質點動力學第二章

質點動力學第二章教學基本要求

一掌握牛頓定律的基本內容及其適用條件.

二熟練掌握用隔離體法分析物體的受力情況,能用微積分方法求解變力作用下的簡單質點動力學問題.

四

理解動量、沖量概念,掌握動量定理和動量守恒定律.

五

掌握功的概念,能計算變力的功,理解保守力作功的特點及勢能的概念,會計算萬有引力、重力和彈性力的勢能.

六

掌握動能定理、功能原理和機械能守恒定律,掌握運用守恒定律分析問題的思想和方法.第2頁,共35頁，2024年2月25日，星期天

21牛頓定律第二章牛頓定律一牛頓第一定律任何物體都要保持其靜止或勻速直線運動狀態(tài),直到外力迫使它改變運動狀態(tài)為止.慣性:物體都具有保持其運動狀態(tài)不變的性質,物體慣性的大小反映了物體改變運動的難易程度.力:使物體運動狀態(tài)發(fā)生變化的原因二牛頓第二定律動量為的物體,在合外力的作用下,其動量隨時間的變化率等于作用于物體的合外力,即物體運動速度遠小于光速c:第3頁,共35頁，2024年2月25日，星期天或(1)只適用于質點的運動(2)合外力與加速度之間的關系是瞬時關系(3)在直角坐標系中:(4)質點在平面上作曲線運動,在自然坐標系中:Aa三牛頓第三定律兩個物體之間的作用力和反作用力,沿同一直線,大小相等,方向相反,分別作用在兩個物體上.第4頁,共35頁，2024年2月25日，星期天(1)作用力和反作用力同時產生,同時存在,同時消失.(2)作用力和反作用力分別作用在兩個物體上.(3)作用力和反作用力總是屬于同種性質的力.2–2物理量的單位和量綱(高中，自己復習)2--3幾種常見的力(高中，自己復習)2–4慣性參考系火車奇怪?第5頁,共35頁，2024年2月25日，星期天問題出在：在非慣性系中用了牛頓第二定律(1)適用牛頓運動定律的參考系叫做慣性參考系,簡稱慣性系；反之,叫做非慣性系.(2)相對于慣性系作勻速直線運動的參考系都是慣性系.火車沒問題！第6頁,共35頁，2024年2月25日，星期天應用牛頓定律求解質點運動方程的步驟:(1)認真分析題意,根據題意作一簡圖,把所有物理量標出.(2)正確選定對象,使用分割物體法.(3)受力分析,先找重力,再在其他物體與隔離體接觸的地方去找隔離體所受的張力、壓力和摩擦力,并把這些力按方向標在隔離圖上,不要虛構出力來(追問施力者是誰)(4)分析物體運動情況(是靜止的還是運動的)(5)寫出每一個隔離體的牛頓運動方程(矢量的),一般取加速度方向為坐標軸正向(坐標系不能建在加速運動物體上),寫出分量式.當方程式數(shù)少于末知量數(shù),加速度變換關系式可作為輔助方程.(6)解方程.先用符號計算,最后代入數(shù)字,以便于檢查.所以,在考慮了慣性系后,牛頓第二定律應理解為第7頁,共35頁，2024年2月25日，星期天牛頓第二定律應用舉例:例1:一輛質量m=4kg的雪撬,沿著與水平面夾角θ=36.90的斜坡向下滑動,所受空氣阻力與速度成正比,比例系數(shù)k未知.今測得雪撬運動的v～t關系如圖曲線所示.曲線與v軸交點處的切線通過B點,隨著t的增加,v趨近于10m/s.求阻力系數(shù)k及雪橇與斜坡間的滑動摩擦系數(shù)μ(sin36.90=0.6,cos36.90=0.8).0t(s)v(m/s)24651015B(4,14.8)解:畫受力圖mgf1f2θaN寫出直角坐標系下運動方程的分量式mgsinθ-μmgcosθ-kv=mat=0時,v0=5,a0=(14.8-5)/4=2.45時,v=10,a=0.代入上式得k=ma0/(v-v0)=1.96N.s/mμ=(mgsinθ-kv)/mgcosθ=0.125所以a表示的是v～t曲線上切線的斜率第8頁,共35頁，2024年2月25日，星期天例2:一細繩跨過光滑的定滑輪，一端掛M，另一端被人用雙手拉著，人的質量m=M/2，若人相對于繩以加速度a0向上爬，則人相對于地的加速度（向上為正）是：

（2a0+g)/3解:畫受力圖mgTMgTa0aMam對每一隔離體寫出牛頓運動方程M:T-Mg=MaMm:T-mg=mam末知量T、aM和am共三個,多于方程數(shù)由加速度變換式am=a0-aM聯(lián)解上面二式得am=g+2aM

am=(2a0+g)/3最后解得a繩地=aM方向如圖所示.a繩地所以分量式為第9頁,共35頁，2024年2月25日，星期天例3、一光滑的劈，質量為M，斜面傾角為

，并位于光滑的水平面上，另一質量為m的小塊物體，沿劈的斜面無摩擦地滑下，

求劈對地的加速度。解：研究對象：m、M設M對地的加速度

受力分析：如圖m

對M的加速度m

對地的加速度因此第10頁,共35頁，2024年2月25日，星期天

運動方程：對m：對M：以地為參照系，建立坐標如圖矢量式:聯(lián)解后得:第11頁,共35頁，2024年2月25日，星期天例4：一質量為m的物體，以v0

的初速度沿與水平方向成

角的方向拋出，空氣的阻力與物體的動量成正比，比例系數(shù)為k，求物體的運動軌跡。解：建立坐標系如圖研究對象“m”受力：運動方程：運動方程的分量式：第12頁,共35頁，2024年2月25日，星期天由（2）第13頁,共35頁，2024年2月25日，星期天不是拋物線！第14頁,共35頁，2024年2月25日，星期天第三章動量守恒定律和能量守恒定律3–1質點和質點系的動量定理一沖量質點的動量定理由牛頓第二定律積分得：物體所受合外力的沖量,等于物體動量的增量—質點的動量定理

2.沖量是矢量,其方向為:1)

恒力的沖量與該力的方向一致.2)

合外力的沖量的方向與物體動量增量的方向相同.1.沖量是力對時間的累積效應.其中力不一定是合外力,但在動量定理中一定是合外力.定義:為力的沖量因此第15頁,共35頁，2024年2月25日，星期天.直角坐標系下分量式二質點系的動量定理將兩式相加,得第16頁,共35頁，2024年2月25日，星期天推廣到由n個質點組成的系統(tǒng)合外力合內力總動量內力總是成對出現(xiàn),且大小相等,方向相反,其矢量和必為零.因此,或作用于系統(tǒng)的合外力的沖量等于系統(tǒng)動量的增量.質點系的動量定理對于無限小的時間間隔或第17頁,共35頁，2024年2月25日，星期天3–2動量守恒定律=恒矢量,即動量守恒定律在直角坐標系中的分量式可表示為：*系統(tǒng)根本不受外力或合外力為零注意（1）

動量守恒定律成立的條件：（2）系統(tǒng)在某一方向所受合外力為零，系統(tǒng)在該方向動量守恒。（總動量不一定守恒）第18頁,共35頁，2024年2月25日，星期天（3）系統(tǒng)的總動量不變是指系統(tǒng)內各物體動量的矢量和不變，而不是指其中某一個物體的動量不變。（4）在實際應用中，有時系統(tǒng)所受的合外力雖不為零，但與系統(tǒng)的內力相比較，外力遠小于內力，這時可略去外力對系統(tǒng)的作用，認為系統(tǒng)的動量的是守恒的。像碰撞、打擊、爆炸等問題中，重力、空氣阻力以及彈簧的彈性力都可略去不計。（5）動量定理和動量守恒定律只在慣性系中才成立，而且各物體的動量必須都應相對于同一慣性系。（6）動量守恒定律是物理學最基本、最普遍的定理之一。它在宏觀和微觀領域中都適用。第19頁,共35頁，2024年2月25日，星期天例5、一吊車底板上放一質量為10kg的物體，若吊車底板加速上升，加速度大小為a=3+5t（SI），則開始2秒內吊車底板給物體的沖量大小I=

，開始2秒內，物體動量增量的大小

P=

aNmg解:根據質點的動量定理第20頁,共35頁，2024年2月25日，星期天例6:如圖所示,有m千克的水以初速度進入彎管,經t秒后流出時的速度為,且v1=v2=v,在管子轉彎處,水對管壁的平均沖力大小是

,方向

.(管內水受到的重力不考慮)300300A解:根據題意,設管壁對水的平均沖力為,它是水對管壁平均沖力的反作用力.根據動量原理分量式為x:Fxt=mvcos300–mvcos300=0y:Fyt=mvsin300–mv(-sin300)=mvxymv/t垂直向下例7:一質量均勻分布的柔軟細繩鉛直地懸掛著,繩的下端剛好觸到水平桌面上.如果把細繩上端放開,繩將落到桌面上.試證明,在繩下落的過程中,任意時刻作用于桌面的壓力,等于己落到桌面上的繩重量的三倍.第21頁,共35頁，2024年2月25日，星期天證:取如圖所示坐標.設在時刻t已有x長的柔繩落至桌面,此時質點系(柔繩)的總動量為mv[其中m=λ(L-x)].根據質點系動量原理的微分形式Lxx0代入(1)式得(1)正是已落到桌面上的繩重量,證畢.而第22頁,共35頁，2024年2月25日，星期天例8:

如圖,礦砂從傳送帶A落到另一傳送帶B,已知v1=4m/s,v2=2m/s.若傳送帶的運送量qm=2000kg/h,求礦砂作用在傳送帶B上的力的大小和方向(不計相對傳送帶靜止的礦砂).v1v2300150BA解:研究對象:時間內落到B上的礦砂根據質點的動量定理的微分形式,150300由牛頓第三定律,所求力的大小為2.21N,方向偏離豎直方向10向右上.第23頁,共35頁，2024年2月25日，星期天

力對質點所作的功是:力在質點位移方向的分量與位移大小的乘積.恒力的功變力的功：3–4動能定理一功在線元上變力對質點所作的元功為

變力將質點由a移動到b,所作的總功1.

在直角坐標系中此式為變力作功的一般表達式.第24頁,共35頁，2024年2月25日，星期天,2.若有幾個力同時作用在質點上,合力即合力對質點所作的功,等于各分力所作的功的代數(shù)和3.功率第25頁,共35頁，2024年2月25日，星期天二.質點的動能定理abFdr質點的動能,用Ek表示,則上式為合外力對質點所作的功,等于質點動能的增量.10功是能量變化的量度,動能是質點具有作功的本領.30動能定理只適用于慣性系.

將稱作20功是力對空間的累積效應,其中的力不一定是合外力,

但動能定理中一定是合外力的功.第26頁,共35頁，2024年2月25日，星期天3–5保守力與非保守力勢能一萬有引力、重力、彈性力作功的特點1.萬有引力作功萬有引力作的功只取決于質點m的起始和終點的位置,而與所經過的路徑無關.第27頁,共35頁，2024年2月25日，星期天2.重力作功重力作的功只取決于質點m的起始和終點的位置,而與所經過的路徑無關.3.彈性力作功彈性力作的功只取決于質點m的起始和終點的位置,而與所經過的路徑無關.第28頁,共35頁，2024年2月25日，星期天二保守力與非保守力保守力作功的數(shù)學表達式1.保守力作功的特點:保守力作功只與物體的始、末位置有關,與路徑無關.如重力、彈性力和萬有引力等.2.保守力作功的數(shù)學表達式保守力將質點由a沿任意路徑移動到b再由b沿任意路徑移回到a點,3.作功與路徑有關的力叫做非保守力.如摩擦力等.三勢能由于保守力作功只與物體的始、末位置有關,為此,引入勢能概念.把與物體位置有關的能量稱作物體的勢能.重力勢能引力勢能彈性勢能保守力對物體作的功等于物體勢能增量的負值.第29頁,共35頁，2024年2月25日，星期天討論:(1)勢能的相對性,勢能的值與勢能零點的選取有關.勢能零點可以任意選取,但在上述勢能的表達式中,引力勢能的零點在無限遠處,彈性勢能的零點取在彈簧原長時物體的位置.注意:任意兩點的勢能差具有絕對性.(2)當勢能的零點確定后(例如在b點),質點在任一位置(設為a點)的勢能,等于把質點由該位置移到勢能為零的參考點的過程中保守力所作的功.因為(3)勢能是屬于系統(tǒng)的.例如,重力勢能是屬于地球和物體組成的系統(tǒng)的,常說物體的重力勢能只是為敘述上的方便.3–6功能原理機械能守恒定律一質點系的動能定理設一系統(tǒng)內有n個質點,作用于各質點的力所作的功分別為W1,W2…,使各質點由初動能Ek10,Ek20…變?yōu)槟﹦幽蹺k1,Ek2…,由質點的動能定理可得第30頁,共35頁，2024年2月25日，星期天W1=Ek1-Ek10W2=Ek2-Ek20………………將各式相加得W外+W內系統(tǒng)動能即質點系的動能的增量等于作用于質點系的外力的功與內力的功之和-----質點系的動能定理二質點系的功能原理W內=W保內+W非保內動能和勢能統(tǒng)稱機械能初機械能:末機械能:W外+W內W保內W外+W非保內第31頁,共35頁，2024年2月25日，星期天質點系的機械能的增量等于外力與非保守內力作功之和.

質點系的功能原理:W外+W非保內=E–E0三機械能守恒定律則有當作用于質點系的外力和非保守內力不作功時,質點系的總機械能保持不變.-----機械能守恒定律(1)質點系機械能守恒條件:(2)機械能守恒是指質點系內的動能和勢能之和保持不變,但動能和勢能之間可以相互轉換,這種轉換是通過作功來完成的.若W外+W非保內=0W外+W非保內=0第32頁,共35頁，2024年2月25