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陜西省四校2024屆高考數(shù)學(xué)五模試卷考生請(qǐng)注意:1.答題前請(qǐng)將考場(chǎng)、試室號(hào)、座位號(hào)、考生號(hào)、姓名寫(xiě)在試卷密封線內(nèi),不得在試卷上作任何標(biāo)記。2.第一部分選擇題每小題選出答案后,需將答案寫(xiě)在試卷指定的括號(hào)內(nèi),第二部分非選擇題答案寫(xiě)在試卷題目指定的位置上。3.考生必須保證答題卡的整潔??荚嚱Y(jié)束后,請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知全集,集合,,則陰影部分表示的集合是()A. B. C. D.2.已知是虛數(shù)單位,若,則()A. B.2 C. D.103.2019年某校迎國(guó)慶70周年歌詠比賽中,甲乙兩個(gè)合唱隊(duì)每場(chǎng)比賽得分的莖葉圖如圖所示(以十位數(shù)字為莖,個(gè)位數(shù)字為葉).若甲隊(duì)得分的中位數(shù)是86,乙隊(duì)得分的平均數(shù)是88,則()A.170 B.10 C.172 D.124.復(fù)數(shù)滿足,則復(fù)數(shù)等于()A. B. C.2 D.-25.歷史上有不少數(shù)學(xué)家都對(duì)圓周率作過(guò)研究,第一個(gè)用科學(xué)方法尋求圓周率數(shù)值的人是阿基米德,他用圓內(nèi)接和外切正多邊形的周長(zhǎng)確定圓周長(zhǎng)的上下界,開(kāi)創(chuàng)了圓周率計(jì)算的幾何方法,而中國(guó)數(shù)學(xué)家劉徽只用圓內(nèi)接正多邊形就求得的近似值,他的方法被后人稱為割圓術(shù).近代無(wú)窮乘積式、無(wú)窮連分?jǐn)?shù)、無(wú)窮級(jí)數(shù)等各種值的表達(dá)式紛紛出現(xiàn),使得值的計(jì)算精度也迅速增加.華理斯在1655年求出一個(gè)公式:,根據(jù)該公式繪制出了估計(jì)圓周率的近似值的程序框圖,如下圖所示,執(zhí)行該程序框圖,已知輸出的,若判斷框內(nèi)填入的條件為,則正整數(shù)的最小值是A. B. C. D.6.從集合中隨機(jī)選取一個(gè)數(shù)記為,從集合中隨機(jī)選取一個(gè)數(shù)記為,則在方程表示雙曲線的條件下,方程表示焦點(diǎn)在軸上的雙曲線的概率為()A. B. C. D.7.已知與之間的一組數(shù)據(jù):12343.24.87.5若關(guān)于的線性回歸方程為,則的值為()A.1.5 B.2.5 C.3.5 D.4.58.一個(gè)袋中放有大小、形狀均相同的小球,其中紅球1個(gè)、黑球2個(gè),現(xiàn)隨機(jī)等可能取出小球,當(dāng)有放回依次取出兩個(gè)小球時(shí),記取出的紅球數(shù)為;當(dāng)無(wú)放回依次取出兩個(gè)小球時(shí),記取出的紅球數(shù)為,則()A., B.,C., D.,9.已知雙曲線的離心率為,拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為,若,則雙曲線的漸近線方程為()A. B.C. D.10.如圖,某幾何體的三視圖是由三個(gè)邊長(zhǎng)為2的正方形和其內(nèi)部的一些虛線構(gòu)成的,則該幾何體的體積為()A. B. C.6 D.與點(diǎn)O的位置有關(guān)11.我國(guó)古代典籍《周易》用“卦”描述萬(wàn)物的變化.每一“重卦”由從下到上排列的6個(gè)爻組成,爻分為陽(yáng)爻“——”和陰爻“——”.如圖就是一重卦.在所有重卦中隨機(jī)取一重卦,則該重卦至少有2個(gè)陽(yáng)爻的概率是()A. B. C. D.12.已知函數(shù)的最小正周期為的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度后關(guān)于軸對(duì)稱,則的單調(diào)遞增區(qū)間為()A. B.C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.記復(fù)數(shù)z=a+bi(i為虛數(shù)單位)的共軛復(fù)數(shù)為,已知z=2+i,則_____.14.某校初三年級(jí)共有名女生,為了了解初三女生分鐘“仰臥起坐”項(xiàng)目訓(xùn)練情況,統(tǒng)計(jì)了所有女生分鐘“仰臥起坐”測(cè)試數(shù)據(jù)(單位:個(gè)),并繪制了如下頻率分布直方圖,則分鐘至少能做到個(gè)仰臥起坐的初三女生有_____________個(gè).15.已知三棱錐的四個(gè)頂點(diǎn)在球的球面上,,是邊長(zhǎng)為2的正三角形,,則球的體積為_(kāi)_________.16.一次考試后,某班全班50個(gè)人數(shù)學(xué)成績(jī)的平均分為正數(shù),若把當(dāng)成一個(gè)同學(xué)的分?jǐn)?shù),與原來(lái)的50個(gè)分?jǐn)?shù)一起,算出這51個(gè)分?jǐn)?shù)的平均值為,則_________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.(12分)已知函數(shù),.(1)求曲線在點(diǎn)處的切線方程;(2)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;(3)判斷函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù).18.(12分)橢圓的右焦點(diǎn),過(guò)點(diǎn)且與軸垂直的直線被橢圓截得的弦長(zhǎng)為.(1)求橢圓的方程;(2)過(guò)點(diǎn)且斜率不為0的直線與橢圓交于,兩點(diǎn).為坐標(biāo)原點(diǎn),為橢圓的右頂點(diǎn),求四邊形面積的最大值.19.(12分)如圖,三棱臺(tái)中,側(cè)面與側(cè)面是全等的梯形,若,且.(Ⅰ)若,,證明:∥平面;(Ⅱ)若二面角為,求平面與平面所成的銳二面角的余弦值.20.(12分)已知函數(shù),.(1)當(dāng)時(shí),求不等式的解集;(2)當(dāng)時(shí),不等式恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.21.(12分)在平面直角坐標(biāo)系中,以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.已知直線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),曲線的極坐標(biāo)方程為;(1)求直線的直角坐標(biāo)方程和曲線的直角坐標(biāo)方程;(2)若直線與曲線交點(diǎn)分別為,,點(diǎn),求的值.22.(10分)在三棱錐中,是邊長(zhǎng)為的正三角形,平面平面,,M、N分別為、的中點(diǎn).?(1)證明:;(2)求三棱錐的體積.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解析】
先求出集合N的補(bǔ)集,再求出集合M與的交集,即為所求陰影部分表示的集合.【詳解】由,,可得或,又所以.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查了韋恩圖表示集合,集合的交集和補(bǔ)集的運(yùn)算,屬于基礎(chǔ)題.2、C【解析】
根據(jù)復(fù)數(shù)模的性質(zhì)計(jì)算即可.【詳解】因?yàn)?,所以,,故選:C【點(diǎn)睛】本題主要考查了復(fù)數(shù)模的定義及復(fù)數(shù)模的性質(zhì),屬于容易題.3、D【解析】
中位數(shù)指一串?dāng)?shù)據(jù)按從?。ù螅┑酱螅ㄐ。┡帕泻?,處在最中間的那個(gè)數(shù),平均數(shù)指一串?dāng)?shù)據(jù)的算術(shù)平均數(shù).【詳解】由莖葉圖知,甲的中位數(shù)為,故;乙的平均數(shù)為,解得,所以.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查莖葉圖的應(yīng)用,涉及到中位數(shù)、平均數(shù)的知識(shí),是一道容易題.4、B【解析】
通過(guò)復(fù)數(shù)的模以及復(fù)數(shù)的代數(shù)形式混合運(yùn)算,化簡(jiǎn)求解即可.【詳解】復(fù)數(shù)滿足,∴,故選B.【點(diǎn)睛】本題主要考查復(fù)數(shù)的基本運(yùn)算,復(fù)數(shù)模長(zhǎng)的概念,屬于基礎(chǔ)題.5、B【解析】
初始:,,第一次循環(huán):,,繼續(xù)循環(huán);第二次循環(huán):,,此時(shí),滿足條件,結(jié)束循環(huán),所以判斷框內(nèi)填入的條件可以是,所以正整數(shù)的最小值是3,故選B.6、A【解析】
設(shè)事件A為“方程表示雙曲線”,事件B為“方程表示焦點(diǎn)在軸上的雙曲線”,分別計(jì)算出,再利用公式計(jì)算即可.【詳解】設(shè)事件A為“方程表示雙曲線”,事件B為“方程表示焦點(diǎn)在軸上的雙曲線”,由題意,,,則所求的概率為.故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查利用定義計(jì)算條件概率的問(wèn)題,涉及到雙曲線的定義,是一道容易題.7、D【解析】
利用表格中的數(shù)據(jù),可求解得到代入回歸方程,可得,再結(jié)合表格數(shù)據(jù),即得解.【詳解】利用表格中數(shù)據(jù),可得又,.解得故選:D【點(diǎn)睛】本題考查了線性回歸方程過(guò)樣本中心點(diǎn)的性質(zhì),考查了學(xué)生概念理解,數(shù)據(jù)處理,數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力,屬于基礎(chǔ)題.8、B【解析】
分別求出兩個(gè)隨機(jī)變量的分布列后求出它們的期望和方差可得它們的大小關(guān)系.【詳解】可能的取值為;可能的取值為,,,,故,.,,故,,故,.故選B.【點(diǎn)睛】離散型隨機(jī)變量的分布列的計(jì)算,應(yīng)先確定隨機(jī)變量所有可能的取值,再利用排列組合知識(shí)求出隨機(jī)變量每一種取值情況的概率,然后利用公式計(jì)算期望和方差,注意在取球模型中摸出的球有放回與無(wú)放回的區(qū)別.9、A【解析】
求出拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo),得到雙曲線的離心率,然后求解a,b關(guān)系,即可得到雙曲線的漸近線方程.【詳解】拋物線y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(1,0),則p=2,又e=p,所以e2,可得c2=4a2=a2+b2,可得:ba,所以雙曲線的漸近線方程為:y=±.故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線的離心率以及雙曲線漸近線方程的求法,涉及拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)的應(yīng)用.10、B【解析】
根據(jù)三視圖還原直觀圖如下圖所示,幾何體的體積為正方體的體積減去四棱錐的體積,即可求出結(jié)論.【詳解】如下圖是還原后的幾何體,是由棱長(zhǎng)為2的正方體挖去一個(gè)四棱錐構(gòu)成的,正方體的體積為8,四棱錐的底面是邊長(zhǎng)為2的正方形,頂點(diǎn)O在平面上,高為2,所以四棱錐的體積為,所以該幾何體的體積為.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查三視圖求幾何體的體積,還原幾何體的直觀圖是解題的關(guān)鍵,屬于基礎(chǔ)題.11、C【解析】
利用組合的方法求所求的事件的對(duì)立事件,即該重卦沒(méi)有陽(yáng)爻或只有1個(gè)陽(yáng)爻的概率,再根據(jù)兩對(duì)立事件的概率和為1求解即可.【詳解】設(shè)“該重卦至少有2個(gè)陽(yáng)爻”為事件.所有“重卦”共有種;“該重卦至少有2個(gè)陽(yáng)爻”的對(duì)立事件是“該重卦沒(méi)有陽(yáng)爻或只有1個(gè)陽(yáng)爻”,其中,沒(méi)有陽(yáng)爻(即6個(gè)全部是陰爻)的情況有1種,只有1個(gè)陽(yáng)爻的情況有種,故,所以該重卦至少有2個(gè)陽(yáng)爻的概率是.故選:C【點(diǎn)睛】本題主要考查了對(duì)立事件概率和為1的方法求解事件概率的方法.屬于基礎(chǔ)題.12、D【解析】
先由函數(shù)的周期和圖象的平移后的函數(shù)的圖象性質(zhì)得出函數(shù)的解析式,從而得出的解析式,再根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間得出函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間,可得選項(xiàng).【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)的最小正周期是,所以,即,所以,的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度后得到的函數(shù)解析式為,由于其圖象關(guān)于軸對(duì)稱,所以,又,所以,所以,所以,因?yàn)榈倪f增區(qū)間是:,,由,,得:,,所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為().故選:D.【點(diǎn)睛】本題主要考查正弦型函數(shù)的周期性,對(duì)稱性,單調(diào)性,圖象的平移,在進(jìn)行圖象的平移時(shí),注意自變量的系數(shù),屬于中檔題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、3﹣4i【解析】
計(jì)算得到z2=(2+i)2=3+4i,再計(jì)算得到答案.【詳解】∵z=2+i,∴z2=(2+i)2=3+4i,則.故答案為:3﹣4i.【點(diǎn)睛】本題考查了復(fù)數(shù)的運(yùn)算,共軛復(fù)數(shù),意在考查學(xué)生的計(jì)算能力.14、【解析】
根據(jù)數(shù)據(jù)先求出,再求出分鐘至少能做到個(gè)仰臥起坐的初三女生人數(shù)即可.【詳解】解:,.則分鐘至少能做到個(gè)仰臥起坐的初三女生人數(shù)為.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題主要考查頻率分布直方圖,屬于基礎(chǔ)題.15、【解析】
由題意可得三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直,則它的外接球就是棱長(zhǎng)為的正方體的外接球,求出正方體的對(duì)角線的長(zhǎng),就是球的直徑,然后求出球的體積.【詳解】解:因?yàn)?,為正三角形,所以,因?yàn)?,所以三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直,所以它的外接球就是棱長(zhǎng)為的正方體的外接球,因?yàn)檎襟w的對(duì)角線長(zhǎng)為,所以其外接球的半徑為,所以球的體積為故答案為:【點(diǎn)睛】此題考查球的體積,幾何體的外接球,考查空間想象能力,計(jì)算能力,屬于中檔題.16、1【解析】
根據(jù)均值的定義計(jì)算.【詳解】由題意,∴.故答案為:1.【點(diǎn)睛】本題考查均值的概念,屬于基礎(chǔ)題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、(1)(2)答案見(jiàn)解析(3)答案見(jiàn)解析【解析】
(1)設(shè)曲線在點(diǎn),處的切線的斜率為,可求得,,利用直線的點(diǎn)斜式方程即可求得答案;(2)由(Ⅰ)知,,分時(shí),,三類討論,即可求得各種情況下的的單調(diào)區(qū)間為;(3)分與兩類討論,即可判斷函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù).【詳解】(1),,設(shè)曲線在點(diǎn),處的切線的斜率為,則,又,曲線在點(diǎn),處的切線方程為:,即;(2)由(1)知,,故當(dāng)時(shí),,所以在上單調(diào)遞增;當(dāng)時(shí),,;,,;的遞減區(qū)間為,遞增區(qū)間為,;當(dāng)時(shí),同理可得的遞增區(qū)間為,遞減區(qū)間為,;綜上所述,時(shí),單調(diào)遞增為,無(wú)遞減區(qū)間;當(dāng)時(shí),的遞減區(qū)間為,遞增區(qū)間為,;當(dāng)時(shí),的遞增區(qū)間為,遞減區(qū)間為,;(3)當(dāng)時(shí),恒成立,所以無(wú)零點(diǎn);當(dāng)時(shí),由,得:,只有一個(gè)零點(diǎn).【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)的切線方程,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,考查分類討論思想與推理、運(yùn)算能力,屬于中檔題.18、(1)(2)最大值.【解析】
(1)根據(jù)通徑和即可求(2)設(shè)直線方程為,聯(lián)立橢圓,利用,用含的式子表示出,用換元,可得,最后用均值不等式求解.【詳解】解:(1)依題意有,,,所以橢圓的方程為.(2)設(shè)直線的方程為,聯(lián)立,得.所以,.所以.令,則,所以,因,則,所以,當(dāng)且僅當(dāng),即時(shí)取得等號(hào),即四邊形面積的最大值.【點(diǎn)睛】考查橢圓方程的求法和橢圓中四邊形面積最大值的求法,是難題.19、(Ⅰ)見(jiàn)解析;(Ⅱ).【解析】試題分析:(Ⅰ)連接,由比例可得∥,進(jìn)而得線面平行;(Ⅱ)過(guò)點(diǎn)作的垂線,建立空間直角坐標(biāo)系,不妨設(shè),則求得平面的法向量為,設(shè)平面的法向量為,由求二面角余弦即可.試題解析:(Ⅰ)證明:連接,梯形,,易知:;又,則∥;平面,平面,可得:∥平面;(Ⅱ)側(cè)面是梯形,,,,則為二面角的平面角,;均為正三角形,在平面內(nèi),過(guò)點(diǎn)作的垂線,如圖建立空間直角坐標(biāo)系,不妨設(shè),則,故點(diǎn),;設(shè)平面的法向量為,則有:;設(shè)平面的法向量為,則有:;,故平面與平面所成的銳二面角的余弦值為.20、(1)(2)【解析】
(1)當(dāng)時(shí),,當(dāng)或時(shí),,所以可轉(zhuǎn)化為,解得,所以不等式的解集為.(2)因?yàn)?,所以,所以,即,即.?dāng)時(shí),因?yàn)椋?,不符合題意.當(dāng)時(shí),解可得,因?yàn)楫?dāng)時(shí),不等式恒成立,所以,所以,解得,所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.21、(Ⅰ),曲線(Ⅱ)【解析】試題分析:(1)消去參數(shù)可得直線的直角坐標(biāo)系方程,由可得曲線的直角坐標(biāo)方程;(2)將(為參數(shù))代入曲線的方程得:,,
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