． D．變式1：如圖，內(nèi)接于，，過(guò)點(diǎn)的切線與的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)，則．

變式2：如圖，內(nèi)接于，，是上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作，交于點(diǎn)．(1)求證：；(2)若，，．求的長(zhǎng)；的長(zhǎng)為______．易錯(cuò)點(diǎn)6：點(diǎn)與圓位置關(guān)系例：如圖，在中，，點(diǎn)D在邊上，且，連接．以點(diǎn)D為圓心，以r為半徑畫圓，若點(diǎn)A，B，C中只有1個(gè)點(diǎn)在圓內(nèi)，則r的值可能為（

）A．3 B．4 C．5 D．6變式1：在平面直角坐標(biāo)系中，我們定義點(diǎn)的“關(guān)聯(lián)點(diǎn)”為．如果已知點(diǎn)在直線上，點(diǎn)在的內(nèi)部，的半徑長(zhǎng)為（如圖所示），那么點(diǎn)的橫坐標(biāo)的取值范圍是．變式2：在平面直角坐標(biāo)系中，O為原點(diǎn)，對(duì)于兩個(gè)圖形和直線，若在圖形X上存在點(diǎn)A，在圖形Y上存在點(diǎn)B，使得點(diǎn)A和點(diǎn)B關(guān)于直線對(duì)稱，就稱圖形X和Y互為m關(guān)聯(lián)圖形．(1)已知點(diǎn)P的坐標(biāo)為，①點(diǎn)P與點(diǎn)Q互為關(guān)聯(lián)圖形，則點(diǎn)Q的坐標(biāo)為；②若的半徑為1，點(diǎn)P與互為m關(guān)聯(lián)圖形，則m的值為；(2)已知點(diǎn)，射線OA與線段l：互為t關(guān)聯(lián)圖形，求t的取值范圍．(3)已知⊙O的半徑為2，直線與x軸，y軸分別交于C，D，若關(guān)于對(duì)稱的圖形S與點(diǎn)C互為2m關(guān)聯(lián)圖形，直接寫出m的值及點(diǎn)D與圖形S的位置關(guān)系．易錯(cuò)點(diǎn)7：直線與圓位置關(guān)系例：在中，，，．若與相離，則半徑為r滿足（

）A． B． C． D．變式1：如圖，直線、相交于點(diǎn)O，，半徑為2的的圓心在直線上，且位于點(diǎn)O左側(cè)的距離6處．如果以1的速度沿由A向B的方向移動(dòng)，那么秒鐘后與直線相切．

變式2：在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)到直線的距離公式為：，例如，求點(diǎn)到直線的距離．解：由直線知：，，所以到直線的距離為：根據(jù)以上材料，解決下列問(wèn)題：(1)求點(diǎn)到直線的距離．(2)已知：是以點(diǎn)為圓心，1為半徑的圓，與直線相切，求實(shí)數(shù)的值；(3)如圖，設(shè)點(diǎn)為問(wèn)題2中上的任意一點(diǎn)，點(diǎn)，為直線上的兩點(diǎn)，且，請(qǐng)求出面積的最大值和最小值．易錯(cuò)點(diǎn)8：三角形的外接圓例：如圖，已知是的外心，分別是、的中點(diǎn)，連接、交于點(diǎn)，若，，，則的面積為（

）A． B． C． D．變式1：如圖，是的外角的平分線，外接圓的圓心O為的中點(diǎn)，延長(zhǎng)交于點(diǎn)F．若，，則的周長(zhǎng)為．變式2：如圖，已知三角形中，，D是的外接圓劣弧上的點(diǎn)（不與點(diǎn)A，C重合），延長(zhǎng)至E．

(1)求證：的延長(zhǎng)線平分(2)若，中邊上的高為，求外接圓的面積易錯(cuò)點(diǎn)9：三角形的內(nèi)切圓例：如圖，已知中，，，內(nèi)切圓半徑為，則圖中陰影部分面積和是()A． B． C． D．變式1：如圖，的內(nèi)切圓與，分別相切于D，E兩點(diǎn)，連接，的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)F，若，則的大小是．

變式2：學(xué)校要舉辦運(yùn)動(dòng)會(huì)，九（1）班同學(xué)正在準(zhǔn)備各種道具，小聰同學(xué)現(xiàn)有一塊三角形的紙片，要在三角形紙片中截下一塊圓形紙片做道具，要求截下的圓與三角形的三條邊都相切．小聰用，，表示三角形紙片的三個(gè)頂點(diǎn)（如圖1）．請(qǐng)你按要求完成：(1)尺規(guī)作圖：在圖1中找出圓心點(diǎn)（要求：保留作圖痕跡，標(biāo)明字母，不寫作法）；(2)若紙片三邊長(zhǎng)分別是：，，，與邊，，分別相切于點(diǎn)，，（如圖2），求小聰截得的圓形道具的面積．易錯(cuò)點(diǎn)10：切線的性質(zhì)與判定例：如圖，在直角坐標(biāo)系中，以點(diǎn)O為圓心，半徑為4的圓與y軸交于點(diǎn)B，點(diǎn)是圓外一點(diǎn)，直線與切于點(diǎn)C，與x軸交于點(diǎn)D，則點(diǎn)C的坐標(biāo)為（

）A．， B．， C．， D．，變式1：如圖，是的直徑，弦平分，連接，過(guò)點(diǎn)D作的切線交于點(diǎn)E，若，，則的長(zhǎng)為．

變式2：如圖，在中，內(nèi)接，連接，作交延長(zhǎng)線于點(diǎn)．(1)求證：為的切線；(2)若，，求的長(zhǎng)．易錯(cuò)點(diǎn)11：圓內(nèi)接四邊形例：如圖，四邊形內(nèi)接于，為的直徑，D為弧的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)D作于點(diǎn)E，若，則等于（）A． B． C． D．變式1：如圖，四邊形為的內(nèi)接四邊形，平分為的直徑，若，則的長(zhǎng)為．變式2：如圖，圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角線交于點(diǎn)E，平分，．(1)求證：平分，并求的大??；(2)過(guò)點(diǎn)C作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F．若，，求此圓半徑的長(zhǎng)．易錯(cuò)點(diǎn)12：正多邊形與圓例：我們知道，五邊形具有不穩(wěn)定性，正五邊形在平面直角坐標(biāo)系中的位置如圖1所示，A在x軸負(fù)半軸上，固定邊，將正五邊形向右推，使點(diǎn)A，B，C共線，且點(diǎn)C落在y軸上，如圖2所示，此時(shí)的度數(shù)為（

）A． B． C． D．變式1：如圖，點(diǎn)O是正五邊形和正三角形的中心，連接，交于點(diǎn)P，則的度數(shù)為°．

變式2：如圖，正六邊形內(nèi)接于．

(1)若是上的動(dòng)點(diǎn)，連接，求的度數(shù)；(2)已知的面積為．求的度數(shù)；求的半徑．易錯(cuò)點(diǎn)13：弧長(zhǎng)和扇形面積例：如圖，在平行四邊形中，，以為直徑的恰好經(jīng)過(guò)點(diǎn)，交于點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)為的中點(diǎn)時(shí)，下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（

）A．平分 B．C． D．的長(zhǎng)為變式1：如圖，扇形中，，點(diǎn)分別在上，連接，點(diǎn)，關(guān)于直線對(duì)稱，的長(zhǎng)為，則圖中陰影部分的面積為．變式2：如圖，在中，，平分，交于點(diǎn)，是邊上的點(diǎn)，經(jīng)過(guò)點(diǎn)，的交于點(diǎn)．(1)求證：是的切線；(2)若，．①求的長(zhǎng)；②求陰影部分的面積．易錯(cuò)點(diǎn)14：圓與三角形結(jié)合例：如圖，已知直線，與軸、軸分別交于、兩點(diǎn)，是以為圓心，為半徑的圓上一動(dòng)點(diǎn)，連接、，則面積的最大值為（

）A． B． C． D．變式1：如圖，線段是的直徑，弦于點(diǎn)，點(diǎn)是弧上任意一點(diǎn)(不與，重合)，，．延長(zhǎng)線段交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，直線交于點(diǎn)，連結(jié)交于點(diǎn)，則，．變式2：如圖，在中，，以為直徑的交于點(diǎn)D，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，連接．(1)求證：；(2)若，求AB的長(zhǎng)．易錯(cuò)點(diǎn)15：圓與四邊形結(jié)合例：如圖，正方形中，為上一點(diǎn)，于點(diǎn)，已知，過(guò)、、的與邊交于點(diǎn)，則（

）A． B． C． D．變式1：如圖，在矩形ABCD中，點(diǎn)E在AD邊上，AE=4ED，BE的中垂線分別交BE，BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H，N．且BC=CN，⊙C為△BNH的外接圓，CFBE，交⊙C于點(diǎn)F，F(xiàn)M⊥AB于點(diǎn)M（FM＜BC），若FM=20，則tan∠AEB=；矩形ABCD的周長(zhǎng)為．變式2：圓內(nèi)接四邊形若有一組鄰邊相等，則稱之為等鄰邊圓內(nèi)接四邊形．(1)如圖1，四邊形為等鄰邊圓內(nèi)接四邊形，，，則________；(2)如圖2，四邊形內(nèi)接于，為的直徑，，，若四邊形為等鄰邊圓內(nèi)接四邊形，求的長(zhǎng)；(3)如圖3，四邊形為等鄰邊圓內(nèi)接四邊形，，為的直徑，且．設(shè)，四邊形的周長(zhǎng)為，試確定與的函數(shù)關(guān)系式，并求出的最大值．易錯(cuò)點(diǎn)16：圓與一次函數(shù)結(jié)合例：如圖，的圓心M在一次函數(shù)位于第一象限中的圖象上，與y軸交于C、D兩點(diǎn)，若與x軸相切，且，則半徑是（

）A．或5 B．5或6 C．或6 D．5變式1：如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，一次函數(shù)y＝﹣2x+4的圖象與x軸、y軸分別交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)P在線段AB上，⊙P與x軸交于A、C兩點(diǎn)，當(dāng)⊙P與y軸相切時(shí)，AC的長(zhǎng)度是．變式2：如圖，一次函數(shù)的圖像與軸的負(fù)半軸交于點(diǎn)，與軸的正半軸相交于點(diǎn)，的外接圓的圓心為點(diǎn)．（1）求點(diǎn)的坐標(biāo)，并求的大??；（2）求圖中陰影部分的面積（結(jié)果保留根號(hào)）．易錯(cuò)點(diǎn)17：圓與反比例函數(shù)結(jié)合例：如圖，平面直角坐標(biāo)系中，以為直徑的與軸交于點(diǎn)，連接交軸交于點(diǎn)，，反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則的值為（

）A． B． C． D．變式1：如圖，一次函數(shù)與反比例函數(shù)的圖象交于，兩點(diǎn)，點(diǎn)在以為圓心，半徑為的上，是線段的中點(diǎn)，已知長(zhǎng)的最大值為，則的值是．變式2：如圖，點(diǎn)P是反比例函數(shù)圖象上一點(diǎn)，軸于點(diǎn)A，點(diǎn)M在y軸上，過(guò)點(diǎn)A，與y軸交于B、D，已知A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，PB的延長(zhǎng)線交于另一點(diǎn)C．(1)求的半徑的長(zhǎng)；(2)當(dāng)時(shí)，試求出k的值；(3)在（2）的條件下，請(qǐng)求出線段PC的長(zhǎng)．易錯(cuò)點(diǎn)18：圓與二次函數(shù)結(jié)合例：如圖，AB＝5，O是AB的中點(diǎn)，P是以點(diǎn)O為圓心，AB為直徑的半圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)P與點(diǎn)A，B可以重合），連接PA，過(guò)P作PM⊥AB于點(diǎn)M．設(shè)AP＝x，，則下列圖象中，能表示y與x的函數(shù)關(guān)系的圖象大致是（

）A．二次函數(shù) B．一次函數(shù) C．正比例函數(shù) D．以上都不對(duì)變式1：如圖，二次函數(shù)與軸交于兩點(diǎn)（點(diǎn)在點(diǎn)左邊），與軸交于點(diǎn)，若點(diǎn)坐標(biāo)為，以點(diǎn)為圓心，為半徑作圓，為上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)面積最小為5時(shí)，則．變式2：如圖，二次函數(shù)與x軸的一個(gè)交點(diǎn)A的坐標(biāo)為，以點(diǎn)A為圓心作圓A，與該二次函數(shù)的圖象相交于點(diǎn)B，C，點(diǎn)B，C的橫坐標(biāo)分別為，，連接，，并且滿足．過(guò)點(diǎn)B作軸于點(diǎn)M，過(guò)點(diǎn)C作軸于點(diǎn)N．(1)求該二次函數(shù)的關(guān)系式；(2)經(jīng)過(guò)點(diǎn)B作直線，在A點(diǎn)右側(cè)與x軸交于點(diǎn)D，與二次函數(shù)的圖象交于點(diǎn)E，使得，連接，求證：；(3)若直線與圓A相切，請(qǐng)求出k的值．易錯(cuò)點(diǎn)19：圓與相似結(jié)合例：如圖，內(nèi)接于，且，的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)，若與相似，則（

）．A． B． C． D．變式1：如圖，、是的直徑，點(diǎn)在上，，點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)沿順時(shí)針?lè)较蚶@圓心旋轉(zhuǎn)，當(dāng)時(shí)，直徑在中截得的三角形與相似．變式2：如圖1，在中，為高，，，，，線段，上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且，連接．

(1)_____；(2)在的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，當(dāng)與相似時(shí)，求的值；(3)如圖2，若以點(diǎn)為圓心，的長(zhǎng)為半徑作半圓．①當(dāng)半圓與邊相切時(shí)，求的長(zhǎng)；②當(dāng)半圓與線段只有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，直接寫出長(zhǎng)的取值范圍．易錯(cuò)點(diǎn)20：圓與三角函數(shù)結(jié)合例：如圖，已知，B為雙曲線上的一點(diǎn)，，C為y軸的正半軸上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)（

）時(shí)，最大．A． B． C． D．1變式1：如圖，在正方形中，M，N分別是的中點(diǎn)，P是線段上的一點(diǎn)，的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)E，連接，將繞點(diǎn)P順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得，則下列結(jié)論：①，②；③垂直平分；④若，點(diǎn)E在邊上運(yùn)動(dòng)，則D，F(xiàn)兩點(diǎn)之間距離的最小值是．其中結(jié)論正確的序號(hào)有．變式2：如圖，線段是的直徑，弦于點(diǎn)H，點(diǎn)M是上任意一點(diǎn)，，．(1)求的半徑r的長(zhǎng)度；(2)求(3)直線交直線于點(diǎn)，直線交于點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，求的值易錯(cuò)點(diǎn)21：圓的新定義例：定義：一個(gè)圓分別與一個(gè)三角形的三條邊各有兩個(gè)交點(diǎn)，且所截得的三條弦相等，我們把這個(gè)圓叫作“等弦圓”現(xiàn)有一個(gè)斜邊長(zhǎng)為的等腰直角三角形，當(dāng)“等弦圓”最大時(shí)，這個(gè)圓的半徑為()A． B． C． D．變式1：對(duì)于及一個(gè)矩形給出如下定義：如果上存在到此矩形四個(gè)頂點(diǎn)距離都相等的點(diǎn)，那么稱是該矩形的“等距圓”．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形的頂點(diǎn)的坐標(biāo)為，頂點(diǎn)、在軸上，且．若矩形的“等距圓”始終在矩形內(nèi)部（含邊界），則的半徑r的取值范圍是．變式2：在平面直角坐標(biāo)系中，對(duì)于任意三點(diǎn)給出如下定義：三點(diǎn)中橫坐標(biāo)的最大值與最小值的差我們稱為“橫距”；三點(diǎn)中縱坐標(biāo)的最大值與最小值的差我們稱之為“縱距”：若三點(diǎn)的橫距與縱距相等，我們稱這三點(diǎn)為“等距點(diǎn)”．已知：如圖，點(diǎn)，點(diǎn)．(1)在中，與點(diǎn)為等距點(diǎn)的是______；(2)點(diǎn)為軸上一動(dòng)點(diǎn)，若三點(diǎn)為等距點(diǎn)，求的值；(3)已知點(diǎn)，有一半徑為1，圓心為的，若上存在點(diǎn)，使得三點(diǎn)為等距點(diǎn)，直接寫出的取值的范圍．易錯(cuò)點(diǎn)22：圓的無(wú)刻度尺作圖例：在中，，，根據(jù)以下圓規(guī)作圖的痕跡，只用無(wú)刻度直尺能正確找到的外心的是（

）A． B． C． D．變式1：在邊長(zhǎng)為1的網(wǎng)格中，C、B、D在格點(diǎn)上，與圓交于A、B，請(qǐng)按下面要求完成解答：（1）．（2）請(qǐng)用無(wú)刻度直尺，畫出弧的中點(diǎn)E，保留作圖痕跡，并寫出畫法．變式2：如圖，在正方形網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn).B，C為格點(diǎn)，以線段為直徑的交縱向格線于A點(diǎn)，連接.僅用無(wú)刻度的直尺在給定網(wǎng)格中按要求作圖，畫圖過(guò)程用虛線表示，畫圖結(jié)果用實(shí)線表示.(1)在圖1中作出圓心O；(2)在圖1中作平分交于D點(diǎn)：(3)在圖1中作繞D點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)后的線段；(4)在圖2的中作弦.易錯(cuò)點(diǎn)23：阿基米德折線定理例：阿基米德折弦定理：如圖1，與是的兩條弦（即折線是圓的一條折弦），，點(diǎn)M是的中點(diǎn)，于點(diǎn)N，則點(diǎn)N是折弦的中點(diǎn)，即．如圖2，半徑為4的圓中有一個(gè)內(nèi)接矩形，，點(diǎn)M是的中點(diǎn)，于點(diǎn)N，若矩形的面積為20，則線段的長(zhǎng)為（

）A． B． C． D．變式1：阿基米德折弦定理：如圖1，和是的兩條弦（即折線是圓的一條折弦），，是弧的中點(diǎn)，則從向所作垂線的垂足是折弦的中點(diǎn)，即．請(qǐng)應(yīng)用阿基米德折弦定理解決問(wèn)題：如圖2，已知等邊內(nèi)接于，，為上一點(diǎn)，，于點(diǎn)，則的周長(zhǎng)是．

變式2：綜合運(yùn)用：【問(wèn)題呈現(xiàn)】阿基米德折弦定理：如圖1，和是的兩條弦（即折線是圓的一條折弦），，點(diǎn)M是的中點(diǎn)，則從M向所作垂線的垂足D是折弦的中點(diǎn)，即．下面是運(yùn)用“截長(zhǎng)法”證明的部分證明過(guò)程．證明：如圖2，在上截取，連接和，∵M(jìn)是的中點(diǎn)，∴，∴（相等的弧所對(duì)的弦相等），又∵（同弧所對(duì)的圓周角相等），∴，∴，又∵，∴，∴，即．(1)【理解運(yùn)用】如圖1，是的兩條弦，，，點(diǎn)M是的中點(diǎn)，于點(diǎn)D，則的長(zhǎng)為________；(2)【變式探究】如圖3，若點(diǎn)M是的中點(diǎn)，【問(wèn)題呈現(xiàn)】中的其他條件不變，判斷之間存在怎樣的數(shù)量關(guān)系？并加以證明；(3)【實(shí)踐應(yīng)用】根據(jù)你對(duì)阿基米德折弦定理的理解完成下列問(wèn)題：如圖4，是的直徑，點(diǎn)A圓上一定點(diǎn)，點(diǎn)D圓上一動(dòng)點(diǎn)，且滿足，若，的半徑為10，求長(zhǎng)．易錯(cuò)點(diǎn)24：阿氏圓例：如圖，矩形中，，以B為圓心，以為半徑畫圓交邊于點(diǎn)E，點(diǎn)P是弧上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連結(jié)，則的最小值為（

）A． B． C． D．變式1：已知：等腰中，，，是上一點(diǎn)，以為圓心的半圓與、均相切，為半圓上一動(dòng)點(diǎn)，連、，如圖，則的最小值是．變式2：閱讀以下材料，并按要求完成相應(yīng)任務(wù)．阿波羅尼斯（ApolloniusofPerga），古希臘人（公元前262~190年），數(shù)學(xué)家，寫了八冊(cè)圓錐曲線論著，其中有七冊(cè)流傳下來(lái)，書中詳細(xì)討論了圓錐曲線的各種性質(zhì)，阿波羅尼斯圓是他的論著中一個(gè)著名的問(wèn)題．一動(dòng)點(diǎn)與兩定點(diǎn)，的距離之比等于定比，則點(diǎn)的軌跡是以定比內(nèi)分和外分線段的兩個(gè)分點(diǎn)的連線為直徑的圓，這個(gè)圓稱為阿波羅尼斯圓，簡(jiǎn)稱“阿氏圓”．如圖1，點(diǎn)，為兩定點(diǎn)，點(diǎn)為動(dòng)點(diǎn)，滿足，點(diǎn)在線段上，點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上且，則點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡是以為直徑的圓．下面是“阿氏圓”的證明過(guò)程（部分）：過(guò)點(diǎn)作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)．∴，．∴．∴．又∵，∴．∴．∴．∴．如圖2，在圖1（隱去，）的基礎(chǔ)上過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，可知，……任務(wù)：（1）判斷是否平分，并說(shuō)明理由；（2）請(qǐng)根據(jù)上面的部分證明及任務(wù)（1）中的結(jié)論，完成“阿氏圓”證明的剩余部分；（3）應(yīng)用：如圖3，在平面直角坐標(biāo)系中，，，，則點(diǎn)所在圓的圓心坐標(biāo)為________．易錯(cuò)點(diǎn)25：秦九韶——海倫公式例：《數(shù)書九章》是我國(guó)南宋時(shí)期杰出數(shù)學(xué)家秦九韶的著作，書中提出了已知三角形三邊a，b，c求面積的公式．若三角形的三邊a，b，c分別為7，6，3，則這個(gè)三角形內(nèi)切圓的半徑是（

）A． B． C． D．變式1：設(shè)一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)分別為a，b，c，，則有下列面積公式：（海倫公式），（秦九韶公式），若一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)依次為2，，，則三角形的面積為．變式2：