函數(shù)的應(yīng)用(一)5種常見考法歸類（原卷版）

3.4函數(shù)的應(yīng)用（一）5種常見考法歸類1、常見的幾類函數(shù)模型函數(shù)模型函數(shù)解析式一次函數(shù)模型f(x)＝ax＋b(a，b為常數(shù)，a≠0)二次函數(shù)模型f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c為常數(shù)，a≠0)分段函數(shù)模型f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(f1x，x∈D1，,f2x，x∈D2，,……，,fnx，x∈Dn))冪函數(shù)模型f(x)＝axα＋b(a，b，α為常數(shù)，a≠0)2、一次函數(shù)模型的特點和求解方法(1)一次函數(shù)模型的突出特點是其圖象是一條直線．(2)解一次函數(shù)模型時，注意待定系數(shù)法的應(yīng)用，主要步驟是：設(shè)元、列式、求解．注：(1)一次函數(shù)模型層次性不高，求解也較為容易，一般情況下可以用“問什么，設(shè)什么，列什么”這一方法來處理．(2)對于一次函數(shù)在實際問題中的應(yīng)用的題目，要認真讀題、審題，弄清題意，明確題目中的數(shù)量關(guān)系，可充分借助圖象、表格信息確定解析式,同時要特別注意定義域．3、利用二次函數(shù)求最值的方法及注意點(1)方法：根據(jù)實際問題建立函數(shù)模型解析式后，可利用配方法、判別式法、換元法以及函數(shù)的單調(diào)性等方法求最值，從而解決實際問題中的利潤最大、用料最省等最值問題．(2)注意：取得最值時的自變量與實際意義是否相符．4、冪函數(shù)模型應(yīng)用的求解策略(1)給出含參數(shù)的函數(shù)關(guān)系式，利用待定系數(shù)法求出參數(shù)，明確函數(shù)關(guān)系式．(2)根據(jù)題意，直接列出相應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式．5、應(yīng)用分段函數(shù)時的三個注意點(1)分段函數(shù)的“段”一定要分得合理，不重不漏．(2)分段函數(shù)的定義域為對應(yīng)每一段自變量取值范圍的并集．(3)分段函數(shù)的值域求法：逐段求函數(shù)值的范圍，最后比較再下結(jié)論．6、解決“對勾”函數(shù)應(yīng)用題的關(guān)鍵解決“對勾”函數(shù)f(x)＝ax＋eq\f(b,x)(a>0，b>0)的實際應(yīng)用問題時，需關(guān)注該函數(shù)的定義域、單調(diào)性(函數(shù)f(x)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\r(\f(b,a))，0))和eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\r(\f(b,a))))上單調(diào)遞減，在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，－\r(\f(b,a))))和eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(\f(b,a))，＋∞))上單調(diào)遞增)、值域和圖象等．一般通過變形，構(gòu)造利用基本不等式的條件求最值．考點一一次函數(shù)模型的應(yīng)用考點二二次函數(shù)模型的應(yīng)用考點三冪函數(shù)模型的應(yīng)用考點四分段函數(shù)模型的應(yīng)用考點五對勾函數(shù)模型考點一一次函數(shù)模型的應(yīng)用1．（2023秋·四川眉山·高一眉山市彭山區(qū)第一中學?？奸_學考試）冰墩墩（BingDwenDwen）、雪容融（ShueyRhonRhon）分別是2023年北京冬奧會、冬殘奧會的吉樣物．冬奧會來臨之際，冰墩墩、雪容融玩偶暢銷全國．小雅在某網(wǎng)店選中兩種玩偶，決定從該網(wǎng)店進貨并銷售，第一次小雅用1400元購進了冰墩墩玩偶15個和雪容融玩偶5個，已知購進1個冰墩墩玩偶和1個雪容融玩偶共需136元，銷售時每個冰墩墩玩偶可獲利28元，每個雪容融玩偶可獲利20元．(1)求兩種玩偶的進貨價分別是多少？(2)第二次小雅進貨時，網(wǎng)店規(guī)定冰墩墩玩偶的進貨數(shù)量不得超過雪容融玩偶進貨數(shù)量的1.5倍．小雅計劃購進兩種玩偶共40個，應(yīng)如何設(shè)計進貨方案才能獲得最大利潤，最大利潤是多少元？2．（2023秋·浙江杭州·高一浙江省杭州第二中學?？奸_學考試）由于受到更新?lián)Q代的影響，某店經(jīng)銷的Iphone6二月售價比一月每臺降價500元，如果賣出相同數(shù)量的Iphone6，那么一月銷售額為9萬元，二月銷售額只有8萬元.(1)一月Iphone6每臺售價為多少元?(2)為了提高利潤，該店計劃三月購進Iphone6s銷售，已知Iphone6每臺進價為3500元，Iphone6s每臺進價為4000元，預(yù)計用不多于7.6萬元且不少于7.4萬元的資金購進這兩種共20臺，請問有幾種進貨方案?(3)該店計劃4月對Iphone6的尾貨進行銷售，決定在二月售價基礎(chǔ)上每售出一臺Iphone6再返還顧客現(xiàn)金元，而Iphone6s按銷售價4400元銷售，如要使（2）中所有方案獲利相同，應(yīng)取何值?3．（2023秋·上海崇明·高一統(tǒng)考期末）某公司擬投資開發(fā)一種新能源產(chǎn)品，估計公司能獲取不低于100萬元且不高于1600萬元的投資收益．該公司對科研課題組的獎勵方案有如下3條要求：①獎金y（單位：萬元）隨投資收益x（單位：萬元）的增加而增加；②獎金不低于10萬元且不超過200萬元；③獎金不超過投資收益的20%．(1)設(shè)獎勵方案函數(shù)模型為，我們可以用數(shù)學語言表述公司對獎勵方案的函數(shù)模型，比如方案要求③“獎金不超過投資收益的20%”可以表述為：“恒成立”．請你用用數(shù)學語言表述另外兩條獎勵方案；(2)判斷函數(shù)是否符合公司獎勵方案函數(shù)模型的要求，并說明理由；(3)已知函數(shù)符合公司獎勵方案函數(shù)模型要求．在該獎勵方案函數(shù)模型前提下，科研課題組最多可以獲取多少獎金？4．（2023秋·安徽合肥·高一?？计谥校┸嚬苷驹谀硞€星期日保管的自行車和電動車共有輛次，其中電動車保管費是每輛一次元，自行車保管費是每輛一次元．(1)若設(shè)停放的自行車的輛次為，總的保管費收入為元，試寫出關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式(2)若估計前來停放的輛次自行車和電動車中，電動車的輛次數(shù)不小于，但不大于，試求該車管站這個星期日收入保管費總數(shù)的范圍．5．（2023·全國·高一假期作業(yè)）某商場準備購進A，兩種型號電腦，每臺A型號電腦進價比每臺型號電腦多500元，用40000元購進A型號電腦的數(shù)量與用30000元購進型號電腦的數(shù)量相同，請解答下列問題：(1)A，型號電腦每臺進價各是多少元？(2)若每臺A型號電腦售價為2500元，每臺型號電腦售價為1800元，商場決定用不超過35000元同時購進A，兩種型號電腦20臺，且全部售出，請寫出所獲的利潤（單位：元）與A型號電腦（單位：臺）的函數(shù)關(guān)系式并求此時的最大利潤．考點二二次函數(shù)模型的應(yīng)用6．（2023秋·浙江寧波·高一余姚中學?？茧A段練習）小明今年年初用16萬元購進一輛汽車，每天下午跑滴滴出租車，經(jīng)估算，每年可有16萬元的總收入，已知使用x年（）所需的各種費用（維修、保險、耗油等）總計為萬元（今年為第一年）.(1)該出租車第幾年開始盈利（總收入超過總支出）？(2)該車若干年后有兩種處理方案：①當盈利總額達到最大值時，以1萬元價格賣出；②當年平均盈利達到最大值時，以10萬元賣出.試問哪一種方案較為合算？請說明理由.參考數(shù)據(jù)：，，.7．（2023秋·海南省直轄縣級單位·高一嘉積中學?？茧A段練習）（元），日處理量為（噸），經(jīng)測算，當時，；當時，，且每處理一噸廚余垃圾，可得到價值100元的化工產(chǎn)品的收益.(1)當日處理量為10噸時，該公司每日的純收益為多少？（純收益=總收益成本）(2)該公司每日處理的廚余垃圾為多少噸時，獲得的日純收益最大？8．（2023秋·江蘇鎮(zhèn)江·高一統(tǒng)考階段練習）某企業(yè)生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品所得利潤分別是（單位：萬元）和（單位：萬元），它們與投入資金（單位：萬元）的關(guān)系有經(jīng)驗公式.今將4萬元資金投入生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品，其中對甲種產(chǎn)品投資（單位：萬元）.(1)試建立總利潤（單位：萬元）關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式；(2)如何安排投入資金使得該企業(yè)所獲利潤最大？并求出獲利潤的最大值.9．（2023·全國·高一隨堂練習）某商店進了一匹服裝，每件進價為60元．每件售價為90元，每天售出30件．在一定的范圍內(nèi)這批服裝的售價每降低1元，每天就多售出1件．請寫出每天的利潤（單位：元）與售價（單位：元）之間的函數(shù)關(guān)系式，并求當售價是多少元時，每天的利潤最大．10．（2023秋·安徽阜陽·高二?？计谥校┠郴瘜W試劑廠以千克/小時的速度勻速生產(chǎn)某種產(chǎn)品（生產(chǎn)條件要求），每小時可獲得的利潤是萬元.(1)要使生產(chǎn)該產(chǎn)品2小時獲得的利潤不低于30萬元，求的取值范圍；(2)要使生產(chǎn)120千克該產(chǎn)品獲得的利潤最大，則該工廠應(yīng)該選取何種生產(chǎn)速度？并求出最大利潤.11．（2023·全國·高一專題練習）某化工廠引進一條先進生產(chǎn)線生產(chǎn)某種化工產(chǎn)品，其生產(chǎn)的總成本（萬元）與年產(chǎn)量（噸）之間的函數(shù)關(guān)系式可以近似地表示為，已知此生產(chǎn)線年產(chǎn)量最大為噸.(1)求年產(chǎn)量為多少噸時，總成本最低，并求最低成本(2)若每噸產(chǎn)品平均出廠價為萬元，那么當年產(chǎn)量為多少噸時，可以獲得最大利潤最大利潤是多少考點三冪函數(shù)模型的應(yīng)用12．（2023·全國·高一專題練習）黨的十九大報告明確要求繼續(xù)深化國有企業(yè)改革，培育具有全球競爭力的世界一流企業(yè).某企業(yè)抓住機遇推進生產(chǎn)改革，從單一產(chǎn)品轉(zhuǎn)為生產(chǎn)A、B兩種產(chǎn)品，根據(jù)市場調(diào)查與市場預(yù)測，A產(chǎn)品的利潤與投資成正比，其關(guān)系如圖①；B產(chǎn)品的利潤與投資的算術(shù)平方根成正比，其關(guān)系如圖②（注：所示圖中的橫坐標表示投資金額，單位為萬元）.(1)分別求出A、B兩種產(chǎn)品的利潤表示為投資的函數(shù)關(guān)系式；(2)該企業(yè)已籌集到10萬元資金，并全部投入A、B兩種產(chǎn)品的生產(chǎn)，問：怎樣分配這10萬元資金，才能使企業(yè)獲得最大利潤，最大利潤是多少？13．（2023·全國·高一專題練習），兩種芯片都已經(jīng)獲得成功.該公司研發(fā)芯片已經(jīng)耗費資金2千萬元，現(xiàn)在準備投入資金進行生產(chǎn).經(jīng)市場調(diào)查與預(yù)測，生產(chǎn)芯片的毛收入與投入的資金成正比，已知每投入1千萬元，公司獲得毛收入0.25千萬元；生產(chǎn)芯片的毛收入(千萬元)與投入的資金(千萬元)的函數(shù)關(guān)系為，其圖像如圖所示.（1）試分別求出生產(chǎn)，兩種芯片的毛收入(千萬元)與投入的資金(千萬元)的函數(shù)關(guān)系式；（2）如果公司只生產(chǎn)一種芯片，生產(chǎn)哪種芯片毛收入更大?（3）現(xiàn)在公司準備投入4億元資金同時生產(chǎn)，千萬元生產(chǎn)芯片，用表示公司所獲利潤，當為多少時，可以獲得最大利潤?并求最大利潤.(利潤芯片毛收入芯片毛收入發(fā)耗費資金)14．（2023·全國·高一專題練習）果園A占地約3000畝，擬選用果樹B進行種植，在相同種植條件下，果樹B每畝最多可種植40棵，種植成本（萬元）與果樹數(shù)量（百棵）之間的關(guān)系如下表所示.149161(1)根據(jù)以上表格中的數(shù)據(jù)判斷：與哪一個更適合作為與的函數(shù)模型；(2)已知該果園的年利潤（萬元）與的關(guān)系為，則果樹數(shù)量為多少時年利潤最大？15．（2023·全國·高一專題練習）某企業(yè)計劃投資生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品，根據(jù)長期收益率市場預(yù)測，投資生產(chǎn)甲產(chǎn)品的利潤與投資額成正比，投資生產(chǎn)乙產(chǎn)品的利潤與投資額的算術(shù)平方根成正比，已知投資1萬元時，甲、乙兩類產(chǎn)品的利潤分別為0.125萬元和0.5萬元.（1）分別寫出兩類產(chǎn)品的利潤與投資額的函數(shù)關(guān)系式；（2）該企業(yè)有100萬元資金，全部用于生產(chǎn)甲、乙產(chǎn)品，問怎樣分配資金能使得利潤之和最大，最大利潤為多少萬元？考點四分段函數(shù)模型的應(yīng)用16．（2023秋·山東菏澤·高三山東省鄄城縣第一中學?？茧A段練習）某醫(yī)療器械公司為了進一步增加市場競爭力，計劃改進技術(shù)生產(chǎn)某產(chǎn)品，已知生產(chǎn)該產(chǎn)品的年固定成本為300萬元，最大產(chǎn)能為100臺，每生產(chǎn)臺，需另投入成本萬元，且，由市場調(diào)研知，該產(chǎn)品每臺的售價為200萬元，且全年內(nèi)生產(chǎn)的該產(chǎn)品當年能全部銷售完.(1)寫出年利潤萬元關(guān)于年產(chǎn)量臺的函數(shù)解析式（利潤銷售收入成本）；(2)當該產(chǎn)品的年產(chǎn)量為多少時，公司所獲利潤最大？最大利潤是多少？17．（2023秋·山東泰安·高三新泰市第一中學?？茧A段練習）為助力鄉(xiāng)村振興，某村決定建一果袋廠.經(jīng)過市場調(diào)查，生產(chǎn)需投入年固定成本為2萬元，每生產(chǎn)x萬件，需另投入流動成本為萬元，在年產(chǎn)量不足8萬件時，（萬元）.在年產(chǎn)量不小于8萬件時，（萬元）.每件產(chǎn)品售價為6元.通過市場分析，該廠生產(chǎn)的果袋能當年全部售完.(1)寫出年利潤（萬元）關(guān)于年產(chǎn)量x（萬件）的函數(shù)解析式；（注：年利潤=年銷售收入固定成本流動成本）(2)年產(chǎn)量為多少萬件時，該廠所獲利潤最大？最大利潤是多少？18．（2023秋·河北承德·高三承德市雙灤區(qū)實驗中學?？茧A段練習）年，月日，華為年月日，華為被美國列入實體名單，以所謂科技網(wǎng)絡(luò)安全為借口，對華為施加多輪制裁.為了進一步增加市場競爭力，華為公司計劃在年利用新技術(shù)生產(chǎn)某款新，通過市場分析，生產(chǎn)此款全年需投入固定成本萬，每生產(chǎn)千部，需另投入成本萬元，且由市場調(diào)研知此款售價萬元，且每年內(nèi)生產(chǎn)的當年能全部銷售完.(1)求出年的利潤萬元關(guān)于年產(chǎn)量千部的表達式(2)年年產(chǎn)量為多少千部時，企業(yè)所獲利潤最大最大利潤是多少19．（2023秋·山東·高一校聯(lián)考階段練習）今年中秋國慶雙節(jié)假期“合體”，人們的出游意愿進一步增強，國內(nèi)長線游預(yù)訂人次占比為.數(shù)據(jù)顯示，中秋國慶假期，長線游預(yù)訂占比近六成預(yù)訂出游平均時長在5天以上.某旅游平臺上，跨省游訂單占比達，較2023年同期提升10個百分點.秋高氣爽最適合登高爬山，某戶外登山運動裝備生產(chǎn)企業(yè)，2023年的固定成本為1000萬元，每生產(chǎn)x千件裝備，需另投入資金（萬元）.經(jīng)計算與市場評估得，調(diào)查發(fā)現(xiàn)，當生產(chǎn)10千件裝備時需另投入資金萬元.每千件裝備的市場售價為300萬元，從市場調(diào)查來看，2023年最多能售出150千件.(1)寫出2023年利潤W（萬元）關(guān)于產(chǎn)量x（千件）的函數(shù)；（利潤＝銷售總額－總成本）(2)當2023年產(chǎn)量為多少千件時，該企業(yè)所獲得的利潤最大？最大利潤是多少？20．（2023秋·重慶九龍坡·高一重慶實驗外國語學校?？茧A段練習）第19屆亞運會2023年9月在杭州市舉辦，本屆亞運會以“綠色、智能、節(jié)儉、文明”為辦會理念，展示杭州生態(tài)之美、文化之韻，充分發(fā)揮國際重大賽事對城市發(fā)展的牽引作用，從而促進經(jīng)濟快速發(fā)展，籌備期間，某公司帶來了一種智能設(shè)備供采購商洽談采購，并決定大量投放當?shù)厥袌?，已知該種設(shè)備年固定研發(fā)成本為50萬元，每生產(chǎn)一萬臺需另投入80萬元，設(shè)該公司一年內(nèi)生產(chǎn)該設(shè)備萬臺且全部售完.當時，每萬臺的年銷售收入

（萬元）與年產(chǎn)量（萬臺）滿足關(guān)系式:;當時，每萬臺的年銷售收入

（萬元）與年產(chǎn)量（萬臺）滿足關(guān)系式:(1)寫出年利潤（萬元）關(guān)于年產(chǎn)量（萬臺）的函數(shù)解析式（利潤=銷售收入一成本）;(2)當年產(chǎn)量為多少萬臺時，該公司獲得的年利潤最大?并求最大利潤.考點五對勾函數(shù)模型21．（2023秋·重慶沙坪壩·高一重慶一中?？茧A段練習）某中學為了迎接建校100周年校慶，決定在學校校史館利用一側(cè)原有墻體，建造一間墻高為3米，底面積為24平方米，且背面靠墻的長方體形狀的榮譽室.由于榮譽室的后背靠墻，無需建造費用.甲乙兩支隊伍參與競標，甲工程隊給出的報價為：榮譽室前面新建墻體的報價為每平方米400元，左右兩面新建墻體報價為每平方米300元，屋頂和地面以及其他報價共計12600元，設(shè)榮舉室的左右兩面墻的長度均為米，乙工程隊給出的整體報價為元，綜合考慮各種條件，學校決定選擇報價較低的隊伍施工，如果報價相同，則選擇乙隊伍.(1)若，問學校該怎樣選擇；(2)在競爭壓力下，甲工程隊主動降價5400元，若乙工程隊想要確保自己被選中，求實數(shù)的最大值.22．（2023秋·江蘇南京·高一校聯(lián)考階段練習）在國慶假期期間，某火車站為舒緩候車室人流的壓力，決定在候車大樓外搭建臨時候車區(qū)，其中某次列車的候車區(qū)是一個總面積為（單位：m），租賃鐵欄桿的總費用為（單位：元）.(1)將表示為的函數(shù)，并求租賃搭建此區(qū)域的鐵欄桿所需費用的最小值及相應(yīng)的值.(2)