2024年-二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系

九年級(jí)數(shù)學(xué)(下)第二十七章二次函數(shù)27二次函數(shù)與一元二次方程1

1、一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判別式△=。方程根的情況是：當(dāng)△﹥0

時(shí)方程

；當(dāng)△=0時(shí)，方程

；當(dāng)△﹤0時(shí)，方程

。b2-4ac有兩個(gè)不等實(shí)數(shù)根有兩個(gè)相等實(shí)數(shù)根沒(méi)有實(shí)數(shù)根2、二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a、b、c是常數(shù)，且a≠0)圖像是一條

，拋物線復(fù)習(xí)提問(wèn)21、二次函數(shù)圖像與x軸交點(diǎn)個(gè)數(shù)有幾種情況？想一想，畫一畫xy0三種可能：①兩個(gè)交點(diǎn)②一個(gè)交點(diǎn)③沒(méi)有交點(diǎn)。自主學(xué)習(xí)一：3(1).圖象y=x2+2x與x軸交點(diǎn)個(gè)數(shù)()一元二次方程x2+2x=0根的個(gè)數(shù)()(2)圖象y=x2-2x+1與x軸交點(diǎn)個(gè)數(shù)()一元二次方程x2-2x+1=0根的個(gè)數(shù)()(3)圖象y=x2-2x+2與x軸交點(diǎn)個(gè)數(shù)()一元二次方程x2-2x+2=0根的個(gè)數(shù)()

二次函數(shù)y=x2+2x,y=x2-2x+1,y=x2-2x+2的圖象如圖：y=x2+2xy=x2-2x+1y=x2-2x+2自主學(xué)習(xí)二：二次函數(shù)與x軸交點(diǎn)與一元二次方程的根有什么關(guān)系?兩個(gè)交點(diǎn)一個(gè)交點(diǎn)沒(méi)有交點(diǎn)△﹥0，有兩個(gè)不相等實(shí)數(shù)根△=0，有兩個(gè)相等實(shí)數(shù)根△﹤0無(wú)實(shí)數(shù)根4.二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象和x軸交點(diǎn)的個(gè)數(shù)與一元二次方程ax2+bx+c=0的根有什么關(guān)系?一元二次方程ax2+bx+c=0根的判別式=b2-4ac一元二次方程ax2+bx+c=0的根的情況二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象和x軸交點(diǎn)個(gè)數(shù)有兩個(gè)交點(diǎn)有兩個(gè)相異的實(shí)數(shù)根b2-4ac>0有一個(gè)交點(diǎn)有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根b2-4ac=0沒(méi)有交點(diǎn)沒(méi)有實(shí)數(shù)根b2-4ac<0想一想填一填5自主學(xué)習(xí)三：二次函數(shù)圖象和x軸交點(diǎn)坐標(biāo)與

一元二次方程的根有什么關(guān)系?

y=x2+2x與x軸交點(diǎn)X1=-2X2=0(-2,0)(0,0）x2+2x=0方程的根是令y=0交點(diǎn)的橫坐標(biāo)是一元二次方程的根（2,0）（4,0）X1=2X2=4y=x2-6x+8與x軸交點(diǎn)是x2-6x+8=0方程的根是令y=06與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)是當(dāng)y=0時(shí)自變量x的值

即方程ax2+bx+c=0的根.二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象和x軸交點(diǎn)坐標(biāo)與一元二次方ax2+bx+c=0的根有什么關(guān)系?想一想

72.拋物線y=x2-4x+4與軸有

個(gè)交點(diǎn)，坐標(biāo)是

。3.拋物線y=0.5x2-x+3與x軸的交點(diǎn)情況是（）A兩個(gè)交點(diǎn)B一個(gè)交點(diǎn)C沒(méi)有交點(diǎn)D畫出圖象后才能說(shuō)明1.若方程ax2+bx+c=0的根為x1=-2和x2=3，則二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象與x軸交點(diǎn)坐標(biāo)是

。（-2，0）、（3，0）一（2，0）4不畫圖象，求拋物線y=x2-3x-4與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)。解：∵解方程x2-3x-4=0得：x1=-1，x2=4∴拋物線y=x2-3x-4與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)是：

(-1，0)和(4，0)跟蹤練習(xí)一5.若函數(shù)圖象與x軸是只有一個(gè)公共點(diǎn),求m的值.

解：∵圖象與x軸是只有一個(gè)公共點(diǎn)則△=0即36-4m=0∴m=9c8101xyMN232y=x2-4x+4

一元二次方程x2-4x+4=1的根二次函數(shù)y=x2-4x+4的圖象與直線（）交點(diǎn)的橫坐標(biāo)能力升華

．．直線y=1

一元二次方程x2-4x+4=0的根是函數(shù)

y=x2-4x+4的圖象與（）交點(diǎn)的橫坐標(biāo)。10xN2y=x2-4x+4．直線y=0直線y=0y

方程x2-4x+4=1的根（x1=x2=)13X軸直線y=1(x-2)2=1(x-2)=±1X-2=-1或x-2=19想一想

一元二次方ax2+bx+c=k的根是函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象和交點(diǎn)橫坐標(biāo)yx0．直線y=k

．直線y=kx1x210跟蹤練習(xí)二函數(shù)的圖象y=ax2+bx+c如圖所示，那么(1)關(guān)于ax2+bx+c=0的一元二次方程的根的情況是()(2)關(guān)于ax2+bx+c=4的一元二次方程的根的情況是()(3)關(guān)于ax2+bx+c=2的一元二次方程的根的情況是()

xy04-2Y=0Y=4Y=22兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根無(wú)實(shí)數(shù)根兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根111).小球經(jīng)過(guò)多少秒后落地?你有幾種求解方法?與同伴進(jìn)行交流.由上拋小球落地的時(shí)間想到豎直上拋物體的高度h(m)與運(yùn)動(dòng)時(shí)間t(s)的關(guān)系可用公式h=-5t2+40t表示例1學(xué)以致用ht2468204006080100．．122）小球上拋問(wèn)題中，何時(shí)小球離地面的高度是60m,你是如何知道的，你有幾種方法3）對(duì)于上題來(lái)說(shuō)，方程-5t2+40t=80的根的實(shí)際意義是什么？ht2468204006080100（2）方法二：利用方程：把h=60代入得-5t2+40t=60解得x1=2x2=6-5t2+40t=80當(dāng)h=80時(shí)，相對(duì)應(yīng)的t(1)方法一：利用圖像13簡(jiǎn)單運(yùn)用答案：（1）A（-1，0），B（4，0）；（2）x=-1或4；（3）x=-1或4；（4）方程的解就是二次函數(shù)的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)。14例題精析15小試牛刀答案：（1）△＞0，函數(shù)的圖象與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)；（2）△＝0，函數(shù)的圖象與x軸有一個(gè)交點(diǎn)；（3）△＜0，函數(shù)的圖象與x軸沒(méi)有交點(diǎn)。16思維遷移1718基礎(chǔ)過(guò)關(guān)BD19能力提升證明：∵△===又∵不論m為何值，∴＞0∴△＞0，∴無(wú)論m取何值,拋物線總與x軸有兩個(gè)交點(diǎn).20課堂小結(jié)21想一想議一議若二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象和x軸交點(diǎn)坐標(biāo)(X1,0)(X2,0),則二次函數(shù)的表達(dá)式可表示為這種表示方法稱為二次函數(shù)的交點(diǎn)式。若一元二次方程ax2+bx+c=0兩個(gè)根為x1,x2則一元二次方程可化為Y=a(x-x1)(x-x2)(x-x1)(x-x2)=0友情提示：二次函數(shù)有哪幾種表達(dá)形式？22解：設(shè)所求的二次函數(shù)為y=a(x＋1)(x－2）因?yàn)椋阂阎獟佄锞€與X軸交于A（－1，0），B（2,0）并經(jīng)過(guò)點(diǎn)M（0,2），求拋物線的解析式？yox點(diǎn)M(0,2)在拋物線上所以：a(0+1)(0-2)=2得：a=-1故所求的拋物線為y=-(x＋1)(x-2)即：y=－x2+x+2思考：你能用什么方法做呢?哪個(gè)方法更好?

例2

要化成一般式23課堂小結(jié)2.二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系y=ax2+bx+cax2+bx+c=ky取定值k方程的根交點(diǎn)的橫坐標(biāo)與直線y=k1.二次函數(shù)y=ax2+bx+c與X軸交點(diǎn)個(gè)數(shù)的確定3.用交點(diǎn)式求二次函數(shù)表達(dá)式數(shù)形結(jié)合的思想240xy-211、已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象如下圖所示，請(qǐng)寫出方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根2、拋物線y=-3（x－2）（x＋5