浙江省臺(tái)州市五校2020-2021學(xué)年高二下學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題

浙江省臺(tái)州市五校2020-2021學(xué)年高二下學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題學(xué)校:___________姓名：___________班級(jí)：___________考號(hào)：___________一、單選題1．已知全集，集合，，則（）A． B．C． D．2．設(shè)復(fù)數(shù)滿足，則（）A．1 B．2 C． D．3．函數(shù)是上的單調(diào)函數(shù)，則的范圍是（）A． B． C． D．4．若，則（）A．3 B．4 C．5 D．65．已知，則下列三個(gè)數(shù)，，（）A．都不大于-4 B．至少有一個(gè)不大于-4C．都不小于-4 D．至少有一個(gè)不小于-46．函數(shù)的部分圖像大致為（）A．

B．

C．

D．

7．疫情期間，上海某醫(yī)院安排5名專家到3個(gè)不同的區(qū)級(jí)醫(yī)院支援，每名專家只去一個(gè)區(qū)級(jí)醫(yī)院，每個(gè)區(qū)級(jí)醫(yī)院至少安排一名專家，則不同的安排方法共有（）A．60種 B．90種 C．150種 D．240種8．是定義在上的非負(fù)?可導(dǎo)函數(shù)，且滿足，對(duì)任意正數(shù)，若，則必有（）A． B．C． D．9．已知函數(shù)，則是不等式成立的的取值范圍是（）A． B．C． D．10．已知函數(shù)，若關(guān)于的不等式恰有一個(gè)整數(shù)解，則實(shí)數(shù)的最小值是（）A．-9 B．-7 C．-6 D．-4二、雙空題11．設(shè)函數(shù)，若為奇函數(shù)，則曲線在點(diǎn)處的切線方程為________；函數(shù)的極大值點(diǎn)為________.12．在二項(xiàng)式的展開式中第3項(xiàng)與第7項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等，項(xiàng)的系數(shù)為________；各項(xiàng)系數(shù)之和為________.(用數(shù)字作答)13．已知復(fù)數(shù)若復(fù)數(shù)是實(shí)數(shù)，則實(shí)數(shù)________；若復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于復(fù)平面的第二象限，則實(shí)數(shù)的取值范圍為________.14．若隨機(jī)變量，且，則________；________.三、填空題15．用數(shù)學(xué)歸納法證明：時(shí)，從“到”時(shí)，左邊應(yīng)增添的代數(shù)式為________.16．在一個(gè)正六邊形的六個(gè)區(qū)域涂色(如圖)，要求同一區(qū)域同一種顏色，相鄰的兩塊區(qū)域(有公共邊)涂不同的顏色.現(xiàn)有5種不同的顏色可供選擇，則有________種涂色方案.17．已知方程的兩實(shí)根為，，方程的兩實(shí)根為，，且，則實(shí)數(shù)的取值范圍為________.四、解答題18．已知函數(shù)，(其中).（1）求的最小值；（2）當(dāng)，時(shí)，試比較與的大小，并證明你的結(jié)論.19．已知的展開式中只有第五項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大.（1）求該展開式中有理項(xiàng)的項(xiàng)數(shù)；（2）求該展開式中系數(shù)最大的項(xiàng).20．2021年五一期間，銀泰百貨舉辦了一次有獎(jiǎng)促銷活動(dòng)，消費(fèi)每超過600元(含600元)，均可抽獎(jiǎng)一次，抽獎(jiǎng)方案有兩種，顧客只能選擇其中的一種.方案一：從裝有10個(gè)形狀?大小完全相同的小球(其中紅球2個(gè)，白球1個(gè)，黑球7個(gè))的抽獎(jiǎng)盒中，一次性摸出3個(gè)球其中獎(jiǎng)規(guī)則為：若摸到2個(gè)紅球和1個(gè)白球，享受免單優(yōu)惠；若摸出2個(gè)紅球和1個(gè)黑球則打5折；若摸出1個(gè)白球2個(gè)黑球，則打7折；其余情況不打折.方案二：從裝有10個(gè)形狀?大小完全相同的小球(其中紅球3個(gè)，黑球7個(gè))的抽獎(jiǎng)盒中，有放回每次摸取1球，連摸3次，每摸到1次紅球，立減200元.（1）若兩個(gè)顧客均分別消費(fèi)了600元，且均選擇抽獎(jiǎng)方案一，試求兩位顧客均享受免單優(yōu)惠的概率；（2）若某顧客消費(fèi)恰好滿1000元，試從概率角度比較該顧客選擇哪一種抽獎(jiǎng)方案更合算？21．設(shè)常數(shù)，函數(shù).（1）若為奇函數(shù)，求的值，并說明理由；（2）若存在區(qū)間使得在上的值域?yàn)?，求?shí)數(shù)的取值范圍.22．設(shè)函數(shù).（Ⅰ）求的單調(diào)區(qū)間；（Ⅱ）若，為整數(shù)，且當(dāng)時(shí)，，求的最大值．參考答案1．B【分析】先求補(bǔ)集再求交集即可得結(jié)果.【詳解】由，集合，，則，，故選：B.2．D【分析】利用復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算得到復(fù)數(shù)，再求得模長(zhǎng)得解【詳解】,故選：D【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算及模長(zhǎng)，屬于基礎(chǔ)題.3．D【分析】函數(shù)在上時(shí)單調(diào)函數(shù)，等價(jià)于導(dǎo)函數(shù)大于等于或小于等于恒成立，列不等式求出的范圍即可．【詳解】函數(shù)是上的單調(diào)函數(shù)，即或(舍)在上恒成立，解得故選：D【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)的單調(diào)性問題，考查二次函數(shù)的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．4．B【分析】令可得：，令可得：，相加即可得解.【詳解】令可得：，令可得：，兩式相加可得：，所以，故選：B5．B【分析】利用反證法設(shè)，，都大于，結(jié)合基本不等式即可得出結(jié)論.【詳解】設(shè)，，都大于，則，由于，故，利用基本不等式可得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，這與假設(shè)所得結(jié)論矛盾，故假設(shè)不成立，故下列三個(gè)數(shù)，，至少有一個(gè)不大于，故選：B.6．C【分析】根據(jù)奇偶性的定義，結(jié)合函數(shù)極限以及特殊值代入，即可判斷和選擇.【詳解】容易得定義域?yàn)殛P(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，又，，故函數(shù)是偶函數(shù)，的圖象關(guān)于軸對(duì)稱，故排除B，又，故排除D.當(dāng)時(shí)，，故排除A.故選：C.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：函數(shù)圖象的辨識(shí)可從以下方面入手：(1)從函數(shù)的定義域，判斷圖象的左右位置；從函數(shù)的值域，判斷圖象的上下位置．(2)從函數(shù)的單調(diào)性，判斷圖象的變化趨勢(shì)；(3)從函數(shù)的奇偶性，判斷圖象的對(duì)稱性；(4)從函數(shù)的特征點(diǎn)，排除不合要求的圖象；（5）從函數(shù)的極限，排除不合要求的圖象.7．C【分析】先分組1，2，2和1,1,3再安排得解【詳解】5名專家到3個(gè)不同的區(qū)級(jí)醫(yī)院，分為1，2，2和1,1,3兩種情況；分為1，2，2時(shí)安排有;分為1，1，3時(shí)安排有所以一共有故選：C【點(diǎn)睛】本題考查排列組合問題，先分組再安排是解題關(guān)鍵.8．A【分析】構(gòu)造新函數(shù)求導(dǎo)利用新函數(shù)的單調(diào)性得解.【詳解】設(shè)則因?yàn)?；所以時(shí)，則函數(shù)在上是減函數(shù)或常函數(shù)；所以對(duì)任意正數(shù)a，b，若，則必有是定義在上的非負(fù)?可導(dǎo)函數(shù),兩式相乘得故選A【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算，構(gòu)造新函數(shù)，利用函數(shù)單調(diào)性比較大小，屬于中檔題..9．A【分析】先判斷是偶函數(shù)，可得，在單調(diào)遞增，可得，解不等式即可得的取值范圍.【詳解】的定義域?yàn)?，，所以是偶函?shù)，所以當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，根據(jù)符合函數(shù)的單調(diào)性知單調(diào)遞增，所以在單調(diào)遞增，因?yàn)椋裕?，所以，解得：或，所以不等式成立的的取值范圍是：故選：A【點(diǎn)睛】本題主要考查了利用函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性解不等式，屬于中檔題.10．C【分析】畫出函數(shù)的圖象，對(duì)，分類討論，利用一元二次不等式解法可得解集，再利用數(shù)形結(jié)合即可得出．【詳解】解：函數(shù)的圖象如圖所示，①當(dāng)時(shí)，化為，當(dāng)時(shí)，，由于關(guān)于的不等式恰有1個(gè)整數(shù)解，因此其整數(shù)解為2，又，，，則，當(dāng)時(shí)．由于關(guān)于的不等式恰有1個(gè)整數(shù)解，因此其整數(shù)解為，又，，，則，②當(dāng)時(shí)，對(duì)于，，解得，只考慮，則，由于時(shí)，不等式的解集中含有多于一個(gè)整數(shù)解（例如，0，，舍去．可得：實(shí)數(shù)的最小值是．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次不等式的解法、二次函數(shù)的圖象，考查了分類討論方法、數(shù)形結(jié)合方法與計(jì)算能力，屬于中檔題．11．【分析】根據(jù)奇函數(shù)的定義，得到，即，確定函數(shù)解析式，函數(shù)求導(dǎo)得切線的斜率，利用函數(shù)的單調(diào)性求得極值點(diǎn).【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)是奇函數(shù)，所以，從而得到，即,所以，因?yàn)?，所以，所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為，，則，所以函數(shù)在上是減函數(shù)，在是增函數(shù)，所以函數(shù)的極大值點(diǎn)是故答案為:；【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)函數(shù)求函數(shù)在某點(diǎn)處的切線方程及函數(shù)極大值點(diǎn)，屬于基礎(chǔ)題..12．【分析】利用已知條件得到，利用二項(xiàng)式展開式求出，令求出各項(xiàng)系數(shù)之和即可.【詳解】由題意得：，，當(dāng)；可得項(xiàng)的系數(shù)為，令，可得各項(xiàng)系數(shù)之和為：.故答案為：；.13．【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的定義和復(fù)數(shù)的幾何意義解答．【詳解】為實(shí)數(shù)，則，解得或，又，所以．對(duì)應(yīng)點(diǎn)在第二象限，則，解得．故答案為：；．【點(diǎn)睛】易錯(cuò)點(diǎn)睛：本題在利用復(fù)數(shù)的定義求出的值時(shí)：，必須注意實(shí)部的表示法，它是由對(duì)數(shù)給出的，因此求出的結(jié)論必須使對(duì)數(shù)式有意義，即通常所說的定義域．否則易出錯(cuò)．14．【分析】利用隨機(jī)變量，，先求出，再利用，求解即可.【詳解】由隨機(jī)變量，則，，所以；；故答案為：；.【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：若隨機(jī)變量，則，，.15．【分析】分別寫出和時(shí)的式子左邊，兩式相比即可得出增乘的式子．【詳解】解：時(shí)，左邊，當(dāng)時(shí)，左邊，需要增乘的式子為．故答案為：．16．4100【分析】分類討論：、、三個(gè)區(qū)域用同一種顏色，用2種顏色，用3種顏色，由分步計(jì)數(shù)原理可得結(jié)論．【詳解】考慮、、三個(gè)區(qū)域用同一種顏色，共有方法數(shù)有，考慮、、三個(gè)區(qū)域用2種顏色，共有方法數(shù)有，考慮、、三個(gè)區(qū)域用3種顏色，共有方法數(shù)有，故總計(jì)有方法數(shù)．故答案為：4100．【點(diǎn)睛】本題考查分類計(jì)數(shù)原理和分步計(jì)數(shù)原理，解題關(guān)鍵是確定完成事件的方法，是分類還是分步？本題完成涂色這個(gè)事件，采取的是先分類：按、、三個(gè)區(qū)域所用顏色數(shù)分三類，然后每類再分步，每類里先涂色、、三個(gè)區(qū)域，然后再涂色其它三個(gè)區(qū)域．17．【分析】把問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)與，兩個(gè)函數(shù)的交點(diǎn)問題，畫出圖像，觀察即可得出結(jié)果.【詳解】由方程的兩實(shí)根為，，，則，轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)的交點(diǎn)問題，由方程的兩實(shí)根為，，轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)的交點(diǎn)問題，畫出函數(shù)的圖像，如圖所示：又，觀察圖像可得：.則實(shí)數(shù)的取值范圍為.故答案為：.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：已知函數(shù)有零點(diǎn)(方程有實(shí)根)求參數(shù)值(取值范圍)常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通過解不等式確定參數(shù)范圍；（2）分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的值域問題加以解決；（3）數(shù)形結(jié)合法：先對(duì)解析式變形，進(jìn)而構(gòu)造兩個(gè)函數(shù)，然后在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)的圖象，利用數(shù)形結(jié)合的方法求解.18．（1）；（2），證明見解析．【分析】（1）由二次函數(shù)的性質(zhì)求得最小值；（2）用數(shù)學(xué)歸納法證明．【詳解】（1）由題意時(shí)，，即；（2）時(shí)，，下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：（i）時(shí)，，，成立，（ii）假設(shè)時(shí)，命題成立，即，則時(shí)，,因?yàn)?，所以所以時(shí)命題為真，綜上當(dāng)時(shí)，．【點(diǎn)睛】比較與正整數(shù)有關(guān)的兩數(shù)的大小方法：（1）作差法，作差后與0比較大??；（2）函數(shù)法，作差后引入函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性得出大小關(guān)系；（3）放縮法，利用不等式的性質(zhì)證明大小關(guān)系；（4）數(shù)學(xué)歸納法法，取特殊值，歸納出大小后肜數(shù)學(xué)歸納法證明．19．（1）；（2）和【分析】（1）先求出，再寫出二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)，令即可求解；（2）設(shè)第項(xiàng)系數(shù)最大，則，即可解得的值，進(jìn)而可得展開式中系數(shù)最大的項(xiàng).【詳解】（1）由題意可得：，得，的展開式通項(xiàng)為，，要求展開式中有理項(xiàng)，只需令，所以所以有理項(xiàng)有5項(xiàng)，（2）設(shè)第項(xiàng)系數(shù)最大，則，即，即，解得：，因?yàn)?，所以或所以，所以展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)為和.【點(diǎn)睛】解二項(xiàng)式的題關(guān)鍵是求二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)，求有理項(xiàng)需要讓的指數(shù)位置是整數(shù)，求展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)需要滿足第項(xiàng)的系數(shù)大于等于第項(xiàng)的系數(shù)，第項(xiàng)的系數(shù)大于等于第項(xiàng)的系數(shù)，屬于中檔題20．（1）；（2）選擇第二種方案更合算.【分析】（1）選擇方案一，利用積事件的概率公式計(jì)算出兩位顧客均享受到免單的概率；（2）選擇方案一，計(jì)算所付款金額的分布列和數(shù)學(xué)期望值，選擇方案二，計(jì)算所付款金額的數(shù)學(xué)期望值，比較得出結(jié)論.【詳解】（1）選擇方案一若享受到免單優(yōu)惠，則需要摸出三個(gè)紅球，設(shè)顧客享受到免單優(yōu)惠為事件，則，所以兩位顧客均享受到免單的概率為；（2）若選擇方案一，設(shè)付款金額為元，則可能的取值為、、、.，，，.故的分布列為，所以（元）.若選擇方案二，設(shè)摸到紅球的個(gè)數(shù)為，付款金額為，則，由已知可得，故，所以（元）.因?yàn)?，所以該顧客選擇第二種抽獎(jiǎng)方案更合算.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：本題考查離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望，解題步驟如下：（1）判斷隨機(jī)變量的可能取值；（2）說明隨機(jī)變量取各值的意義（即表示什么事件）并求出取該值的概率；（3）列表寫出隨機(jī)變量的分布列；（4）利用期望公式求值21．（1）；（2）【分析】（1）由于函數(shù)是奇函數(shù)，可得，解出即可得出．（2）當(dāng)時(shí)，．可得函數(shù)在，單調(diào)遞增，分別由，，化為：，，因此方程由不相等的正實(shí)數(shù)根．可得△，，，解出即可得出，當(dāng)類似處理即可得解．【詳解】解：（1）函數(shù)．函數(shù)是奇函數(shù)，，，化為：．解得．經(jīng)過驗(yàn)證：都滿足題意．（2）時(shí)，．則函數(shù)在，單調(diào)遞增，，，由，化為：，由，化為，方程有不相等的正實(shí)數(shù)根．△，，，聯(lián)立解得：．當(dāng)時(shí)，函數(shù)在和上單調(diào)遞減依題意可得，相減得即，即，解得，此時(shí)，且或當(dāng)時(shí)有解，故此時(shí)．當(dāng)時(shí)無(wú)解，實(shí)數(shù)的取值范圍是．【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的奇偶性求參數(shù)的值以及指數(shù)型復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性與最值求參數(shù)的取值范圍，函數(shù)為奇函數(shù)則，復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性由內(nèi)外層函數(shù)的單調(diào)性確定，根據(jù)“同增異減”的規(guī)則來(lái)確定；22．（1）若，在（-∞，+∞）上單調(diào)遞增；若，在單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；（2）【解析】(1)f(x)的定義域?yàn)?－∞，＋∞)，f′(x)＝ex－a.若a≤0，則f′(x)>0，所以f(x)在(－∞，＋∞)上單調(diào)遞增．若a>0，則當(dāng)x∈(－∞，lna)時(shí)，f′(x)<0；當(dāng)x∈(lna，＋∞)時(shí)，f′(x)>0.所以，f(x)在(－∞，lna)上單調(diào)遞減，在(lna，＋∞)上單調(diào)遞增．(2)由于a＝1時(shí)，(x－k)f′(x)＋x＋1＝(x－k)(ex－1)＋x＋1.故當(dāng)x>0時(shí)，(x