解密19 隨機(jī)變量及分布（講義）-【高頻考點(diǎn)解密】2022年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)講義+分層訓(xùn)練（新高考專用）

解密19隨機(jī)變量及分布列隨機(jī)變量及其分布概率是近幾年高考的熱點(diǎn)之一，主要考查隨機(jī)事件的概率、古典概型、幾何概型、隨機(jī)變量及其分布等知識(shí)，近幾年高考對(duì)概率的考查由單一型向知識(shí)交匯型轉(zhuǎn)化，且多為古典概型、隨機(jī)變量及其分布與莖葉圖、頻率分布直方圖、回歸分析、獨(dú)立性檢驗(yàn)等交匯考查．2021年新高考全國(guó)Ⅰ182020新課標(biāo)全國(guó)Ⅰ19★★★★古典概型與統(tǒng)計(jì)交匯考查2020課標(biāo)全國(guó)Ⅲ3★★隨機(jī)變量及其分布與統(tǒng)計(jì)交匯考查2021年新高考II212019課標(biāo)全國(guó)Ⅰ21★★★知識(shí)點(diǎn)1:隨機(jī)變量及其分布列1.離散型隨機(jī)變量與分布列1.隨機(jī)變量:一般地,對(duì)于隨機(jī)試驗(yàn)樣本空間中的每個(gè)樣本點(diǎn),都有唯一的實(shí)數(shù)與之對(duì)應(yīng),我們稱為隨機(jī)變量.離散型隨機(jī)變量:所有取值可以一一列出的隨機(jī)變量.2.離散型隨機(jī)變量分布列的概念及性質(zhì)概念:若離散型隨機(jī)變量可能取的不同值為取每一個(gè)值,n)的概率,以表格的形式表示如下:此表稱為離散型隨機(jī)變量的概率分布列,簡(jiǎn)稱為的分布列.有時(shí)也用等式,表示的分布列.(2)分布列的性質(zhì)①;②.知識(shí)點(diǎn)2離散型隨機(jī)變量的數(shù)字特征離散型隨機(jī)變量的均值一般地,若離散型隨機(jī)變量的分布列為:則稱為隨機(jī)變量的均值或數(shù)學(xué)期望.它反映了離散型隨機(jī)變量取值的平均水平.(1)E(X)是一個(gè)實(shí)數(shù),由X的分布列唯一確定,即作為隨機(jī)變量,X是可變的,可取不同值,而E(X)是不變的,它描述取值的平均狀態(tài).(2)E直接給出了的求法,即隨機(jī)變量取值與相應(yīng)概率分別相乘后相加.離散型隨機(jī)變量的方差一般地,若離散型隨機(jī)變量的分布列為:為這些偏離程度的加權(quán)平均,刻畫了隨機(jī)變量與其均值的平均偏離程度.稱為隨機(jī)變量的方差,并稱其算術(shù)平方根為隨機(jī)變量的標(biāo)準(zhǔn)差.特點(diǎn):隨機(jī)變量的方差與標(biāo)準(zhǔn)差都反映了隨機(jī)變量取值的穩(wěn)定與波動(dòng)、集中與離散的程度.D(X)越大,表明平均偏離程度越大,的取值越分散.反之,越小,的取值越集中在附近.3.常用結(jié)論若,其中a,b是常數(shù),是隨機(jī)變量,則(1),其中為常數(shù);(2);(3);(4);(5)若相互獨(dú)立,則.例題1．已知數(shù)據(jù)，，，…，的平均數(shù)為4，方差為2，則數(shù)據(jù)，，，…，的平均數(shù)與方差的和為（）A．6 B．15 C．19 D．22【答案】C【分析】由題，則，，所以.故選：C.例題2．設(shè)，隨機(jī)變量的分布01則當(dāng)在內(nèi)增大時(shí)，（）A．增大，增大 B．增大，減小C．減小，增大 D．減小，減小【答案】D【分析】因?yàn)榉植剂兄懈怕手蜑?，可得，∴，∴當(dāng)增大時(shí)，減小，又由，可知當(dāng)在內(nèi)增大時(shí)，減小.故選：D.例題3．甲乙兩人進(jìn)行乒乓球比賽，約定每局勝者得1分，負(fù)者得0分，比賽進(jìn)行到有一人比對(duì)方多2分或打滿6局時(shí)停止．設(shè)甲在每局中獲勝的概率為，乙在每局中獲勝的概率為，且各局勝負(fù)相互獨(dú)立，則比賽停止時(shí)已打局?jǐn)?shù)的期望為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】：依題意知，的所有可能值為2，4，6，設(shè)每?jī)删直荣悶橐惠?，則該輪結(jié)束時(shí)比賽停止的概率為．若該輪結(jié)束時(shí)比賽還將繼續(xù)，則甲、乙在該輪中必是各得一分，此時(shí)，該輪比賽結(jié)果對(duì)下輪比賽是否停止沒有影響．從而有，，為6時(shí)，即前兩輪比賽不分輸贏，繼續(xù)比第三輪，故．故選：B例題4．2021年國(guó)慶期間，某電器商場(chǎng)為了促銷，給出了兩種優(yōu)惠方案，顧客只能選擇其中的一種，方案一：每消費(fèi)滿8千元，可減8百元.方案二：消費(fèi)金額超過8千元（含8千元），可抽取小球三次，其規(guī)則是依次從裝有2個(gè)紅色小球?2個(gè)黃色小球的一號(hào)箱子，裝有2個(gè)紅色小球?2個(gè)黃色小球的二號(hào)箱子，裝有1個(gè)紅色小球?3個(gè)黃色小球的三號(hào)箱子各抽一個(gè)小球（這些小球除顏色外完全相同），其優(yōu)惠情況為：若抽出3個(gè)紅色小球則打6折；若抽出2個(gè)紅色小球則打7折；若抽出1個(gè)紅色小球則打8折；若沒有抽出紅色小球則不打折.（1）若有兩名顧客恰好消費(fèi)8千元，他們都選中第二方案，求至少有一名顧客比選擇方案一更優(yōu)惠的概率；（2）若你朋友在該商場(chǎng)消費(fèi)了1萬元，請(qǐng)用所學(xué)知識(shí)幫助你朋友分析一下應(yīng)選擇哪種付款方案.【答案】（1）（2）選擇方案二更劃算【分析】：根據(jù)題意得要使方案二比方案一優(yōu)惠，則需要抽出至少一個(gè)紅球，設(shè)沒有抽出紅色小球?yàn)槭录瑒t，所以所求概率；（2）：若選擇方案一，則需付款（元），若選擇方案二，設(shè)付款金額為元，則可取6000，7000，8000，10000，，，，，故的分布列為X60007000800010000P所以（元），因?yàn)?，所以選擇方案二更劃算.例題5．為落實(shí)立德樹人根本任務(wù)，堅(jiān)持五育并舉全面推進(jìn)素質(zhì)教育，某校舉行了乒乓球比賽，其中參加男子乒乓球決賽的10名隊(duì)員來自高一年級(jí)3人，高二年級(jí)3人，高三年級(jí)4人．本次決賽的比賽賽制采取單循環(huán)方式，即每名隊(duì)員進(jìn)行9場(chǎng)比賽（每場(chǎng)比賽都采取5局3勝制），最后根據(jù)積分選出最后的冠軍，亞軍和季軍．積分規(guī)則如下：每場(chǎng)比賽以3：0或3：1獲勝的隊(duì)員積3分，落敗的隊(duì)員積0分；而每場(chǎng)比賽以3：2獲勝的隊(duì)員積2分，落敗的隊(duì)員積1分．（1）已知冠亞軍來自同一年級(jí)的條件下，求冠亞軍來自高二年級(jí)的概率；（2）已知最后一場(chǎng)比賽的兩位選手是甲和乙，假設(shè)每局比賽甲獲勝的概率均為．記這場(chǎng)比賽甲所得積分為X，求X的概率分布及數(shù)學(xué)期望．【答案】（1）；（2）分布列見解析；期望為.【分析】（1）已知冠亞軍來自同一年級(jí)的條件下，冠亞軍來自高二年級(jí)的概率是（或）．（2）由題可知X的所有可能取值為3，2，1，0．；；；．∴X的概率分布為X3210P∴.考點(diǎn)二:二項(xiàng)分布1.獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)一般地,在相同條件下重復(fù)做的次試驗(yàn)稱為次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn).獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的條件:(1)每次試驗(yàn)在相同條件下可重復(fù)進(jìn)行;(2)各次試驗(yàn)是相互獨(dú)立的;(3)每次試驗(yàn)都只有兩種結(jié)果,即事件要么發(fā)生,要么不發(fā)生.2.二項(xiàng)分布一般地,在次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中,設(shè)事件發(fā)生的次數(shù)為,在每次試驗(yàn)中事件發(fā)生的概率為,則事件恰好發(fā)生次的概率為,則稱隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布,記作.注意:判斷一個(gè)隨機(jī)變量是否服從二項(xiàng)分布,要看兩點(diǎn):(1)是否為次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn);(2)隨機(jī)變量是否為某事件在這次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中發(fā)生的次數(shù).3.二項(xiàng)分布的期望與方差分布期望方差二項(xiàng)分布例題1．已知隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布，當(dāng)時(shí)，的最大值是（）．A． B． C． D．【答案】B【分析】：因?yàn)殡S機(jī)變量服從二項(xiàng)分布，所以，所以，，，，∴，故選：B．例題2．下列說法錯(cuò)誤的是（）A．用相關(guān)指數(shù)來刻畫回歸效果，越小說明擬合效果越好B．已知隨機(jī)變量，若，則C．某人每次投籃的命中率為，現(xiàn)投籃5次，設(shè)投中次數(shù)為隨機(jī)變量．則D．對(duì)于獨(dú)立性檢驗(yàn)，隨機(jī)變量的觀測(cè)值值越小，判定“兩分類變量有關(guān)系”犯錯(cuò)誤的概率越大【答案】A【分析】對(duì)于A選項(xiàng)，相關(guān)指數(shù)越大，說明殘差平方和越小，則模型擬合效果越好，故A錯(cuò)；對(duì)于B選項(xiàng)，正態(tài)分布圖像關(guān)于對(duì)稱，因?yàn)楦怕蕿?，所以概率為，故的概率為，故B正確；對(duì)于C選項(xiàng)，服從二項(xiàng)分布，因此，則，故C正確；對(duì)于D選項(xiàng)，對(duì)于分類變量進(jìn)行獨(dú)立性檢驗(yàn)時(shí)，隨機(jī)變量的觀測(cè)值越小，則分類變量間越有關(guān)系的可信度越小，故判定兩分類變量約有關(guān)系發(fā)錯(cuò)誤的概率越大，故D正確．故選:A例題3．某批零件的尺寸X服從正態(tài)分布，且滿足，零件的尺寸與10的誤差不超過1即合格，從這批產(chǎn)品中抽取n件，若要保證抽取的合格零件不少于2件的概率不低于，則n的最小值為（）A．7 B．6 C．5 D．4【答案】C【分析】服從正態(tài)分布，且，，即每個(gè)零件合格的概率為合格零件不少于2件的對(duì)立事件是合格零件個(gè)數(shù)為零個(gè)或一個(gè)．合格零件個(gè)數(shù)為零個(gè)或一個(gè)的概率為，由，得，令，，單調(diào)遞減，又，，不等式的解集為的最小值為故選：C.例題4．、是治療同一種疾病的兩種新藥，某研發(fā)公司用若干試驗(yàn)組進(jìn)行對(duì)比試驗(yàn)．每個(gè)試驗(yàn)組由只小白鼠組成，其中只服用，另只服用，然后觀察療效．若在一個(gè)試驗(yàn)組中，服用有效的小白鼠的只數(shù)比服用有效的多，就稱該試驗(yàn)組為優(yōu)類組．設(shè)每只小白鼠服用有效的概率為，服用有效的概率為．（1）求一個(gè)試驗(yàn)組為優(yōu)類組的概率；（2）觀察個(gè)試驗(yàn)組，用表示這個(gè)試驗(yàn)組中優(yōu)類組的個(gè)數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望．【答案】（1）（2）分布列見解析，期望為【分析】（1）：設(shè)表示事件“一個(gè)試驗(yàn)組中，服用有效的小白鼠有只”，其中、、，表示事件“一個(gè)試驗(yàn)組中，服用有效的小白鼠有只”，其中、、，依題意有：，，．，，，則一個(gè)試驗(yàn)組為優(yōu)類組的概率為：．（2）：由題意可知，，，，，則的分布列為：P的期望為．例題5．“雙踐”政策實(shí)施以來，各地紛紛推行課后服務(wù)“5+2"模式，即學(xué)校每周周一至周五5天都要面向所有學(xué)生提供課后服務(wù)，每天至少2小時(shí)．某學(xué)校的課后服務(wù)有學(xué)業(yè)輔導(dǎo)體育鍛煉、實(shí)踐能力創(chuàng)新培養(yǎng)三大類別，為了解該校學(xué)生上個(gè)月參加課后服務(wù)的情況，該校從全校學(xué)生中隨機(jī)抽取了100人作為樣本．發(fā)現(xiàn)樣本中未參加任何課后服務(wù)的有14人，樣本中僅參加某一類課后服務(wù)的學(xué)生分布情況如下：每周參加活動(dòng)天數(shù)課后服務(wù)活動(dòng)1天2~4天5天僅參加學(xué)業(yè)輔導(dǎo)10人11人4人僅參加體育鍛煉5人12人1人僅參加實(shí)踐能力創(chuàng)新培養(yǎng)3人12人1人（1）從全校學(xué)生中隨機(jī)抽取1人．估計(jì)該學(xué)生上個(gè)月至少參加了兩類課后服務(wù)活動(dòng)的概率；（2）從全校學(xué)生中隨機(jī)抽取3人．以頻率估計(jì)概率，以X表示這3人中上個(gè)月僅參加學(xué)業(yè)輔導(dǎo)的人數(shù)．求X的分布列和數(shù)學(xué)期望；（3）老樣本中上個(gè)月未參加任何課后服務(wù)的學(xué)生有人在本月選擇僅參加學(xué)業(yè)輔導(dǎo)．樣本中其他學(xué)生參加課后服務(wù)的情況在本月沒有變化．從全校學(xué)生中隨機(jī)抽取3人．以頻率估計(jì)概率，以X表示這3人中上個(gè)月僅參加學(xué)業(yè)輔導(dǎo)的人數(shù)，以Y表示這3人中本月僅參加學(xué)業(yè)輔導(dǎo)的人數(shù)．試判斷方差、的大小關(guān)系（結(jié)論不要求證明）．【答案】（1）（2）分布列祥見解析、數(shù)學(xué)期望（3）【分析】（1）由題意得，樣本中僅參加某一類課后服務(wù)的學(xué)生共有（人）又樣本中未參加任何課后服務(wù)的有14人，故樣本中上個(gè)月至少參加了兩類課后服務(wù)活動(dòng)的學(xué)生共有（人）則從全校學(xué)生中隨機(jī)抽取1人，該學(xué)生上個(gè)月至少參加了兩類課后服務(wù)活動(dòng)的頻率為由此，可估計(jì)該學(xué)生上個(gè)月至少參加了兩類課后服務(wù)活動(dòng)的概率（2）樣本中，上個(gè)月僅參加學(xué)業(yè)輔導(dǎo)的有（人），對(duì)應(yīng)頻率為0.25以頻率估計(jì)概率，從全校學(xué)生中隨機(jī)抽取1人，上個(gè)月僅參加學(xué)業(yè)輔導(dǎo)的概率為0.25，X的可能取值為0，1，2，3，X的分布列為X0123PX的數(shù)學(xué)期望（3）由題意可知隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布，故.又知：上個(gè)月未參加任何課后服務(wù)的學(xué)生有人在本月選擇僅參加學(xué)業(yè)輔導(dǎo)（樣本中其他學(xué)生參加課后服務(wù)的情況在本月沒有變化．），則本月從全校學(xué)生中隨機(jī)抽取1人僅參加學(xué)業(yè)輔導(dǎo)的概率估計(jì)為P，且.以Y表示這3人中本月僅參加學(xué)業(yè)輔導(dǎo)的人數(shù)，由題意可知隨機(jī)變量Y服從二項(xiàng)分布，故,.例題6．新疆棉以絨長(zhǎng)?品質(zhì)好?產(chǎn)量高著稱于世.現(xiàn)有兩類以新疆長(zhǎng)絨棉為主要原材料的均碼服裝，A類服裝為純棉服飾，成本價(jià)為120元/件，總量中有30%將按照原價(jià)200元/件的價(jià)格銷售給非會(huì)員顧客，有50%將按照8.5折的價(jià)格銷售給會(huì)員顧客.B類服裝為全棉服飾，成本價(jià)為160元/件，總量中有20%將按照原價(jià)300元/件的價(jià)格銷售給非會(huì)員顧客，有40%將按照8.5折的價(jià)格銷售給會(huì)員顧客.這兩類服裝剩余部分將會(huì)在換季促銷時(shí)按照原價(jià)6折的價(jià)格銷售給顧客，并能全部售完.（1）通過計(jì)算比較這兩類服裝單件收益的期望（收益=售價(jià)成本）；（2）某服裝專賣店店慶當(dāng)天，全場(chǎng)A，B兩類服裝均以會(huì)員價(jià)銷售.假設(shè)每位來店購(gòu)買A，B兩類服裝的顧客只選其中一類購(gòu)買，每位顧客限購(gòu)1件，且購(gòu)買了服裝的顧客中購(gòu)買A類服裝的概率為.已知該店店慶當(dāng)天這兩類服裝共售出5件，設(shè)X為該店當(dāng)天所售服裝中B類服裝的件數(shù)，Y為當(dāng)天銷售這兩類服裝帶來的總收益.求當(dāng)時(shí)，n可取的最大值及Y的期望E（Y）.【答案】（1）B類服裝單件收益的期望更高（2）n可取的最大值為3，（元）【分析】（1）設(shè)A類服裝?B類服裝的單件收益分別為X1元，X2元，則，，，故B類服裝單件收益的期望更高；（2）由題意可知，，，，，，.因?yàn)?，，所以?dāng)時(shí)，n可取的最大值為3.（元），因?yàn)?，所以（元?考點(diǎn)三:超幾何分布1.定義一般地,假設(shè)一批產(chǎn)品共有件,其中有件次品.從件產(chǎn)品中隨機(jī)抽取件(不放回),用表示抽取的件產(chǎn)品中的次品數(shù),則的分布列為.其中.如果隨機(jī)變量的分布列具有上式的形式,那么稱隨機(jī)變量服從超幾何分布.若隨機(jī)變量服從超幾何分布,則其均值2.超幾何分布的分布列01m例題1．下列隨機(jī)事件中的隨機(jī)變量服從超幾何分布的是（）A．將一枚硬幣連拋3次，記正面向上的次數(shù)為B．從7男3女共10名學(xué)生干部中隨機(jī)選出5名學(xué)生干部，記選出女生的人數(shù)為C．某射手的射擊命中率為0.8，現(xiàn)對(duì)目標(biāo)射擊1次，記命中的次數(shù)為D．盒中有4個(gè)白球和3個(gè)黑球，每次從中摸出1個(gè)球且不放回，記第一次摸出黑球時(shí)摸取的次數(shù)為【答案】B【分析】：由超幾何分布的定義可判斷，只有B中的隨機(jī)變量服從超幾何分布.故選：B.例題2．新冠肺炎疫情期間，某公司采用網(wǎng)絡(luò)遠(yuǎn)程面試招聘新員工，其面試方案為：應(yīng)聘者從6道備選題中一次性隨機(jī)抽取3道題，按照題目要求獨(dú)立完成．規(guī)定：至少正確完成其中2道題的應(yīng)聘者才可通過面試．已知應(yīng)聘者小王在6道備選題中有4道題能正確完成，2道題不能完成，則小王正確完成面試題數(shù)的均值為()A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】設(shè)小王正確完成的面試題數(shù)為，則的可能取值為1，2，3．；；．∴．故選：B．另解：設(shè)小王正確完成的面試題數(shù)為，則，∴．故選：B．例題3．中國(guó)的景觀旅游資源相當(dāng)豐富，5A級(jí)為中國(guó)旅游景區(qū)最高等級(jí)，代表著中國(guó)世界級(jí)精品的旅游風(fēng)景區(qū)等級(jí)．某地7個(gè)旅游景區(qū)中有3個(gè)景區(qū)是5A級(jí)景區(qū)，現(xiàn)從中任意選3個(gè)景區(qū)，下列事件中概率等于的是（）A．至少有1個(gè)5A級(jí)景區(qū) B．有1個(gè)或2個(gè)5A級(jí)景區(qū)C．有2個(gè)或3個(gè)5A級(jí)景區(qū) D．恰有2個(gè)5A級(jí)景區(qū)【答案】B【分析】用X表示這3個(gè)旅游景區(qū)中5A級(jí)景區(qū)的個(gè)數(shù)，則X服從超幾何分布，且，，，，所以，即有1個(gè)或2個(gè)5A級(jí)景區(qū)的概率為．故選：B．例題4．在“十三五”期間，我國(guó)的扶貧工作進(jìn)入了“精準(zhǔn)扶貧”階段，到2020年底，全國(guó)830個(gè)貧困縣全部脫貧摘帽，最后4335萬貧困人口全部脫貧，這是我國(guó)脫貧攻堅(jiān)史上的一大壯舉．重慶市奉節(jié)縣作為國(guó)家貧困縣之一，于2019年4月順利脫貧摘帽，因地制宜發(fā)展特色產(chǎn)業(yè)，是奉節(jié)脫貧攻堅(jiān)的重要抓手．奉節(jié)縣規(guī)劃發(fā)展了以高山煙葉、藥材、反季節(jié)蔬菜；中山油橄欖、養(yǎng)殖；低山臍橙等為主的產(chǎn)業(yè)格局，各類特色農(nóng)產(chǎn)品已經(jīng)成為了當(dāng)?shù)卮迕竦膿u錢樹．尤其是奉節(jié)臍橙，因“果皮中厚、脆而易剝，肉質(zhì)細(xì)嫩化渣、無核少絡(luò)，酸甜適度，汁多爽口，余味清香”而聞名．為了防止返貧，鞏固脫貧攻堅(jiān)成果，各職能部門對(duì)臍橙種植、銷售、運(yùn)輸、改良等各方面給予大力支持．奉節(jié)縣種植的某品種臍橙果實(shí)按果徑X（單位：mm）的大小分級(jí)，其中為一級(jí)果，為特級(jí)果，一級(jí)果與特級(jí)果統(tǒng)稱為優(yōu)品．現(xiàn)采摘了一大批此品種臍橙果實(shí)，從中隨機(jī)抽取1000個(gè)測(cè)量果徑，得到頻率分布直方圖如下：（1）由頻率分布直方圖可認(rèn)為，該品種臍橙果實(shí)的果徑X服從正態(tài)分布，其中μ近似為樣本平均數(shù)，近似為樣本標(biāo)準(zhǔn)差s，已知樣本的方差的近似值為100．若從這批臍橙果實(shí)中任取一個(gè)，求取到的果實(shí)為優(yōu)品的概率（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代表）（2）這批采摘的臍橙按2個(gè)特級(jí)果和n（，且）個(gè)一級(jí)果為一箱的規(guī)格進(jìn)行包裝，再經(jīng)過質(zhì)檢方可進(jìn)入市場(chǎng)．質(zhì)檢員質(zhì)檢時(shí)從每箱中隨機(jī)取出兩個(gè)果實(shí)進(jìn)行檢驗(yàn)，若取到的兩個(gè)果實(shí)等級(jí)相同，則該箱臍橙記為“同”，否則該箱臍橙記為“異”．①試用含n的代數(shù)式表示抽檢的某箱臍橙被記為“異”的概率p；②設(shè)抽檢的5箱臍橙中恰有3箱被記為“異”的概率為，求函數(shù)的最大值，及取最大值時(shí)n的值．參考數(shù)據(jù)：若隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布，則，，．【答案】（1）（2）①；②；【分析】（1）由分布圖：則，在內(nèi)為優(yōu)品則（2）①②，且，因?yàn)?，且，由?duì)勾函數(shù)知識(shí)可知：在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，所以，因?yàn)?，且?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，∴最大值在時(shí)取得，可求得或，因?yàn)?，所以，求得例題5．為了弘揚(yáng)中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化，加強(qiáng)對(duì)學(xué)生的美育教育，某校開展了為期5天的傳統(tǒng)藝術(shù)活動(dòng)，從第1天至第5天依次開展“書畫”、“古琴”、“漢服”、“戲曲”、“面塑”共5項(xiàng)傳統(tǒng)藝術(shù)活動(dòng)，每名學(xué)生至少選擇其中一項(xiàng)進(jìn)行體驗(yàn)．為了解該校上述活動(dòng)的開展情況，現(xiàn)從高一、高二、高三學(xué)生中各隨機(jī)選取了100名學(xué)生作為樣本進(jìn)行調(diào)查，調(diào)查數(shù)據(jù)如下表：傳統(tǒng)藝術(shù)活動(dòng)第1天第2天第3天第4天第5天書畫古琴漢服戲曲面塑高一體驗(yàn)人數(shù)8045552045高二體驗(yàn)人數(shù)4060608040高三體驗(yàn)人數(shù)1550407530（1）從樣本中隨機(jī)選取1名學(xué)生，求這名學(xué)生體驗(yàn)戲曲活動(dòng)的概率；（2）通過樣本估計(jì)該校全體學(xué)生選擇傳統(tǒng)藝術(shù)活動(dòng)的情況，現(xiàn)隨機(jī)選擇3項(xiàng)傳統(tǒng)藝術(shù)活動(dòng)，設(shè)選擇的3項(xiàng)活動(dòng)中體驗(yàn)人數(shù)超過該校學(xué)生人數(shù)50%的有項(xiàng)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；（3）為了解不同年級(jí)學(xué)生對(duì)各項(xiàng)傳統(tǒng)藝術(shù)活動(dòng)的喜愛程度，現(xiàn)從高一、高二、高三樣本中各隨機(jī)選取1名學(xué)生進(jìn)行訪談．設(shè)這3名學(xué)生均選擇了第天傳統(tǒng)藝術(shù)活動(dòng)的概率為，寫出的大小關(guān)系．【答案】（1）（2）分布列見解析；期望為（3）【分析】（1）由題意知，樣本中學(xué)生共有100+100+100=300人，其中體驗(yàn)戲曲活動(dòng)的學(xué)生共20+80+75=175人，設(shè)事件A為“從樣本學(xué)生中隨機(jī)選取1名學(xué)生，這名學(xué)生體驗(yàn)戲曲活動(dòng)”，故所求概率為；（2）由題意知，體驗(yàn)人數(shù)超過該校學(xué)生人數(shù)50%的傳統(tǒng)藝術(shù)活動(dòng)有古琴、漢服、戲曲3項(xiàng)，的所有可能值為1，2，3，，，，所以的分布列為：123故的數(shù)學(xué)期望；（3）由題可知，，，，，，故．考點(diǎn)四分布列的綜合應(yīng)用例題1．某市有四個(gè)景點(diǎn)，一位游客來該市游覽，已知該游客游覽的概率為，游覽和的概率都是，且該游客是否游覽這四個(gè)景點(diǎn)相互獨(dú)立．用隨機(jī)變量表示該游客游覽的景點(diǎn)的個(gè)數(shù)，則下列判斷不正確的是（）A．游客至多游覽一個(gè)景點(diǎn)的概率是 B．C． D．【答案】A【分析】記該游客游覽個(gè)景點(diǎn)為事件，，則，，所以游客至多游覽一個(gè)景點(diǎn)的概率為，故A錯(cuò)誤；隨機(jī)變量的可能取值為，，，故B正確；，，故C正確；數(shù)學(xué)期望為：，故D正確，故選：A例題2．交通信號(hào)燈中的紅燈與綠燈交替出現(xiàn).某汽車司機(jī)在某一線路的行駛過程要經(jīng)過兩段路，若已知路段共要過個(gè)交通崗，且經(jīng)過交通崗時(shí)遇到紅燈或綠燈是相互獨(dú)立的，每次遇到紅燈的概率為，遇到綠燈的概率為，在路段的行駛過程中，首個(gè)交通崗遇到紅燈的概率為，且上一交通崗遇到紅燈，則下一交通崗遇到紅燈的概率為，遇到綠燈的概率為；若上一交通崗遇到綠燈，則下一交通崗遇到紅燈的概率為，遇到綠燈的概率為，記段線路中第個(gè)交通崗遇到紅燈的概率為.（1）求該司機(jī)在路段的行駛過程中遇到紅燈次數(shù)的分布列與期望；（2）①求該司機(jī)在路段行駛過程中第個(gè)交通崗遇到紅燈的概率的通項(xiàng)公式；②試判斷在最后離開路段時(shí)的最后一個(gè)交通崗遇到紅燈的概率大于，還是小于，請(qǐng)用數(shù)據(jù)說明.【答案】（1）分布列見解析，（2）①；②小于，理由見解析【分析】（1）由題可知X的取值可能為且易知，且，所以所以的分布列為1234；（2）①由題可知，即又因?yàn)?，所以，所以是首?xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，所以，即；②由①可知，，所以最后一個(gè)交通崗遇到紅燈的概率小于.例題3．元旦將至，學(xué)校文學(xué)社擬舉辦“品詩詞雅韻，看俊采星馳”的古詩詞挑戰(zhàn)賽初賽階段有個(gè)人晉級(jí)賽和團(tuán)體對(duì)決賽．個(gè)人晉級(jí)賽為“信息連線”題每位參賽者只有一次挑戰(zhàn)機(jī)會(huì)比賽規(guī)則為：電腦隨機(jī)紿出錯(cuò)亂排列的五句古詩詞和五條相關(guān)的詩詞背景（如詩詞題名、詩詞作者等），要求參賽者將它們一一配對(duì)，有三對(duì)或三對(duì)以上配對(duì)正確即可晉級(jí)．團(tuán)體對(duì)決賽為“詩詞問答”題，為了比賽的廣泛性，要求以班級(jí)為單位，各班級(jí)團(tuán)隊(duì)的參賽人數(shù)不少于30人，且參賽人數(shù)為偶數(shù)為了避免答題先后的干擾，當(dāng)一個(gè)班級(jí)團(tuán)隊(duì)全體參賽者都答題完畢后，電腦會(huì)依次顯示各人的答題是否正確并按比賽規(guī)則裁定該班級(jí)團(tuán)隊(duì)是否挑戰(zhàn)成功，參賽方式有如下兩種各班可自主選擇其中之一參賽．方式一：將班級(jí)團(tuán)隊(duì)選派的個(gè)人平均分成n組，每組2人電腦隨機(jī)分配給同一組兩個(gè)人一道相同試題，兩人同時(shí)獨(dú)立答題，若這兩人中至少有一人回答正確，則該小組闖關(guān)成功．若這n個(gè)小組都闖關(guān)成功，則該班級(jí)團(tuán)隊(duì)挑戰(zhàn)成功．方式二：將班級(jí)團(tuán)隊(duì)選派的個(gè)人平均分成2組，每組n人電腦隨機(jī)分配給同一組n個(gè)人一道相同試題，各人同時(shí)獨(dú)立答題，若這n個(gè)人都回答正確，則該小組闖關(guān)成功．若這2個(gè)小組至少有一個(gè)小組闖關(guān)成功則該班級(jí)團(tuán)隊(duì)挑戰(zhàn)成功．（1）甲同學(xué)參加個(gè)人晉級(jí)賽，他對(duì)電腦給出的五組信息有且只有一組能正確配對(duì)，其余四組都只能隨機(jī)配對(duì)，求甲同學(xué)能晉級(jí)的概率；（2）在團(tuán)體對(duì)決賽中，假設(shè)你班每位參賽同學(xué)對(duì)給出的試題回答正確的概率均為常數(shù)，為使本班團(tuán)隊(duì)挑戰(zhàn)成功的可能性更大，應(yīng)選擇哪種參賽方式？說明你的理由．【答案】（1）（2）方式一參賽，理由見解析【分析】（1）設(shè)甲同學(xué)正確配對(duì)3對(duì)為事件A，正確配對(duì)5對(duì)為事件B，甲同學(xué)能晉級(jí)為事件C，則，且A，B互斥．因?yàn)榧淄瑢W(xué)只有一組能正確配對(duì)，其余四組都隨機(jī)配對(duì)，則，．從而，所以甲同學(xué)能晉級(jí)的概率為．（2）設(shè)選擇方式一、二的班級(jí)團(tuán)隊(duì)挑戰(zhàn)成功的概率分別為．當(dāng)選擇方式一時(shí)，因?yàn)閮扇硕蓟卮疱e(cuò)誤的概率為，則兩人中至少有一人回答正確的概率為，所以．當(dāng)選擇方式二時(shí)，因?yàn)橐粋€(gè)小組闖關(guān)成功的概率為，則一個(gè)小組闖關(guān)不成功的概率為，所以．所以．設(shè)，則．因?yàn)?，則，從而，所以，即，所以單調(diào)遞增．因?yàn)?，而，所以，從而，即，所以為使本班挑?zhàn)